CONCEPCIÓN FRECUENCIAL

la probabilidad de un suceso en la siguiente forma:

"Asignamos a cada suceso el cociente entre los casos que le son favorables y los casos que son posibles. Así al suceso V = "extraer bola verde" le asignamos 6/18 = 1/3.

A este cociente lo llamaremos probabilidad del suceso V y lo expresamos así: P(V)=1/3. P(V)=1/3 indica que de cada tres resultados posibles uno debe ser favorable a V, o también, que al repetir el experimento un gran número de veces cabe esperar que en la tercera parte de ellas se cumpla V"

(Texto [H], p. 192).

En este ejemplo, se pide incluso la descripción de los "sucesos favorables", terminología propia del autor, que tampoco se corresponde con la usual en estadística:

"Escribe los sucesos favorables a Luis, Felipe y Laura." (Texto [H], p. 192).

En otro apartado afirma que la probabilidad calculada, de acuerdo a la regla de Laplace, es una de las formas de asignar la probabilidad a un suceso:

"Suponiendo que todos los resultados elementales son equiprobables. Esta probabilidad se puede conocer de antemano, sin necesidad de realizar el experimento, por eso la de nominaremos probabilidad "a priori" (Texto [H], p. 197).

Sin embargo, el calificativo "a priori" para una probabilidad no se restringe al caso de aplicación de la regla de Laplace. En particular, la diferenciación entre probabilidades a priori y a posteriori suele hacerse en el contexto del empleo del teorema de Bayes, y en general de cualquier proceso de inferencia bajo incertidumbre. Se conoce como probabilidades a priori, las probabilidades asignadas inicialmente a los sucesos, antes de obtener una evidencia experimental por medio de una muestra. Las probabilidades condicionadas de estos mismos sucesos, una vez realizado el experimento y en función de los datos obtenidos en cuestión se denominan probabilidades a posteriori (Canavos 1987).

Observamos finalmente que en el enfoque clásico se muestran en casi todos los libros de texto los elementos de significado PC1, PC2 y PC3 compartidos por las diferentes acepciones de probabilidad. Así mismo los elementos PC5 y PC6. Por el contrario la condición de finitud del espacio muestral (PC4) y el carácter objetivo de este concepto de probabilidad (PC7) se soslayan, seguramente debido a su mayor complejidad.

Además este enfoque se recomienda, desde un punto de vista metodológico en numerosas propuestas curriculares para la enseñanza no universitaria (MEC, 1989; Junta de Andalucía, 1989; N.C.T.M., 1989). Permite también la simulación de experimentos, con lo que podemos analizar modelos probabilísticos cuyo tratamiento a partir del cálculo directo de probabilidades sería demasiado difícil para los estudiantes y también otros que serían difíciles de observar, debido al tiempo necesario para esperar a que realmente se produzcan o a la dificultad de desplazamiento al lugar donde podrían observarse.

No obstante, este enfoque tiene algunos inconvenientes desde los puntos de vista filosófico, conceptual y práctico relacionados con la noción de número infinito de experimentos. A continuación analizamos los elementos intensionales del significado asociados a esta concepción de la probabilidad:

PF1: La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1.

PF2: La probabilidad del suceso seguro es 1.

PF3: La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es la suma de las probabilidades de estos sucesos.

PF4: Los experimentos aleatorios son repetibles indefinidamente en las mismas condiciones.

PF5: Los espacios muestrales pueden o no ser finitos.

PF6: Los sucesos elementales pueden o no ser equiprobables.

PF7: La frecuencia relativa de los sucesos tiende a estabilizarse alrededor de un cierto número, que es la probabilidad del suceso, en un número suficientemente grande de experimentos. Esta estabilización tiene un carácter aleatorio, pues se producen oscilaciones, aunque la probabilidad de que su tamaño exceda un cierto valor puede calcularse en función del número de pruebas.

PF8: La probabilidad de un suceso es un valor objetivo; depende del suceso y no de mi conocimiento sobre el mismo.

