3.4 Conclusiones
4.2.2 Compensación de las no linealidades a partir de la proyección LNL
Una vez obtenidos tanto el polinomio característico de la no linealidad como los filtros de la estructura repre- sentada en la Figura4.14,g1[n]yg2[n], nos encontramos en condiciones de compensar este sistema.
El objetivo es encontrar una estructura previa al sistema que asegure a la salida final del sistema una señal que conserve una relación lineal con la entrada y, en la medida de lo posible, con el mismo contenido frecuencial. Por desgracia, y debido a que la no linealidad polinómica supone una pérdida irrecuperable de información de signo, en el caso de orden par, el primer reto es forzar el punto de trabajo de cada uno de los elemento de la cadena, sobre todo, el posterior al primer filtro de la estructuraLNL, para asegurar que la compensación es efectiva. Por tanto, para que el sistema de compensación sea viable hay que exigir una limitación a la estructura
LNLa compensar: es necesario que este filtro no contenga un cero en continua, ya que de ser así, el punto de trabajo no satisfará esta condición.
Como en cualquier sistema de inversión de filtros lineales, no se puede exigir la recuperación de la señal para aquellas frecuencias que sean intersección de ceros para los dos filtros.
A parte de estas consideraciones, como el objetivo fundamental de este sistema de compensación es mejorar la transmisión para un sistema real, hay que asegurar la estabilidad de los filtros lineales que compondrán el com- pensador. Con el fin de facilitar una posible implementación real, proponemos aquí el empleo de filtros inversos regularizados:
H−1
(ω)≈ H
∗(ω)
H∗(ω)H(ω) +B∗(ω)B(ω) (4.60)
en donde B(ω)es una función de ponderación que asegura las pérdidas necesarias para compensar los ceros
presentes en el filtro a invertir o que anula una parte del espectro en concreto. También te pueden aplicar otras técnicas como la inversión mediante el ajuste de la curva compleja definida por la transformada de Fourier del filtro de origen (Levy[1959]) o, en el caso del segundo filtro, filtros adaptados a la acústica de salas (Miyoshi y
Kaneda[1988]).
g−1
2 [n] N2(x) g1−1[n] g1[n] N(x) g2[n]
x(t) z(t) ˜x(t)
Módulo pre-distorsionador
Control del punto de trabajo y el margen dinámico
FIGURA4.19: Predistorsionador basado en la estructura LNL
En el caso del diseño de la no linealidad intermedia del predistorsionador dependerá fundamentalmente de la naturaleza de la distorsión residual requerida. Por tanto en este punto se abre un amplio abanico de posibilidades: aproximaciones polinómicas deN−1, inversiones punto a punto... En cualquier caso el requisito más restrictivo
a cumplir es que, en el punto destacado de la Figura4.19la señal ha de conservar el margen dinámico para el que se ha realizado el proceso de identificación. En el caso del ejemplo tratado, es de 0 a 1, ya que las estruc- turas obtenidas mediante MLS devolverían la no linealidad característica únicamente si el margen de trabajo está garantizado.
Margen dinámico: sup ¦ g−1 1 [n]∗N2 g−1 2 [n]∗x[n] © =sup{x[n]} ´ınf¦g−1 1 [n]∗N2 g−1 2 [n]∗x[n] © =´ınf{x[n]} (4.61a) Compresión-Expansión: N1 N2(x)'x (4.61b)
Como ya se detalló en la Subsección anterior, cualquier pareja de filtros ˜g1y ˜g2que cumplan las condiciones
de módulo y fase impuestas por la proyecciónLNLsirve como parámetro inicial del diseño de los filtros inversos de la estructura propuesta en la Figura4.19.
Una vez aplicadas las condiciones impuestas en (4.61) se puede proceder a la preinversión del sistema. En nuestro caso hemos optado por aplicar una aproximación punto a punto de la no linealidad. Con este esquema se han obtenido los resultados expuestos en la Figura4.20.
