I Nivel I Eliminatoria
3. Concepto de m´ ultiplo y divisor.
Dos de los conceptos que aparecen con mayor frecuencia en la soluci´on de ejercicios del primer nivel de OLCOMA son los de m´ultiplo y divisor de un n´umero. Por ejemplo, en la I eliminatoria del I nivel del 2014 hay tres ejercicios que pueden resolverse por medio de estos conceptos. A continuaci´on se presenta la definici´on de m´ultiplo de un n´umero natural y un problema en el cual se ejemplifica c´omo utilizar el concepto.
3.1.
M´ultiplo de un n´umero natural.
Un n´umero natural es m´ultiplo de otro si lo contiene un n´umero entero de veces. Por ejemplo 12 es m´ultiplo de 6, pues 12÷6 = 2. Para determinar los m´ultiplos de un n´umero natural se m´ultiplica ese n´umero por los n´umeros naturales 1, 2, 3, ... . Dado a que 6 = 6·1, 12 = 6·2, 18 = 6·3, 24 = 6·4 y 30 = 6·5, los m´ultiplos de 6 menores a 34 son{6,12,18,24,30}. Observe que el cociente que se obtiene al dividir 34 entre 6 es 5, que es precisamente la cantidad de m´ultiplos de 6 menores a 34.
Algunas propiedades de los m´ultiplos son las siguientes:
1. Todo n´umero distinto de 0 es m´ultiplo de s´ı mismo, del n´umero 1 y tiene infinito n´umero de m´ultiplos. Por ejemplo, 5 es m´ultiplo de s´ı mismo ya que 5÷5 = 1. Tambi´en es m´ultiplo de 1 puesto que 5÷1 = 5. Por ´ultimo existe una cantidad infinita de m´ultiplos de 5: todos aquellos n´umeros cuya cifra de las unidades es 5 o 0.
2. La suma de varios m´ultiplos de un n´umero es otro m´ultiplo de dicho n´umero. Por ejemplo, 3, 6, 18, 24 son m´ultiplos de 3 y observe que 3 + 6 + 18 + 24 = 51 el cual es m´ultiplo de 3 puesto que 51÷3 = 17.
3. La diferencia de dos m´ultiplos de un n´umero es otro m´ultiplo de dicho n´umero. Por ejemplo: 10 y 6 son m´ultiplos de 2, y note que 10−6 = 4, que es otro m´ultiplo de 2 4. Si un n´umero es m´ultiplo de otro, y ´este lo es de un tercero, el primero es m´ultiplo del
tercero. Por ejemplo, 64 es m´ultiplo de 32 y 32 es m´ultiplo de 8. Observe que 64 es m´ultiplo de 8.
5. Si un n´umero es m´ultiplo de otro, todos los m´ultiplos del primero lo son tambi´en del segundo. Por ejemplo, 16 es m´ultiplo de 4. Note que cualquier m´ultiplo de 16 es tambi´en m´ultiplo de 4.
Analice el siguiente problema en el que se utiliza el concepto de m´ultiplo.
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Problema 1
Por un error en la fotocopiadora, en un libro de 400 p´aginas se dejaron en blanco todas las p´aginas cuyos n´umeros de p´agina eran m´ultiplos de 3 o de 4, determine cu´antas p´aginas se fotocopiaron correctamente.
(a) 150 (b) 200 (c) 220
(d) 250 ´Item 18. I Eliminatoria, I nivel 2014
Soluci´on
Para resolver el problema se debe determinar la cantidad de m´ultiplos de 3 y 4 menores que 400.
De acuerdo con lo expuesto anteriormente, la cantidad de m´ultiplos de 3 menores que 400 es 133. Esto porque el cociente de la divisi´on de 400 por 3 es 133. De forma an´aloga, hay 100 m´ultiplos de 4 menores que 400.
Ahora se deben restar todos los n´umeros que son m´ultiplos de ambos, es decir los m´ultiplos de 12 (pues se consideraron dos veces) que en total son 33 pues el cociente entre 400 y 12 es 33. Por lo tanto se dejaron en blanco 133 + 100−33 = 200 p´aginas y se fotocopiaron correctamente 200 p´aginas. La opci´on correcta es la b.
