I Nivel I Eliminatoria
7. Reglas de divisibilidad.
Como se estudi´o en el apartado 1, para hallar los divisores de un n´umero n se debe dividir dicho n´umero por 1,2,3, ..., n. Si la divisi´on es exacta el n´umero por el que se ha dividido es un divisor de n.
Si el n´umero es grande hacer una divisi´on puede llevar mucho tiempo. Adem´as no interesa el cociente de la divisi´on en s´ı sino si es exacta o no.
Tambi´en se estudi´o en el apartado 4 sobre el teorema fundamental de la aritm´etica que para descomponer un n´umero en producto de factores primos, se debe determinar si es divisible por los sucesivos n´umeros primos 2,3,5, ....
En ambos casos el trabajo a realizar se ver´a simplificado si se tiene en cuenta las llamadasreglas de divisibilidad, que indican si un n´umero es divisible o no por otro sin necesidad de efectuar la divisi´on.
Las principales y m´as usadas reglas de divisibilidad son:
1. Un n´umero es divisible por 2 si la cifra de las unidades es 0 o un n´umero par. 2. Un n´umero es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.
3. Un n´umero es divisible por 4 si el n´umero formado por sus dos ´ultimas cifras es divisible por 4.
4. Un n´umero es divisible por 5 si la cifra de las unidades es 0 o 5. 5. Un n´umero es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 a la vez.
6. Un n´umero entero es divisible por 7 cuando la diferencia entre el n´umero entero y el doble del n´umero que resulta de eliminar el d´ıgito de las unidades del n´umero dado es divisible por 7. Si no es claro que el n´umero obtenido sea divisible por 7 se puede seguir el procedimiento descrito anteriormente hasta obtener un n´umero que, a simple vista, lo sea o no.
7. Un n´umero es divisible por 8 si sus tres ´ultimas cifras es divisible por 8. 8. Un n´umero es divisible por 9 si la suma de sus cifras es divisible por 9. 9. Un n´umero es divisible por 10 si la cifra de las unidades es 0.
10. Un n´umero es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar impar y la suma de las que ocupan lugar par es divisible por 11.
Analice el siguiente problema.
10
Problema 6
¿Cu´antos posibles n´umeros de la forma 5a6bson divisibles por 6?, siendo a y
blos d´ıgitos de las centenas y unidades, respectivamente. (a) 5
(b) 10 (c) 16
(d) 32 ´Item 12. I Eliminatoria, I nivel 2014
Soluci´on
Seg´un las reglas de divisibilidad descritas, el n´umero entero 5a6b es divisible por seis si es di- visible por dos y por tres a la vez. Analicemos cada caso por separado.
Caso I: 5a6bdivisible por 2.
Seg´un las reglas de divisibilidad, 5a6bes divisible por dos si la cifra de las unidades es par, esto es sib∈ {0,2,3,4,6,8}
Caso II: 5a6bdivisible por 3.
Seg´un las reglas de divisibilidad, 5a6b es divisible por tres si la suma de sus cifras es divisible por 3, esto es si 5 +a+ 6 +bes divisible por tres o lo que es lo mismo si 11 +a+bes divisible por tres. Sustituyendo los posibles valores debobtenidos en el caso I se obtiene:
Si b= 0 entonces a∈ {1,4,7} ⇒3 n´umeros diferentes. Si b= 2 entonces a∈ {2,5,8} ⇒3 n´umeros diferentes. Si b= 4 entonces a∈ {0,3,6,9} ⇒4 n´umeros diferentes. Si b= 6 entonces a∈ {1,4,7} ⇒3 n´umeros diferentes. Si b= 8 entonces a∈ {2,5,8} ⇒3 n´umeros diferentes. As´ı en total hay 16 n´umeros diferentes.
8.
M´ınimo com´un m´ultiplo y m´aximo com´un divisor.
8.1.
M´ınimo com´un m´ultiplo.
