2. Integrales sobre superficies
2.4. El Teorema de Stokes y el Teorema de la divergencia
Esta curva se obtiene al restringir las funciones ϕ y ψ a los puntos de la frontera de R, que es una curva cerrada simple contenida en R2 que recorremos con orientaci´on
positiva usando la siguiente funci´on:
φ : [0, 1] ⊂ R → ∂R ⊂ R2
t (cos 2πt, sen2πt)
Vamos a ver a continuaci´on c´omo son los recorridos que induce φ sobre C ⊂ S cuando componemos φ con los dos recorridos descritos para S :
ϕ ◦ φ : [0, 1] ⊂ R → C ⊂ S ⊂ R3
t (cos 2πt, sen2πt, 0)
ψ ◦ φ : [0, 1] ⊂ R → C ⊂ S ⊂ R3
t (sen2πt, cos 2πt, 0)
De modo que el mismo recorrido positivo de ∂R induce sobre C dos recorridos con orientaciones contrarias, porque los vectores normales de ϕ y ψ tienen sentidos opuestos. No nos deber´ıa extra˜nar esta conexi´on entre los vectores normales de un recorrido y la orientaci´on de las curvas cerradas simples contenidas en la superficie porque el vector normal se calcula a partir de los vectores tangentes a la superficie, recordemos que N (u) = D1ϕ(u)×D2ϕ(u) Esta relaci´on entre los tres vectores da una
orientaci´on al vector N (u) que gr´aficamente suele explicarse de la siguiente manera. En las figuras 2.5 y 2.6 hemos marcado la curva C ⊂ R3 con el recorrido inducido por ϕ ◦ φ, si movemos los dedos de la mano derecha siguiendo ese movimiento (ver figura 2.5), el dedo pulgar se˜nala al cielo, como lo hace el vector normal. Mientras que si movemos los dedos de la mano derecha siguiendo el recorrido marcado por ψ ◦ φ, como muestra la figura 2.6, el dedo pulgar indica al suelo, como lo hace el vector normal del recorrido ψ.
2.4.
El Teorema de Stokes y el Teorema de la
divergencia
En esta secci´on vamos a enunciar y a mostrar algunas de las aplicaciones que tienen el teorema de Stokes en R3 y el teorema de la divergencia. Ambos teoremas puede
verse como extensiones del teorema de Green a R3, lo cual no debe extra˜narnos
puesto que los tres teoremas se deducen como corolarios del teorema general. Recordemos que el teorema de Green relaciona una integral doble sobre una regi´on plana R ⊂ R2 con una integral sobre la curva ∂R ⊂ R2 frontera de R. De forma an´aloga el teorema de Stokes para R3vincula una integral doble sobre una superficie S ⊂ R3 con una integral sobre la curva ∂S ⊂ R3 borde de S. Mientras que el
Figura 2.5: La regla del sacacorchos 1
2.4. EL TEOREMA DE STOKES Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA 107
teorema de la divergencia relaciona una integral triple sobre un solido K ⊂ R3 con
una integral doble sobre la superficie ∂K frontera de K.
Antes de enunciar el primer teorema necesitamos dar la definici´on formal de borde de una superficie y tenemos tambi´en que definir el rotacional de un campo vectorial.
Definici´on 2.23 : Dada S una superficie simple o compuesta en R3
se llama borde de S, que denotaremos por ∂S al camino en R3
definido por ϕ(f ron(R)) siendo ϕ : R ⊂ R2 → S ⊂ R3 un recorrido
regular de S.
Observemos que si S es una superficie simple el borde de S no depende del recorrido regular elegido ya que si ϕ y ψ son dos recorridos regulares de S, entonces son recorridos equivalentes y la funci´on H : R1 ⊂ R2 → R2 ⊂ R2 definida entre
sus dominios verifica que H(f ron(R1)) = f ron(H(R1)) = f ron(R2), por tanto
∂S = ϕ(f ron(R1)) = ψ(f ron(R2)).