Vemos que los tres primeros elementos intensionales del significado del concepto, así como el PF8 son compartidos con la aproximación clásica y que la concepción frecuencial puede considerarse como una ampliación de la anterior por dos motivos: a) Amplía el tipo de experimentos a los que puede asignarse una probabilidad; b) debido al elemento PF7 asignaría las mismas probabilidades que la concepción clásica cuando el espacio muestral es finito y los sucesos son equiprobables.

Respecto al elemento PF4, ya habíamos visto en la sección 5 que asignábamos a los experimentos aleatorios la posibilidad de ser repetibles, al menos imaginariamente. Sin embargo, hemos querido resaltar aquí este aspecto, porque en el enfoque frecuencial es preciso que el experimento sea repetible para asignar la probabilidad al suceso. En cambio, en las concepciones clásica o subjetiva la asignación de probabilidades no se basa explícitamente en esta exigencia de repetibilidad. Este elemento PF4, así como el PF7 y en general toda esta concepción se halla también relacionada con la idea de frecuencia relativa. Por ello, hemos considerado que los textos analizados contienen una mención, al menos implícita a la concepción frecuencial de la probabilidad cuando hacen un estudio detallado de la convergencia (estabilidad) de la frecuencia relativa.

A continuación analizamos la presentación de esta concepción de probabilidad en los textos elegidos. Como hemos visto, todos los que la tratan presentan los elementos PF1 a PF3 que son compartidos con la concepción clásica. Los elementos PF4 y PF7 están imp lícitos en la misma definición de frecuencia relativa y su convergencia a la probabilidad. Los elementos PF5 y PF6 sin embargo, son omitidos en la mayor parte de los textos analizados.

En [C], después de describir un experimento de lanzar un dado 100 veces, donde se han anotado los resultados, propone como definición de probabilidad la siguiente, en la que podemos reconocer la concepción frecuencial:

"A ese valor al cual la frecuencia relativa de un suceso se aproxima tanto como queramos, sin más que efectuar el experimento tantas veces como sea necesario, se le llama probabilidad del suceso"

(Texto [C], p. 72).

En esta afirmación de que solo es preciso efectuar el experimento tantas veces como sea necesario, no se alude al problema filosófico asociado a la asignación frecuencial de probabilidades, relacionado con el número necesario de repeticiones del experimento. Tampoco se refiere al problema de asignar probabilidades a sucesos no repetibles en las mismas condiciones. Sin embargo reconoce que con esta definición solo podremos proceder aproximadamente a la asignación de probabilidades.

Para salvar este inconveniente concluye que "mediante la experimentación reiterada podemos conseguir que la frecuencia relativa se estabilice, oscile menos bruscamente. Le asignaremos al suceso estudiado una probabilidad adecuada a la vista de los resultados, pero no como algo aproximado, sino considerándolo como exacto" (Texto [C], p. 72). Pero esto no consigue clarificar ni cuál es el número necesario de ensayos, ni cuál es el valor adecuado de la probabilidad que debe asignarse al suceso.

En [D], después de definir las frecuencias absoluta y relativa de un suceso y sus propiedades, introduce la definición de probabilidad, de un modo semejante:

"La importancia de la frecuencia relativa se deduce de esta ley del azar: Al aumentar el número de experiencias, la frecuencia relativa de un determinado suceso tiende a estabilizarse alrededor de un número que llamaremos probabilidad de dicho suceso" (Texto [D], p. 76).

Esta misma imprecisión y definiciones similares se presentan en [E]. En [I] menciona que:

"La teoría de probabilidades se ocupa de medir hasta que punto se puede esperar que ocurra un suceso. Se dice que esa medida es su probabilidad. Que un suceso tenga una probabil idad del 70%, significa que, de cada 100 veces que se presentan determinadas condiciones, el suceso ocurre 70.

También se dice, en este caso, que la probabilidad es de 70/100 = 0,7" (Texto [I], p. 227).

En esta presentación hay una imprecisión que podría inducir a mantener el sesgo de representatividad (Kahneman, Slovic y Tversky,1982), ya que al decir que de cada 100 veces el suceso ocurre 70 se está dando la idea de que la frecuencia relativa del suceso coincidirá exactamente con su probabilidad. No se insiste explícitamente en la fluctuación de las frecuencias relativas, pudiendo inducir a los alumnos a creer en una constancia inexistente en los resultados de los experimentos aleatorios.

