Campos y Formas. Curso 14-15.PDF

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Beatriz Hernando

septiembre 2014

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´

_{Indice general}

I

Integrales sobre caminos e integrales sobre superficies.

Interpretaciones f´ısicas

5

1. Integrales sobre caminos 7

1.1. Caminos y recorridos . . . 9

1.2. Integrales de trayectoria e integrales de l´ınea . . . 17

1.3. Recorridos equivalentes. Orientaci´on de un recorrido. . . 27

1.4. Campos conservativos . . . 38

1.5. El Teorema de Green . . . 45

1.6. Problemas del cap´ıtulo 1 . . . 53

1.7. Soluciones de los problemas del cap´ıtulo 1 . . . 56

1.8. Pruebas de autoevaluaci´on del cap´ıtulo 1 . . . 68

2. Integrales sobre superficies 73 2.1. Superficies y recorridos . . . 75

2.2. Integrales de superficie . . . 83

2.3. Recorridos equivalentes. Orientaci´on de una superficie. . . 90

2.4. El Teorema de Stokes y el Teorema de la divergencia . . . 105

II

Formas diferenciales y demostraci´

on del teorema de

Stokes

139

3. Formas diferenciales 141 3.1. Tensores alternos y producto exterior . . . 142

3.2. Formas diferenciales . . . 160

3.3. El teorema de Poincar´e . . . 166

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4. El teorema de Stokes 195 4.1. Cadenas de recorridos . . . 196

4.2. Demostraci´on del teorema de Stokes . . . 199

4.3. Corolarios del teorema de Stokes . . . 212

4.6. Pruebas de autoevaluaci´on del cap´ıtulo 4 . . . 226 A. Soluciones de las pruebas de autoevaluaci´on 231

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Introducci´

on

Este libro electr´onico es el texto base del curso “Campos y formas” del grado de Ciencias Matem´aticas, de la Facultad de Ciencias de la UNED.

Los contenidos del curso se reparten entre las materias “Análisis Matemático”, “Geometr´ıa” y “F´ısicas”. En la primera parte del libro se desarrollan las integrales sobre caminos y sobre superficies desde un punto de vista más cercano al Análisis Matemático, haciendo hincapié en cómo se construyen recorridos por las curvas y superficies más conocidas del plano y del espacio y en el cálculo de integrales a lo largo de esos recorridos. Mientras que en la segunda parte se introduce el concepto de forma diferencial, esencial para la Geometr´ıa Diferencial, que nos permitirá dar un enfoque único a las integrales que se estudian en la primera parte.

En la primera parte trabajaremos con algunos de los teoremas más importantes del cálculo integral, como el Teorema de Green, el de Gauss y el de Stokes, y veremos distintas aplicaciones de los mismos, tanto en Matemáticas como en F´ısicas, que muestran la gran utilidad de estos resultados, para después desarrollar en la segunda parte las herramientas teóricas necesarias que permiten englobar todos los teoremas enunciados en la primera parte dentro un único teorema: el Teorema de Stokes en su versión general.

Cada parte consta de dos cap´ıtulos, cada uno de los cuales está formada por varias secciones. En cada cap´ıtulo se van desarrollando los contenidos de forma paulatina, intercalando las definiciones y los resultados teóricos con ejemplos y ejercicios resueltos. Para ampliar y reforzar los conocimientos adquiridos en cada cap´ıtulo se ofrece al final del mismo una colección de problemas, similares a los ejercicios desarrollados a lo largo de las secciones, cuyas soluciones completas se incluyen en la siguiente sección. Y la última sección de cada cap´ıtulo recoge dos pruebas de auto evaluación de tipo test, con diez preguntas cada una, cuyas soluciones se dan al final del libro.

El libro ha sido diseñado para estudiantes que, por circunstancias personales, han optado por realizar su aprendizaje de forma independiente, sin la ayuda de clases presenciales diarias. Por esta razón en el libro se han incluido distintos tipos de ayudas que facilitan su estudio: explicaciones muy detalladas, continuas observaciones y llamadas de atención, sugerencias, figuras, soluciones completas de

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los problemas, pruebas de autoevaluaci´on y glosario.

En cada problema que se propone, la solución que se ofrece explica paso por paso lo que hay que hacer, desarrollando de esta manera un método de resolución que, al ser repetido en distintos problemas, permitirá al estudiante adquirir la destreza necesaria para resolver problemas similares él solo. Por otro lado, cada vez que se introduce un concepto nuevo se analiza la relación con otros conceptos previamente adquiridos por el estudiante, se pone de manifiesto los puntos más importantes de la nueva definición y se incluyen ejemplos, para facilitar al estudiante la labor de hacer suyos los conceptos introducidos. En matemáticas la claridad de la exposición y el rigor con el cual se expresan las ideas dependen en parte del uso de una notación adecuada y clara. En la elaboración de este texto se ha puesto mucho cuidado en escoger la notación sin salir de la tradicional, en mantenerla a lo largo del texto y en precisar en todo momento el significado de los s´ımbolos que se usan, prefiriendo pecar de repetitivos antes que dejar cabida a la imprecisión. As´ı, cada vez que se trabaja con una función se espec´ıfica con claridad de donde a donde va la función. Por ejemplo, ϕ : [a, b] ⊂ R → Rn_{significa que ϕ es una funci´}_{on vectorial (con imagen}

en el espacio vectorial Rn_{), de variable real (parte de un subconjunto de la recta real}

R) definida en el intervalo [a, b]. Al principio de cada cap´ıtulo nos detendremos a describir y justificar la notaci´on que vamos a emplear.

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Parte I

Integrales sobre caminos e

integrales sobre superficies.

Interpretaciones f´ısicas

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Cap´ıtulo 1

Integrales sobre caminos

En este cap´ıtulo hay cinco secciones. En la primera vamos a establecer las estructuras matem´aticas, caminos y recorridos, necesarias para formalizar conceptos f´ısicos tan fundamentales como el trabajo que realiza una fuerza al mover una part´ıcula o la masa de un alambre de densidad variable.

Las herramientas matemáticas que se utilizan para definir estos conceptos f´ısicos son las integrales de trayectoria y las integrales de l´ınea, que se estudian en la segunda sección. Partiendo de las leyes f´ısicas que se verifican en las circunstancias más simples (por ejemplo, desplazamientos rectos y fuerzas constantes) deduciremos, utilizando estas herramientas matemáticas, las leyes para las circunstancias más generales.

Pasaremos después a analizar bajo que condiciones podemos asegurar que dos recorridos de un mismo camino son equivalentes, que nos llevará a la definición de recorrido regular de un camino (cerrado) simple. Veremos que las integrales de trayectoria no cambian si los recorridos son equivalentes, pero las integrales de l´ınea si pueden cambiar de signo, razón por la cual es necesario introducir el concepto de orientación positiva y de orientación negativa de un recorrido.

En la cuarta sección introduciremos el concepto de campo conservativo. Aprende-remos a comprobar si un campo es o no es conservativo y aprendeAprende-remos también a calcular su función potencial, en el caso de tener un campo conservativo. Una primera aplicación del teorema de Stokes para campos conservativos nos permitirá demostrar el teorema de conservación de la energ´ıa mecánica.

En la quinta secci´on estudiaremos el teorema de Green que relaciona la integral de l´ınea sobre un camino cerrado con una integral doble sobre el recinto encerrado por ese camino. Veremos distintas situaciones en las cuales la aplicaci´on del teorema de Green resulta especialmente ventajosa.

Las tres últimas secciones están dedicadas a reforzar los conocimientos adquiridos a través de la realización de los problemas propuestos y de las pruebas de autoevaluación.

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Notaci´

on

Siempre que aparezca un s´ımbolo matemático con un guión por encima, como x, v, ϕ, F por ejemplo, significará que el objeto matemático al que hace referencia est´_{a formado por varias coordenadas o componentes. As´ı x y v son vectores en R}n

cuyas coordenadas en la base can´onica denotaremos por:

x = (x1, x2, ..., xn) y v = (v1, v2, ..., vn)

Mientras que s´ımbolos como ϕ y F indicarán que estamos trabajando con funciones que tienen su imagen en Rn, de modo que sus componentes en la base canónica de Rn se denotarán por:

ϕ = (ϕ1, ..., ϕn) y F = (F1, ..., Fn)

Siempre que trabajemos con dos vectores o dos funciones distintas a la vez usaremos distintas letras para diferenciarlas, por ejemplo v y w, o ϕ y ψ, o F y G. Pero hay ocasiones en las que trabajaremos con colecciones de funciones que comparten algunas propiedades. Entonces nos veremos obligados a diferenciarlos empleando un sub´ındice como por ejemplo ϕ_k (ver p´agina 8). En estos casos el gui´on que corona al s´ımbolo ϕ_k indica al lector que se trata de una funci´_{on con valores en R}n_{, distinta}

a la función ϕk que es la componente k-ésima de la función ϕ.

A menudo trabajaremos con campos escalares que son funciones que tienen su imagen en R. En ese caso usaremos letras min´usculas como f y g; es decir que f y g denotaran funciones que est´_{an definidas en un subconjunto abierto U ⊂ R}n pero tienen su imagen en R.

Para denotar a los subconjuntos abiertos de Rn utilizaremos las letras U, V y W. Para que las definiciones tengan sentido el abierto debe ser no vac´ıo, por esa raz´on establecemos desde el comienzo que todos los abiertos U, V y W son no vac´ıos. Otras veces las funciones estar´_{an definidas en intervalos cerrados y acotados de R} que denotaremos por [a, b]. As´ı por ejemplo, ϕ : [a, b] ⊂ R → Rn _{es una funci´}_{on con}

n componentes, ϕ = (ϕ1, ..., ϕn), cada una de las cuales son funciones de [a, b] en R;

es decir ϕi: [a, b] ⊂ R → R, para todo i ∈ {1, ..., n}.

