En esta secci´on vamos a enunciar el segundo teorema fundamental del c´alculo para integrales de l´ınea, del cual se deduce el principio de conservaci´on de la energ´ıa mec´anica. Empezamos viendo la definici´on de campo conservativo.
Definici´on 1.20 Se dice que un campo vectorial F : U ⊂ Rn → Rn (U abierto) es conservativo si existe un campo escalar f : U ⊂ Rn → R tal que ∇f(x) = F (x) para todo x ∈ U. El campo
escalar f recibe el nombre de funci´on potencial de F .
Recordemos que los primeros ejemplos de campos vectoriales que mostramos en la secci´on 1.2 eran conservativos.
Ejemplo 1.21 El campo vectorial que describe la fuerza de atracci´on entre dos part´ıculas de masas m y M,
F (x1, x2, x3) =
−GmM (x2
1+ x22+ x23)3/2
(x1, x2, x3)
es un campo conservativo, cuya funci´on potencial es:
f (x1, x2, x3) =
GmM (x2
1+ x22+ x23)1/2
Estos campos se llaman conservativos porque en ellos se verifica el principio de conservaci´on de la energ´ıa mec´anica, es decir, que las sumas de la energ´ıa cin´etica y potencial de una part´ıcula que se desplaza en dichos campos es constante. En realidad un campo de fuerzas no ser´a conservativo si existe fricci´on en el sistema, puesto que ´esta tiende a convertir la energ´ıa mec´anica en calor´ıfica.
1.4. CAMPOS CONSERVATIVOS 39
Teorema 1.22 Segundo teorema fundamental del c´alculo para integrales de l´ınea: Si F : U ⊂ Rn → Rn es un campo
conservativo continuo y U es un conjunto abierto y arco conexo de Rn,
entonces el trabajo que se realiza al mover una part´ıcula entre dos puntos cualesquiera x e y en U unidos por cualquier recorrido ϕ en U es:
Z
ϕ
F · T = f (y) − f (x)
siendo f la funci´on potencial del campo F
La demostraci´on es una sencilla aplicaci´on del teorema de Stokes que probaremos en la segunda parte del libro.
Observemos que si el recorrido ϕ es cerrado, entonces el teorema anterior prueba que R
ϕ
F · T = 0. A continuaci´on vamos a deducir del teorema anterior la Ley de conservaci´on de la energ´ıa, enunciada por primera vez en 1840 por el f´ısico ingl´es Michael Faraday (1791-1867): en un campo conservativo la suma de las energ´ıas cin´etica y potencial de un objeto se mantiene constante de punto a punto.
Se sabe que la energ´ıa cin´etica de una part´ıcula de masa m y velocidad v es Ec = 12mv2, y que la energ´ıa potencial Ep de esa part´ıcula en un punto x de
un campo conservativo F es Ep(x) = −f (x), siendo f la funci´on potencial de F . En consecuencia, el trabajo realizado por F en un recorrido que une los puntos x e y es:
T rabajo =R
ϕ
F · T = f (y) − f (x) = Ep(x) − Ep(y)
En otras palabras el trabajo es igual a la diferencia de las energ´ıas potenciales en x e y. Si ϕ(t) es el vector de posici´on de la part´ıcula que se mueve desde x = ϕ(a) hasta y = ϕ(b), entonces en cualquier instante t, la velocidad y la aceleraci´on de la part´ıcula son: v(t) = ϕ0(t) y a(t) = ϕ00(t), respectivamente. As´ı pues, por la segunda ley del movimiento de Newton, F = ma(t) = mv0(t) y el trabajo realizado por F es:
T rabajo =R ϕ F · T = b R a [F (ϕ(t)]ϕ0(t)dt = b R a [mv0(t)]ϕ0(t)dt = b R a m[v0(t)v(t)]dt = b R a mhv(t)v(t)2 i 0 dt = mhv(t)v(t)2 i b a = 1 2mv(b) 2−1 2mv(a) 2= Ec(y) − Ec(x) Igualando los dos resultados obtenidos se sigue que:
y por lo tanto
Ep(x) + Ec(x) = Ep(y) + Ec(y).
