Distorsión introducida en la onda secundaria empleando la modulación MSRAM

Parámetros Valor Unidades fs 400 kHz Aportadora 1 u.a. m 0.8 adim. Duración test 7 s A: Parámetros de la simulación. BARRIDOI BARRIDOII

Parámetros Valor Unidades Parámetros Valor Unidades

fmin 100 Hz fmin 100 Hz

fmax 20 kHz fmax 5 kHz

B: Parámetros de las dos señales tonales de frecuencia variable que componen la entrada del test.

TABLA2.3: Parámetros empleados para caracterizar los distintos esquemas de modulación de las estructuras de

arrays paramétricos mediante señales tonales variables en frecuencia.

El caso de la modulaciónSRAMse puede considerar contrario al anterior. Este tipo de preprocesado asegura la linealidad en la onda secundaria a costa de aumentar el ancho de banda que ha de emitir el transductor. Así, nos encontramos que debido al efecto que provoca la inserción de la raíz cuadrada previo al paso de la modulación, se obtiene un sistema no lineal polinómico de grado infinito, como ya se dedujo a partir de la expresión (2.25). Este fenómeno se observa claramente en el espectrograma de la Figura2.10E. Sin embargo, la onda secundaria tanto

para el caso del barrido único (Figura2.10C) como para el compuesto (Figura2.10D) conservan la linealidad y la

única diferencia apreciable con la señal original viene dada por la coloración introducida por la doble derivada. En objetivo fundamental de la modulaciónSSB-AMes el de reducir al máximo el ancho de banda demandado al transductor. Como ya se comentó anteriormente, dado que la forma de la envolvente de este tipo de modulación se aproxima a la obtenida en el caso de la modulaciónSRAM, en el caso de encontrarnos con una entrada mono- tonal, el test realizado para la entrada de barrido único arroja resultados esperanzadores: el sistema conserva su linealidad (véase Figura2.11C), sin embargo este tipo de modulación no se encuentra libre deIMD, ya que

potencia la aparición del producto de intermodulación correspondiente a|ω1−ω2|, como se pone de manifiesto

en el espectrograma de la Figura2.11D.

En cuanto a la otra modulación en cuadratura propuesta, la MSRAM, posee características similares a la

SRAM: en los espectrogramas que representan las ondas secundarias (Figuras2.12Cy D) se aprecia claramente

la ausencia casi en totalidad de distorsión armónica y de intermodulación, pero, al igual que en laSRAM, se exige al transductor un gran ancho de banda. Sin embargo, en este caso, podemos apreciar como este ancho de banda se concentra más que en el caso de laSRAM(veáse2.12Efrente a2.10E).

A la vista de los resultados obtenidos mediante estos test, así como los resultados teóricos recogidos en la Tabla2.1 podemos afirmar que ninguno de los esquemas de modulación cumple las especificaciones exigidas simultáneamente. Unido a este problema además hay que tener en cuenta influencia de las posibles desviaciones frente al sistema del modelo físico analizado en secciones anteriores.

2.4.

Conclusiones: modelo de sistema

En este Capítulo se han recogido los principales investigaciones que pretenden describir el funcionamiento de las estructuras dearrays paramétricos, a partir del estudio de la ecuaciónKZK, que describe la propagación de la onda acústica teniendo en cuenta fenómenos de no linealidad derivados del manejo de altos niveles de potencia acústica. Debido a la complejidad que entrañan este tipo de relaciones, se han tomado como punto de partida aquello estudios que pretenden simplificar este sistema de transmisión complejo mediante el modelado de la relación existe entre la señal emitida por el transductor la recibida en el rango de frecuencias audibles.

Para ello, se ha presentado el estudio de Westervelt en el que se formaliza la interacción de dos tonos en este tipo de sistemas de transmisión. A partir de este resultado surge laexpresión de Berktayque se emplea como

referente en esta área.

