Categoría 3 Movilización del problema del razonamiento propuesto por el

situaciones aditivas complejas haciendo uso del aplicativo

Corresponde a dos dimensiones específicas de la dinámica de clase enfatizada en el uso del aplicativo. La primera está relacionada con las condiciones de posibilidad que ofrece el uso del aplicativo, en donde el ejercicio debe permitir al estudiante la

posibilidad de diferenciar las dos representaciones existentes, la enunciación del problema aditivo y la operación matemática como tal, para lograr la disminución de la no congruencia de todo factor de conversión de un problema matemático aditivo.

Esa enunciación va a venir por parte del aplicativo en sí, y se puede presentar de manera representativa en una animación, aunque también se puede presentar a través de un discurso inserto dentro del video del aplicativo, o se puede combinar ambas. Aunque según lo propuesto por Duval (2006), la dimensión visual del aplicativo, vendría siendo esa representación intermediaria y auxiliar, de naturaleza no discursiva, que permitiría anclar los datos pertinentes a la resolución del problema.

No obstante, en lo referente a la presente investigación, la segunda dimensión de la dinámica de clase que estará a cargo del docente y de su práctica educativa, corresponde al discurso, al enunciado, a la expresión y a la forma como este le

presenta el problema al y los estudiantes, y a la manera como se refiere a los números y a la operación matemática. Logrando que se presente esa diferenciación clara entre enunciado, por un lado, y extracción y anclaje de los datos (los números) necesarios para la operación como tal, por el otro.

Hace referencia a la forma como el docente propone y orienta la comprensión de los problemas aditivos, la selección de los datos pertinentes a cada situación y su organización, es decir, por la comprensión de los enunciados. Lograr que el problema didáctico y sus representaciones semióticas puedan ser las herramientas eficaces para aprender a comprender y resolver los enunciados de problemas por parte de los

estudiantes.

Y esto debido a que la propuesta de investigación propone la utilidad del aplicativo a la hora de presentar esa superposición del enunciado y de la operación matemática, que según los planteamientos de Damm (1992, 1999), permiten la disminución del factor de incongruencia típico de la resolución de problemas aditivos complejos, porque presenta la situación extra-matemática, al mismo tiempo que le

37 permite al estudiante extraer los datos de la operación, en su valor numérico, y la

información para el evento como tal.

De este modo se especifican los distintos entornos bajo los cuales se establecieron las dinámicas discursivas dentro del aula de clases durante la fase práctica y la indagación teórica con respecto a las prácticas discursivas y la mediación tecnológica de la resolución de problemas aditivos complejos.

Dentro del proceso de enseñanza de problemas aditivos complejos, y dentro del proceso de presentación y realización del problema a través del aplicativo, existe una función que es irremplazable por cualquier sujeto que no sea el docente, o cualquier otro que no cumpla las funciones de este, y es la de la conversión de la representación auxiliar (es decir, de las imágenes animadas y de los elementos de esta), en el

enunciado o discurso del problema aditivo, para la localización y extracción de los datos que permitirán a la resolución del problema.

Y en efecto, en primera instancia, esa labor solo la realiza el docente, porque como se puede observar en el análisis de los resultados en donde surgieron

subcategorías como “Estudiantes con comprensión rápida de alguna parte del texto y/o de la resolución del problema”, o como la subcategoría “Estudiante(s) con comprensión de las representaciones, del texto, de la resolución del problema y/o del proceso

general, solo con mediación del docente”, cuyas citas reflejan la baja cantidad de casos en los que las representaciones, los elementos de estas y las fases en las que se hace uso de alguna de ellas, son comprendidos de manera rápida y fácil.

En la práctica, lo que sucede es que cuando los estudiantes observan las imágenes dinámicas del aplicativo, ven acciones y representaciones de la vida cotidiana de la sociedad, tal como el subir o el bajar de un ascensor, o el movimiento de un bote sobre el agua, o el ejercicio de escalada de una montaña, lo cual no les resulta ajeno en su totalidad6_{, pero, a la hora de la conversión de esto a los elementos} de la matemática y de su enseñanza, y en especial, a los elementos de ejecución del mini-tratamiento aditivo, la explicación del docente resulta de total principalidad, porque es este quien les explica que, por ejemplo, el subir significa o representa la operación de sumar o adicionar, o que el devolverse en el bote representa o significa, la

operación de restar o quitar.

Es decir que cuando los estudiantes observan las imágenes animadas, saben que hay un problema que está planteando la voz del aplicativo, pero este problema no lo interpretan, ni rápida ni lentamente, como el enunciado de un problema aditivo complejo, porque lo único que saben es que se les está indagando por algo. Es allí cuando el docente debe iniciar su labor en términos de enseñanza, porque como ya se mencionó, su labor empieza en términos de organización social del espacio, seguido de todo lo que implica la adecuación física y social de la clase.