Pero si la superficie es compuesta el borde puede variar seg´un el recorrido regular que construyamos.
Tomemos por ejemplo una parte del cilindro x2
1+ x22 = 1 y un recorrido ϕ como el
siguiente:
ϕ : R = [a, b] × [θ0− π, θ0+ π] ⊂ R2 → S ⊂ R3
(u1, u2) (cosu2, senu2, u1)
El recorrido no es inyectivo porque para todo u1∈ [a, b] se verifica que ϕ(u1, θ0−π) =
ϕ(u1, θ0+ π). Es f´acil descomponer R en dos regiones simples R1y R2 de modo que
ϕ|Ri sea inyectiva para i = 1 y 2. Basta con tomar un ´angulo θ1∈ (θ0− π, θ0+ π) y
dividir R en las regiones R1= [a, b] × [θ0− π, θ1] y R2= [a, b] × [θ1, θ0+ π]. Entonces
para cada valor θ0 que tomemos la regi´on R cambia y por lo tanto el borde de S
cambia:
∂S = {x ∈ R3; x21+ x22= 1; x3= a} ∪ {x ∈ R3; x21+ x 2
2= 1; x3= b}
∪{x ∈ R3; x
1= cos(θ0− π), x2= sen(θ0− π) y x3∈ [a, b]}
Sin embargo este cambio en el borde de S no se refleja en el c´alculo de las integrales de campos vectoriales sobre el borde de S porque para todos los ´angulos θ0 la
funci´on que recorre el borde de S; esto es: ϕ ◦ ψ, siendo ψ un recorrido regular del camino cerrado simple ∂R, recorre dos veces el segmento vertical {x ∈ R3; x
1 =
cos(θ0− π), x2 = sen(θ0− π) y x3 ∈ [a, b]} una vez con orientaci´on positiva y
otra con orientaci´on negativa, de modo que las dos integrales correspondientes de cualquier campo vectorial continuo se anulan y el valor final de la integral del campo vectorial sobre ∂S solo depender´a de las integrales sobre los otros dos conjuntos que forman el borde de S.
Ejemplo 2.24 Veamos c´omo son los bordes de las superficies simples descritas en el ejemplo 2.5. Es claro que si la superficie es una regi´on R contenida en un plano, su borde ser´a el camino cerrado simple que define la frontera de R pero dentro de ese plano, mientras que para el casquete superior de la esfera, el borde es la circunferencia de centro (0, 0, 0) y radio r = 1 contenida en el plano XY.
Por otro lado, al ser f ron(R) una curva cerrada simple en R2 y ser cada recorrido
regular ϕ de S una funci´on inyectiva en R se verifica que ϕ(f ron(R)) = ∂S es una curva cerrada simple en R3
. Para este tipo de curvas cerradas simples en R3
se define la orientaci´on positiva como la inducida por una orientaci´on positiva de f ron(R) ⊂ R2. Este es el significado que tiene el s´ımbolo H
∂S
F · T en el enunciado del teorema de Stokes para R3.
El ´ultimo ejemplo de la secci´on anterior muestra como una misma curva cerrada simple C ⊂ R3, que es borde de una superficie simple C = ∂S se puede recorrer en
ambos sentidos con orientaci´on positiva seg´un que recorrido regular de S se utilice. Veamos a continuaci´on que es el rotacional de un campo vectorial. Para definirlo vamos a utilizar la notaci´on que se emplea en el producto vectorial vectores de R3
Recordemos que la operaci´on producto vectorial nos ha servido para definir al vector normal N (u) asociado al recorrido de una superficie.
Definici´on 2.25 Dado un campo vectorial F : U ⊂ R3→ R3 de
clase C1en el abierto U se llama rotacional de F y se denota por rotF
al campo vectorial que se obtiene al desarrollar el siguiente determinante:
rotF = det i j k D1 D2 D3 F1 F2 F3 = (D2F3− D3F2, D3F1− D1F3, D1F2− D2F1)
El siguiente ejemplo nos ayudar´a a entender la definici´on anterior.