Como es habitual, cuando ϕ es una funci´on de una variable, que denotaremos por t porque en las aplicaciones a conceptos de F´ısica ser´a el tiempo, y es derivable en un punto t0 ∈ [a, b], o lo que es lo mismo, cada componente ϕi de ϕ es

derivable en t0, denotaremos a su derivada usando una comilla como super´ındice.

As´ı ϕ0(t0) = (ϕ01(t0), ..., ϕ0n(t0)). Pero si ϕ tiene m´as de una variable, ya no hablamos

de su derivada en un punto t0 sino de su diferencial en u0 que se identifica con su

matriz jacobiana, formada por las derivadas parciales respecto a todas las variables de todas sus componentes. A la matriz jacobiana la denotaremos por Dϕ(u0), de

modo que si ϕ : U ⊂ Rm → Rn _{es diferenciable en u}

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1.1. CAMINOS Y RECORRIDOS 9

jacobiana en ese punto es:

Dϕ(u0) =   D1ϕ1(u0) · · · Dmϕ1(u0) . . . . D1ϕn(u0) · · · Dmϕn(u0)  

Esta matriz es de tama˜no n×m (n filas × m columnas) y, si la describimos pensando en las filas, es la matriz cuyas filas son las derivadas parciales de las componentes de ϕ respecto a las m variables en el punto u0; es decir que estamos usando la notaci´on

Diϕj(u0) para indicar la derivada parcial de la funci´on ϕj: U ⊂ Rm→ R respecto

de la variable i-´esima.

Cuando trabajemos con campos escalares, que como ya hemos adelantado denotaremos por las letras f y g; esto es con funciones f : U ⊂ Rn _{→ R y suceda que}

son diferenciables en un punto u0∈ U, entonces la matriz jacobiana en ese punto es

de tama˜no 1 × n; es decir, solo tiene una fila, la formada por las derivadas parciales de f en u0. En estos casos es habitual identificar la matriz con un vector y hablar

del vector gradiente de f que denotaremos por ∇f (u0).

Como es habitual, diremos que una funci´on es de clase Cp en el abierto U donde est´a definida si existen las funciones derivadas parciales hasta el orden p y todas son continuas en todos los puntos del abierto.

Por último, como vamos a trabajar con la integral de Riemann, vamos a necesitar trabajar con particiones de intervalos. Las denotaremos por P. Recordemos que si P es una partici´_{on de un intervalo [a, b] ⊂ R entonces P es una colección finita de} subintervalos Jj⊂ [a, b] que vienen determinados por una colección finita de puntos,

{a = t0< t1 < .. < tj < tj+1< .... < tp+1 = b}, de modo que cada par de puntos

consecutivos define un subintervalo de la forma Jj= [tj, tj+1]. Con esta notaci´on se

verifica que P = {Jj; 0 ≤ j ≤ p)} y [a, b] = p

S

j=0

Jj.

1.1. Caminos y recorridos

En los problemas que abordaremos en este libro aparecer´_{an conjuntos en R}2_{, que}

llamaremos caminos, en forma de circunferencia, tramos de parábolas y tramos de otras curvas conocidas del plano, pero también aparecerán conjuntos como el de la siguiente figura. Ese conjunto tiene problemas en los puntos p y q, porque aunque no pierde la continuidad en esos puntos si pierde la derivabilidad. Eso les va a suceder a algunos de los caminos con los que vamos a trabajar, por eso no les vamos a llamar curvas. Mientras que a los desplazamientos a lo largo de los caminos les llamaremos recorridos. Hemos elegido estos dos términos, camino y recorrido, porque su significado fuera de las matemáticas refleja la idea que queremos transmitir: por los caminos que conocemos circulan personas y veh´ıculos de muy diversas maneras, realizando cada cual su propio recorrido.

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Figura 1.1: Camino

En las siguientes definiciones se considera el caso general Rn_{, aunque en los ejemplos}

y problemas trabajaremos con n = 2 y n = 3.

Definici´on 1.1 Llamamos camino en Rn a todo conjunto de puntos C ⊂ Rn _{que se obtiene al tomar la imagen de un intervalo}

[a, b] ⊂ R por medio de una funci´on continua c : [a, b] → Rn_{, que no}

sea constante

Pedimos que c no sea constante para que C = c([a, b]) sea un conjunto que tiene infinitos puntos. Además pedimos que c sea continua porque las funciones que no son continuas pueden tener un comportamiento impredecible. Uno de los ejemplos más conocidos de función que no es continua es la función que toma distintos valores en los n´_{umeros racionales (Q) que en los irracionales (R\Q). Por ejemplo, si c es de} la forma: c : _{[a, b] ⊂ R →} R2 t (t, t) si _{t ∈ [a, b] ∩ Q} (t, 0) si _{t ∈ [a, b]\Q}

entonces el camino partir´ıa del punto (0, 0) pero a partir del instante t = 0 el camino avanzar´ıa “simult´aneamente” por las rectas x1= x2y x2= 0.

En la siguiente definici´on veremos que para ser recorrido la funci´on tiene que cumplir mejores propiedades.

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Definici´on 1.2 Dado un camino C ⊂ Rn se dice que ϕ : [a, b] → C es un recorrido de C si ϕ([a, b]) = C, ϕ es continua en [a, b] y existe una partici´on P de [a, b] tal que ϕ es derivable con continuidad, o equivalentemente de clase C1_{, en el interior de cada intervalo J ∈ P,}

es decir que la derivada de ϕ puede no existir, o simplemente perder la continuidad en una cantidad finita de puntos de [a, b].

La condici´on: ϕ de clase C1_{en todo [a, b] excepto en una cantidad finita de puntos, se}

pide porque vamos a usar los recorridos para calcular integrales sobre ellos y en esas integrales intervendrá la función ϕ0(t). Recordemos que por el teorema de Lebesgue una función acotada es integrable Riemann sobre [a, b] si y solo si es continua sobre todo [a, b] excepto en un conjunto de medida cero. Por otro lado como [a, b] es un conjunto compacto, los conjuntos de [a, b] que son de medida cero coinciden con los que son de contenido cero y esos son los conjuntos que tienen una cantidad finita de puntos.

A continuaci´on vamos a ver algunos ejemplos de caminos y de recorridos. Empecemos por el ejemplo m´_{as sencillo: una recta en R}n_.

Ejemplo 1.3 Recordemos que para elegir una recta tenemos que determinar un punto por el que pase la recta (a1, ..., an) y un vector director (v1, ..., vn). De modo

que los puntos (x1, ..., xn) ∈ Rn que pertenecen a esta recta son los que verifican la

siguiente igualdad:

(x1, ..., xn) = (a1, ..., an) + t(v1, ..., vn)

para alg´un n´umero real t. Recordemos que si en lugar de tener un punto y un vector director tenemos dos puntos de la recta, (a1, ..., an) y (b1, ..., bn) entonces construimos

el vector director as´ı:

(v1, ..., vn) = (b1− a1, ..., bn− an)

Recordemos tambi´en que al desarrollar la ecuaci´on de la recta, describiendo lo que sucede en cada una de las coordenadas del vector (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, obtenemos

las llamadas ecuaciones param´etricas de la recta; esto es,        x1= a1+ tv1 x2= a2+ tv2 ... xn= an+ tvn

Cualquier tramo de esta recta es un camino. Por ejemplo el camino que empieza en el punto (a1, ..., an) y termina en el punto (b1, ..., bn) = (a1, ..., an) + (v1, ..., vn) se

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puede describir como

C = c([0, 1])

siendo c : [0, 1] → Rn _{la funci´}_{on continua dada por c(t) = (a}

1, ..., an) + t(v1, ..., vn).

Como será habitual en los ejemplos que iremos viendo, la misma función c que usamos para definir el camino C nos sirve también para definir un recorrido sobre C :

ϕ : _{[0, 1] ⊂ R → C ⊂ R}n

t (a1, ..., an) + t(v1, ..., vn)

Pero si cambiamos el papel del escalar t por otra función que transforme el intervalo [0, 1] en el mismo intervalo [0, 1], como por ejemplo una función de la forma tk, siendo k cualquier número natural, obtenemos otro recorrido del mismo camino que vamos a denotar por ψ_k:

ψk : [0, 1] ⊂ R → C ⊂ Rn

t (a1, ..., an) + tk(v1, ..., vn)

Por otro lado, como las funciones ϕ que usamos para recorrer los caminos son funciones continuas y verifican que ϕ([a, b]) = C, cada recorrido ϕ nos sirve tambi´en para dar una descripci´on del camino C.

El ejemplo que acabamos de ver muestra que un mismo camino se puede recorrer de muchas maneras. Si interpretamos la variable del recorrido ϕ como el tiempo, entonces a medida que t avanza desde a hasta b, ϕ(t) se va moviendo a lo largo de la camino C. Con esta interpretaci´on es natural que si ϕ es derivable en t0 ∈ [a, b]

llamemos vector velocidad en t0 al vector tangente en t0; esto es el vector ϕ0(t0),

el m´odulo de este vector, ||ϕ0(t0)||, es entonces el m´odulo de la velocidad

en t0 y el vector ϕ00(t0) es el vector aceleraci´on. Con esta interpretaci´on, los

recorridos descritos en el ejemplo anterior tienen distintos vectores velocidad y distintas aceleraciones, en concreto se verifica que

ψ0_k(t0) = ktk−10 (v1, ..., vn) k ≥ 1 ψ 0 k(t0) = k |t0| k−1_pv₂ 1+ ... + vn2 k ≥ 1 ψ00_k(t0) = k(k − 1)tk−20 (v1, ..., vn) k ≥ 2 y ψ 00 1(t0) = 0

Observemos que el camino C dado por la funci´_{on c : [a, b] → R}n no coincide con la gráfica de la función c que por definición viene dada por

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sino que C = c([a, b]) ⊂ Rn_{, por esa raz´}

on hablamos de un camino en Rn,_{porque es}

un subconjunto de Rn_.