Un concepto relacionado al de m´ultiplo es el de divisor de un n´umero entero el cual se presenta a continuaci´on.
3.2.
Divisor de un n´umero entero.
Un n´umero aes divisor de un n´umero bsi la divisi´on de bentrea es exacta. Se acostumbra a escribira|bpara indicar quea es un divisor deb. Por ejemplo, 2 es un divisor del 6 ya que la divisi´on de 6 entre 2 es exacta.
A difererencia de los m´ultiplos, en que cualquier n´umero distito de 0 tiene infinito n´umero de m´ulitplos, un n´umero tiene una cantidad finita de divisores. Para hallar los divisores de un n´umero se divide sucesivamente entre 1, 2, 3, 4, 5, ... y aquellos n´umeros para los que la divisi´on sea exacta ser´an sus divisores. Por ejemplo, los divisores de 32 son{1,2,4,8,16,32}.
Otras propiedades de los divisores son:
1. Todo n´umero distinto de 0 es divisor de s´ı mismo. Por ejemplo, 10 es divisor de s´ı mismo ya que 10÷10 = 1
2. El n´umero 1 es divisor de cualquier n´umero. 5
3. Si un n´umero es divisor de otros dos, tambi´en lo es de su suma y de su diferencia. Por ejemplo, 2 es un divisor de 8 y 12, note que 2 es divisor de 8 + 12 = 20 y 12−8 = 4. 4. Si un n´umero es divisor de otro, tambi´en lo es de cualquier m´ultiplo del segundo. Por
ejemplo, 3 es divisor de 15. Observe que 3 es un divisor de 45 que es un m´ultiplo de 3. 5. Si un n´umero es divisor de otro, y ´este lo es de un tercero, el primero lo es del tercero. Por
ejemplo, 4 es un divisor de 16 y 16 es un divisor de 64. En consecuencia 4 es un divisor de 64.
Observe c´omo se utiliza el concepto de divisor para resolver el siguiente problema.
Problema 2
¿Cu´al de las siguientes parejas de n´umeros enteros tienen m´as divisores en com´un?
(a) 24 y 18 (b) 56 y 98 (c) 72 y 36
(d) 105 y 216 ´Item 13. I Eliminatoria, I nivel 2014
Soluci´on
Denotemos con Da los divisores del n´umeroa.
D24={1,2,3,4,6,8,12,24} D18={1,2,3,6,9,18}
Divisores en com´un del 24 y 18 son{1,2,3,6} Verifique que:
Los divisores en com´un del 56 y 98 son{1,2,7,14}
Los divisores en com´un del 72 y 36 son{1,2,3,4,6,9,12,36} El ´unico divisor en com´un del 105 y 216 es{3}
Por lo que la pareja de n´umeros que tiene m´as divisores en com´un es 72 y 36. Opci´on correcta c.
4.
Algoritmo de la divisi´on.
Al dividir un n´umero por otro se obtiene siempre un cociente y un residuo. Por ejemplo, al dividir 98 por 5, el cociente es 19 y el residuo 3.
El algoritmo de la divisi´on establece que dados dos n´umeros (dividendo y divisor) existe otros dos n´umeros (cociente y residuo) que cumplen la siguiente igualdad:
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Dividendo es igual al cociente por el divisor m´as el residuo. El residuo siempre es igual o mayor que cero y menor que el divisor.
De acuerdo con el algoritmo de la divisi´on 98 = 5·19 + 3.
Una aplicaci´on com´un del algoritmo de la divisi´on se presenta en el siguiente problema.
Problema 3
El d´ıgito de las unidades del n´umero 232014 corresponde a
(a) 1 (b) 3 (c) 7
(d) 9 ´Item 20. I Eliminatoria, I nivel 2014
Soluci´on
Para resolver ejercicios de este tipo se debe buscar un patr´on o ciclo en la cifra de las unidades de las potencias de 23.
Observe que el d´ıgito de las unidades de 231es 3, de 232 es 9, de 233es 7, de 234es 1 y a partir
de ah´ı se repite un ciclo de periodo 4. Debido a esto se puede establecer una relaci´on entre el residuo de la divisi´on del exponente de la potencia y 4. Si el residuo es 1 entonces la cifra de las unidades es 3, si el residuo es 2 entonces la cifra de las unidades es 9, si el residuo es 3 la cifra de las unidades es 7 y si el residuo es 0 la cifra de las unidades es 1. Dado que al dividir 2014 por 4 se obtiene cociente 503 y residuo 2, entonces 232014 termina en 9. La opci´on correcta es
d.