Debido al mecanismo de generación de la onda secundaria, que depende de la interactuación no lineal entre la señal a transmitir y una portadora, que sirve de referente del batido general, los investigadores han planteado diversas técnicas de modulación que producen en el margen audible señales que guardan una relación pseudolin- eal con la entrada. En este Capítulo se han presentado y simulado las principales técnicas de modulación, todas ellas basadas directamente en laexpresión de Berktay, con el fin de facilitar la complejidad del sistemas. Se ha creído conveniente reevaluar todas ellas desde un punto de vista teórico, dando por supuesta laaproximación de Berktayy analizando el comportamiento general de la estructura frente a señales tonales. A su vez, todas estas técnicas han sido simuladas sobre un sistema de transmisión perfecto, para evaluar la distorsión armónica y de intermodulación que se espera para cada una de ellas. Por desgracia, estos valores tienen un interés relativamente bajo, ya que a pesar de ofrecer información sobre el sistema, no aportan los datos suficientes para el diseño de un sistema final.

En esta Tesis se propone una metodología diferente para la caracterización de estas estructuras: la identifi- cación del sistema de transmisión completo bajo ciertas premisas, obtenidas a partir de este estudio, pero que abren las puertas al planteamiento de modelos más complejos que describan este fenómeno. Así, a partir de lo ex- puesto en este Capítulo se acotarán los posibles modelos que sean capaces de describir de la forma más fiel posible el sistema al completo. No daremos por supuesta laexpresión de Berktay, si no que nos servirá únicamente como punto de partida ya que el objetivo final es el de identificar la relación entre la envolvente y la señal secundaria recibida desde un punto de vista de modelados de sistemas.

En un principio esta perspectiva puede parecer ambiciosa, sin embargo, podemos desglosarla en dos objetivos: (i) plantear un sistema de diagnosis que aporte información sobre qué tipo de estructura es la adecuada para caracterizar el problema y (ii) encontrar los mecanismos adecuados para obtener los parámetros que conformen el modelo.

Esta metodología se plantea desde un punto de vista genérico, ya que con ella pretendemos independizar la técnica de modulación empleada de la batería de algoritmos propuestos que conformen la misma, aunque el punto de partida sea emplear la modulaciónAM.

A su vez, en este Capítulo se esbozan ciertas restricciones que pueden llegar a ser críticas a la hora de selec- cionar los algoritmos de identificación, ya que las propias técnicas de modulación imponen un modo de trabajo concreto, acotando tanto el margen dinámico, frecuencial y el punto de trabajo del sistema. Este tipo de restric- ciones no son determinantes a la hora identificar sistemas lineales, sin embargo en este caso condicionan por completo su funcionamiento y por tanto el modelo que lo describe.

IDENTIFICACIÓN ORIENTADA A LAS

ESTRUCTURAS DE ARRAYS

PARAMÉTRICOS

Uno de los principales retos a la hora de diseñar un altavoz paramétrico de altas prestaciones es el de carac- terizar de forma adecuada el funcionamiento del mismo. A diferencia de los altavoces tradicionales, que persiguen la fidelidad mediante la mejora de los sistemas de transducción, el propio fenómeno delarray paramétricoimplica un proceso no lineal de transmisión que ha de ser caracterizado para poder ser compensado posteriormente.

A lo largo de este Capítulo se describirán las diferentes técnicas empleadas en la identificación del sistema bajo estudio (SUT), así como los métodos de discriminación entre las posibles estructuras que describen al mismo. El objeto de estos algoritmos es el de proporcionar una metodología de identificación completa, adaptada a esta problemática concreta. Dado que la identificación de sistemas forma un área completa de conocimiento por sí misma, en el texto se proponen únicamente algoritmos destinados a identificar el sistema en un laboratorio, con necesidad de procesado posterior, si bien es cierto que estos resultados pueden servir de parámetros de entrada a algoritmos más ligeros que se pueden ejecutar en tiempo real, actuando como calibradores in situ del producto final.