Para obtener los filtros inversos aplicamos (4.60) directamente sobre la pareja de filtros seleccionada, y una vez calculados éstos nos encontramos en disposición de calcular la no linealidad sin memoria central del pre- distorsionador. Dada la naturaleza del primer filtro impuesto en la estructurag1[n], y para mantener el margen
dinámico dentro de los valores establecidos, se ha impuesto que la banda eliminada no sea amplificada en gran medida por el filtro inversog−1
1 [n].
Con los filtros inversos diseñados, disponemos de los datos suficientes para determinar la no linealidadN2,
que en este caso tiene carácter expansivo en el margen dinámico de interés. Para su diseño, partimos de expresión
(4.61b), comparando punto a punto la pareja de no linealidadesN yN2, y asegurando que (4.61b) se cumple en
todo el margen dinámico del sistema.
Una vez diseñado el sistema completo, analizamos ahora el resultado de aplicar la misma señal ahora, a la cadena predistorsionador-sistema para comprobar la efectividad del sistema propuesto como predistorsionador. Así, si introducimos en el esquema de la Figura4.19la señal descrita en la Tabla4.1. El resultado de la señal ˜
x(t)en este caso es el mostrado en las gráficas de la Figura 4.20. Por desgracia, y debido a la naturaleza del filtrog1[n]impuesto en el ejemplo, la señal recuperada abarca menor ancho de banda que la señal original, al
igual que sucedísa en el caso delp-inversor (vésae Figura4.11A), sin embargo, como se puede observar en el
espectrograma de la Figura4.20D, en comparación con el obtenido para la señal sin compensar(4.20C) y con el
obtenido para la otra estrategia de inversión (Figura 4.11A), se ha disminuido considerablemente la distorsión.
A su vez, si se compara la respuesta en frecuencia entre la señal obtenida sin aplicar el compensador, reflejada en la Figura4.10By la obtenida a la salida del sistema propuesto4.19, ˜x(t), el contenido espectral es similar al de
la señal de la entrada, con excepción de la banda irrecuperable por efecto del filtrado deg1[n].
Al igual que en el caso anterior, el hecho de aplicar un test monotonal de frecuencia variable lineal no aparta información sobre todos los tipos de distorsión posibles.
Por tanto seguimos la estrategia planteada en el sistema anterior de compensación: aplicar el test de excitación tonal de frecuencia variable exponencial planteado en la Sección3.2.1siguiendo las directrices de diseño de la señal de entrada de la Tabla4.2y analizamos de nuevo la relación de potencias existentes entre las ondículas resultado de la expresión (3.53), siendo en este casoe(t)la señal de entradax(t), e y(t)la salida del sistema completo ˜x(t). Si representamos este resultado, normalizándolo igual que para obtener la representación de la Figura 4.12, y lo comparamos de nuevo con el mismo test, aplicado al sistema sin compensar, obtenemos el resultado expuesto en la Figura4.21.
En este caso sólo es necesario representar las primeras dos óndiculas, ya el sistema de compensación no eleva el orden del sistema original, como sucedía con la estrategia de p-compensación anteriormente propuesta. De hecho, si nos focalizamos en el resultado obtenido para la ondícula correspondiente al segundo orden, podemos observar la efectividad del sistema propuesto, ya que sólo se observa un ligero residuo en la señal[υ(t)∗x(−t)]∗
˜
x(t)alrededor de la marca temporalτ2.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 −1 0 1 Tiempo (s) ˜ x(t)
A: Señal recuperada en tiempo.
0 5 10 15 20 25 30 −200 −150 −100 Frecuencia (kHz) P.S.D.(dB / Hz) X(f) ˜ X(f)
B: Señal recuperada en el dominio espectral.