A continuaci´_{on vamos a ver otro ejemplo de un camino muy conocido en R}2 _que

podemos recorrer de muchas maneras.

Ejemplo 1.4 Recordemos que para elegir una elipse en el plano necesitamos determinar el centro de la figura (p1, p2) y las longitudes de los dos semiejes a y b

(ver figura 1.2). De modo que los puntos (x1, x2) ∈ R2 que pertenecen a esa elipse

son los que verifican la siguiente igualdad:

(x1, x2) = (a cos(t) + p1, b sin(t) + p2)

para algún número real t. Recordemos que si tomamos a = b = r la ecuación anterior nos describe una circunferencia de centro (p1, p2) y radio r.

Figura 1.2: Elipse

Cualquier tramo de la elipse o de la circunferencia es un camino. Por ejemplo el camino que empieza en el punto (p1+ a, p2) y termina en el mismo punto se puede

describir como

C = c([0, 2π])

siendo c : [0, 2π] → R2_{la funci´}_{on continua dada por c(t) = (a cos(t)+p}

1, b sin(t)+p2).

De nuevo observamos que la misma funci´on c que usamos para describir el camino C nos sirve tambi´en para tomar un recorrido sobre C :

ϕ : _{[0, 2π] ⊂ R → C ⊂ R}2

t (a cos(t) + p1, b sin(t) + p2)

Si cambiamos el intervalo [0, 2π] por un intervalo del tipo [0, 2kπ], siendo k cualquier n´umero natural, lo que tenemos es un recorrido a lo largo de la elipse, o de la

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circunferencia, que da k vueltas.

ϕ_k: _{[0, 2kπ] ⊂ R → C ⊂ R}2

t (a cos(t) + p1, b sin(t) + p2)

.

Tambi´en podemos conseguir que el recorrido de k vueltas manteniendo el intervalo en [0, 2π] y cambiando t por kt:

ψk: [0, 2π] ⊂ R → C ⊂ R2

t (a cos(kt) + p1, b sin(kt) + p2)

.

En el primer caso los vectores velocidad y aceleraci´on no dependen de k mientras que en el segundo caso var´ıan con k:

ϕ0_k(t) = (−a sin(t), b cos(t)) ϕ00k(t) = (−a cos(t), −b sin(t))

ψk 0

(t) = (−ak sin(kt), bk cos(kt)) ψk

00

(t) = (−ak2cos(kt), −bk2sin(kt)).

Observemos que hay una diferencia significativa entre los recorridos ψ_k de los ejemplos 1.3 y 1.4 . Todos est´an formados por funciones de clase C∞, no solo en [a, b] sino en todo R, pero los del ejemplo 1.3, aun teniendo distintos vectores velocidad y aceleraci´on, son todos inyectivos, mientras que los del ejemplo 1.4 no lo son. Estas son las propiedades claves que van a determinar el comportamiento de los recorridos de un camino: la derivabilidad con continuidad y la inyectividad.

En los ejemplos anteriores hemos utilizado dos recursos distintos para construir los recorridos de los caminos. En el caso de las rectas nos hemos servido de la ecuaci´on que satisfacen los puntos de las rectas para construir el recorrido, mientras que en el segundo ejemplo hemos partido de la simetr´ıa de las circunferencias y las elipses que nos ha permitido utilizar las coordenadas polares para construir el recorrido. Estos son los dos recursos que utilizaremos a lo largo del libro para recorrer los caminos que aparecen en los ejercicios y problemas.

Cuando construimos el recorrido partiendo de la ecuaci´on o las ecuaciones que satisfacen los puntos del camino, podemos encontrarnos las ecuaciones en tres formas distintas:

1- Ecuaciones param´etricas. 2- Ecuaciones expl´ıcitas. 3- Ecuaciones impl´ıcitas.

Las ecuaciones paramétricas describen el comportamiento de cada variable en función de un mismo parámetro, como sucede en los ejemplos 1.3 y 1.4. De modo que si el camino está en el plano necesitamos dos ecuaciones paramétricas, porque tenemos dos variables y si el camino está en el espacio, entonces necesitamos tres ecuaciones para describir a las tres variables.

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En las ecuaciones expl´ıcitas para caminos en el plano una de las variables viene expresada de forma expl´ıcita en funcione de la otra, eso sucede por ejemplo con las rectas en el plano, x2 = a2 + m(x1− a1), y con las par´abolas en el plano,

x2 = K(x1− p1)2+ p2. En este caso solo necesitamos una ecuaci´on expl´ıcita para

describir el comportamiento de los puntos que forman parte del camino en el plano. Mientras que en las ecuaciones expl´ıcitas para caminos en el espacio dos de las variables vienen expresadas de forma explicita en funci´on de la tercera variable, como sucede con las rectas, x2= a2+ m2(x1− a1), x3= a3+ m3(x1− a1). En este

caso necesitamos dos ecuaciones expl´ıcitas para describir el comportamiento de los puntos que forman parte del camino en el espacio.

Por ´ultimo, las ecuaciones impl´ıcitas para caminos en el plano expresan el comportamiento de las dos variables sin que ninguna de ellas aparezca despejada en funci´on de la otra, como sucede con la circunferencia x2

1+ x22= 1. De nuevo una

sola ecuaci´on impl´ıcita es necesaria para describir el comportamiento de los puntos que forman parte del camino en el plano. Mientras que para describir caminos en el espacio necesitaremos dos ecuaciones impl´ıcitas, como por ejemplo el camino que se forma al intersecar una esfera y un paraboloide: x2

1+ x22+ x23= r2 y x21+ x22= x3.

Cuando los puntos del camino vienen descritos con ecuaciones paramétricas podemos construir los recorridos usando las mismas ecuaciones, como hemos hecho en los ejemplos 1.3 y 1.4. También en el caso en que los puntos del camino vengan descritos con ecuaciones expl´ıcitas, como por ejemplo los tramos de la parábola de ecuación x2= K(x1− p1)2+ p2podemos construir el recorrido usando la misma ecuación de

modo que ϕ(t) tendr´a la forma: ϕ(t) = (t, K(xt − p1)2+ p2), para un valor de t en

el intervalo [a, b] adecuado, de modo que ϕ(t) recorra el tramo deseado.

Cuando los puntos del camino vienen descritos con ecuaciones impl´ıcitas podemos construir recorridos que se muevan por partes del camino despejando en cada tramo la variable adecuada. Para ello será muy útil el teorema de la función impl´ıcita . As´ı por ejemplo, podemos recorrer la semicircunferencia superior de centro (0, 0) y radio 1 despejando la variable x2en la ecuación x21+ x22= 1 obteniendo el recorrido

ϕ(t) = (t,√1 − t2_{) con t ∈ [−1, 1].}

A continuaci´on vamos a definir la longitud de un recorrido.

Definici´on 1.5 Dado un recorrido ϕ de un camino C ⊂ Rn se define la longitud de ϕ, que denotamos por l(ϕ), como:

l(ϕ) =

b

Z

a

||ϕ0(t)||dt

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partici´on P de [a, b] proporciona un valor aproximado de l(ϕ) a trav´es de la suma de las longitudes de los segmentos [ϕ(tj), ϕ(tj+1)] ⊂ Rn esto es:

p

P

j=0

||ϕ(tj) − ϕ(tj+1)||

Si la colecci´on de puntos del intervalo [a, b] que determinan a P contiene a los puntos donde ϕ0(t) no es continua, entonces en cada rect´angulo se puede aplicar el teorema del incremento finito y acotar la suma anterior por la siguiente:

p

P

j=0

sup{||ϕ0(ξj)|| : ξj ∈ Jj}(tj+1− tj)

pero esta suma es precisamente S(||ϕ0||, P ); es decir la suma superior de la funci´on ||ϕ0_{(t)|| asociada a la partici´}_{on P. Por lo tanto, la integral de Riemann que define l(ϕ)}

coincide con el l´ımite de estas sumas superiores y nos da la longitud del recorrido. En general no se verifica que la longitud de ϕ coincida con la longitud del camino, como muestran los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.6 Vamos a calcular la longitud de los recorridos descritos en los dos primeros ejemplos. Empecemos por los recorridos ψk de los tramos de rectas en

Rn l(ψ_k) = 1 Z 0 k |t|k−1 q v2 1+ v22+ ... + vn2dt = q v2 1+ v22+ ... + v2n 1 Z 0 ktk−1dt = q v2 1+ v22+ ... + v2nt k1 0= q v2 1+ v22+ ... + vn2

Como podemos ver el resultado no depende en este caso de k; es decir que aunque los recorridos tienen distintos vectores velocidad y aceleraci´on la longitud de los mismos coincide.

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1.2. INTEGRALES DE TRAYECTORIA E INTEGRALES DE L´INEA 17 circunferencia en el plano. l(ϕ_k) = 2kπ Z 0 p (−rsent)2_{+ (r cos t)}2_dt = 2kπ Z 0 p r2_(sen2_{t + cos}2_t)dt = 2kπ Z 0 rdt = 2kπr. l(ψk) = 2π Z 0 p (−rksenkt)2_{+ (rk cos kt)}2_dt = 2π Z 0 rkdt = 2kπr = l(ψ_k).

Como vemos en estos casos la longitud del recorrido depende del n´umero de vueltas que se dan, como era de esperar.

Una vez que hemos aprendido a construir funciones que recorren tramos de curvas conocidas estamos preparados para introducir la definici´on de las integrales sobre los caminos.