El m´ınimo com´un m´ultiplo de dos n´umeros es el menor de sus m´ultiplos comunes. Se acostum- bra a denotar el m´ınimo com´un m´ultiplo de dos n´umerosa ybpor m.c.m. (a,b). Una forma de calcular el m´ınimo com´un m´ultiplo de dos n´umeros consiste en elaborar una lista con los m´ulti- plos de esos n´umeros hasta encontrar el primero que coincida. Por ejemplo, para determinar
m.c.m.(120,300) se elabora una lista con algunos m´ultiplos de 120 y de 300. M´ultiplos de 120: 120, 240, 360, 480, 600, 720, 840,960, 1080, 1200, 1320 ... M´ultiplos de 300: 300, 600, 900, 1200, 1500, ...
Observe que en la lista de m´ultiplos hay dos comunes: 600 y 1200. No obstante el m´as peque˜no de ellos es 600. Por lo tanto m.c.m.(120,300)=600.
Otro m´etodo para determinar el m´ınimo com´un m´ultiplo de dos o m´as n´umeros, por ejemplo m.c.m. (120,300), es la siguiente:
1. Se colocan los n´umeros uno al lado del otro sin importar el orden y a su derecha se traza una l´ınea vertical.
120 300
2. Se determina el menor divisor primo que tienen en com´un los n´umeros involucrados y se escribe en la parte superior del lado derecho de la l´ınea vertical. Los cocientes respectivos se colocan debajo de cada n´umero ubicado a la izquierda de la l´ınea vertical.
120 300 2 60 150
3. Se repite el paso 2 hasta que los cocientes no tengan divisores en com´un. 120 300 2
60 150 2 30 75 3 10 25 5
2 5
4. El m´ınimo com´un m´ultiplo es el producto de los ´ultimos cocientes que no tienen divisores en com´un y de los divisores primos ubicados a la derecha de la l´ınea vertical.
As´ı m.c.m.(120,300)= 2·5·2·2·3·5 = 600. Es decir, el menor m´ultiplo que tienen en com´un 120 y 300 es 600.
En el siguiente problema se emplea el concepto de m´ınimo com´un m´ultiplo.
12
Problema 7
En una tuber´ıa de gas de 6km de longitud se deben hacer agujeros cada 120m para conectar con tuber´ıas secundarias y cada 300m para instalar v´alvulas de control. (En caso de coincidir se pueden instalar ambas en un mismo agujero). Si el primer agujero coincide al inicio de la tuber´ıa, ¿Cu´antos hoyos se requieren en total?
(a) 60 (b) 61 (c) 72
(d) 600 ´Item 6. I Eliminatoria, I nivel 2014
Soluci´on
Para resolver este problema se debe determinar cada cu´anto coincide un agujero. Este n´umero coincide con el menor de los m´ultiplos comunes de 120 y 300, es decir, con el m´ınimo com´un m´ultiplo. Verfique que m.c.m.(120,300)=600. Esto significa que cada 600m coincide un agujero. Como hay un hoyo al inicio de la tuber´ıa, coinciden un total de 11 hoyos (6000÷600 + 1). Es decir, en 11 hoyos se instala una tuber´ıa secundaria y una v´alvula de control.
Por otro lado se requieren 51 agujeros para las salidas secundarias (6000÷120 + 1 = 51) y 21 para las v´alvulas de control (6000÷300+1 = 21), es decir, 72 hoyos, de los cuales coinciden 11. Por lo tanto se deben hacer un total de 72−11 = 61 agujeros.
Un concepto similar al de m´ınimo com´un m´ultiplo es el de m´aximo com´un divisor.
8.2.
M´aximo com´un divisor
El m´aximo com´un divisor de dos n´umeros es el mayor de sus divisores comunes. Por lo general se denota por M.C.D. (a,b) al m´aximo com´un divisor de los n´umerosa yb.