200 400 600 0 10 20 30 Tiempo (ms) Frecuencia (kHz) −160−140−120−100−80 −60 −40 −20 0 C: Espectrograma correspondiente a la señaly(t)(véase Figu- ra4.14) 200 400 600 0 10 20 30 Tiempo (ms) Frecuencia (kHz) −160−140−120−100−80 −60 −40 −20 0 D: Espectrograma de la señal recupera a la salida del sistema propuesto en la Figura4.19
FIGURA4.20: Señal recuperada a la salida del sistema propuesto en la Figura4.19, aplicando la entrada especifi-
−5 0 5 −1.00 0.00 1.00 τ1 −105 −104 −103 −0.05 0.00 0.05 τ2 −140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 −1.00 0.00 1.00 Tiempo (ms) [υ(t)∗x(−t)]∗y(t) [υ(t)∗x(−t)]∗x˜(t)
FIGURA4.21: Test de no linealidad aplicado a la salida del sistema LNL y a la salida de la cadena de predistorsion-
ador con el sistema.
la Figura4.19. Hay que tener en cuenta que en este casoSno puede ser representado fielmente mediante núcleos de Volterra, ya que la no linealidadN2no es de carácter polinómico. En base a la expresión (3.59) calculamos de
nuevo el estimador para el sistema completo y la entradax(t):
Ψ(S[x(t)]) =0.4786 % (4.62)
Si comparamos este resultado con el obtenido para el sistema sin compensar y con la estrategia dep-inversión mostrados en (4.21) observamos la mejora sustancial que supone la aplicación de la proyecciónLNLen este caso para obtener un buen sistema precompensador. Este sistema, además de presentar una menor distorsión no lineal general, obtiene una respuesta en frecuencia final mucho más ajustada a la de la señal de entrada que en el caso de la estrategia dep-compensación, hecho evidencado en las gráficas de las Figuras4.11Ay4.20B.
Cabe destacar que este reultado ha sido obtenido aplicando únicamente dos operaciones de convolución y una relación no lineal sin memoria sobre la señal de entrada, operaciones todas ellas ligeras computacionalmente. Esto pone de manifiesto la utilidad de explotar el modelo subyacente en los núcleos de Volterra estimados para este sistema en concreto. Por desgracia, el explotar esta estructura supone la pérdida de la flexibilidad del método dep-inversión clásico.
4.3.
Conclusiones
En este Capítulo incluimos dos estrategias de precompensación claramente diferenciadas: la primera de ellas es la clásica dep-compensación, en la que la corrección de la estimación se realiza mediante sustracciones de las estimas del aporte de cada uno de núcleos de Volterra y la segunda de ellas explota la estructura subyacente del sistema inferida a partir de los resultados de los núcleos de Volterra devueltos por los sistemas de identificación propuestos. Ambas estrategias son sensibles al proceso de identificación anterior: cuanto mejores sean las estimas de los núcleos de Volterra obtenidos, más efectivas serán las estrategias de precompensación.
Hasta ahora, en la literatura referente a la compensación de no linealidades en sistemas acústicos sólo encon- trábamos dos procedimientos diferenciados:
orden de Volterra superior a uno. En esta clasificación se englobarían aquellas estrategias que parten de los núcleos de Volterra directos como es el caso delp-inversor presentado aquí (sirvan de ejemplo las siguientes publicaciones:Nam y Powers[1990],Frank et al.[1992],Schurer et al.[1995a,1997],Farina et al.[1998]) y aquellas estrategias que extraen estas estimas mediante métodos adaptativos (Bellini et al.[1998],Klippel [1998]) y aplicando simplificaciones severas a los núcleos de Voltera que los determinan.
II. Y aquellos que parten de modelos físicos y que contrarrestan las no linealidades del sistema mediante redes
no lineales sin memoria, como por ejemplo la estrategia deKite et al.[1998], presentada en el Capítulo2
(véase Figura2.5C).
En este Capítulo hemos presentado la estrategia dep-compensación en primer lugar por dos razones: este sistemas de compensación se puede considerar como la cota superior al mejor de los sistemas de compensación mediante redes de filtros de Volterra adaptativos sustractivas y además ésta estrategia se toma como estructura de inversión por defecto, ya que, en teoría es válido para todos aquellos sistemas que puedan representarse mediante series de Volterra discretas. En este estudio se ha demostrado que, presuponiendo una fiabilidad máxima en la estima de los núcleos de Volterra, esta opción no es la más adecuada para los sistemas de arrays paramétricos
debido a dos características fundamentales de este tipo de transmisión: la no linealidad de partida es considerable con respecto a la parte lineal que forma la transmisión y el carácter “filtro paso alto” de este tipo de sistemas provoca la aparición de ceros en la respuesta generalizada del sistema que no facilitan el planteamiento de la estructura dep-compensación.