Antes de pasar a la siguiente secci´on vamos a comparar los conceptos de y recorrido con los conceptos de arco de curva y parametrizaci´on que se estudian en el curso de “Geometr´ıa diferencial de curvas y superficies” del segundo semestre. Un arco de curva C ⊂ Rn _{(con n = 2 o 3) es la imagen por medio de una funci´}_{on de clase}

C∞ _{α : I ⊂ R → R}n_{, siendo I un intervalo abierto no necesariamente acotado. A}

la función α se la llama parametrización del arco de curva C. De modo que una parametrización de C, con intervalo acotado, es un recorrido de clase C∞ donde la partición P está formada por un único intervalo y el camino asociado es el arco de curva C unido a los puntos α(a) y α(b) siendo I = (a, b). No nos debe extrañar que las definiciones de ambos cursos coincidan solo a medias porque los objetivos que se persiguen en ambas disciplinas son distintos.

1.2. Integrales de trayectoria e integrales de l´ınea

En esta sección vamos a estudiar cómo se definen las integrales de las funciones a lo largo de los caminos. Distinguiremos dos casos: cuando la función es escalar, es decir, que toma valores en el cuerpo de los escalares R, y cuando la función es vectorial;

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es decir que toma valores en Rn_{. A las funciones las vamos a llamar campos, porque}

como veremos a lo largo de esta primera parte del libro los conceptos matem´aticos que vamos a estudiar tienen muchas aplicaciones en F´ısica y las funciones representan campos de fuerzas, campos de velocidad, campos el´ectricos, etc.

Definici´on 1.7 Llamaremos campos escalares a las funciones definidas desde un subconjunto abierto no vac´ıo U ⊂ Rn_{y con imagen en}

R y utilizaremos letras como f y g en min´usculas y llamaremos campos vectoriales a las funciones definidas desde un subconjunto abierto no vac´ıo U ⊂ Rn

y con imagen en el mismo espacio Rn _{y utilizaremos letras}

como F y G en may´usculas

f, g : _{U ⊂ R}n _→

R F , G : _{U ⊂ R}n _→

Rn

En todos los ejemplos y en los problemas trabajaremos con n=2 o n=3 y los campos, tanto escalares como vectoriales, no solo ser´an continuos sino que la mayor´ıa ser´an funciones de clase infinito.

Ejemplo 1.8 Vamos a tomar la funci´on que calcula el cuadrado de la distancia de un punto al origen de coordenadas en el plano; esta funci´on nos proporciona el campo escalar de clase C∞_{en R}2_:

f : _R2 _→

R (x1, x2) x21+ x22

Si ahora calculamos las derivadas parciales de esta funci´on en un punto cualquiera obtenemos el llamado vector gradiente que se denota por ∇f y que nos proporciona el siguiente campo vectorial:

F : R2 → R2 (x1, x2) (2x1, 2x2)

Tomemos ahora la funci´on que calcula el inverso de la distancia de un punto al origen de coordenadas en el espacio, esto es:

f : R3\{0} → R (x1, x2, x3) √ 1

x2 1+x22+x23

Este campo es de clase C∞ _{en el abierto U = R}3\{0}.Si ahora calculamos las derivadas parciales de esta funci´on (el vector gradiente ∇f ) conseguimos el siguiente

(20)

1.2. INTEGRALES DE TRAYECTORIA E INTEGRALES DE L´INEA 19 campo vectorial: F : R3\{0} → R3 (x1, x2, x3) √ −1 x2 1+x22+x23 3(x1, x2, x3)

Estos campos aparecen de forma natural en el estudio de algunos conceptos f´ısicos, como por ejemplo el campo gravitatorio.

Por supuesto, como el lector ya habr´a imaginado, no todos los campos vectoriales F verifican que F = ∇f. Por ejemplo F (x1, x2) = (1, x1) es un campo vectorial

definido en todos los puntos de R2 y no existe ninguna funci´_{on f : R}2 → R cuyo gradiente sea F (ver ejemplo 1.23). Pero como veremos m´as adelante los que verifican esa condici´on van a jugar un papel muy importante.

A continuaci´on vamos a definir la integral de un campo escalar a lo largo de un recorrido.

Definici´on 1.9 Dado un recorrido ϕ de un camino C y dado un campo escalar f : U ⊂ Rn _{→ R tal que C ⊂ U, se llama integral de}

trayectoria de f a lo largo de ϕ, y se denota porR

ϕ f a la integral: Z ϕ f = b Z a f (ϕ(t))||ϕ0(t)||dt

siempre que dicha integral exista como integral propia o impropia.

En primer lugar, observemos que si f = 1 entonces R

ϕ

f = l(ϕ); es decir, que en ese caso la integral de trayectoria coincide con la longitud del recorrido. La coletilla “siempre que dicha integral exista como integral propia o impropia” se pone para dar mayor generalidad al concepto, pero en los ejemplos del libro las funciones que utilizaremos nos dar´an siempre integrales propias porque ser´an funciones de clase Cp_{, con p = ∞ en la mayor´ıa de los casos. Antes de ver las aplicaciones de esta}

integral a problemas de F´ısica, vamos a mostrar un ejemplo sencillo de la integral de trayectoria.

Ejemplo 1.10 Vamos a calcular la integral de trayectoria del campo escalar f (x1, x2) = _xx1

2+1 a lo largo de los siguiente recorridos:

ψk : [0, 1] ⊂ R → C ⊂ R2

(21)

siendo v2 > 0. Observemos que seg´un vimos en el ejemplo 1.3 C es el tramo de la

recta que empieza en (0, 0) y termina en (v1, v2). Por lo tanto es f´acil ver que el

campo escalar dado es una funci´on continua en todos los puntos del camino. Para empezar vamos a calcular el m´odulo del vector velocidad asociado a estos recorridos, esto es: ||ψ0_k(t)|| = q (kv1tk−1)2+ (kv2tk−1)2= ktk−1 q v2 1+ v22

De modo que aplicando la definici´on obtenemos:

Z ψ_k f = 1 Z 0 tk_v 1 tk_v 2+ 1 ktk−1 q v2 1+ v22dt = kv1 q v2 1+ v22 1 Z 0 t2k−1 tk_v 2+ 1 dt

Para resolver esta integral observamos que el polinomio del numerador es de grado superior al polinomio del denominador y por lo tanto tenemos que realizar la divisi´on

t2k−1 tk_v 2+ 1 = 1 v2 (v2tk+ 1 − 1)tk−1 tk_v 2+ 1 = 1 v2 tk−1− t k−1 tk_v 2+ 1

De modo que la integral nos queda:

Z ψ_k f = kv1 q v2 1+ v22 Z1 0 1 v2 tk−1− t k−1 tk_v 2+ 1 dt = kv1 v2 q v2 1+ v22 tk k − log(tk_v 2+ 1) kv2 1 0 = kv1 v2 q v2 1+ v22 1 k− log(v2+ 1) kv2 = v1 v2 q v2₁+ v₂2 1 − log(v2+ 1) v2 .

Observemos que esta integral de trayectoria no depende de k.

Las integrales de trayectoria se utilizan en F´ısica para resolver los siguientes problemas:

Supongamos que C ⊂ R3 _{es un alambre delgado y que f es la funci´}_{on de densidad}

de C. Entonces un cálculo aproximado de la masa del alambre se obtiene al tomar un recorrido ϕ de C, una partición P de [a, b] y asignar a cada porción de alambre ϕ(Jj), Jj = [tj, tj+1] ∈ P, una densidad fija f (ϕ(ξj)) tomando ξj ∈ Jj. De esta

manera un valor aproximado de la masa del alambre es:

masa(alambre) ≈

p

X

j=0

(22)

1.2. INTEGRALES DE TRAYECTORIA E INTEGRALES DE L´INEA 21

Por otro lado, como ya observamos en el apartado anterior, la longitud de cada segmento [ϕ(tj), ϕ(tj+1)] se puede aproximar por

sup{||ϕ0(ξj)|| : ξj∈ Jj}(tj+1− tj),

de forma que cuando la partici´on se hace muy fina, con muchos puntos, la suma

p

X

j=0

f (ϕ(ξj)) sup{||ϕ0(ξj)|| : ξj ∈ Jj}(tj+1− tj)

nos proporciona un valor aproximado de la masa del alambre, de tal modo que si la funci´on f (ϕ(t))||ϕ0(t)|| es integrable Riemann en [a, b] parece razonable definir la masa del alambre como la integral de dicha funci´on.

masa(alambre) = Z

ϕ

f.

Con las mismas interpretaciones de f y de C se calcula el centro de masas y el momento de inercia del alambre en R3 usando las siguientes integrales de trayectoria: centro de masa = 1 masa(alambre)   Z ϕ x1f, Z ϕ x2f, Z ϕ x3f   momento de inercia =   Z ϕ (x2₂+ x2₃)f, Z ϕ (x2₁+ x2₃)f, Z ϕ (x2₁+ x2₂)f  

A continuaci´on vamos a justificar ambas definiciones.

El centro de masa de un alambre es el punto de equilibrio (punto en R3_{) del alambre.}

Por ejemplo, supongamos que en una barra colocamos varias masas distintas: la masa m1 en el punto x1, la masa m2 en el punto x2, etc. Si llamamos x al punto de

equilibrio de la barra (ver figura 1.3), entonces x es el punto en el cual el momento total (masa por distancia al punto de equilibrio) es 0; es decir x debe verificar que P mi(xi− x) = 0. De modo que si despejamos x de la ecuaci´on obtenemos:

x = P mixi P mi

De ah´ı que el centro de masas de un alambre con funci´on de densidad f se calcule con la f´ormula descrita.

En la sección 2.2 veremos la fórmula análoga para superficies.