Ejemplo 2.26 Vamos a calcular el rotacional del siguiente campo vectorial:
F (x1, x2, x3) = (x1+ 2x2+ 3x3, x1x2x3, ex1senx2cos x3).
En primer lugar observamos que el campo es de clase C∞en R3, de modo que tiene derivadas parciales continuas. A continuaci´on calculamos el determinante que en este
2.4. EL TEOREMA DE STOKES Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA 109
caso tiene la forma:
rotF = det i j k D1 D2 D3 x1+ 2x2+ 3x3 x1x2x3 ex1senx2cos x3 = D2(e x1senx 2cos x3) − D3(x1x2x3) D3(x1+2x2+3x3) − D1(e x1senx 2cos x3) D1(x1x2x3) − D2(x1+2x2+3x3) = (ex1cos x
2cos x3−x1x2, 3 − ex1senx2cos x3, x2x3−2).
Como ya hab´ıamos adelantado en la primera secci´on, el rotacional de un campo vectorial est´a relacionado con la condici´on de campo conservativo en el sentido de que se verifica la siguiente equivalencia:
F es conservativo si y solo si rotF = 0.
A continuaci´on vamos a enunciar el teorema de Stokes que nos ayudar´a despu´es a dar una interpretaci´on f´ısica del rotacional de un campo vectorial en relaci´on al flujo del campo.
Teorema 2.27 Teorema de Stokes en R3
: Si F : U ⊂ R3→ R3
es de clase C1, U es un conjunto abierto que contiene a la superficie simple
S y ϕ : R ⊂ R2→ R3, es una recorrido regular de S de clase C2,entonces
se verifica que: Z S rotF · N = I ∂S F1dx1+ F2dx2+ F3dx3= I ∂S F · T
En la segunda parte veremos como se deduce este teorema del teorema general de Stokes.
Observemos que ahora hemos pedido al recorrido regular ϕ una condici´on m´as y es que sea de clase C2 porque, como veremos al demostrar el teorema de Stokes,
necesitamos que el recorrido tenga derivadas parciales segundas continuas para que se de la igualdad. De nuevo esto no ser´a un problema para los recorridos que aparecen en los ejemplos y problemas del texto.
Una primera consecuencia de este teorema es que si el campo vectorial F es conservativo, o equivalentemente rotF = 0, entonces la integral de F a lo largo
de cualquier camino cerrado ∂S que se pueda obtener como el borde de alguna superficie S es 0.
A continuaci´on veremos un ejemplo.
Ejemplo 2.28 Vamos a calcular la integral del campo vectorial F (x1, x2, x3) = (f (x1), g(x2), h(x3)) siendo f, g, h : (−2, 2) ⊂ R → R tres funciones
de clase C1 sobre la curva cerrada simple C = {(x
1, x2, x3) ∈ R3; x21+ x22= 1, x3 =
0}. Primero observamos que el campo vectorial as´ı definido es conservativo sean c´omo sean las funciones f, g y h por como est´an distribuidas las tres variables entre ellas. Despu´es observamos que la curva cerrada C est´a contenida en el plano x3= 0, por lo
cual es el borde de la superficie simple contenida en el mismo plano y delimitada por C. En este caso tambi´en podemos tomar como superficie S la semiesfera de centro (0, 0, 0) y radio r = 1. En cualquier caso aplicando el teorema anterior deducimos que I C F · T = I ∂S F · T = 0.
El siguiente ejemplo nos muestra c´omo gracias al Teorema de Stokes podemos evitar el c´alculo de primitivas muy dif´ıciles por otras inmediatas.