En general, la mayoría de las técnicas de identificación de sistemas no lineales se basan en la estimación de los parámetros que describen una cierta estructura impuesta partiendo del estudio de la salida del sistema obtenida a partir de una entrada concreta. Como resultado de este análisis, se obtiene un modelo del sistema que permite sintetizar el comportamiento del modelo físico real.

Este planteamiento deja abiertas las puertas a diferentes técnicas de identificación dependientes de la estruc- tura escogida. En las primeras aproximaciones expuestas en la literatura, los modelos se basaban en caracterizar el comportamiento lineal de los sistemas, como por ejemplo enMüller y Massarani[2001],Stan et al.[2002], mientras que sólo aspiraban a cuantificar la influencia de la no linealidad presente en los mismos (Czerwinski

et al.[2001]). Los métodos clásicos recurren a la determinación de distorsión armónica total (THD) y los produc-

tos de intermodulación para valorar la no linealidad, empleando para ello como entrada combinaciones de tonos puros. Sin embargo, estos parámetros no describen con fidelidad el sistema, ni permiten plantear estructuras de inversión factibles.

Otros métodos recurren a la formalización de la descripción del modelo a partir de las series Volterra. Esta representación implica la estimación de un gran número de coeficientes, sin embargo suele ser adecuada para la

mayoría de sistemas reales, siempre y cuando cumplan con una pequeña serie de requisitos. A lo largo de la liter- atura se han expuestos múltiples mecanismos de hallar este tipo de representaciones, ya sea a través del método de Wiener (Schetzen[1981]), aplicando métodos espectrales (Brillinger[1970]), o autorregesivos (Thouverez y

Jezequel[1996]). También existen diversidad de estrategias atendiendo al tipo de excitación necesaria para obten-

er esta representación: señales pseudoaleatorias a la entrada del sistema (Nowák y Van Veen[1994]), secuencias multinivel (Chen et al._[1989_],Reed y Hawksford_[1996_]), u ondículas (Prazenica y Kurdila_[2006_]). Las series de Volterra ofrecen información sobre la estructura subyacente del sistema caracterizado, lo que permite deducir un modelo más reducido que describa al mismo de manera fiable, sin necesidad de realizar premisas basadas en conocimientos físicos de su comportamiento.

Sea cual sea la estrategia elegida para la identificación del sistema, la mayor parte de estas metodologías requieren de conocimientos previos del sistema a identificar. En nuestro caso disponemos del modelo físico pre- sentado en el Capítulo2, que podemos tomar como punto de partida para elegir la técnica más adecuada. Además, dentro de la metodología propuesta se incluyen sistemas de diagnóstico que permiten facilitar la caracterización completa delarray paramétrico, especialmente diseñados para la ocasión.

Dada la diversidad de algoritmos y estructuras posibles a aplicar a este tipo de sistemas, en este Capítulo se realizará un estudio exhaustivo tanto de representaciones posibles, señales de excitación, así como sistemas de diagnósticos. Dentro de este estudio se proponen dos metodologías propias diferentes para describir el sistema, así como algoritmos propios adaptados a la casuística del problema: la existencia de fenómenos no lineales conjugada con el empleo de modulaciones que restringen el margen dinámico de la entrada. Todos estos algoritmos serán puestos a prueba en sistemas sintéticos próximos al comportamiento descrito por el modelo físico, para corroborar su fiabilidad. A su vez, se presentarán nuevos mecanismos que permitan valorar la fiabilidad del proceso de identificación.

3.1.

Planteamiento inicial del problema de identificación

En los últimos años, y debido al desarrollo de diferentes prototipos y productos industriales que aprovechan el efecto de los arrays paramétricosacústicos, se han propuesto diversas estrategias de identificación de estos sistemas. Casi todos ellos parten del mismo tipo de modulación (véase Sección2.3) y de la suposición de que el sistema se comporta como describe la ecuación de Berktay, imponiendo una estructura de Hammerstein pura.

