UNA - UCR - TEC - UNED - MEP - MICIT
Combinatoria, Probabilidad y Razonamiento L´
ogico
I Nivel
I Eliminatoria
Marzo, 2015
Introducci´on
El presente documento pretende ser una gu´ıa introductoria para aquellos estudiantes de los primeros niveles de Olimpiadas de Matem´atica, ofreciendo una leve rese˜na acerca de los contenidos necesarios para resolver los ejercicios que se plantean en los temas de razonamiento l´ogico, conteo y probabilidad. Adem´as se brinda un compendio de ejemplos resueltos tomados de pasadas eliminatorias de olimpiadas. Lo anterior dar´a al estudiante una idea cercana del concurso y de los retos que enfrentar´a en este.
Por otra parte, se brinda una lista de ejercicios para que cada persona ponga a prueba sus habilidades y conocimientos adquiridos. Al final del documento se le brinda la soluci´on a dichos ejercicios, con el fin de que verifique los resultados obtenidos.
TEMARIO
1. Medidas de tendencia central en datos no agrupados: media, mediana, moda.
2. Concepto de probabilidad.
3. Problemas que se resuelven mediante estrategias de razonamiento l´ogico, entre ellos problemas donde se apliquen t´ecnicas de conteo (regla de la suma y del producto), paridad, principio del palomar, suma de Gauss, estrategias ganadoras.
4. Razones y proporciones. Regla de tres simple y compuesta. Porsentajes.
5. Sucesiones.
Contents
1 Mediadas de tendencia central en datos no agrupados: media, mediana,
moda 4
2 Probabilidad 5
3 Conteo 6
4 Razonamiento L´ogico 9
4.1 Regla de tres y regla de tres compuesta . . . 12
4.2 Sucesiones . . . 13
4.3 Principio del Palomar . . . 14
5 Ejercicios propuestos 16
6 Soluci´on a los ejercicios propuestos 19
7 Cr´editos 22
3
1
Mediadas de tendencia central en datos no
agru-pados: media, mediana, moda
Antes de repasar c´omo calcular las diferentes medidas de tendencia central, es importante resaltar que estas se obtienen a partir de un conjunto llamado muetra, esto debido a que en los pr´oximos temas recurriremos a esta para definir conceptos.
Una muestraes un subconjunto de los individuos de una poblaci´on, una parte extra´ıda de un conjunto que se considera como una porci´on representativa de este. El t´ermino tama˜no muestral ”n”, indica el n´umero de elementos que hay en la muestra.
Una medida muy ´util es la media de la muestra, esta es simplemente un promedio num´erico que se calcula de la siguiente manera:
Si tenemos una muestra, digamos los goles anotados por la Liga en una serie de cinco par-tidos (entoncesn= 5)2,1,4,3,2, la media de goles que se anota por partido esta dada por:
2 + 1 + 4 + 3 + 2
5 =
12 5 = 2.4
En terminos m´as algebraicos, si se tiene que las observaciones en una muestra son
x1, x2, ..., xn. La media de la muestra, es
x1+x2 +...+xn
n
Otra medida relevante es lamediana de una muestra, el valor de esta se tomar´a seg´un el tama˜no de la muestra sea par o impar, es decir, si el tama˜no muestral es impar, la madi-ana ser´a el elemento que se encuentra en la posici´on n+ 1
2 , al ordenar la muestra desde el
elemento menor al mayor, y ser´a el promedio del elemento de la posici´on n
2 y
n
2 + 1en el
caso de que el tama˜no muestral sea par.
Por ejemplo, suponga que el conjunto de datos es el siguiente: 3,1,7,2,14 el cual al ordenarse en forma ascendente se ve as´ı
1,2,3,7,14
, entonces la mediana de la muestra es 3.
La moda en un espacio muestral o muetra, es el valor que tiene mayor frecuencia, es decir, el elemento que se repite la mayor cantidad de veces.
2
Probabilidad
En probabilidad se utiliza la palabra experimento, para describir cualquier proceso que genere un conjunto de datos. Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento re-alizado se le llama espacio muestral.
Un evento es un subconjunto o un caso particular de un espacio muestral, es decir es, son los datos de un caso espec´ıfico de los que pueden darse en el experimento.
La probabilidad de la ocurrencia de un evento que resulta de tal experimento, se eval´ua utilizando un conjunto de n´umeros reales denominados pesos o probabilidades, que van de 0 a 1. Para todo punto en el espacio muestral asignamos una probabilidad tal que la suma de todas las probabilidades es1.
Si tenemos raz´on para creer que al llevar a cabo el experimento es bastante probable que ocurra cierto punto muestral, le tendr´ıamos que asignar a ´este una probabilidad cercana a 1. Por el contrario, si creemos que no hay probabilidades de que ocurra cierto punto muestral, le tendr´ıamos que asignar a ´este una probabilidad cercana a cero.