A esto se le suma el aspecto central de que no siempre hay una equivalencia entre acciones específicas como bajar o devolverse con la operación y el símbolo de la resta. Lo que en términos matemáticos refiere a la existencia de problemas aditivos

6 _{Se hace esta aclaración porque no se debe olvidar que los estudiantes son individuos que viven y} habitan en una zona rural de un pequeño municipio de Colombia (Palmira), cuyo estrato social 1 y/o 2 ofrece la posibilidad de que nunca hayan visto o utilizado un ascensor o un bote, y que tengan conocimiento de ello a través de la televisión y otro medio de comunicación moderno.

38 incongruentes, que en el caso de esta investigación, hace aportes específicos desde la enseñanza con imágenes dinámicas y animadas (representación auxiliar) y relaciones interactivas con el dispositivo tecnológico moderno, mediado por el discurso y las acciones del docente.

Las subcategorías que corresponden a introducción, explicación y orientación, marcan la pauta de acercamiento del conocimiento, los términos matemáticos y los accesorios en que se sumergen estos (situaciones extra-matemáticas) al entendimiento, el lenguaje y el contexto de aula en que se está enseñando. Esto indica la irremplazabilidad del docente y de sus funciones, dentro de la práctica de enseñanza como tal, que refiere a la presentación y resolución de problemas aditivos complejos, a través de un aplicativo dinámico.

En relación a aquellas categorías que refieren a la simplificación, a la sugerencia de facilidad (ya sea por el uso de las fórmulas matemáticas o por la facilidad de los problemas mismos), a los diferentes tipo de reformulación y demás (del texto, del problema) y al acompañamiento colectivo bajo su explicación, se encuentra el aporte del docente desde su conocimiento, desde su formación, desde su experiencia, desde su calidad de adulto y desde todos los elementos simbólicos y representacionales que se encuentran presentes en el aula, cuyo uso de ese momento corresponde únicamente al docente de la clase.

La formación del docente y su experiencia en el campo de la enseñanza juegan un papel principal dentro del manejo de los aspectos mencionados en el párrafo anterior, sin los cuales el acercamiento del mundo matemático al entendimiento, comprensión e interiorización del estudiante, sería imposible de realizar con el solo hecho de tener en frente un aplicativo.

Ejemplo 1: Situación 3: Inicio: Julián está en el 2°piso. Etapa 1: Etapa 2: El desciende 7 pisos y se encuentra en la planta baja? ¿Qué ha pasado durante la primera etapa?

D. ¿Ahora alguno tiene la respuesta? E.1 ¡Sí!

D. Bueno, pero no la digas, muéstrame tú respuesta. (Ok)

E. (el estudiante le dice en el oído al profesor que Julián en la primera etapa está en el octavo piso)

D. Ahora quiero que me coloquen atención porque voy a explicarles cómo podemos utilizar el conocimiento matemático para resolver las situaciones de Julián.

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Inicio + etapa1 +etapa2 =final esas son las etapas que aparecen en el problema, ahora vamos a cambiar estos datos:

2 + X (la X se coloca en el lugar que esta la pregunta o incógnita, en este caso en la etapa 1) – (se coloca menos porque la situación dice que desciende) 7 =1 es decir que la formula quedaría de la siguiente manera: Ecuación: 2 +X-7=1 una ecuación es una igualdad y en este caso tiene una incógnita, lo que vamos hacer es descubrir el valor de esa incógnita

2+X-7= 1 2-7 X = 1 5+ X = 1 X = 1+5 X = 6

El resultado de esta ecuación es 6 es decir que en la primera etapa Julián bajo 6 pisos. (Como ustedes ya respondieron entonces continuemos)

E. ¡Ah! ¡O sea que me quedó buena!

De esta manera, se puede observar cómo a la hora de la presentación de un problema de enunciado aditivo para solucionar, visto desde la presentación de la representación auxiliar que figuran las imágenes dinámicas del aplicativo, la mediación del docente, es decir, la explicación, ejemplificación y la simplificación de la significación de todo el ejercicio y de sus elementos, resultan de total relevancia y principalidad, al evidenciarse la incapacidad de los estudiantes (con algunas excepciones), por lo menos en lo que refiere a la rapidez de la comprensión del intercambio simbólico de las representaciones de la híper representación.

La corroboración del docente y la dinámica de contra-preguntas hacen parte de acciones e interacciones regulares de la clase, que son propuestos y orientados por el profesor, para la confirmación y comprensión de los estudiantes desde los argumentos lógicos de una respuesta dada y desde la comprensión de la propia explicación de cualquier fase, aspecto o tema de la actividad general. Propendiendo con ello a crear y establecer ciertos hábitos estudiantiles que llevan a los educandos a intentar

comprender a través de la explicación lógica de cómo se puede hacer algo, mediante qué proceso y procedimientos, y cómo se puede probar la pertinencia y practicidad de lo que se hace.

