Conjunto de ejercicios 1.11
20. Para una empresa que se dedica a fabricar marcos para tí tulos universitarios, sus costos mensuales, en miles de pesos,
están dados por
C(x) 0.125x2 2x 10
Donde x es la cantidad, en cientos de marcos.
Estima la rapidez con la que cambia el costo mensual cuan- do se fabrican 500 marcos.
Utiliza la definición de derivada para obtener la derivada de las si- guientes funciones en el valor indicado.
21. f (x) ex 2 1 en x 2 22. f (x) ln(8x) en x 7 23. f (x) x2x x2 en x 1 24. f (x) ln(xx) en x 1 25. f (x) xx en x 4 26. f (x) exxen x1 2 27. f (x) x8x1en x 2 28. f (x) 35x2x2en x 0 29. f (x) ln x x en x 5 30. f (x) 2 x x x en x 2
2.2 LA DERIVADA COMO UNA PENDIENTE
Para obtener la expresión que define a la derivada, también podemos partir de argu- mentos geométricos.
El problema de la pendiente de la recta tangente es muy antiguo; esto se re- monta a la época del científico griego Arquímedes (287-212 a. C.), quien creció con la noción de Euclides (365-300 a. C.) de una recta tangente como una recta que toca una curva en un solo punto. Esta idea de tangencia es totalmente correcta para círculos, pero completamente insatisfactoria para otras curvas.
Recta tangente de acuerdo Ejemplo de curva que no cumple con Euclides con la visión de tangencia de Euclides
Arquímedes descubrió que cuan- do se centra la atención en un punto de una curva, ocurre que en dicho punto, la curva se comporta como una recta. Por esta razón definió a la recta tangente a una curva en un punto P como la recta que mejor se aproxima a la curva en ese punto. Para comprender mejor esta idea, aplicaremos el concepto de límite.
CONSTRUCCIÓN
Consideremos la siguiente gráfica. Deseamos obtener la pendiente de la recta tan- gente a la gráfica de f (x) en el punto P.
Observa que la pendiente de la recta tangente, no se puede obtener mediante la fórmula m y x 2 2 y x 1 1
, ya que no conocemos dos puntos de la recta.
Lo que haremos es partir de la pendiente de una recta secante (es decir, de una recta que corte a la gráfica en dos puntos), para obtener un valor aproximado de la pen- diente de la recta tangente.
La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P(2, 4) y Q(6, 21), está dada por msecante 2 6 1 2 4 147
Si observamos la figura anterior, vemos que la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q, es muy diferente a la pendiente de la recta tangente en el punto P.
Para aproximar la pendiente de la recta secante a la pendiente de la recta tangente, uti- lizaremos puntos sobre la curva y f (x) que se encuentren cada vez más cercanos al punto P.
Llamemos al nuevo punto Q1y tracemos la recta secante que pasa por P y Q1. Calcula la pendiente de la nueva recta P-Q1, m
Observa que la nueva recta secante se aproximó a la recta tangente. Realicemos nuevamente el proceso anterior.
Llamemos ahora al nuevo punto Q2y tracemos la recta secante con P y Q2. Calcula la pendiente de la nueva recta P-Q2, m
La recta secante se aproximó todavía más a la recta tangente.
Ahora, llamemos al nuevo punto Q3y tracemos la recta secante con P y Q3. Calcula la pendiente de la nueva recta P-Q3, m
La recta secante se aproximó todavía más a la recta tangente; esto significa que sus pendientes son aún más parecidas.
Si continuamos con el mismo proceso, vemos que la recta secante quedará casi empalmada con la recta tangente.
Repitamos el proceso una vez más. Tracemos la recta que pasa por P y Q4. Calcula su pendiente m
Observa que la recta secante quedó dibujada casi encima de la recta tangente. Cuando eso ocurre, podemos decir que sus pendientes son muy aproximadas; pero eso pasa solamente si Q se encuentra muy cerca de P; es decir, si tomamos el límite.
Si llamamos h a la distancia horizontal que hay entre P y los puntos Qi, donde
i 1, 2, 3 y 4.
¿Cuánto vale h entre los puntos P y Q? ¿Cuánto vale h entre los puntos P y Q1? ¿Cuánto vale h entre los puntos P y Q2? ¿Cuánto vale h entre los puntos P y Q3? ¿Cuánto vale h entre los puntos P y Q4?
¿Qué sucede con la distancia h, a medida que tomamos puntos Q más cercanos al punto P?
CONCLUSIÓN
A medida que el punto Q está más cerca del punto P, la distancia h que hay entre las x, se hace más pequeña; es decir, tiende a cero.Podemos entonces concluir que: mtangenteLím(msecante)
h→0
En general, si conocemos los puntos (x, f (x)) y (xh, f (xh)) de una recta se- cante, su pendiente queda expresada como:
m
Al sustituir la pendiente de la recta secante en la conclusión anterior obtenemos: mtangenteLím
f (x)h→0
Observa que es la misma expresión que define a la derivada de una función. Por lo tanto, podemos decir que la derivada representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función f (x) en el punto P.
Con base en las conclusiones obtenidas en las secciones 1 y 2, podemos resumir que la derivada de la función f (x), evaluada en el punto en donde x a , representa:
• La razón de cambio de la función en el instante en donde x a.
• La pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en el punto en donde x a.
EJEMPLO 1
Obtén la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) ln x, en elpunto en donde x 1.
Solución
Dibujemos la gráfica de la función y marquemos la recta tangente, para comprender qué estamos buscando.f (x h) f (x) h f (x h) f (x) h f (x h) f (x) x h x
Sabemos que la pendiente de una recta tangente está dada por la derivada de la función, así que en este caso debemos encontrar la derivada de la función en el punto x 1 ( que es donde ocurre la tangencia); en la sección anterior vimos cómo obtener la derivada de una función en un valor específico, utilizando la definición de derivada. Para obtener la pendiente, utilizaremos ese proceso.
La definición es:
f(x) Lím
h→0
Como deseamos obtener la derivada en el punto en donde x 1, y sabemos que el valor de h debe ser muy pequeño (acercarse a cero) para obtener una buena esti- mación de la derivada, tomemos, por ejemplo, h 0.0001. Sustituimos el valor de x y de h en la definición y obtenemos:
f(1) es decir, f(1)
Observa que ya no utilizamos la palabra Límite; esto se debe a que al sustituir el va- lor de h, ya estamos obteniendo el límite (es decir, tomamos un valor de x muy cercano al número 1).
Si evaluamos la función en los números que quedaron indicados, obtenemos: f(1)
Con una calculadora obtenemos el valor de esta expresión y llegamos a f(1) 0.99995, es decir, f (1) 1; es decir, mtangente 1.