Otra aplicaci´on del Segundo teorema fundamental del c´alculo para integrales de l´ınea se obtiene al considerar el campo de fuerzas F (x1, x2, x3) = −GM m√(x1,x2,x3)
x2 1+x22+x23
3
que ejerce una part´ıcula de masa M sobre otra de masa m, siendo G > 0 la constante de gravitaci´on universal. Este campo vectorial es conservativo porque si tomamos f (x1, x2, x3) = √ GM m
x2 1+x22+x23
comprobamos que ∇f (x) = F (x) para todo
x ∈ U ⊂ R3\{0}. Entonces el trabajo realizado por la fuerza de gravitaci´on al mover
una part´ıcula de masa m desde un punto x hasta y en unidos por cualquier recorrido ϕ en U es: Z ϕ F · T = f (y) − f (x) = GM m 1 ||y|| − 1 ||x||
Para poder aplicar el segundo teorema fundamental para las integrales de l´ınea necesitamos aprender a reconocer cu´ando un campo vectorial es conservativo. Eso nos lo dir´a el teorema de Poincar´e en la segunda parte del curso. De momento adelantamos que para campos vectoriales en el plano, F : U ⊂ R2→ R2la condici´on
que han de cumplir las dos funciones componentes F = (F1, F2) es
D2F1(x1, x2) = D1F2(x1, x2) (1.1)
Mientras que para campos vectoriales en el espacio F : U ⊂ R3→ R3,las funciones
componentes F = (F1, F2, F3) deben cumplir las siguientes condiciones:
D2F1(x1, x2, x3) = D1F2(x1, x2, x3)
D3F1(x1, x2, x3) = D1F3(x1, x2, x3) (1.2)
D3F2(x1, x2, x3) = D2F3(x1, x2, x3)
Ejemplo 1.23 Como adelantamos en el primer apartado el campo F (x1, x2) = (1, x1) no es conservativo porque D2F1(x1, x2) = 0 6= 1 = D1F2(x1, x2).
Mientras que, como vimos en el ejemplo 1.21, el campo vectorial F (x1, x2) =
(2x1, 2x2) se obtiene como el gradiente del campo escalar f (x1, x2) = x21+ x22y por
lo tanto es conservativo. En efecto, es f´acil comprobar que en este caso se verifican las dos condiciones puesto que
D2F1(x1, x2) = 0 = D1F2(x1, x2)
Observemos que esta misma circunstancia la vamos a tener en todos los casos en que la funci´on F1(x1, x2) solo dependa de la variable x1 y la funci´on F2(x1, x2) dependa
1.4. CAMPOS CONSERVATIVOS 41
solo de la variable x2; es decir cuando el campo vectorial sea de la forma
F (x1, x2) = (F1(x1), F2(x2))
Una vez establecido que el campo vectorial es conservativo pasamos a calcular la funci´on potencial, o lo que es lo mismo, el campo escalar f : U ⊂ R2 → R que
verifica que ∇f = F . Lo haremos usando la relaci´on entre las funciones f, F1 y F2,
esto es
D1f (x1, x2) = F1(x1, x2)
D2f (x1, x2) = F2(x1, x2)
Estas relaciones nos permiten afirmar que
f (x1, x2) =
Z
F1(x1, x2)dx1+ C(x2) =
Z
F2(x1, x2)dx2+ K(x1)
La primera igualdad la obtenemos al integrar respecto de la variable x1en la primera
expresi´on, mientras que la segunda igualdad la obtenemos al integrar respecto de la variable x2en la segunda expresi´on. Observemos que cuando calculamos una integral
indefinida la soluci´on que se da depende de una constante que solemos llamar C o K. En las dos integrales indefinidas que realizamos ahora esas constantes pueden depender de las variables x2 y x1, respectivamente, porque en la primera integral x2
act´ua como constante, mientras que en la segunda es x1la que act´ua como constante.