La enseñanza de las matemáticas y la movilización de conocimiento,

corresponden a una serie de procesos, fases, acondicionamientos, direcciones, re- direccionamientos, orientaciones, herramientas, contribuciones y demás, que atañen tanto al docente encargado como a los estudiantes presentes en el aula, quienes responden, como se plantea desde la concepción del aula como contexto, a

determinantes institucionales, políticos, investigativos y socioculturales, que tal como se cuestiona desde la matemática crítica, determinan una situación que es social y que por ende requiere del estudio profundo que implica este.

40 Ya se observó que el docente es quien organiza las condiciones sociales de la clase, quien introduce y explica a los estudiantes el proceso general y cada una de sus fases, quien delimita las acciones de los estudiantes para que se pueda llevar a cabo un ejercicio con el aplicativo (porque estos podían ver los resultados en las imágenes del aplicativo, sin necesidad de realizar la operación) y quien interviene en la fase de conversión de los elementos de la representación para la resolución del problema (imágenes en elementos del enunciado, enunciado en operación aritmética y resolución de la operación). Lo que ahora se presentará es la fase y el segmento de situación que corresponde al de movilización del conocimiento de los estudiantes.

Después de la realización del pre-test, de la explicación de la actividad y de la presentación y explicación del aplicativo, el docente procede al inicio de la secuencia didáctica, y en particular, a la presentación de los problemas por parte del aplicativo. Tal como ya se mencionó, lo primero que hace es organizar socialmente la clase, a través de las indicaciones de cómo se deben comportar los estudiantes, de qué actitud deben tener y que acciones deben o no deben realizar para el inicio y el desarrollo del ejercicio. Después de ello se lleva a cabo la presentación del problema matemático que está a cargo de la voz del aplicativo.

En referencia a esto, las subcategorías “El docente organiza la situación para que se pueda hacer la actividad con el aplicativo”, “El docente cambia o redirecciona el cronograma del día para poder realizar o terminar la actividad” y “Presentación del problema a solucionar: aplicativo” demuestran, una vez más, el papel organizador y dirigente del docente, sin el cual, el contacto y la interacción con el aplicativo no se llevaría a cabo, indicando la principalidad de la intermediación humana y social, en referencia a esa parte de la dinámica educativa:

 Ejemplo 1

D. pongan pues cuidado, Situación 3: Inicio: Etapa 1: Julián asciende 40 metros. Etapa 2: Él se desliza 50 metros y se encuentra a 30 metros de altura. ¿Dónde se encontraba en el inicio?

¿Quién se arriesga a resolver la situación? E. ¡No! Profe, ese está muy duro.

D. Duro no, solo que es diferente, lo importante es que tengan en cuenta la fórmula, miremos el tablero y la vamos haciendo.

D. Recordemos la ecuación (escribe en el tablero: Inicio+ etapa1+etapa2=final)

¿Cuál es el inicio?

E. ¡El inicio no se conoce!

D. Exacto, o sea que empezamos colocando la X (escribe en el tablero la letra X)

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E. etapa 1, Julián asciende 40, ¡a! ¡O sea que colocamos 40! D. Muy bien, (escribe 40 debajo de etapa 1)

¿Que siguen entonces? E. Él se desliza 50 metros, D. ¿Qué etapa es esa? E. Pues la etapa 2.

D. Eso es, y ¿Dónde va el igual? E. (silencio)

D. A ver, ya la tienen casi lista, ¿Dónde va el igual? E. ¡Ah, ya!, pues al final.

D. Eso Miguel, muy bien, colóquemelo entonces, (escribe el resto de la ecuación en el tablero, X+40-50=30)

D. Ahora sí resolvamos, ¿Cuánto es 40 – 50? O ¿cuánto le falta a 40 para

llegar a 50? E. 10 profe.

D. Eso es, ahora como la idea es dejar la X sola, entonces pasamos el diez al otro lado al lado del 30. Pero ¿qué signo le colocamos?

E. (silencio) ¡menos!, ¡Más!

D. Bueno, al fin qué, ¿menos o más? E. Menos profe.

D. Muy bien y ¿por qué? E. Pues porque sí profe

D. ¡No! “Porque sí” no es una respuesta, piensen un poquito, ¿con qué signo estaba el 50?

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D. Exacto, muy bien, entonces al restar 40 – 50 el resultado que es 10 queda con el signo menos

E. ¡Ah!, entonces al pasarlo al otro lado pasa con signo más

D. eso es ¡perfecto! Entonces escribimos (escribe en el tablero X=30+10) ¿Cuál es el resultado?

E. Es 40

En el ejemplo anterior se puede dar cuenta de la mediación del docente a la hora de re-direccionar la situación de clase y a la hora de intervenir en lo que se puede llamar como las falencias de la animación 3D como representación auxiliar, a la que solo le competería presentar los elementos del problema a solucionar, mas no la solución, por lo menos en tanto se dé un tiempo prudencial para que los estudiantes comprendan el texto, realicen el proceso de construcción de la operación matemática y la resuelvan.