5.
N´umero primos y compuestos.
Un n´umero es primo si s´olo es divisible por s´ı mismo y por 1. Si un n´umero no es primo diremos que es compuesto. El 0 y el 1 no son ni primos ni compuestos.
Los 25 primeros n´umeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97, que son todos los primos menores que 100.
El algoritmo m´as sencillo que puede utilizarse para saber si un n´umero n es primo es el de la divisi´on. Se trata de determinar si tiene alg´un divisor distinto de 1 y el mismo n´umero. Para ello se divide el n´umeron entre 2, 3, 4, 5, ... ,n−1. Si alguna de las divisiones es exacta podemos asegurar que el n´umeron es compuesto. Si ninguna de estas divisiones es exacta, el n´umero n
es primo. Este m´etodo puede hacerse m´as eficiente observando simplemente, que si un n´umero 7
es compuesto alguno de sus factores (sin contar el 1) debe ser menor o igual que √n. Por lo tanto, el n´umero de divisiones a realizar es mucho menor. S´olo hay que dividir entre 2, 3, 4, 5, ... ,√n. Es decir, bastar´ıa hacer las divisiones entre los n´umeros primos menores o iguales que√n. Estudie la soluci´on del siguiente problema en el que se utiliza el concepto de n´umero primo.
Problema 4
La cantidad de n´umeros primos menores que 100 tales que el m´ınimo com´un m´ultiplo de sus d´ıgitos sea 6 corresponde a
(a) 1 (b) 2 (c) 3
(d) 4 ´Item 24. I Eliminatoria, nivel A 2012
Soluci´on
Los n´umeros de 0 a 100 que satisfacen que el m´ınimo com´un m´ultiplo de sus d´ıgitos sea 6 corresponden a 66, 62, 63, 26, 36,16, 61, 23, 32. De ellos solo son primos el 61 y 23. Por lo tanto, solo dos n´umeros cumplen esta condici´on. Opci´on correcta: b.
6.
Teorema fundamental de la aritm´etica: descomposi-
ci´on en factores primos.
El teorema fundamental de la aritm´etica garantiza que todo n´umero compuesto se puede des- componer de forma ´unica (salvo el orden de los factores) en un producto de n´umeros primos. Esto fue demostrado por Gauss (1777-1855).
Para descomponer un n´umero compuesto, por ejemplo 180, como el producto de factores se realiza el siguiente procedimiento:
1. Escribir el n´umero compuesto y a su derecha se traza una l´ınea vertical. 180
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2. Dividir el n´umero por el menor primo que sea posible: 2, 3, 5,... . Colocar el divisor (el n´umero primo) en la parte superior del lado derecho de la l´ınea vertical y el cociente debajo del primer n´umero en la izquierda del la l´ınea vertical.
180 2 90
3. Repetir el proceso hasta que en la parte izquierda aparezca un 1. Esto indica que la descomposici´on habr´a terminado.
180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1
La descomposici´on en factores primos de 180 es 2·2·3·3·5 = 22·32·5.
Observe que 22·32·5 = 180
En la soluci´on del siguiente problema se emplea el teorema fundamental de la aritm´etica.
Problema 5
El triple del producto de las edades de un padre y su hijo es 2013. Si ambos cumplen a˜nos el mismo d´ıa, entonces cuando naci´o el hijo la edad del padre era
(a) 48 (b) 49 (c) 50
(d) 51 ´Item 11. I Eliminatoria, I nivel 2013
Soluci´on
Por el teorema fundamental de la aritm´etica, 2013 puede descomponerse como el producto de n´umeros primos. Al descomponer 2013 en factores primos se obtiene 2013 = 3·11·61. Esto quiere decir que 2013 se expresa de forma ´unica como el triple producto de 11 y 13. Dado que el triple producto de las edades del padre y el hijo es 2013 se tiene que la edad del padre es 61 y la del hijo 11. Por lo tanto, la edad del padre era 50 cuando naci´o el hijo. La respuesta correcta es la opci´on c.