Los resultados más prometedores parten del empleo de filtros de Volterra adaptativos, identificando el modelo de forma iterativa (Ji et al.[2011],Ji y Gan[2012],Mu et al.[2013a,2014b]). Otros autores se han decantado por el empleo de señales deterministas, como tonos variables decalados para obtener una aproximación de la distorsión introducida, como en el trabajo deMu et al. _[2014a_]. En este trabajo se demuestra que es posible hallar modelos con coeficientes fuera de la diagonal a partir de excitaciones tonales. Si bien es cierto que en esta referencia se comete un grave error de concepto ya que se pretende extraer coeficientes no-Hammerstain asumiendo que se sigue cumpliendo una simplificación la relación expuesta en (3.53) cuando los núcleos se encuentran dispersos más allá de sus diagonales. Como ya se estudió en la Sección3.2.1, los coeficientes estimados aplicando esta metodología resultarían deformados según las expresiones reflejadas en la Tabla3.4y por tanto esta estima se alejaría de la realidad en tanto y cuando no podemos aplicar tonos de suficiente longitud como para mitigar este deformación.

Todos estos estudios obtienen resultados contradictorios, en los que el residuo de la estimación se puede considerar intolerable para plantear una estructura de inversión, e incluso muchos de ellos únicamente aportan medidas de distorsión obtenidas a partir de medidas tonales. Por ejemplo, en el caso de los métodos recursivos, uno de los motivos fundamentales que afectan a la bondad de la identificación es la imposición de que el sistema a identificar ha de contar con núcleos no dispersos para obtener una solución válida, o bien redefinir la función de coste del problema (Shi y Shi_[2011_]) y es de suponer que esta premisa no tiene por qué cumplirse.

Esto nos plantea un escenario en el que, a pesar de disponer de aproximaciones físicas teóricas, no queda clara cuál es la estructura o modelado más adecuado para la descripción del sistema. Si bien todos estos análisis coinci- den en dos características: tanto la memoria como el orden de la no linealidad inherente parecen ser decrecientes, con gran predominancia del segundo orden frente a los siguientes.

Premisas y condicionantes iniciales Todos los posibles modelos Leyes físicas Diseño del experimento Elección del modelo Estructura y estimación de orden Estimación de parámetros ¿Válido? ¿Consistente? Modelo final Modelado Conocimiento del sistema Datos medidos sí sí no no

FIGURA 3.1: Procedimiento general a la hora de escoger e identificar un sistema genérico, basado en Eykhoff [1984]. La metodología se puede extrapolar al caso concreto de la identificación dearrays paramétricos.

Con el fin de mejorar estos resultados, el planteamiento del problema se ha modificado radicalmente frente a las investigaciones anteriores: se ha optado por una estrategia generalista, intentando aplicar técnicas de identifi- cación que se encuentren mínimamente sujetas al modelo a identificar. La metodología propuesta se corresponde por tanto con la descrita en la Figura3.1, en la que el modelado del sistema se inspira en un modelo físico aportado por investigaciones previas pero no se ciñe completamente a él.

3.1.1.

Modelos de caja blanca, gris y negra

La identificación de sistemas no lineales se encuentra fuertemente influenciada por la información disponible sobre el sistema a identificar. Estos datos preliminares serán condicionantes a la hora de elegir la técnica más adecuada para obtener una mejor síntesis del sistema real a identificar.

La clasificación básica de esta situación preliminar es la conocida como modelos de caja blanca, negra y gris:

Modelo de caja blanca: Se encuentran bajo esta categoría todos aquellos procesos que se rigen directamente por principios fundamentales y que se pueden describir por completo mediante modelado teórico. Dentro de esta categoría también podemos incluir aquellos fenómenos que, si bien dependen de un modelo teórico, es necesario determinar ciertos parámetros de este modelo a partir de datos procedentes de una medición.