Una forma de determinar el m´aximo com´un divisor de dos o m´as n´umeros es elaborar una lista con los divisores de los n´umeros. El mayor divisor com´un de la lista es el m´aximo com´un divisor. Para facilitar la b´usqueda de divisores se pueden utilizar las reglas de divisibilidad. Para ejemplificar este procedimiento determinemos M.C.D.(36,28).
Si denotamos porDa a los divisores de a entonces:
D36 ={1,2,3,4,6,9,12,18,36}
D28 ={1,2,4,7,14,28}
Observe que el mayor de los divisores com´unes de 36 y 28 es 4. Por lo tanto M.C.D.(36,28)=4. Otro procedimiento para determinar el m´aximo com´un divisor de dos o m´as n´umeros es uno si- milar al presentado para el m´ınimo com´un m´ultiplo. A continuaci´on se describe el procedimiento para determinar M.C.D.(36,28).
1. Se colocan los n´umeros uno al lado del otro sin importar el orden y a su derecha se traza una l´ınea vertical.
36 28
2. Se determina el menor divisor primo que tienen en com´un los n´umeros involucrados y se escribe en la parte superior del lado derecho de la l´ınea vertical. Los cocientes respectivos se colocan debajo de cada n´umero ubicado a la izquierda de la l´ınea vertical.
36 28 2 18 14
3. Se repite el paso 2 hasta que los cocientes no tengan divisores en com´un. 36 28 2
18 14 2 9 7
4. El m´aximo com´un divisor es el producto de los divisores primos ubicados a la derecha de la l´ınea vertical.
As´ı M.C.D.(36,24)= 2·2 = 4. Esto es, el mayor n´umero que divide a 36 y 24 a la vez es 4.
En el problema 8 debe determinar el m´aximo com´un divisor de tres n´umeros.
14
Problema 8
Se desea envasar 84ml, 252ml y 378ml de tres sustancias distintas en el menor n´umero de frascos con la misma capacidad y sin mezclarlas. La cantidad total de frascos es
(a) 12 (b) 17 (c) 42
(d) 119 ´Item 13. I Eliminatoria, I nivel 2013
Soluci´on
Debido a que se desea envasar tres cantidades distintas en el menor n´umero de frascos, se debe determinar el m´aximo com´un divisor de esas cantidad. Este n´umero ser´a la capacidad de cada frasco.
Verifique que M.C.D (84, 252, 378)= 42. Es decir cada frasco contiene 42ml. As´ı la cantidad de frascos de 84ml, 252ml y 378ml es, respectivamente, 2 (84÷42 = 2), 6 (252÷42 = 6) y 9 (378÷42 = 9). Por lo tanto, la cantidad total de frascos es 2 + 6 + 9 = 17. La respuesta correcta es la opci´on B.
9.
Ejercicios sobre teor´ıa de n´umeros.
A continuaci´on se presenta una lista de ejercicios tomados de las eliminatorias 2008-2014 de la Olimpiada Costarricense de Matem´atica. Para resolverlos se deben emplear los conceptos estudiados en este documento.
1. La cantidad de n´umeros que hay entre 100 y 300 (sin contarlos) que sean divisibles entre 3 y 5 son
(a) 91 (b) 92 (c) 93
(d) 94 ´Item 21. I Eliminatoria, I nivel 2014
2. Analice las siguiente proposiciones
I. Si un n´umero natural es un cuadrado perfecto entonces tiene exactamente 3 divisores. II. Si un n´umero natural tiene exactamente tres divisores positivos entonces es un cua-
drado perfecto. De ellas son verdaderas:
(a) Solamente la I (b) Solamente la II
(c) I y II
(d) Ninguna ´Item 9. I Eliminatoria, nivel A 2012
3. Laura est´a leyendo un libro y nota que el n´umero de p´agina que est´a leyendo es divisible por 3, por 4 y por 5. La cifra de las unidades del n´umero de la p´agina es:
(a) 0 (b) 5 (c) 6
(d) 9 ´Item 5. I Eliminatoria, nivel A 2008
4. En un colegio hay 2013 estudiantes los cuales son puestos en una fila. A cada uno de estos estudiantes se le etiqueta del primero al ´ultimo por medio del siguiente patr´on: 1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1,... ¿Cua´l es el n´umero que le corresponde al estudiante que esta´a en la posici´on 2013?