Realiza luego un estudio más detallado de las frecuencias relativas cuando aumenta el número de experiencias en el apartado 3) del capítulo 14 titulado "Leyes del azar.

Probabilidad." Para ello propone estudiar la frecuencia relativa del número 3 al tirar más y más veces un dado.

En primer lugar, describe el lanzamiento de un dado hasta completar veinte series de doce lanzamientos, presentando los resultados en una tabla y realizando la gráfica correspondiente.

Repite la experiencia otras dos veces y dibuja las tres curvas correspondientes, observando que, conforme aumenta el número de tiradas, las oscilaciones de las curvas van siendo menos bruscas y que las curvas se van acercando a un cierto valor (Texto [I], p. 235).

Para ver con más claridad el efecto presenta el resultado de 32 series de 20 lanzamientos cada una. De la observación de la gráfica con todos los resultados concluyen los autores que las oscilaciones en cada curva y tendencia de todas ellas hacia el valor 1/6 se aprecian cada vez con más claridad, y enuncian así la ley de los grandes números:

"Cuando el número de observaciones de un fenómeno aleatorio crece mucho, la frecuencia relativa del suceso asociado se va acercando más y más hacia un cierto valor. Este valor se llama probabilidad del suceso" (Texto [I], p. 236).

En el caso de que no podamos suponer que todos los sucesos elementales tengan la misma probabilidad, nos indica que podemos utilizar esta "convergencia" para asignar probabilidades a los sucesos:

"Pero si la experiencia es tal que no podamos suponer, en buena lógica, que los sucesos elementales son equiprobables (lanzamiento de un dado trucado o de una chincheta, que no tiene igual facilidad para caer en una posición o en otra), asignamos probabilidades inspirándonos en la ley de los grandes números: hacemos muchas experiencias (cuantas más, mejor) y asignamos los valores de las frecuencias relativas como buenas aproximaciones de la probabilidad " (Texto [I], p. 243).

Otra característica importante de la frecuencia relativa es resaltada en el ejemplo 1 de la página 227, del mismo texto, en el cual se relaciona la probabilidad con el valor medio de la frecuencia relativa en una serie de ensayos:

"La probabilidad de obtener un 3 al lanzar un dado es 1/6, pues ocurre, por término medio, una de cada seis veces que se intenta."

Esta propiedad se debe a que la frecuencia relativa de cada suceso en una sucesión finita de n ensayos es una variable aleatoria, siendo la media o esperanza matemática de esta variable aleatoria igual a la probabilidad del suceso (Ríos, 1967).

En [K], en el epígrafe 26.2 del capítulo dedicado a la probabilidad, que denomina "Idea intuitiva del concepto de probabilidad", hace referencia a la concepción frecuencial de la probabilidad, de la siguiente forma:

"Este número, al que la frecuencia relativa de un suceso se acerca tanto más cuanto mayor es el número de pruebas realizadas, es al que llamaremos probabilidad del suceso " (Texto [K], p. 402).

Menciona a continuación los inconvenientes de esta definición que se concretan en dos.

En primer lugar, indica que es necesario realizar un número elevado de pruebas del experimento para obtener una estimación suficientemente fiable de su probabilidad. Además resalta que con este método nunca conoceríamos el valor exacto de la probabilidad, sino un valor aproximado.

Por todo ello sugiere: "tratar el concepto de probabilidad de una forma tal que para hallar la probabilidad de un suceso no tengamos necesariamente que efectuar un gran número de pruebas y además podamos hallar el valor exacto" (Texto [K], p. 412).

Hay aquí una ilusión de transparencia sobre el concepto de probabilidad, que se equipara a una propiedad del suceso e incluso a una magnitud medible. Como sabemos, aunque hay un acuerdo sobre los axiomas particulares que debe cumplir una función definida sobre el álgebra de

sucesos para ser considerada como una probabilidad (Quesada y García, 1988), no lo hay sobre el modo en que debieran asignarse las probabilidades a los sucesos de un experimento particular (Matalón, 1979).