El momento de inercia mide la respuesta de un cuerpo a los esfuerzos para someterlo a rotaciones y depende no solo de la masa sino tambi´en de la forma del cuerpo. En

(23)

Figura 1.3: Centro de masas

la f´ormula dada para calcular el momento de inercia de un alambre de densidad f la primera coordenada mide la respuesta del alambre a las fuerzas que intentan hacerlo rotar alrededor del eje OX1. Observemos que el factor (x22+ x23) que aparece dentro

de la integral tomar´a valores mayores en los puntos m´as alejados del eje OX1. Las

otras dos coordenadas hacen lo an´alogo respecto a los ejes OX2y OX3.

A continuaci´on vamos a ver un ejemplo con un alambre en forma de muelle.

Ejemplo 1.11 Sea C el alambre en forma de muelle descrito por C = c([0, 2kπ]) siendo c(t) = (cos t, sent, t) y k ≥ 1. Supongamos que la funci´on de densidad del muelle es f (x1, x2, x3) = (x21+ x22)x3. Vamos a calcular la masa del

alambre, su centro de masas y su momento de inercia utilizando las f´ormulas descritas y el recorrido ϕ dado por la misma funci´on c que describe el muelle

masa(alambre) = b Z a f (ϕ(t))||ϕ0(t)||dt = 2kπ Z 0

(cos2t + sen2t)tp(−sent)2_{+ cos}2_{t + 1}2_dt

= 2kπ Z 0 t√2dt = √2t 2 2 2kπ 0 = 2√2(kπ)2.

Vemos que la masa del muelle depende de las vueltas que tenga. Lo mismo suceder´a con el centro de masas y el momento de inercia, como veremos a continuaci´on.

Como ya hemos probado, se verifica que f (ϕ(t)) = t y que ||ϕ0(t)|| =√2, de modo que la f´ormula para el centro de masas queda as´ı:

centro de masa = 1 2√2(kπ)2   2kπ Z 0 (cost)t√2dt, 2kπ Z 0 (sent)t√2dt, 2kπ Z 0 (t)t√2dt  

(24)

Recordemos que para resolver las dos primeras integrales se aplica el método de integración por partes, derivando el polinomio e integrando la función trigonométrica, con lo cual estas integrales quedan as´ı:

1 2√2(kπ)2  (sent)√2t]2kπ₀ − 2kπ Z 0 (sent)√2dt, (−cost)√2t]2kπ₀ − 2kπ Z 0 (−cost)√2dt,√2t 3 3] 2kπ 0   = 1 2√2(kπ)2 (cost)√2i 2kπ 0 , −2 √ 2kπ + (sent)√2i 2kπ 0 , 8 3 √ 2(kπ)3 = 1 2√2(kπ)2(0, −2 √ 2kπ,8 3 √ 2(kπ)3) = (0,−1 kπ, 4 3kπ)

Por último calculamos el momento de inercia del muelle que por definición será el vector:   2kπ Z 0 (sen2t + t2)t√2dt, 2kπ Z 0 (cos2t + t2)t√2dt, 2kπ Z 0 (cos2t + sen2t)t√2dt  

Para resolver las dos primeras integrales las separamos en la suma de dos integrales as´ı:   2kπ Z 0 (sen2t)t√2dt + 2kπ Z 0 t3√2dt, 2kπ Z 0 (cos2t)t√2dt + 2kπ Z 0 t3√2dt, 2kπ Z 0 t√2dt  

De este modo tenemos tres integrales inmediatas y en las otras dos aplicamos las siguientes f´ormulas trigonom´etricas

sen2t = 1 2(1 − cos2t) cos2t = 1 2(1 + cos2t) obteniendo   2kπ Z 0 √ 2 2 (1 − cos2t)tdt + √ 2t 4 4] 2kπ 0 , 2kπ Z 0 √ 2 2 (1 + cos2t)tdt + √ 2t 4 4] 2kπ 0 , √ 2t 2 2] 2kπ 0  

Ahora en las integrales que nos quedan por resolver volvemos a separarlas en sumas de dos integrales y aplicamos en una de ellas el m´etodo de integraci´on por partes

(25)

como hicimos para calcular el centro de masas. √ 2 2 t2 2 i2kπ 0 + √ 2 2 2kπ R 0 (−cos2t)tdt + 4√2(kπ)4_, √ 2 2 t2 2 i2kπ 0 + √ 2 2 2kπ R 0 (cos2t)tdt + 4√2(kπ)4, 2√2(kπ)2 ! = √2(kπ)2− √ 2sen2t 4 t i2kπ 0 + √ 2 2 2kπ R 0 sen2t 2 dt + 4 √ 2(kπ)4, √ 2(kπ)2₊ √2sen2t 4 t i2kπ 0 − √ 2 2 2kπ R 0 sen2t 2 dt + 4 √ 2(kπ)4_{, 2}√_2(kπ)2 ! = _√ 2(kπ)2(1 + 4(kπ)2) + 0 − √ 2cos2t 8 i2kπ 0 , √ 2(kπ)2(1 + 4(kπ)2) − 0 + √ 2cos2t 8 i2kπ 0 , 2 √ 2(kπ)2 =√2(kπ)2_{(1 + 4(kπ)}2_{, 1 + 4(kπ)}2_{, 2)}

Hemos visto c´omo se define la integral de un campo escalar a lo largo de un recorrido y algunas de sus interpretaciones f´ısicas. Ahora vamos a hacer lo mismo para los campos vectoriales.

Definici´on 1.12 Dado un recorrido ϕ de C y dado un campo vectorial F : U ⊂ Rn _{→ R}n_{, con C ⊂ U , se llama integral de l´}_{ınea de}

F a lo largo de ϕ, que denotamos porR

ϕ F · T a la integral: Z ϕ F · T = b Z a F (ϕ(t))ϕ0(t)dt

siempre que dicha integral exista como integral propia o impropia.

De nuevo, la coletilla “siempre que dicha integral exista como integral propia o impropia” se pone para dar mayor generalidad al concepto, pero en los ejemplos del libro las funciones que utilizaremos nos dar´an siempre integrales propias porque ser´an funciones de clase Cp_{, con p = ∞ en la mayor´ıa de los casos. En algunos textos}

se utiliza la notaci´onR

ϕ

F1dx1+ ... + Fndxn para la integral de linea del campo F

(26)

del libro, cuando describamos la integral de linea como la integral de una 1-forma en Rn

sobre un recorrido en Rn_{. En este caso hemos preferido la notaci´}_on R

ϕ

F · T porque refleja mejor en qué consiste: es la integral sobre el recorrido del producto escalar de las funciones F y T , que es el vector tangente del recorrido. Veamos a continuación un ejemplo sencillo de cómo se calcula una integral de l´ınea.

Ejemplo 1.13 Sea ϕ(t) = (a cos(t) + p1, b sin(t) + p2) el recorrido sobre la

elipse descrito en el ejemplo 1.4 y sea F : R2_{→ R}2_{el campo vectorial de clase C}∞

definido por:

F (x1, x2) = (x2, −x1)

Vamos a calcular R

ϕ

F · T . Empezamos calculando el vector velocidad que en este caso es: ϕ0(t) = (−asen(t), b cos(t)) y a continuaci´on aplicamos la definici´on:

Z ϕ F · T = b Z a F (ϕ(t))ϕ0(t)dt = 2kπ Z 0

(bsen(t) + p2, −a cos(t) − p1)(−asen(t), b cos(t))dt

=

2kπ

Z

0

(−absen2(t) − p2asen(t) − ab cos2(t) − p1b cos(t))dt

=

2kπ

Z

0

(−ab − p2asen(t) − p1b cos(t))dt

= (−abt + p2a cos t − p1bsent)] 2kπ

0 = −ab2kπ

Vemos que en este caso la integral de l´ınea depende del n´umero de vueltas que del recorrido.

Las integrales de l´ınea se utilizan en f´ısica para calcular el trabajo que realiza una fuerza.

Supongamos que F (x1, x2, x3) es un campo de fuerzas actuando sobre una part´ıcula

que se mueve a lo largo de un camino C. Si ϕ : [a, b] → C es el recorrido que sigue la part´ıcula, entonces en cada instante t0 la componente tangencial de la fuerza F

respecto al recorrido ϕ en ϕ(t0) es:

F (ϕ(t0))

ϕ0(t0)

||ϕ0_(t 0)||

(27)

Por otro lado, sabemos que el trabajo que realiza una fuerza de valor constante al mover una part´ıcula en l´ınea recta es igual al producto de la fuerza por el desplazamiento de la part´ıcula. De forma que si tomamos una partici´on P de [a, b] y suponemos que en cada intervalo Jj ∈ P la part´ıcula se mueve en l´ınea

recta desde ϕ(tj) hasta ϕ(tj+1), entonces el desplazamiento que realiza la part´ıcula,

||ϕ(tj) − ϕ(tj+1)||, est´a acotado por

sup{||ϕ0(ξj)|| : ξj∈ Jj}(tj+1− tj).

Si ϕ0(t) es continua en Jj y la longitud de Jj es muy peque˜na, podemos aproximar

este valor por ||ϕ0(tj)||(tj+1− tj). De forma que en cada intervalo Jj el trabajo

realizado por la componente tangencial del campo de fuerzas F , queda aproximado por el valor

F (ϕ(tj))

ϕ0(tj)

||ϕ0(tj)||

||ϕ0(tj)||(tj+1− tj) = F (ϕ(tj))ϕ0(tj)(tj+1− tj)

y la suma de los trabajos a lo largo de ϕ resulta:

p

X

j=0

F (ϕ(tj))ϕ0(tj)(tj+1− tj)

De forma que si la funci´on F (ϕ(t))ϕ0(t) es integrable en [a, b] al tomar particiones de longitudes tendiendo a cero estas aproximaciones del trabajo convergen aR

ϕ

F · T

que se denomina trabajo realizado por la fuerza F al mover una part´ıcula de recorrido ϕ.