En muchos experimentos, como lanzar una moneda o un dado, todos los puntos mues-trales tienen la misma oportunidad de ocurrencia, por lo tanto, se les asignan probabilidades iguales. Lo cual ser´a el caso en la mayor parte de experimentos que se utilizar´an en los ejercicios de olimpiadas.
A los puntos fuera del espacio muestral, es decir, a los eventos que no tienen posibili-dades de ocurrir, les asignamos una probabilidad de cero.
Para encontrar la probabilidad de un eventoA sumamos todas las probabilidades que se asignan a los elementos del espacio muestral del caso particularA. Esta suma se denomina probabilidad de A y se denota con P(A). Es decir, si un experimento puede dar como resultado cualquiera de N diferentes resultados que tienen las mismas probabilidades de ocurrir, y si exactamenten de estos resultados corresponden al cumplimiento del evento A, entonces la probabilidad del evento A es:
P(A) = n
N
5
Ejemplo 1
Del conjunto{1,2,3, ...,99,100} se extrae un n´umero al azar. Entonces la probabil-idad de que el n´umero seleccionado sea menor a25 corresponde a
1. 6 25 2. 1925
3. 1 4 4. 3 4 Soluci´on
Como podemos observar, en el conjunto existen 100 n´umeros, de los cuales exacta-mente24 son menores que 25.
Por lo anterior, la probabilidad solicitada es 10024 = 256 y as´ı la opci´on correcta es la primera.
´ıtem 8, I eliminatoria, 2013
3
Conteo
En ocasiones nos encontraremos con problemas en los que debemos contar las posibilidades de diferentes situaciones, pero estas tienen un gran n´umero de sucesos, por lo que contarlos uno a uno se vuelve dif´ıcil. Para ayudarnos con este problema nacen las t´ecnicas de conteo.
Ley del Producto
Si una cierta tarea puede realizarse de n formas distintas y, para cada una de estas forma, una segunda tarea puede realizarse de m formas distintas, entonces las dos tareas juntas pueden realizarse (en ese orden), de n·m formas distintas.
Ejemplo 2
¿Cu´antos n´umeros de 4 cifras tienen todas sus cifras pares?
Soluci´on
Las cifras posibles son 0,2,4,6 y 8 para las cuatro posiciones, exceptuando para la primera, porque la primera cifra no ser 0 (Por ejemplo, el n´umero 0428 tiene tres cifras, no cuatro)
As´ı, para la primera cifra hay 4posibilidades, para la segunda hay 5, para la tercera y la cuarta tambi´en.
La escogencia de las cifras es independiente, as´ı que tenemos4·5·5·5 = 500n´umeros con esta condici´on.
Ley de la Suma
Si una cierta tarea se puede realizar de n maneras, en un caso, o de m maneras en segundo caso, excluyente del primero. La tarea se podr´a realizar enn+m formas distintas.
Ejemplo 3
Juan tiene 4 cartas en su mano, mientras que Mar´ıa tiene 7. Marco debe escoger una carta de alguno de los dos. ¿De cu´antas formas puede escoger Marco su carta?
Soluci´on
Marco tiene4 + 7 = 11 posibles cartas para escoger.
Ejemplo 4
La cantidad de veces que aparece el n´umero 1como d´ıgito en los n´umeros naturales menores que 100 corresponde a
(a) 19 (b) 20 (c) 21 (d) 22
Soluci´on:
De 0a 9hay 1, de10 a 19hay 11, de20 a 99hay 8. Entonces hay un total de
1 + 11 + 8 = 20
.
´ıtem 7, I nivel, 2011
7
Permutaciones y combinaciones
Ejemplo 5
Dado el siguiente conjunto B = {2,3,5,6,7,9}. Entonces la mayor cantidad de n´umeros pares de tres cifras diferentes que se pueden formar con los elementos de B
corresponde a (a) 25
(b)40
(c) 45
(d)50
Soluci´on
Para que el n´umero sea par, la cifra de las unidades de este n´umero solo tiene dos posibilidades de escogencia 2o 6.
La cifra de las decenas de este n´umero tendr´a cinco posibilidades, ya que no podemos repetir n´umeros.
Para la cifra de las centenas solo nos quedan cuatro posibilidades de escogencia.
Por lo que se podr´an formar2·5·4·= 40 n´umeros paresde ciifras diferentes, por lo que la opci´on (b) es la correcta.