Modelo de caja negra: Se basan únicamente en datos extraídos del sistema. Tanto la estructura como los parámetros de la misma se determinan a través de modelado experimental. No es necesario un conocimien- to previo del sistema y el modelo no ha de concordar con leyes físicas o procesos fundamentales.

Modelo de caja gris: Representa el compromiso entre los dos modelos anteriores. Se permiten suposiciones arbitrarias, pero se parte de alguna suposición física y de los datos obtenidos a partir de mediciones. Así, la estructura elegida para identificar el sistema ha de corresponderse o ser descriptiva de un modelo físico conocido con anterioridad, mientras que los parámetros estimados se obtienen a partir de las medidas.

Caja blanca Caja gris Caja negra

Fuentes de

información Principios fundamentales._{Conocimento profundo.} Conocimiento_{cualitativo (reglas).} Datos del sistema disponibles.

Experimentos. Datos.

Ventajas Buena extrapolación. Alto conocimento. Alta fiabilidad.

Escalabilidad del sistema.

Tiempo de estudio pequeño. Pocos conocimientos previos de la materia a tratar. Se pueden emplear a pesar de no describir correctamente los fenómenos.

Inconve-

nientes Gran consumo de tiempode estudio. Requiere de un experto en la materia.

Su conocimiento restringe su precisión.

Sólo para procesos ampliamente estudiados.

Extrapolaciones poco fiables. Ausencia de escalabilidad. Fiabilidad restringida por la calidad/cantidad de los datos. Bajo conocimiento del proceso.

Áreas de

aplicación Planificación.Construcción.

Descripción de procesos físicos fundamentales. Elección preferente para procesos sencillos.

Sólo para procesos reales de los que se puedan extraer datos. Elección preferente en sistemas complejos.

TABLA3.1: Clasificación de los problemas de identificación atendiendo a los conocimientos previos del SUT, inspi-

rada enNelles_[2001_]

intencionadamente en blanco aquellas casillas en las que, dependiendo del caso concreto, podemos aplicar las características expuestas para el modelo de caja blanca o negra.

Los modelos de caja blanca o negra son escasos en el área de la ingeniería. En concreto el problema inicial que trata de resolver esta Tesis se puede clasificar como problema decaja gris clara. Por tanto el planteamiento es el siguiente: a partir de los modelos físicos conocidos (véase Sección2.2.2), es necesario encontrar una estructura que permita describirlos e identificarlos.

Esta clasificación coincide con la importancia que tienen, a la hora de aplicar un procedimiento de identifi- cación, las distintas ramas que se contemplan en el diagrama de la Figura3.1. Dependiendo del tipo de problema al que nos enfrentemos, las ramas laterales derechas adquieren mayor o menor importancia, ya que el tipo de modelo escogido se verá afectado por el proceso de modelado proveniente de las leyes físicas que gobiernen el sistema. En el caso de sistemas bien definidos mediante leyes físicas, las ramas del lateral izquierdo adquieren más importancia, mientras que si la incertidumbre frente al comportamiento del sistema es alta, el grueso del problema recae en los bloques centrales, así como en los procesos de validación de modelo.

3.1.2.

Clasificación y elección de los métodos de identificación no lineal

A la hora de identificar un sistema no lineal uno de los problemas fundamentales que se plantea es el de elegir un sistema de identificación adecuado al problema. Por desgracia, no existe un método general que garantice una identificación exitosa.

En la Figura3.2se muestra una clasificación de los métodos de identificación basada en el tipo de premisas necesarias para identificar un sistema. A priori, en ésta se distinguen tres categorías diferenciadas: métodos paramétricos,métodos no paramétricosymétodos semi-paramétricos.

Sistemas no lineales Modelos no paramétricos Series Funcionales M. cont. de Volterra no param. M. dis. de Volterra no param. M. de Uryson no param.

Mod. ori. por bloques (reg. de núcleos) Modelos paramétricos Modelos especiales Hammerstein simple