Ejemplo 2.29 Tomamos el siguiente campo vectorial:
F (x1, x2, x3) = (arctgx1+ x2x3, ex 2 2senx2+ x1(1 2 + x3), ln(1 + x 2 3) + x 2 1x2)
y la curva simple dada por C = {(x1, x2, x3) ∈ R3; x21 + x22 = 1, x3 = 5}, que
corresponde a la circunferencia contenida en el plano x3 = 5, de centro (0, 0, 5) y
radio 1. De modo que tomando el t´ıpico recorrido regular de C, que sabemos tiene orientaci´on positiva:
ϕ : [0, 2π] ⊂ R → R3 t (cos t, sent, 5)
2.4. EL TEOREMA DE STOKES Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA 111 la integral de l´ıneaH C F · T queda as´ı: I C F · T = 2π Z 0 F (ϕ(t)) · ϕ0(t)dt = 2π Z 0
((arctg(cos t) + 5sent)(−sent) + (esen2tsen(sent) + cos t(1
2 + 5)) cos t)dt
Como vemos nos aparecen funciones cuyas integrales primitivas son dif´ıciles de calcular, mientras que aplicando el teorema de Stokes a la superficie S = {(x1, x2, x3) ∈ R3; x21+ x22≤ 1, x3= 5}, cuyo borde es claramente C, nos apareceran
unas integrales m´as sencillas porque
rotF (x1, x2, x3) = (x21− x1, x2(1 − 2x1),
1 2). En efecto, tomando como recorrido regular de S el dado por:
ϕ : R ⊂ R2 →
S ⊂ R3
(u1, u2) (u1, u2, 5)
siendo R = {(u1, u2) ∈ R2: u12+ u22≤ 1}, cuyo vector normal es N (u1, u2) = (0, 0, 1)
nos queda que: I C F · T = Z S rotF · N = Z R 1 2du1du2= π 2
Otra circunstancia en la cual resulta conveniente aplicar el teorema de Stokes se da cuando el camino cerrado simple est´a formado por varios tramos de curvas que necesitan recorridos distintos, como por ejemplo los lados de un tri´angulo.
Ejemplo 2.30 Dado el campo vectorial
F (x1, x2) = (x1(x22− x 2 3), x2(x21− x 2 3), x3(x21− x 2 2))
vamos a calcular la integral de l´ınea de este campo a lo largo del camino cerrado simple C formado por los lados del tri´angulo de v´ertices: (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). Para calcular esta integral de l´ınea tendr´ıamos primero que buscar los tres recorridos regulares α1, α2 y α3 correspondientes a los tres lados del tri´angulo y despu´es
calcular tres integrales de l´ınea, mientras que aplicando el teorema de Stokes la integral de l´ınea se transforma en una sencilla integral doble sobre la superficie S = {(x1, x2, x3) ∈ R3; x1+ x2+ x3 = 1, x1≥ 0, x2≥ 0 y x3 ≥ 0} que recorremos
con la funci´on:
ϕ : R ⊂ R2 →
S ⊂ R3
(u1, u2) (u1, u2, 1 − u1− u2)
siendo R = {(u1, u2); u1+ u2 ≤ 1, u1 ≥ 0 y u2 ≥ 0} y el vector normal exterior
N (u1, u2) = (1, 1, 1). En este caso adem´as, la funci´on que tenemos que integrar
tambi´en se simplifica puesto que rotF (x1, x2, x3) = (0, −4x1x3, 0), entonces:
I C F · T = Z S rotF · N = 1 Z 0 1−u1 Z 0 −4u1(1 − u1− u2)du2du1 = −4 1 Z 0 (u1(1 − u1)u2] 1−u1 0 + −u1 u2 2 2 1−u1 0 ! du1 = −4 1 Z 0 1 2u1(1 − u1) 2du 1= −2 1 Z 0 (u1+ u31− 2u21)du1 = −2 u 2 1 2 + u4 1 4 − 2 3u 3 1 1 0 = −1 6
Por ´ultimo, observemos que si dos superficies simples S1 y S2 de clase C2tienen el
mismo borde C entonces por el teorema de Stokes se verifica que: Z S1 rotF · N = I C F · T = Z S2 rotF · N