´ıtem 11, I nivel, 2011
4
Razonamiento L´
ogico
”...es el proceso sistem´atico de pensamiento que le permite al sujeto extraer conclusiones a partir de premisas o acontecimientos dados previamente” (Carretero y Madruga, 1984, p. 49)
Algunos Referentes Sea n un n´umero natural:
1. N´umeros consecutivos: n, n+ 1, n+ 2 ´on−1, n, n+ 1
2. Todo n´umero par es de la forma 2n, y todo impar de la forma2n+ 1
3. Consecutivos pares2n,2n+ 2,2n+ 4
4. Consecutivos impares 2n+ 1,2n+ 3,2n+ 5
9
Ejemplo 6
Si el sucesor del producto de dos n´umeros primos es un n´umero primo entonces se puede asegurar concerteza que la suma de esos dos n´umeros primos es un n´umero (a) par
(b) primo (c) impar (d) compuesto
Soluci´on
De los dos primeros n´umeros primos uno de ellos debe ser 2, de lo contrario ambos ser´ıan impares, de lo que su producto ser´ıa impar y el sucesor del producto ser´ıa par, por lo tanto compuesto.
Entonces la suma de 2, m´as un n´umero primo, el cual debe ser impar, tendr´a un resultado impar.
De donde la respuesta correcta es la (c).
´ıtem 12, I nivel, 2012
Algunas ideas al intentar resolver un ejercicio de razonamiento l´ogico
• Buscar un patr´on.
• Dibujar una figura si el ejercicio involucra una en particular, y aprovechar sus propiedades.
• Descubrir todos los casos, dividir en casos.
• Llevar a cabo el ejercicio con una notaci´on que facilite la resoluci´on y comprensi´on de las ideas.
• Trabajar ”al rev´es”, tener claro a d´onde se quiere llegar.
• Formularse problemas equivalentes, modificar el problema.
Ejemplo 7
Carlos y Daniel compiten en una carrera de 400 metros. Cuando Carlos llega a la meta, a Daniel a´un le faltan 30 metros. Al d´ıa siguiente vuelven a correr y Carlos, para compensar su ventaja,inicia la competencia20metrso atr´as del punto de salida. Suponiendo que ambos corren a la misma velocidad que el d´ıa anterior, se puede afirmar que
(a) Ambos llegan al mismo tiempo (b) Carlos gana con un metro de ventaja (c) Daniel gana con un metro de ventaja (d) Carlos gana con dos metros de ventaja
Soluci´on
Carlos alcanzar´ıa a Daniel 20metros antes de llegar a la meta, y como es m´as r´apido ganar´a la carrera.
La relaci´on de velocidad de Daniel con respecto a Carlos es f rac380400 = 0.95. Por lo anterior, Carlos recorrer´a los 20metros restantes cuando Daniel haya recorrido solo 20· 0.95 = 19 metros. Por lo que Carlos gana la carrera por un metro de diferencia.
Entonces la opci´on correcta es la (b).
pregunta 12, II nivel, 2011
Ejemplo 8
Se tienen cinco medidores de agua A, B, C, D y E que corresponden cada uno a uno de cinco apartamentos 1,2,3,4 y 5, no necesariamente en ese orden, situados cada uno en un piso distinto de un edificio. Ning´un apartamento tiene tanque auxiliar de agua. Quien instal´o los medidores olvid´o se˜nalar qu´e medidor corresponde a cada apartamento y ahora se ha presentado un da˜no que obliga a identificarlos correctamente. Se dispone de la siguiente informaci´on:
I) Solo el 2y el 5 no est´an habitados.
II) Se cerraron todos los medidores, y posteriormente, al abrir a la vez el A y el B el inquilino del 4 report´o que ten´ıa agua.
III) Luego se cierra A y se abre C (B continua abierto) y no se reporta cambios en la situaci´on de los apartamentos.
11
Con esta informaci´on se˜nale la ´unica afirmaci´on, entre las siguientes, que es falsa (a) El medidor E no corresponde al apartamento 5
(b) El medidor C corresponde al apartamento2 o al 5
(c) El medidor A corresponde al apartamento1 o al 3
(d) El medidor B corresponde al apartamento 4
Soluci´on:
De II y III se infiere que el medidor B corresponde al apartamento 4. La afirmaci´on d) es verdadera.
Como al abrir C no se reportan cambios entonces este medidor corresponde a uno de los apartamentos vac´ıos: 2 o5. As´ı, b) es verdadera.
Cuando A estuvo abierto solo el 4 report´o que ten´ıa agua, pero esta proven´ıa del
B (de acuerdo con II y III), entonces A corresponde a uno de los apartamento no habitados (el 2 o el5). De este modo, c) es falsa.
Como los medidores A y C corresponden a 2 y 5 (en un orden no determinado), entonces B no puede corresponder a ninguno de estos dos. As´ı a) es verdadera.
pregunta 9, I nivel, 2011
4.1
Regla de tres y regla de tres compuesta
La regla de tres consiste en comparar una serie de ”n” valores con otra serie de ”n−1” valores correspondientes a las magnitudes dadas, mas como puede notarse hay uno de estos valores correspondientes que es una inc´ognita.