Como acabamos de ver, se puede establecer una relaci´on entre la integral de l´ınea del campo vectorial F y la integral de trayectoria del campo escalar f que se obtiene al considerar la componente tangencial del campo F , esto es, f (ϕ(t)) = F (ϕ(t)) ϕ

0_(t)

||ϕ0(t)||. La notaci´on R

ϕ

F · T se utiliza para sugerir esta relaci´on:

Z ϕ F · T = b Z a F (ϕ(t))ϕ0(t)dt = b Z a F (ϕ(t)) ϕ 0_(t) ||ϕ0(t)||||ϕ 0_{(t)||dt =} b Z a f (ϕ(t))||ϕ0(t)||dt.

Ejemplo 1.14 Dado el campo de fuerza F (x) = (senx3, cos x3, −(x1x2)1/3)

vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza F al mover una part´ıcula por el siguiente recorrido:

ϕ : _{[0, 7π/2] ⊂ R →} R3 θ (cos3θ, sen3θ, θ)

(28)

1.3. RECORRIDOS EQUIVALENTES. ORIENTACI ´ON DE UN RECORRIDO.27

Empezamos calculando el vector velocidad:

ϕ0(θ) = (−3 cos2θsenθ, 3sen2θ cos θ, 1).

Ahora aplicamos la definici´on de la integral de l´ınea de un campo vectorial a lo largo de un recorrido y obtenemos: b Z a F (ϕ(θ))ϕ0(θ)dθ = 7π/2 Z 0

(senθ, cos θ, −(cos3θsen3θ)1/3)(−3 cos2θsenθ, 3sen2θ cos θ, 1)dθ

=

7π/2

Z

0

−3 cos2_θsen2_{θ + 3sen}2_{θ cos}2_{θ − senθ cos θ dθ}

= −

7π/2

Z

0

senθ cos θdθ = − sen

2_θ 2 7π/2 0 = −1 2

Vemos que el trabajo realizado por la fuerza a lo largo de este recorrido da un valor negativo, eso significa que el campo de fuerzas se opone al movimiento a lo largo de ese recorrido.

Una vez que hemos aprendido a realizar integrales de l´ınea y de trayectoria es el momento de analizar las condiciones que tenemos que exigir a los recorridos para que esas integrales no dependan del recorrido, de modo que por ejemplo, la masa de un alambre sea independiente de la funci´on que usemos para recorrer el alambre.

1.3. Recorridos equivalentes. Orientaci´

on de un

recorrido.

Como se ha visto en los ejemplos de la sección anterior, las integrales de trayectoria y de l´ınea pueden cambiar si se var´ıa el recorrido del camino C. En esta sección se muestran las condiciones suficientes para que dos recorridos de C den las mismas integrales. Como veremos en la proposición siguiente las condiciones que se imponen son las que permiten realizar un cambio de variable que prueba la igualdad de las integrales a lo largo de ambos recorridos.

(29)

Definici´on 1.15 Dado un camino C ⊂ Rn se dice que dos recorridos de C, ϕ : [a, b] ⊂ R → C ⊂ Rn

y ψ : [c, d] ⊂ R → C ⊂ Rn_{, son}

equivalentes si existe una funci´_{on h : [a, b] ⊂ R → [c, d] ⊂ R biyectiva,} continua, de clase C1 _{en el interior de los intervalos J}

j de una partici´on

P de [a, b], con h0(t) 6= 0 en el interior de cada Jj y tal que

ϕ(t) = ψ(h(t)) para todo t ∈ [a, b]

Observemos que c´omo h es biyectiva y continua, es mon´otona; es decir o bien es creciente o bien es decreciente. Por lo tanto h0(t) en el interior de cada intervalo Jj

toma el mismo signo. Por eso diremos que h0 es positiva o que h0 es negativa. Por otro lado al ser h biyectiva existe la función inversa h−1: [c, d] → [a, b]. además la condición h0_{(t) 6= 0 en todos los puntos de [a, b] salvo una cantidad finita, implica,}

por el teorema de la funci´on inversa, que la funci´on h−1_{tiene las mismas propiedades}

que h.

Por ´ultimo observemos que en cada intervalo Jjla funci´on h es un difeomorfismo; es

decir, satisface las propiedades de las funciones que nos permiten realizar un cambio de variable en la integral de Riemann. A continuaci´on vamos a repasar algunos de los recorridos que hemos construido para ver cuales son equivalentes entre s´ı y cuales no lo son.

Ejemplo 1.16 Los recorridos ψkdescritos en el ejemplo 1.3 son equivalentes

porque es f´acil ver que para cada k1 > k2 la funci´on h : [0, 1] → [0, 1] definida por

h(t) = tk1k2 _{es biyectiva, de clase C}1 _{en [0, 1] y verifica que h}0_{(t) =} k1

k2t k1 k2−1_{6= 0 en el} interior de [0, 1]. Adem´as ψ_k 1(t) = (a1, ..., an) + t k1_(v 1, ..., vn) = (a1, ..., an) + tk1k2 k2 (v1, ..., vn) = (a1, ..., an) + h(t)k2(v1, ..., vn) = ψ_k₂(h(t))

Sin embargo los recorridos del ejemplo 1.4 no son equivalentes porque si k1> k2el

recorrido ψ_k₁ pasa por cada punto de la elipse k1veces mientras que el recorrido ψk2

pasa solo k2 veces, de modo que ninguna funci´on biyectiva h : [0, 2k1π] → [0, 2k2π]

puede verificar que ψ_k₁(t) = ψ_k₂(h(t)) para todo t ∈ [0, 2k1π].

Por otro lado es muy sencillo ver que para cualquier recorrido ϕ : [a, b] ⊂ R → C ⊂ Rnel recorrido ψ que se obtiene de transformar el intervalo [0, 1] en el intervalo [a, b]

(30)

por medio de la función h(t) = (b − a)t + a; es decir, el recorrido ψ : [0, 1] → C dado por ψ(t) = ϕ((b − a)t + a) es un recorrido equivalente, lo cual nos permitirá asumir (como haremos en la sección 1.4) que el intervalo de definición del recorrido es [0, 1]. La siguiente proposición demuestra que las condiciones exigidas a los recorridos para que sean equivalentes cumplen el objetivo marcado.

Proposici´on 1.17 Sean ϕ : [a, b] ⊂ R → C ⊂ Rn _y

ψ : [c, d] ⊂ R → C ⊂ Rn _{dos recorridos equivalentes de C y sean}

f : U ⊂ Rn _{→ R y F : U ⊂ R}n _{→ R}n _{dos campos continuos con}

C ⊂ U . Si existen las integrales R

ϕ f, R ψ f, R ϕ F · T y R ψ F · T , entonces se verifica: Z ϕ f = Z ψ f, Z ϕ F · T = Z ψ F · T si h0es positiva Z ϕ F · T = − Z ψ F · T si h0es negativa.

siendo h : [a, b] ⊂ R → [c, d] ⊂ R la funci´on que verifica las condiciones de la definici´on anterior.

Demostracion: La demostraci´on se basa en descomponer las integrales

Z ϕ f = b Z a f (ϕ(t))||ϕ0(t)||dt Z ϕ F · T = b Z a F (ϕ(t)) ϕ 0_(t) ||ϕ0(t)||||ϕ 0_(t)||dt

en la suma finita de integrales sobre los rect´angulos Jj asociados a la partici´on de

h, porque h en cada uno de estos intervalos verifica las condiciones del teorema del cambio de variable, que recordemos dice as´ı:

Teorema del cambio de variable: Sean U, V ⊂ Rn dos conjuntos abiertos, h : U → V = h(U ) una funci´on biyectiva, de clase C1 y con detDh(x) 6= 0 para todo x ∈ U .

(31)

Entonces para toda funci´_{on f : h(U ) → R integrable se verifica que} Z h(U ) f = Z U (f (h))|detDh|

Como ahora estamos trabajando con n=1, mantenemos la notaci´on Dh = h0, de modo que Z ϕ f = b Z a f (ϕ(t))||ϕ0(t)||dt = p X j=1 Z Jj f (ϕ(t))||ϕ0(t)||dt = p X j=1 Z Jj f (ψ(h(t)))||ψ0(h(t))h0(t)||dt = p X j=1 Z Jj f (ψ(h(t)))||ψ0(h(t))|| |h0(t)|dt = p X j=1 Z h(Jj) f (ψ(s))||ψ0(s)||ds = d Z c f (ψ(s))||ψ0(s)||ds = Z ψ f

De manera an´aloga para campos vectoriales se verifica:

Z ϕ F · T = b Z a F (ϕ(t)) ϕ 0_(t) ||ϕ0_(t)||||ϕ 0_(t)||dt = p X j=1 Z Jj F (ϕ(t))ϕ0(t)dt = p X j=1 Z Jj F (ψ(h(t)))ψ0(h(t))h0(t)dt

(32)

la suma de las integrales coincide con

Z ϕ F · T = p X j=1 Z Jj F (ψ(h(t)))ψ0(h(t))|h0(t)|dt = p X j=1 Z h(Jj) F (ψ(s))ψ0(s)ds = Z ψ F · T

Por ´ultimo, si h0(t) es menor que 0 en cada subintervalo entonces h0(t) = −|h0(t)| y aplicando el mismo proceso nos queda

Z ϕ F · T = − Z ψ F · T

La siguiente definici´on nos va a proporcionar ejemplos de recorridos equivalentes.

Definici´on 1.18 Un camino C ⊂ Rn se dice que es un camino simple si existe un recorrido ϕ de C, ϕ : [a, b] ⊂ R → C ⊂ Rn y una partici´on P de [a, b] tal que ϕ es de clase C1 y con derivada no nula en el interior de cada subintervalo J de P y ϕ es inyectiva en [a, b]. Si ϕ es inyectiva en [a, b) y verifica que ϕ(a) = ϕ(b), entonces se dice que C es un camino cerrado simple. En ambos casos llamaremos recorrido regular de C al recorrido ϕ que verifica las condiciones descritas.