Por tanto, no existe en general un valor exacto para la probabilidad de un suceso. Incluso en un caso tan sencillo como el lanzamiento de un dado, objetivistas y subjetivistas posiblemente no estarían de acuerdo en el modo de asignar probabilidades, ya que diversas condiciones sobre la construcción o la habilidad de la persona que lo lanza pudieran sesgar sus resultados. En la exposición de los textos analizados no queda claro, en general, el carácter de modelo matemático del cálculo de probabilidades, que implica siempre una convención a la hora de aplicarlo a casos particulares, aunque ello es razonable debido a las dificultades que hemos señalado.

En [G], al hablar de la estabilidad de las frecuencias relativas no comenta nada sobre la probabilidad, pero más tarde en la introducción de la regla de Laplace afirma:

"Sensibilizado el concepto de probabilidad como la frecuencia de un suceso, cuando el número de pruebas se repite ilimitadamente" (Texto [G], p. 204).

Entendemos esto como una forma de hacer ver a los alumnos la concepción frecuencial de la probabilidad. En [H] aparece un apartado denominado "Frecuencia como probabilidad" y en él un epígrafe "La experimentación nos da la probabilidad", donde intenta introducir de una manera intuitiva la concepción frecuencial de la probabilidad, encontramos el siguiente ejemplo:

"Una partida de ajedrez entre dos personas, A y B, puede considerarse como un experimento aleatorio puesto que:

1. Puede repetirse varias veces.

2. Su resultado no puede conocerse de antemano con seguridad.

Los posibles resultados de este experimento son tres: Gana A; Gana B; Finaliza en tablas.

Si consideramos que los tres resultados tienen las mismas posibilidades de ocurrir, es decir, son equiprobables, podemos aplicar la definición de probabilidad utilizada hasta ahora y así:

P(Gana A) =P(Gana B)= P(Terminan en tablas) = 1/3.

Juan y Pedro deciden comprobar si es cierta esta suposición. Para ello deciden jugar 12 partidas.

Los resultados obtenidos son los siguientes: Juan gana 6 veces, Pedro gana 4 y 2 terminan en tablas.

a) Calcula la proporción de veces que se obtiene cada resultado.

b) ¿ Te parece lógico pensar que los tres resultados eran equiprobables? ¿Por qué?

c) A la vista de los resultados obtenidos, ¿qué probabilidad crees tu que tendría cada suceso de ocurrir?

Observa que las proporciones calculadas en el apartado a) son precisamente las frecuencias relativas de cada resultado en las 12 partidas.

En muchos casos la frecuencia relativa con que ha ocurrido un suceso, nos da una idea más precisa de la probabilidad de ese suceso que la o btenida considerando todos los resultados equiprobables"

(Texto [H], p. 196).

Esta indicación podría inducir a los alumnos a pensar que la frecuencia relativa de un suceso nos da una aproximación de la probabilidad de ese suceso en pocas pruebas (en este caso sólo 12), cuando sabemos por la ley de los grandes números, que son necesarios un gran número de pruebas para que esto ocurra. Así mismo, vemos que sugiere como característica de los experimentos aleatorios el hecho de que sean repetibles.

Concluye afirmando que una de las formas de asignar la probabilidad a un suceso es utilizando la frecuencia relativa del suceso en un número elevado de experiencias. Denomina a esta probabilidad, cuya asignación requiere la realización del experimento, probabilidad "a posteriori".

La diferenciación entre probabilidades a priori y a posteriori, como se mencionó anteriormente, suele hacerse en el contexto del teorema de Bayes y, en general, de cualquier proceso de inferencia bajo incertidumbre. Se conoce como probabilidades a priori las probabilidades asignadas inicialmente a los sucesos, antes de obtener una evidencia experimental por medio de una muestra. Las probabilidades condicionales de estos mismos sucesos, una vez realizado el experimento y en función de los datos obtenidos en cuestión, se denominan probabilidades a posteriori (Canavos, 1987).