es decir que la integral del rotacional del campo es la misma a lo largo de las dos superficies. Este resultado nos puede ayudar a simplificar los c´alculos como sucede en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.31 Si tenemos que calcular la integral del rotacional del campo dado en el ejemplo 2.26, esto es
F (x1, x2, x3) = (x1+ 2x2+ 3x3, x1x2x3, ex1senx2cos x3)
cuyo rotacional es
2.4. EL TEOREMA DE STOKES Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA 113
a lo largo de la semiesfera superior con orientaci´on positiva, podemos sustituir la esfera por la superficie S = {(x1, x2, x3) ∈ R3; x21+ x22≤ 1 y x3= 0}, que recorremos
con una sencilla funci´on de la forma: ϕ : R ⊂ R2 →
S ⊂ R3
(u1, u2) (u1, u2, 0)
siendo R = {(u1, u2); u21+ u22 ≤ 1} y siendo el vector normal N (u1, u2) = (0, 0, 1),
de modo que: Z S rotF · N = Z R −2du1du2= −2π.
A continuaci´on vamos a utilizar el teorema de Stokes en R3 para dar una interpretaci´on f´ısica de rotF · N .
Sea F : U ⊂ R3→ R3 un campo de velocidades de un fluido y sea S una superficie
contenida en U. Si en el punto x0 ∈ S trazamos la circunferencia Cr de radio r y
centro x0 contenida en el plano tangente a x0, esta circunferencia Cr y el disco que
encierra, Rr, estar´an muy pr´oximos a la superficie S para valores peque˜nos de r.
En cada punto de la circunferencia Cr el campo de velocidades tiene componente
tangencial F · T que ser´a mayor cu´anto m´as alineados est´en los vectores F y T. En este caso el fluido tender´a a moverse a lo largo de la circunferencia Cr, en lugar de
atravesarla. Por eso decimos que la integral de l´ınea mide la cantidad de fluido que circula a lo largo de Cr.
Consideremos ahora la actuaci´on del campo de velocidades F sobre la superficie Rr,
es decir sobre el disco de radio r y centro x0 cuyo borde es Cr. Como r es muy
peque˜no el vector rotF en Rr es pr´acticamente constante de valor rotF (x0) y lo
mismo sucede con el vector rotF · N . En consecuencia el teorema de Stokes lleva en este caso a: I Cr F · T = Z Rr rotF · N = rotF (x0) · N Z Rr 1 = rotF (x0) · N ´area(Rr) Por lo tanto, rotF (x0) · N ≈
circulaci´on del fluido a lo largo de Cr
πr2
Entonces, si las condiciones son buenas, se sigue que
rotF (x0) · N = l´ım r→0 1 πr2 I Cr F · T
es decir, que rotF (x0) · N mide la tendencia del fluido a girar alrededor del punto
x0cuando atraviesa la superficie S. De aqu´ı proviene el nombre de rotacional de F .
Normalmente esta tendencia variar´a de punto a punto. El teorema de Stokes nos dice que la medida colectiva de esta tendencia rotacional tomada sobre la superficie (integral de superficie) es igual a la tendencia del fluido a circular alrededor del borde de S (integral de l´ınea).
El teorema de Stokes aplicado a campos el´ectricos permite probar la ley de Faraday: el voltaje a lo largo del borde de S es igual a menos la raz´on de cambio del flujo magn´etico a trav´es de la superficie.