Aplicando estas ecuaciones al caso F (x1, x2) = (2x1, 2x2) obtenemos que la funci´on
potencial asociada f (x1, x2) verifica
f (x1, x2) = Z F1(x1, x2)dx1+ C(x2) = Z 2x1dx1+ C(x2) = x21+ C(x2) o bien f (x1, x2) = Z F2(x1, x2)dx2+ K(x1) = Z 2x2dx2+ K(x1) = x22+ K(x1)
Por lo tanto para saber c´omo es f (x1, x2) solo nos falta calcular una de las dos
funciones C(x2) o K(x1). Para ello volvemos a usar de nuevo la relaci´on ∇f = F , de
modo que si derivamos en la primera igualdad respecto a la variable x2 obtenemos
que
D2f (x1, x2) = C0(x2) = F2(x1, x2) = 2x2
De donde se deduce que C0(x2) = 2x2y por lo tanto C(x2) =R 2x2dx2= x22+ C y
f (x1, x2) = x21+ x22+ C
Si en lugar de derivar en la primera igualdad respecto a x2 hubi´eramos elegido la
otra opci´on, derivar en la segunda igualdad respecto a x1 habr´ıamos obtenido que
De donde se deduce que K0(x1) = 2x1 y por lo tanto K(x1) =R 2x1dx1= x21+ K y
f (x1, x2) = x21+ x22+ K. Como era de esperar ambos caminos nos llevan a la misma
soluci´on f (x1, x2) = x21+ x22+ C = x21+ x22+ K, donde la ´unica diferencia est´a en
la letra que hemos elegido para nombrar a la constante.
A continuaci´on vamos a ver un ejemplo en R3. Usaremos el mismo m´etodo pero como
trabajamos con tres variables los c´alculos se complican un poco mas. Vamos a tomar el campo vectorial F (x1, x2, x3) = (cosx1, ex2,1+xx32
3
). Empezamos comprobando que verifica las tres condiciones (1.2) para ser conservativo:
D2F1(x1, x2, x3) = 0 = D1F2(x1, x2, x3)
D3F1(x1, x2, x3) = 0 = D1F3(x1, x2, x3)
D3F2(x1, x2, x3) = 0 = D2F3(x1, x2, x3)
Observemos que esta misma circunstancia la vamos a tener en todos los casos en que la funci´on F1(x1, x2, x3) solo dependa de la variable x1, la funci´on F2(x1, x2, x3)
dependa solo de la variable x2y la funci´on F3(x1, x2, x3) dependa solo de la variable
x3; es decir cuando el campo vectorial sea de la forma
F (x1, x2, x3) = (F1(x1), F2(x2), F3(x3)).
Una vez establecido que el campo vectorial es conservativo podemos calcular la funci´on potencial f que verifica que ∇f = F . Lo haremos usando la relaci´on entre las funciones f, F1, F2 y F3, esto es
D1f (x1, x2, x3) = F1(x1, x2, x3)
D2f (x1, x2, x3) = F2(x1, x2, x3)
D3f (x1, x2, x3) = F3(x1, x2, x3)
Estas relaciones nos permiten afirmar que
f (x1, x2, x3) = Z F1(x1, x2, x3)dx1+ C1(x2, x3) = Z F2(x1, x2, x3)dx2+ C2(x1, x3) = Z F3(x1, x2, x3)dx3+ C3(x1, x2)
La primera igualdad la obtenemos al integrar respecto de la variable x1en la primera
expresi´on. Como en este caso las variables x2y x3act´uan como constantes, al calcular
la integral indefinida la constante que nos aparece puede depender de estas variables y por esa raz´on la hemos denotado por C1(x2, x3). De forma an´aloga obtenemos las
otras dos expresiones de la funci´on potencial.