Este pequeño estudio nos sirve de guía para redefinir el problema. Una vez que hemos planteado una estrategia de identificación generalista en el Capítulo3para abordar un problema que en principio no está definido y hemos obtenido una definición de núcleos de Volterra que describe el sistema de transmisión completo, nos encontramos en una situación idónea para explotar posibles estructuras subyacentes en este proceso.
Datos arrojados por los experimentos expuestos en el Capítulo6 corroboran que detrás de los núcleos de Volterra estimados se esconde una estructuraLNL, que describe al sistema de una forma simple, y que además permite diseñar una estructura de precompensación de bajo coste computacional que permite su implementación en sistema de tiempo real de bajo coste.
El primer paso es por tanto encontrar el valor de los parámetros que componen la estructuraLNLa partir de los núcleos estimados. En este Capítulo se ha presentado una metodología completa que permite tanto detectar por inspección la posibilidad de representar un sistema mediante esta simple estructura, así como obtener de forma fiable los parámetros que la definen mediante la definición de un nuevo algoritmo de factorización de matrices en pares Toeplitz–Vandermonde. Hasta ahora, en la literatura sólo encontrábamos la posibilidad de este tipo de descomposición bajo ciertas condiciones muy restrictivas (Kibangou y Favier[2007]), como por ejemplo la imposición de cierto número de coeficientes de los filtros que las componen. Sin embargo, con el algoritmo propuesto podemos obtener todos estos parámetros imponiendo únicamente que los núcleos de Volterra que describan el sistema procedan de un sistemaLNLo de alguna estructura más compleja que se pueda reducir a ésta. Para obtener esta proyección es necesario emplear el dominio transformado y aplicar un análisis homomórfico, que permite transformar este tipo de problema en un doble problema matricial, en el que, por un lado se obtiene la magnitud de los coeficientes e ambos filtros y por otro sus fases. Con este planteamiento conseguimos transformar un complejo problema de proyección en un problema tradicional de inversión matricial.
Una vez definida la metodología para obtener la estructuraLNLsubyacente, es sencillo obtener un sistema de preinversión espejo de la misma, y por tanto de tipoLNL. En este caso la no linealidad no ha de ser polinómica. Únicamente es necesario controlar el punto de trabajo de toda la estructura garantizando así el correcto fun- cionamiento del sistema precompensador, así como asegurar la estabilidad de los filtros inversos diseñados.
Resultados expuestos a lo largo del Capítulo, basándonos en un ejemplo discreto que se asemeja al com- portamiento esperable en una estructura dearray paramétrico, aportan indicios suficientes para considerar esta técnica como una buena opción para precompensar estos sistemas. De hecho, hemos aplicado test de no linealidad diseñados a tal efecto, que indican que este sistema supone una mejora sustancial frente a la aplicación de redes de filtros de Volterra.
de Volterra, siempre y cuando la suposición de una estructura LNLsubyacente sea cierta. Al proyectar estos núcleos mediante una descomposición tipo Toeplitz–Vandermonde disminuimos el ruido de estima presente en los coeficientes estimados de los núcleos de Volterra mediante el proceso de identificación, mejorando la descripción del mismo.
La estructuraLNLaporta dos claras ventajas: (i) el preprocesado necesario para obtener una señal fiel del sistema es muy ligero computacionalmente, ya que a partir de una estructuraLNLhemos demostrado que se puede obtener un compensador casi perfecto a base de filtros lineales y compresores matemáticamente relacionados con la estructuraLNLe (ii) independiza la influencia del transductor y el sistema electrónico previo del medio de transmisión, esto hace posible aligerar complejidad del sistema de identificación, hasta tal punto de permitir al propio usuario adaptarlo a la zona de uso escogida en tiempo real y sin necesidad de especialistas.