Terminamos esta secci´on con el teorema de la divergencia o teorema de Gauss, en honor del matem´atico alem´an Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Este teorema es una extensi´on a tres dimensiones del teorema de Green, porque prueba que, bajo ciertas hip´otesis, la integral de un campo vectorial a lo largo de una superficie S coincide con la integral de un campo escalar sobre la regi´on de R3 cuya frontera es la superficie
S. Antes de enunciarlo ser´a necesario introducir las siguientes definiciones.
Definici´on 2.32 Dado un campo vectorial F : U ⊂ R3→ R3 de
clase C1 en el abierto U , se llama divergente de F , y se escribe divF ,
al campo escalar definido por:
divF (x) = D1F1(x) + D2F2(x) + D3F3(x)
Mas adelante utilizaremos el teorema de la divergencia para dar una interpretaci´on f´ısica del divergente de un campo vectorial. A continuaci´on veamos un ejemplo.
Ejemplo 2.33 Vamos a calcular el divergente del campo vectorial dado en el ejemplo 2.26, esto es:
F (x1, x2, x3) = (x1+ 2x2+ 3x3, x1x2x3, ex1senx2cos x3).
Para ello solo tenemos que derivar la primera funci´on respecto de la primera variable, despu´es sumar la derivada de la segunda funci´on respecto de la segunda variable y por ´ultimo sumar la derivada de la tercera funci´on respecto de la tercera variable, con lo cual nos queda el campo escalar:
divF (x1, x2, x3) = 1 + x1x3− ex1senx2senx3.
A continuaci´on introducimos la definici´on de superficie compuesta cerrada. Re- cordemos que un camino simple C es cerrado cuando los recorridos regulares ϕ : [a, b] ⊂ R → C ⊂ Rn satisfacen que ϕ(a) = ϕ(b).
2.4. EL TEOREMA DE STOKES Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA 115
Definici´on 2.34 Se dice que una superficie compuesta S ⊂ R3 es cerrada si cada camino simple contenido en el borde de S es recorrido dos veces una con orientaci´on positiva y otra con orientaci´on negativa por la funci´on ϕ ◦ ψ siendo ϕ : R ⊂ R2 → S ⊂ R3 el recorrido regular que
define a S y siendo ψ un recorrido regular del camino cerrado simple ∂R
Recordemos que el borde de S se define c´omo la imagen de la frontera de la regi´on simple R ⊂ R2 por medio del recorrido regular de S; es decir que ∂S = ϕ(∂R). De
modo que si S es una superficie simple no puede ser cerrada porque el recorrido regular ϕ es inyectivo en R y por lo tanto los caminos simples contenidos en ∂R solo son recorridos una vez por la funci´on ϕ ◦ ψ Pero si la superficie es compuesta ϕ no es inyectiva en las fronteras de las regiones simples que forman R, de modo que tampoco es inyectivo en ∂R y puede suceder que cada camino simple contenido en el borde se recorra dos veces con orientaciones contrarias, como veremos en el problema 2 de la secci´on 2.5 que sucede cuando S es el cubo unidad.
El teorema de la divergencia o de Gauss se verifica para superficies compuestas y cerradas que son orientables y relaciona cierta integral sobre estas superficies con otra integral sobre el recinto que encierran al que llamaremos s´olido.
Definici´on 2.35 Se dice que un conjunto acotado K ⊂ R3 es un s´olido si su frontera, que denotaremos por ∂K es una superficie compuesta cerrada y orientable.
Por ejemplo son s´olidos las bolas cerradas y los prismas cerrados en R3.
Recordemos que en el plano se elige como orientaci´on positiva de los recorridos de los caminos cerrados simples el recorrido que gira en sentido contrario a las agujas de un reloj y la justificaci´on de esa elecci´on nos la daba una integral.
Ahora usaremos tambi´en una integral para justificar como orientaci´on positiva de una superficie compuesta y cerrada en el espacio Se elije como orientaci´on positiva de una superficie compuesta cerrada la que tiene vector normal apuntando al exterior. El teorema de la divergencia nos proporciona una justificaci´on de esta elecci´on porque demuestra que con esta orientaci´on la integral del campo vectorial F (x) = 1
3(x1, x2, x3) sobre cualquier superficie compuesta y cerrada S coincide con
el volumen de la regi´on del espacio comprendida dentro de S.