En el curso de Geometr´ıa de curvas y superficies tambi´en se usa el termino “regular” para distinguir a las parametrizaciones α que verifican que α0(t) 6= 0.

Es fácil ver que todos los pol´ıgonos (rectángulos, pentágonos, hexágonos, etc), las circunferencias y las elipses y en general los caminos cerrados que formamos uniendo tramos de las curvas usuales son caminos cerrados simples.

Con las condiciones exigidas a los recorridos regulares podemos demostrar en el pr´oximo teorema que los recorridos regulares de los caminos simples son recorridos equivalentes.

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Teorema 1.19 Dado un camino simple C ⊂ Rn_{, si ϕ : [a, b] → C}

y ψ : [c, d] → C son dos recorridos regulares de C, entonces son recorridos equivalentes.

Demostración Como ϕ y ψ son inyectivas y verifican que ϕ([a, b]) = C = ψ([c, d]), la función h se define como la siguiente composición:

h = (ψ)−1◦ ϕ : [a, b] → C → [c, d]

Por tanto es inmediato que h es biyectiva y que verifica ϕ(t) = ψ(h(t)) para todo t ∈ [a, b]. La continuidad de h se puede probar razonando con sucesiones y por reducci´on al absurdo. Supongamos que h no es continua en un punto t0∈ [a, b], en

ese caso deber´ıa existir una sucesi´on {tn} ⊂ [a, b] que converge a t0 pero tal que

{h(tn)} no converge a h(t0). Eso significa que existe un ε > 0 y una subsucesi´on,

que denotaremos por {tnk}, tales que

|h(tnk) − h(t0)| > ε

Observemos que la sucesi´on {h(tnk)} est´a contenida en [c, d] el cual es un conjunto

compacto y por lo tanto la sucesi´on {h(tnk)} tiene una subsucesi´on convergente a

un punto s0 ∈ [c, d]. Para simplificar la notaci´on, volvemos a denotar por {h(tnk)}

a la subsucesi´on que converge a s0. Ahora por ser ψ continua se verifica que

{ψ(h(tnk)) = ϕ(tnk)} converge a ψ(s0) y tambi´en a ϕ(t0) = ψ(h(t0)), de modo

que ψ(s0) = ψ(h(t0)), pero como por hip´otesis ψ es inyectiva se tiene que cumplir

que h(t0) = s0, lo cual es una contradicci´on.

Por último la partición P0 de [a, b] formada por intervalos donde h es de clase C1 y con derivada no nula se consigue tomando la colección de puntos donde ϕ0 pierde la continuidad o se anula, junto con los puntos {h−1(si) : i = 1, 2, ..., q} que

corresponden a los puntos {si: i = 1, 2, ..., q} ⊂ [c, d] donde ψ 0

pierde la continuidad o se anula. De modo que para cada subintervalo abierto Ii de la partici´on hay

un subintervalo Ji de [c, d] tal que ϕ0 y ψ 0

son continuas y no nulas en Ii y Ji

respectivamente y ademas se verifica que h(Ii) = Ji A continuaci´on demostramos

queh es de clase C1_{en I}

i. Para probarlo vamos a usar el teorema de la funci´on inversa,

pero como las recorridos regulares son funciones de R en Rn _{no podemos aplicarlo}

directamente sobre ellos, recordemos que el teorema de la funci´on inversa se aplica a funciones de Rn

en Rn_{, de modo que transformaremos los recorridos regulares}

en funciones de Rn en Rn, de forma adecuada, para que podamos recuperar con facilidad los puntos del camino y adem´as lo haremos de tal manera que las nuevas funciones sean de clase C1.

Dado t0 ∈ Ii se verifica que los vectores ϕ0(t0) y ψ 0

(s0) son no nulos, siendo

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es distinta de 0. Para simplificar la notaci´on vamos a suponer que en ambos casos la primera coordenada es no nula. Ahora construimos a partir de ϕ y ψ las funciones G y F que mostramos a continuaci´on

G : I0× Rn−1⊂ Rn → Rn

(t, x1, ..., xn−1) (ϕ1(t), x1+ ϕ2(t), x2+ ϕ3(t), ..., xn−1+ ϕn(t))

y

F : J0× Rn−1⊂ Rn → Rn

(s, y1, ..., yn−1) (ψ1(s), x1+ ψ2(s), x2+ ψ3(s), ..., xn−1+ ψn(t))

Observemos que en todas las componentes de ambas funciones están las correspon-dientes componentes de las funciones ϕ(t) y ψ(s), además en la primera componente de G y de F solo está la primera componente del recorrido correspondiente, mientras que en las demás hemos sumado una nueva variable. Esto nos permite afirmar que las dos funciones son de clase C1_{y adem´}_{as podemos evaluar las matrices jacobianas}

de ambas funciones con facilidad, de hecho son:

DG(t, x1, ...xn−1) =      ϕ0₁(t) 0 · · · 0 ϕ0₂(t) 1 · · · 0 .. . . . . ϕ0_n(t) 0 · · · 1      y DF (s, y1, ...yn−1) =      ψ0₁(s) 0 · · · 0 ψ0₂(s) 1 · · · 0 .. . . . . ψ0n(s) 0 · · · 1     

Como ambas matrices tienen ceros en todas las celdas por encima de la diagonal su determinante es el producto de los elementos de la diagonal que es ϕ0₁(t) y ψ₁0(s) respectivamente, de modo que podemos asegurar que ambas matrices son invertibles en los puntos (t0, x) y (s0, y) respectivamente.

Por lo tanto, podemos aplicar el teorema de la funci´on inversa a las dos funciones G y F , en esos puntos y deducir que existen dos entornos de esos puntos donde ambas funciones son difeomorfismos.

Ahora solo nos falta expresar h como composici´on de estas dos funciones y otras funciones adecuadas que nos permitan pasar de R a Rn_{y viceversa. Antes observemos}

que

G(t0, 0) = ϕ(t0) = ψ(h(t0)) = ψ(s0) = F (s0, 0) ∈ C.

Gracias al teorema de la funci´on inversa existe un entorno de (s0, 0) que, haci´endolo

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con δ > 0 y V ⊂ Rn−1

entorno de 0 en Rn−1 _{y un entorno de F (s}

0, 0) = ψ(s0) que

denotaremos por W1 de modo que F : (s0− δ, s0+ δ) × V ⊂ Rn→ W1⊂ Rn es un

difeomorfismo, en particular la funci´on F−1 : W1⊂ Rn → (s0− δ, s0+ δ) × V ⊂ Rn

es de clase C1_{. A continuaci´}_{on tomamos otros dos abiertos para G : un entorno}

de (t0, 0), que de nuevo podemos considerar de la forma (t0− β, t0+ β) × U con

β > 0 y otro de G(t0, 0) = ϕ(t0) que denotaremos por W2. Como G(t0, 0) =

ϕ(t0) = ψ(h(s0)) = F (s0, 0) los abiertos W1 y W2 son ambos entornos del mismo

punto y podemos asumir que W2 ⊂ W1 para que la composici´on de G y F −1

est´e bien definida, recordemos que los difeomorfismos transforman conjuntos abiertos en conjuntos abiertos. Ahora expresamos h como composici´on de las siguientes funciones.

Primero pasamos de (t0− β, t0+ β) ⊂ R a (t0− β, t0+ β) × U ⊂ Rn con la funci´on

de clase C1 _{definida por Π(t) = (t, 0, ..., 0), luego componemos Π con las funciones}

G : (t0− β, t0+ β) × U ⊂ Rn → W2y F −1

: W1⊂ Rn→ (s0− δ, s0+ δ) × V ⊂ Rn,

para terminar en el conjunto (s0− δ, s0+ δ) ⊂ R con la funci´on, tambi´en de clase

C1, dada por P (s, y) = s de modo que

P ◦ F−1◦ G ◦ Π(t) = P ◦ F−1◦ G(t, 0) = P ◦ F−1(ϕ(t)) = P ◦ F−1(ψ(h(t))) = P ◦ F−1(F (ψ−1(ψ(h(t))), 0)) = P (ψ−1(ψ(h(t)), 0) = ψ−1(ψ(h(t)) = h(t)

En consecuencia h(t) es composici´on de funciones de clase C1 _{en el abierto}

(t0− β, t0+ β) ⊂ R que contiene al punto de partida t0.

Para terminar solo nos falta probar que h0(t0) es distinto de 0, pero por la regla de

la cadena se verifica que:

ϕ0(t0) = ψ0(h(t0))h0(t0)

de modo que si h0_(t

0) = 0 entonces tambi´en el vector velocidad ϕ0(t0) ser´ıa 0.

Observemos que si C es un camino cerrado simple y ϕ y ψ son dos recorridos regulares de C que empiezan en el mismo punto, es decir, que ϕ(a) = ψ(c), entonces se puede definir h : [a, b] → [c, d] como en el caso anterior y verifica las mismas propiedades. El teorema anterior y la proposici´on 1.17 nos permiten hablar de la longitud de un camino (cerrado) simple como el valor que se obtiene de la integral R

ϕ

1 tomando cualquier recorrido regular de C. De igual forma las integrales de trayectoria a lo largo de los caminos (cerrados) simples, que aplicamos por ejemplo en el c´alculo del

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centro de masas o del momento de inercia, no dependen del recorrido regular que tomemos. Esta circunstancia justifica la notaci´on:

Z

C

f

que usaremos para las integrales de trayectoria sobre caminos (cerrados) simples. Incluso podemos ir un poco m´as lejos. Observemos que si C es un camino cerrado simple y ϕ : [a, b] ⊂ R → C ⊂ Rn _{es un recorrido regular de C podemos interpretar}

a C como una uni´on finita de caminos simples de la siguiente manera.