No obstante, en lo que refiere al acto central de enseñanza-aprendizaje, teniendo como mediación un dispositivo tecnológico, se debe hacer referencia al aprendizaje en torno al uso del mismo, del aprendizaje en torno a la interacción con el aplicativo y del aprendizaje en torno a la resolución de problemas aditivos. Siendo cubiertos los tres aspectos por el docente y su mediación.

Esta aclaración es de importante señalación debido a la pertinencia de las propuestas de la matemática crítica, cuyos postulados indican la pertinencia del estudio de los contextos socioculturales en donde se realiza la enseñanza de las matemáticas, y de la indagación en torno al espacio y contexto habitual del aula de clase, que permite un mayor acercamiento a las realidades sociales en donde se da el acto y el proceso de enseñanza. En el caso presente se habla de unos niños (entre ocho y once años) que viven y pertenecen a sociedades de tipo rural, con estratos socioeconómicos entre uno y dos, pertenecientes a una zona que es una especie de apéndice de una ciudad pequeña como lo es Palmira, y que se encuentra en un país que muchos denominan como subdesarrollado.

Y con lo anterior se está hablando de la presencia de unos estudiantes que no están obligatoriamente familiarizados con los artefactos tecnológicos modernos, con los aplicativos dinámicos, o con la interacción virtual como forma de aprendizaje. Siendo todos estos los terrenos a los cuáles debe abonar el docente con su orientación y explicación a priori, para que el proceso general se pueda llevar a cabo, tomando en cuenta las particularidades de cada estudiante, porque no todos poseen el mismo nivel de manejo de los tres elementos mencionados, ni el mismo nivel de ignorancia de estos mismos. De esta forma, se entiende que en el apartado de resultados anterior se expuso la manera como el docente explicaba el paso a paso de la actividad y la forma como los estudiantes debían interactuar con el aplicativo, llegando a tener cierta disposición específica para el momento de aplicación de la secuencia didáctica.

Después de la presentación del problema por parte del aplicativo, viene una serie de situaciones que van desde la explicación del docente hasta la resolución individual por parte de los estudiantes, siendo el caso presente el que atañe a este primero, porque corresponde a la secuencia didáctica aplicada.

43 De esta manera, se procede a una primera indagación por parte de él, para saber si los estudiantes han entendido el problema y tienen en mente algún tipo de resolución. Y presentándose que en la mayoría de casos ningún estudiante respondió de manera afirmativa, lo que sigue a continuación es la explicación de este.

Para ello, se encontró la recurrencia de subcategorías como “Orientación del docente, Presentación y explicación de elementos de la representación”; “Explicación de alguna representación”; “Explicación de elementos de la representación”; “Rememoración de algún conocimiento en planteamiento y/o desarrollo del ejercicio”; “Rememoración de algún ejercicio en el planteamiento y/o desarrollo del ejercicio”; y “Explicación del docente del paso a paso de un determinado proceso”.

Con estas subcategorías el docente se dispone a resolver el problema planteado, no sin antes explicar el ejercicio de conversión del texto del problema a mini- tratamiento aritmético. Porque la realización de tales fases del proceso general, requieren de una serie de paso a paso que tiene vital importancia para la comprensión del estudiante de cada paso, del proceso en general, del aprendizaje a través de un dispositivo tecnológico, etc.

Es por lo anterior que como primer paso el docente se dispone a presentar y explicar los elementos de la representa auxiliar del problema. Porque dentro de una secuencia didáctica que hace uso de una imagen tridimensional para la presentación de un problema, lo primero que el docente hace es expresar la equivalencia que tiene el planteamiento de la voz del aplicativo con el texto de un problema propuesto de manera escrita.

 Ejemplo 2

D. Listo, ahora sí vamos a empezar la actividad, escuchen atentamente lo que dice la situación y sigan la lectura de la situación 1. (Luego de que escuchan la situación 1 el docente dibuja el edificio en el tablero). Bueno, ¿Entendieron lo que hizo Julián? Miren lo que dice: Julián está en el piso 8°, (muestra en el tablero el piso 8,) Él desciende donde su amigo que vive en el 5° piso (con el marcador raya el recorrido) Luego el desciende en el sótano ubicado en el nivel -2 de su edificio (continúa señalando en el tablero el recorrido con el marcador) entonces la pregunta es: ¿Cuántos pisos