Como las superficies de los s´olidos son cerradas y orientables, vimos en la secci´on 1.3 que en estos casos se toma como orientaci´on positiva la que da como vector normal en cada punto de la superficie el vector que apunta al exterior. Este es el significado
que tiene la notaci´on H
∂K
F · N en el siguiente teorema.
Teorema 2.36 Teorema de la divergencia (o Teorema de Gauss): Si F : U ⊂ R3 → R3 es un campo vectorial de clase C1, U es
un conjunto abierto que contiene al s´olido K y la frontera de K es una superficie de clase C2, entonces se verifica que:
Z K divF = I ∂K F · N
Observemos que de nuevo es necesario suponer que la superficie es de clase C2. El teorema de la divergencia resulta muy ´util cuando la superficie cerrada
est´a delimitada por varias superficies, como es el caso del cubo, porque resulta m´as f´acil integrar sobre el s´olido K que sobre la superficie ∂K, como muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.37 Vamos a calcular la integral del campo vectorial dado en el ejemplo 2.26 esto es:
F (x1, x2, x3) = (x1+ 2x2+ 3x3, x1x2x3, ex1senx2cos x3)
sobre la superficie del cubo K = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]. Para calcular esta integral tendr´ıamos primero que construir seis recorridos sobre las seis caras del cubo y despu´es integrar las seis funciones que obtendr´ıamos de los respectivos productos F · N , mientras que aplicando el teorema de la divergencia nos queda una ´unica
2.4. EL TEOREMA DE STOKES Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA 117 integral de la forma: 1 Z 0 1 Z 0 1 Z 0 divF (x1, x2, x3)dx1dx2dx3 = 1 Z 0 1 Z 0 1 Z 0 (1 + x1x3− ex1senx2senx3)dx1dx2dx3 = 1 Z 0 1 Z 0 x1+ x3 x21 2 − e x1senx 2senx3 1 0 dx2dx3 = 1 Z 0 1 +x3 2 x2− (1 − e) cos x2senx3 i1 0 dx3 = x3+ x23
4 − (1 − e)(1 − cos 1) cos x3 1
0
= 5
4 + (1 − e)(1 − cos 1)
2.
Por ´ultimo, vamos a ver c´omo el teorema de la divergencia nos proporciona una interpretaci´on f´ısica del divergente de un campo. Sea F : U ⊂ R3 → R3 un campo
de velocidades de un fluido. Para cada punto x0∈ U tomamos una bola cerrada de
centro x0 y radio r, que denotamos por Br. Ya vimos que la integral de F sobre la
frontera de esta bola (la esfera que denotamos por Sr) mide la cantidad de fluido
que atraviesa la esfera (hacia el interior y hacia el exterior). Por el teorema de la divergencia este flujo coincide con:
R
Br
divF (x)dx
Si r es suficientemente peque˜no se puede considerar que la funci´on divF permanece constante en x0y podemos aproximar el flujo a trav´es de la esfera por:
I S F · N = Z Br divF (x)dx ≈ divF (x0) Z Br 1 = divF (x0)vol(Br) Por lo tanto, divF (x0) ≈
circulaci´on del fluido a trav´es de Sr 4
Entonces, si las condiciones son buenas, se sigue que divF (x0) = l´ım r→0 1 4 3πr3 I Sr F · N
es decir, que divF (x0) mide el flujo del campo en el punto x0por unidad de volumen.
Los signos de la funci´on divF (x0) clasifican a los puntos en los siguientes tres grupos:
1o) x
0 es fuente si divF (x0) > 0, pues en este caso el fluido cerca de x0 tiende a
expandirse.
2o) x0es sumidero si divF (x0) < 0, pues en este caso el fluido cerca de x0 tiende a
concentrarse.
3o) x0 es incompresible si divF (x0) = 0, pues en este caso la cantidad de fluido que