Sea P = {Ji; 1 ≤ i ≤ p} la partici´on de [a, b] tal que ϕ restringida al interior de

cada subintervalo Ji es de clase C1y con derivada no nula. Si llamamos Ci= ϕ(Ji)

a cada uno de estos caminos simples se verifica que la funci´on ϕ : Ji ⊂ R → Ci es

un recorrido regular de Ci y estos caminos s´olo se intersecan en los extremos porque

los subintervalos de la partici´on P satisfacen que

◦

Ji∩ ◦

Jj = ∅ para todo i 6= j y

adem´as ϕ es inyectiva en [a, b] si C no es cerrado, o inyectiva en [a, b) si C es cerrado con ϕ(a) = ϕ(b), en cuyo caso los caminos C1 y Cp tienen un punto en com´un. De

modo que para cada camino Ciy para cada campo escalar continuo f la integral

R

Ci

f est´a bien definida y no depende del recorrido regular que usemos para calcularla. Adem´as se verifica que bajo las condiciones descritas

Z C f = p X i=1 Z Ci f

raz´on por la cual podemos calcular cada integral usando el recorrido regular de Ci

que nos sea más cómodo, incluso sin preocuparnos de la orientación que le demos. En cuanto a las integrales de l´ınea en caminos (cerrados) simples, hemos visto que para cada par de recorridos ϕ y ψ de C, si F es un campo continuo, puede suceder queR

ϕ

F · T yR

ψ

F · T sean iguales o que tengan signos distintos, seg´un sea el signo

de h0. Vamos a analizar el significado del signo de h0.

Si h0 es positiva, entonces h : [a, b] → [c, d] es biyectiva y creciente lo cual implica que h(a) = c y h(b) = d. En consecuencia los recorridos ϕ y ψ empiezan y terminan en el mismo punto. De forma an´aloga, si h0_{es negativa, entonces ϕ empieza donde ψ}

termina y viceversa. Pero si C es un camino cerrado simple el razonamiento anterior no es v´alido. Pensemos por ejemplo en dos recorridos que partiendo de un mismo punto dan una vuelta a la circunferencia C = {(x1, x2) ∈ R2: x21+ x22= 1}. Que h0

sea positiva significa que los vectores tangentes a C, ϕ0(t) y ψ0(h(t)), son de igual direcci´on y sentido, puesto que verifican ϕ0(t) = ψ0(h(t))h0(t). En este caso podemos expresar la relaci´on entre los recorridos diciendo que ϕ y ψ giran los dos sobre la circunferencia como las agujas de un reloj o giran los dos en el sentido inverso a las

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agujas de un reloj. Mientras que si h0es negativa, entonces los recorridos ϕ y ψ giran en sentidos opuestos. Incluso cuando el camino cerrado simple no es tan simple como la circunferencia, si está en el plano parece que este mismo criterio de las agujas del reloj explica el significado del signo de h0. De forma que podr´ıamos asignar el signo positivo a los recorridos que giran en el sentido contrario a las agujas del reloj (a continuación veremos por qué éste es el positivo) y utilizar el s´ımbolo

I

C

F · T

para la integral de l´ınea de F a lo largo de C con orientaci´on positiva, siempre que C sea un camino cerrado simple.

En el caso de las integrales de l´ınea cuando aplicamos la descomposici´on del camino cerrado simple en los caminos Ciasociados a la partici´on P, como describimos antes,

podemos de nuevo aplicar el resultado del teorema 1.19 y calcularH

C

F · T como la suma de las integrales sobre los caminos Ci; es decir que se verifica que

I C F · T = p X i=1 I Ci F · T

pero en este caso tenemos que elegir los recorridos regulares de los caminos simples Cide modo que todos lleven la misma orientaci´on. Eso es lo que significa el s´ımbolo

H .

Observemos que podemos simplificar aún más los cálculos asignando un signo negativo a la integral de l´ınea del campo vectorial F a lo largo un camino simple Ci si el recorrido regular que hemos construido no lleva la orientación adecuada, en

lugar de cambiar el recorrido para darle la orientaci´on que necesitamos. Estas simplificaciones del c´alculo deH

C

F · T usando la suma o resta de las integrales deR

CiF ·T ser´a una de las estrategias que emplearemos en la secci´on 4.2 para probar

el teorema de Stokes.

Como ya hemos comentado la orientaci´on positiva para un camino cerrado simple en R2 _{se define usando como referencia el movimiento de las agujas del reloj. Pero}

si el camino (a´_{un contenido en R}2_{) no es cerrado es imposible decidir a priori}

qué orientación es positiva y cuál es negativa. Por ejemplo pensemos en los cuatro lados del cuadrado [0, 1]×[0, 1]. Dos de estos lados son verticales y cuando recorremos el cuadrado con orientación positiva uno de los lados verticales se recorre de arriba a abajo y el otro al revés. De modo que si C es un camino simple no cerrado el s´ımbolo H

significa con una orientaci´on fijada para cada C que es empezando en ϕ(a) ∈ C1 ⊂ C y terminando en ϕ(b) ∈ Cp ⊂ C. En este caso cada camino simple

Ci+1 tiene la orientaci´on que marca el camino Ci anterior.

La demostración formal de que esta definición es correcta es debida al matemático francés del siglo XIX Camile Jordan. A menudo a lo largo de la historia la comunidad

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matemática ha dado por válidas propiedades que cre´ıan evidentes porque todos los ejemplos que conoc´ıan las satisfac´ıan. Este fue el caso de los caminos cerrados simples en el plano: se daba por hecho que todo camino cerrado simple divide al plano en dos regiones arco-conexas, la región encerrada dentro del camino y la región exterior al camino. Fue Jordan el primer matemático que se dio cuenta de que esta propiedad deb´ıa ser demostrada y trató de hacerlo, pero no lo consiguió. La demostración llegó en 1905 y fue realizada por el matemático americano Oswald Veblen.

La propiedad que s´ı demostró Jordan y que justifica la definición de orientación positiva para los caminos cerrados simples en R2 es la siguiente:

Si ϕ : [a, b] → C es un recorrido regular del camino cerrado simple C ⊂ R2, entonces definiendo el giro de un punto x0∈ R2\C como:

giro(x0) =_2π1 b R a (ϕ1(t) − x0,1)ϕ02(t) − (ϕ2(t) − x0,2)ϕ01(t) (ϕ1(t) − x0,1)2+ (ϕ2(t) − x0,2)2 dt

se verifica que esta integral es cero para todo x0 exterior al camino y vale +1 ´o -1

para los puntos interiores, tomando el valor +1 cuando ϕ recorre C en el sentido contrario a las agujas del reloj y tomando el valor -1 si ϕ recorre C en el sentido de las agujas del reloj.

Por otro lado, la funci´on m´as utilizada para recorrer la circunferencia unidad en R2_;

esto es el recorrido regular:

ϕ : _{[0, 1] ⊂ R → C ⊂ R}2

t (cos2πt, sen2πt) tiene orientaci´on positiva.

Pero si la curva cerrada simple est´_{a contenida en R}n _{con n ≥ 3 esta referencia del}

movimiento de las agujas del reloj ya no funciona. Pensemos por ejemplo en una circunferencia contenida en el plano XY que se recorre en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj cuando la miramos situados en el punto (0, 0, 1), como por ejemplo hace el siguiente recorrido:

ϕ : _{[0, 1] ⊂ R → C ⊂ R}3

t (cos2πt, sen2πt, 0)

Si nos situamos en el punto (0, 0, −1) vemos a la funci´on recorriendo la circunferencia en el mismo sentido que siguen las agujas del reloj. Por lo tanto no podemos decir que este recorrido sea positivo o negativo. Para algunas curvas cerradas simples contenidas en R3 _{(los bordes de las superficies simples) vamos a establecer en el}

siguiente cap´ıtulo (secci´on 2.3) el significado de orientaci´on positiva.

Una vez que hemos aprendido a integrar campos escalares y campos vectoriales sobre recorridos y hemos analizado las condiciones que debe cumplir un recorrido para que las integrales no dependan de ´el, vamos a mostrar que cuando un campo vectorial verifica las condiciones adecuadas la integral de trayectoria se simplifica de manera muy significativa.

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1.4. Campos conservativos

En esta sección vamos a enunciar el segundo teorema fundamental del cálculo para integrales de l´ınea, del cual se deduce el principio de conservación de la energ´ıa mecánica. Empezamos viendo la definición de campo conservativo.

Definici´on 1.20 Se dice que un campo vectorial F : U ⊂ Rn → Rn (U abierto) es conservativo si existe un campo escalar f : U ⊂ Rn _{→ R tal que ∇f(x) = F (x) para todo x ∈ U. El campo}

escalar f recibe el nombre de funci´on potencial de F .

Recordemos que los primeros ejemplos de campos vectoriales que mostramos en la secci´on 1.2 eran conservativos.

Ejemplo 1.21 El campo vectorial que describe la fuerza de atracci´on entre dos part´ıculas de masas m y M,

F (x1, x2, x3) =

−GmM (x2

1+ x22+ x23)3/2

(x1, x2, x3)

es un campo conservativo, cuya funci´on potencial es:

f (x1, x2, x3) =

GmM (x2

1+ x22+ x23)1/2

Estos campos se llaman conservativos porque en ellos se verifica el principio de conservación de la energ´ıa mecánica, es decir, que las sumas de la energ´ıa cinética y potencial de una part´ıcula que se desplaza en dichos campos es constante. En realidad un campo de fuerzas no será conservativo si existe fricción en el sistema, puesto que ésta tiende a convertir la energ´ıa mecánica en calor´ıfica.