(a) 2 (b) 3 (c) 4
(d) 5 ´Item 16. I Eliminatoria, I nivel 2013
5. En la siguiente secuencia XYZ55XY5XYZ55XY5XYZ55XY5..., la letra o el n´umero que se encuentra en la posici´on 2011 corresponde a
(a) X
(b) Y
(c) Z
(d) 5 ´Item 18. I Eliminatoria, nivel A 2011
16
6. ¿Cu´antos n´umeros pares de tres cifras al ser divididos por 5, por 7 y por 3 dejan residuo 1?
(a) 2 (b) 3 (c) 4
(d) 5 ´Item 21. I Eliminatoria, nivel A 2012
7. La cantidad de n´umeros primos menores que 100 que tienen al 1 como d´ıgito es (a) 7
(b) 8 (c) 9
(d) 10 ´Item 7. I Eliminatoria, I nivel 2013
8. Si el sucesor del producto de dos n´umeros primos es un n´umero primo entonces se puede asegurar con certeza que la suma de esos dos n´umeros primos es un n´umero
(a) par (b) primo (c) impar
(d) compuesto ´Item 12. I Eliminatoria, nivel A 2012
9. La cantidad de n´umeros primos menores que 100 cuyos d´ıgitos suman 5 corresponde a (a) 2
(b) 3 (c) 5
(d) 6 ´Item 9. I Eliminatoria, nivel A 2011
10. La cantidad de ceros al final del n´umero 158·210·105corresponde a
(a) 5 (b) 8 (c) 10
(d) 13 ´Item 21. I Eliminatoria, nivel A 2011
11. Si expresamosn= 66·55·105 en su forma extendida, entonces la suma de los d´ıgitos de nes:
(a) 16 (b) 17 (c) 18
(d) 19 ´Item 19. I Eliminatoria, nivel A 2008
12. Para que el n´umero de la forma 421A, en dondeAes el d´ıgito de las unidades, sea divisible por 6, el valor deApuede ser
(a) 0 (b) 2 (c) 4
(d) 6 ´Item 9. I Eliminatoria, I nivel 2013
13. Dado un n´umero de la forma 759a8593 y divisible por 11, el valor del d´ıgitoacorresponde a:
(a) 0 (b) 2 (c) 7
(d) 9 ´Item 19. I Eliminatoria, nivel A 2010
14. Un carpintero tiene un trozo de madera de 60cm×36cm×24cm y quiere cortarlo para obtener cubos del mayor tama˜no posible sin desperdiciar nada de madera. ¿Cu´antos cubos puede obtener?
(a) 7 (b) 12 (c) 30
(d) 360 ´Item 7. I Eliminatoria, I nivel 2014
18
15. Una f´abrica de perfumes tiene 13 litros de perfume para envasar en frascos de 30ml, 40ml
y 80ml, los cuales ir´an a lotes diferentes. Se requiere que la diferencia, enml, entre cada lote sea la menor posible y que no sobre nada de perfume. Entonces la cantidad de frascos de 40mlque se envasa es
(a) 40 (b) 108
(c) 109
(d) 144 ´Item 8. I Eliminatoria, I nivel 2014
16. Tres grupos musicales dan conciertos cada 10 d´ıas, 6 d´ıas y 11 d´ıas, respectivamente. Si el d´ıa 28 de febrero del 2013 los tres dan un concierto, la cantidad de conciertos que dar´ıan en un periodo de 4 a˜nos comenzando en el a˜no 2013 es
(a) 4 (b) 5 (c) 6
(d) 7 ´Item 15. I Eliminatoria, I nivel 2013