Podemos trabajar con cualquiera de las tres igualdades para obtener f , pero para que se vea con mayor claridad el desarrollo del proceso vamos a trabajar solo con
1.4. CAMPOS CONSERVATIVOS 43
una de ellas, por ejemplo con la primera expresi´on. Aplicando la primera igualdad al caso F (x1, x2, x3) = (cos x1, ex2,1+xx32
3
) obtenemos que la funci´on potencial asociada f (x1, x2, x3) verifica f (x1, x2, x3) = Z F1(x1, x2, x3)dx1+ C1(x2, x3) = Z cos x1dx1+ C1(x2, x3) = senx1+ C1(x2, x3)
Ahora para saber c´omo es f nos falta calcular la funci´on C1(x2, x3). Para ello
volvemos a usar de nuevo la relaci´on ∇f = F , de modo que si derivamos respecto a la variable x2obtenemos que
D2f (x1, x2, x3) = D2C1(x2, x3) = F2(x1, x2, x3) = ex2
De donde se deduce que
D2C1(x2, x3) = ex2 y por lo tanto C1(x2, x3) = Z ex2dx 2+ K(x3) = ex2+ K(x3)
Observemos que de nuevo la constante que aparece al realizar la integral indefinida puede depender de la variable x3que est´a actuando en este caso como una constante.
De modo que tenemos la siguiente expresi´on para f
f (x1, x2, x3) = senx1+ C1(x2, x3) = senx1+ ex2+ K(x3)
Por ´ultimo, para saber c´omo es f solo nos falta calcular la funci´on K(x3). Para ello
volvemos a usar de nuevo la relaci´on ∇f = F , de modo que si derivamos respecto a la variable x3obtenemos que
D3f (x1, x2, x3) = K0(x3) = F3(x1, x2, x3) =
x3
1 + x2 3
De donde se deduce que
K0(x3) = x3 1 + x2 3 y por lo tanto K(x3) = Z x 3 1 + x2 3 dx3+ K = 1 2ln(1 + x 2 3) + K
En conclusi´on hemos probado que la funci´on potencial es
f (x1, x2, x3) = senx1+ ex2+
1
2ln(1 + x
2 3) + K.
En el siguiente ejemplo vamos a ver como utilizar el segundo teorema fundamental del c´alculo para integrales de l´ınea para simplificar las operaciones en determinadas integrales de l´ınea.
Ejemplo 1.24 Dado el campo vectorial F (x1, x2) = (x32+ 1, 3x1x22+ 1) y
dado el recorrido ϕ(t) = (1−cost, sent) para t ∈ [0, π] vamos a calcular la integral de l´ıneaR
ϕ
F · T . Vamos a mostrar tres opciones para calcular esta integral. La primera es aplicando simplemente la definici´on que nos lleva a la siguiente integral:
Z ϕ F · T = π Z 0 F (ϕ(t))ϕ0(t)dt = π Z 0
(sen3t + 1, 3(1 − cost)sen2t + 1)(sent, cost)dt
=
π
Z
0
(sen4t + sent + 3costsen2t − 3cos2tsen2t + cost)dt
La segunda es calculando la funci´on potencial del campo F . Para ello primero comprobamos que F es conservativo; es decir que verifica la condici´on 1.1
D2F1(x1, x2) = 3x22= D1F2(x1, x2)
Una vez establecido que el campo vectorial es conservativo pasamos a calcular la funci´on potencial; es decir, el campo escalar f : U ⊂ R2
→ R que verifica que ∇f = F . Para ello usamos la relaci´on entre las funciones f, F1y F2, esto es
D1f (x1, x2) = F1(x1, x2)
D2f (x1, x2) = F2(x1, x2)
Estas relaciones nos permiten afirmar que
f (x1, x2) =
Z
F1(x1, x2)dx1+ C(x2) =
Z
F2(x1, x2)dx2+ K(x1)
Aplicando la primera de estas ecuaciones al caso F (x1, x2) = (x32+ 1, 3x1x22+ 1)
obtenemos que la funci´on potencial asociada f (x1, x2) verifica
f (x1, x2) =
Z