La función oferta representa la cantidad de artículos que un fabricante está dispuesto a ofrecer a la venta, y depende del precio de venta.
Si el precio al cual se debe vender el artículo es bajo se ofrecen poco artículos a la venta, conforme el precio aumenta se ofrecen más artículos a la venta; esta función es creciente.
Si Q es la cantidad y p es precio denotamos la función oferta como Q f (p).
EJEMPLO 7
Si un comerciante tiene que vender su producto a un precio bajo, debido a la regulación de los precios por la Secretaría del Consumidor y a la competencia que existe, entonces no le conviene ofrecer a la venta una cantidad grande de su producto, y solamente ofrece unos cuantos; en el momento en que pueda ofrecer su producto a un precio más alto (debido a que la competencia también ya aumentó el precio y está dentro del ran- go establecido por la Secretaría del Consumidor), entonces pondrá más artículos a la venta. 150,000 5000 10 20 30 40 50 500,00 100,000 150,000 200,000 250,000 Ingresos I C CostosNOTA
La función demanda representa la cantidad de artículos que se venden, de acuerdo con el precio de venta.
Si el precio del artículo es bajo, se venden muchos artículos; conforme el precio aumenta, las ventas disminuyen. Esta función es decreciente.
Si Q es la cantidad vendida y p es el precio, denotamos la función demanda co- mo Q f(p).
Aunque está comprobado que las funciones de oferta y demanda dependen del pre- cio, en economía se acostumbra plantear estas funciones al revés; por ejemplo, en el ca- so de la función demanda se escribe como P f (q) y se dibuja la variable q en el eje horizontal y la variable P en el eje vertical; desde un punto de vista matemático esto no es correcto, ya que es la cantidad ofrecida o vendida la que depende del precio (al cual se debe vender o al que se vende). Sin embargo, consideraremos válidas cualquie- ra de las dos opciones al momento de plantear la función.
EJEMPLO 8
Una empresa que organiza viajes turísticos ha observado que en la época de Semana Santa, si el precio de un paquete todo incluido a Cancún es de $8000 por persona, se venden 100 paquetes, pero si disminuye el precio en 25%, el número de paquetes que se venden aumenta 140. Supón que la demanda es lineal.a) Plantea la función demanda en términos del precio.
b) Si en una súper promoción de un día, la empresa vende el paquete a mitad de
precio, ¿cuántos paquetes se venderán en ese día?
Solución
Dado que la demanda es lineal, la función es de la forma y mx b, pero utilizaremos la letra N para representar el número de paquetes vendidos y p para representar el pre- cio del paquete; con estas variables la ecuación queda expresada como N mp b.Tenemos que obtener el valor de m y de b.
Observa que lo que tenemos como información son 2 puntos:
Uno es p 8000 con N 100; para formar el otro punto utilizamos la informa- ción de que si el precio se disminuye un 25%, es decir, ahora el precio es $6000, el nú- mero de paquetes aumenta 140, entonces el otro punto es p 6000 con N 240.
Podemos escribir la información en una tabla de datos que se expresa de la si- guiente forma:
Observa que el cambio promedio está dado por m 20 1 0 4 0 0 0.07 Al sustituir el valor de m en la ecuación obtenemos:
Falta obtener el valor de b, para lo que sustituimos cualquiera de los 2 puntos de la tabla en la ecuación.
Al sustituir el primer punto obtenemos:
240 0.07(6000) b, esto es igual a 240 420 b. Despejamos b y obtenemos b 240 420, es decir, b 660. Al sustituir el valor de b en la ecuación, tenemos que:
N 0.07p 660 N 0.07p b 100 240 8000 6000 p 6000 8000 N 240 100
NOTA
b) Observa que se nos da un valor de p y se nos pide obtener N, en este caso p 4000.
Si sustituimos ese valor en la ecuación anterior, obtenemos:
N 0.07(4000) 660, haciendo el cálculo obtenemos que N 380, es decir, el número de paquetes vendidos el día de la súper promoción fue de 380.
¡A TRABAJAR!
EJERCICIO 1
Una pequeña compañía que ofrece clases particulares de matemáticas tiene como per- sonal a una secretaria y un profesor. Mensualmente se tienen los siguientes gastos fi- jos: renta de oficina $5700, servicios $2000, sueldo de secretaria $3500 y $800 en materiales (hojas, plumas, lápices, gises y borradores).El profesor recibe $200 por cada hora de clase impartida, si la compañía cobra $350 por hora de clase:
a) Plantea la función de costos totales e ingresos.
Solución:
¿Cuál es la variable independiente? ¿Con qué letra la vas a representar? Cuál es la fórmula de:
Costo total La ecuación es CT Ingreso
La ecuación es I
b) ¿Cuál es el punto de equilibrio para la compañía?
Solución:
¿Cuándo se le llama punto de equilibrio? ¿Cómo se obtiene?
Plantea la ecuación necesaria para obtener el punto de equilibrio y resuélvela.
Punto de equilibrio q
c) ¿Cuántas horas de clase se deben dar durante el mes para que la compañía tenga ganancias?
d) Dibuja la gráfica de costos tota- les e ingresos, marca el área que representa ganancias para la compañía.
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EJERCICIO 2
Los valores de costos e ingresos de una compañía aparecen en las tablas de la izquierda:a) ¿Cuál es el punto de equilibrio para la compañía?
¿Qué ecuaciones necesitas plantear para obtener el punto de equilibrio?
Las funciones dadas en las tablas ¿son lineales? ¿Por qué?
La ecuación de costos totales es de la forma:
Describe, en forma verbal, qué harías para obtener el cambio promedio en el costo (la pendiente):
Encuentra el valor del cambio promedio (la pendiente m)
m
Describe, en forma verbal, qué harías para obtener b.
Encuentra el valor de b.
La ecuación de costos totales quedaría como: La ecuación de ingresos es de la forma:
Describe, en forma verbal, qué harías para obtener el cambio promedio en el ingreso (la pendiente):
Encuentra el valor del cambio promedio (la pendiente m)
m
Describe, en forma verbal, qué harías para obtener b.
Encuentra el valor de b.
La ecuación de ingresos quedaría como: ¿Cómo se obtiene el punto de equilibrio?
Plantea la ecuación para obtener el punto de equilibrio y resuélvela
El punto de equilibrio es q
q 100 120 140 160 180
C 1200 1320 1440 1560 1680
q 100 120 140 160 180
c) Dibuja en los mismos
ejes la gráfica de las dos funciones y marca el pun- to de equilibrio, el área que representa pérdidas y la que representa ga- nancias.
EJERCICIO 3
Un estudio de simulación realizado en un parque determinó que si el costo del bole- to es de $140 se reciben 2800 visitantes por semana, y que si el precio diminuye en $30 se reciben 3500 visitantes por semana, suponiendo que la demanda es lineal, obtenga:Solución
a) La fórmula que da el número de visitantes V en función del precio p.La ecuación es de la forma:
Describe, en forma verbal, qué harías para obtener el cambio promedio de la demanda (la pendiente):
Encuentra el valor del cambio promedio (la pendiente) m Describe, en forma verbal, qué harías para obtener b. Encuentra el valor de b.
La ecuación de demanda (número de visitantes en función del precio) quedaría como:
b) Utiliza la fórmula para obtener cuántos visitantes se recibirán si el precio es de $95.
La variable que conocemos es: . Su valor es: La variable que piden obtener es:
Utiliza la ecuación del inciso anterior y encuentra el valor de la variable que se te indica.