Esto abre la puerta para añadir funcionalidades al sistema como la autocalibración, sin necesidad de dis- eñar algoritmos específicos para realizar esta tarea. Sin embargo, esta estrategia adaptativa no es viable si no disponemos de un modelado previo como el propuesto a lo largo de estos dos últimos Capítulos. Por desgracia, la influencia del transductor en el sistema completo depende fuertemente del funcionamiento de la cadena completa que impone el propioarray paramétrico(tipo de modulación, puntos de trabajo...) lo que implica la necesidad de un modelado entrada–salida completo, para poder definir el sistema.
Sin embargo es importante destacar que al igual que sucedía con la metodología propuesta para el sistema de identificación, las estrategias de compensación presentadas aquí son viables en otro tipo de sistemas. El mismo hecho de centrarnos en una estructura típica como laLNLcentra el problema, si bien es cierto que una gran parte de los sistemas no lineales relacionados con problemas de transmisión e instrumentación pueden representarse mediante este tipo de estructura, y por tanto, esta metodología es extrapolable a los mismos, permitiendo linealizar procesos que impliquen etapas de amplificación que introduzcan no linealidades, algo muy habitual en este aérea de conocimiento.
A partir de aquí, presentaremos la aplicación de toda esta metodología sobre una estructura dearray parámet- ricoreal, diseñada con el fin de comprobar la efectividad de los algoritmos propuestos, centrándonos únicamente el sistema de estudio principal sobre el que versa este texto. Para ello será necesario plantear un diseño propio así como una estrategia de medición concreta, que únicamente será aplicable este tipo de problemas.
DISEÑO DE PROTOTIPOS Y
ESTRUCTURA BAJO ESTUDIO
Como ya se mencionó de forma somera en la introducción de este texto, losarrays paramétricosforman un conjunto muy especial dentro de los sistemas de transducción electroacústicos. La principal peculiaridad que los caracteriza es su capacidad para generar señales a partir de procesos no lineales, lo que implica un punto de trabajo concreto, que se encuadra dentro de un contexto intermedio entre los procesos de transducción electroacústicos ultrasónicos y sónicos. Pasamos por tanto a centrarnos en aplicaciones que exigen procesos de transmisión paso banda. A su vez, los niveles manejados por estas estructuras superan con creces los normales en sistemas acústicos habituales, siendo incluso mayores que los manejados por sistemas dePAprofesionales.
Todas estas circunstancias implican el desarrollo de sistemas de transducción orientados únicamente a este tipo de aplicaciones. Fundamentalmente, los transductores asociados al fenómeno delarray paramétricose basan en el principio piezoélectrico o en el electrostático y conllevan el diseño de sistemas de polarización y amplificación propios, que aseguren un correcto funcionamiento del conjunto de la estructura.
Es por todo ello que en este Capítulo se hará una breve presentación de la tecnología existente hasta el momento aplicada a la generación dearrays paramétricosasí como un breve esbozo del funcionamiento de los mismos a través de la teoría de transducción clásica. También se realizará un breve repaso de los productos comerciales existente en el mercado que basan su funcionamiento en esta tecnología.
Toda esta información servirá de base para la implementación de un sistema real básico, que ante todo per- siga la fidelidad y que permita caracterizar el proceso de generación de ondas acústicas a partir de procesos no lineales. Básicamente, esta estructura servirá como sujeto de pruebas de los algoritmos propuestos a lo largo de los Capítulos3y4.
Debido a las particularidades de los transductores capaces de adaptarse a esta aplicación concreta, los primeros esfuerzos de este diseño se han centrado en la elección del transductor. Este elemento determina el diseño tanto del sistema de polarización–amplificación como la disposición del mismo formando unarray físico real, y por tanto la directividad predecible que ofrezca el sistema.
A su vez, en este Capítulo se presenta la electrónica asociada al array físico diseñado, asegurando así la posible reproducibilidad de todos y cada uno de los experimentos que se presentarán en el Capítulo6. También