El objetivo de la regla compuesta es determinar el valor desconocidox, despej´andolo de la serie de comparaciones.
Ejemplo 9
Un automovil recorre 120 kil´ometros en 3 horas, con rapidez constante. Entonces el tiempo en minutos que tarda dicho automovil en recorrer 20 kil´ometros con las mismas condiciones corresponde a
(a) 10
(b)15
(c) 20
(d)30
Soluci´on
El tiempo que tarda el automovil en recorrer 20kil´ometros se calcula as´ı: Si se designa con x el tiempo en minutos buscado, se tiene que
120km
3h =
120km 180min ⇒ 120 180 = 20 x
⇒x= 180·20
120 = 30min
Entonces el tiempo que requiere el automovil es de 30minutos, por lo que la opci´on correcta es la (d).
pregunta 4, I Eliminatoria, 2013
4.2
Sucesiones
Una sucesi´on es una serie continua de elementos, por lo que matem´aticamente hablando podemos decir que una sucesi´on es un conjunto de t´erminos que se encuentran escritos en un orden y modelo establecido.
Por ejemplo si observamos la siguiente serie2,2,4,6,10,16, xy queremos descubrir cu´al es el valor que debe tener ”x” para completar la serie de forma que cumpla con el orden ya establecido, entonces debemos ahondar en la relaci´on existente entre cada elemento de la serie, veamos:
2 + 2 = 4
13
2 + 4 = 6
4 + 6 = 10
6 + 10 = 16
Es decir que la suma de dos t´erminos consecutivos dar´a el n´umero siguiente en esta serie. Por lo tanto el valor de x= 10 + 16 = 26.
Ejemplo 10
En un colegio hay 2013 estudiantes los cuales son puestos en fila. A cada uno de estos estudiantes se le etiqueta desde el primero al ´ultimo por medio del siguiente patr´on1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1, ....
¿Cu´al es el n´umero que le corresponde al estudiante que est´a en la posici´on 2013? (a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
Soluci´on
Observe que esta es una sucesi´on de enteris que se va repitiendo de ocho en ocho t´erminos.
Tenemos entonce que averiguar cuantas veces alcanza el 8 en 2013 y encontrar su residuo, ya que este nos dir´a la posici´on en la serie que estamos buscando.
Se tiene entonces que 2013 ÷ 8 = 251 y el residuo es 5. Luego al 2013 le corresponder´a el quinto elemento de la sucesi´on, que en este caso es 5, por lo que la respuesta correcta es la opci´on (d).
pregunta 16, I Eliminatoria, 2013
4.3
Principio del Palomar
Este es un principio b´asico que nos permite resolver de manera muy sencilla ciertos ejercicios. El Principio del Palomar dice que si se tienenn+ 1 palomas en n palomares, entonces habr´a un palomar que tendr´a al menos dos palomas. En forma m´as general, si se tienen
n·k+ 1 palomas en n palomares, entonces habr´a un palomar que tendr´a al menos k + 1
palomas.
Ejemplo 11
Una bolsa contiene canicas de cinco colores: rojas, azules, verdes, blancas y negras. ¿Cu´al es el n´umero m´as peque˜no de canicas que podemos sacar de la bolsa, sin mirar, de modo que tengamos la seguridad de que tenemos al menos dos canicas del mismo color?
Soluci´on
Primero veamos que si sacamos solo cinco canicas, cabe la posibilidad de que todas sean de un color diferente, lo cual no cumple con lo pedido en el problema.
Ahora, como s´olo son cinco colores (palomares) y si sacamos seis canicas (palomas), existen entonces al menos dos canicas del mismo color, esto por el principio del palomar.
15
5
Ejercicios propuestos
1. Se tiene una piscina que se llena con3000 litros de agua, la misma tiene una v´alvula de desague, por la cual desaloja agua en forma constante a raz´on de 64 litros por cada4horas, mentras que otra v´alvula vierte agua en forma constante en la piscina a raz´on de57litros cada3horas. ¿El tiempo que tarda la piscina en llenarse correspode a?
(a) 10horas (b) 100 horas
(c) 1000 horas (d) 10000 horas
pregunta 6, I Eliminatoria, 2013
2. La probabilidad de que se obtengan cinco escudos al lanzar una moneda al aire 5
veces, corresponde a
(a) 1 32 (b) 1
25 (c) 12 (d) 1
pregunta 12, I Eliminatoria, 2013
3. Una canasta contiene 39balones. Para estos balones se sabe lo siguiente:
• Hay al menos un bal´on de baloncesto
• Siempre que se sacan tres balones cualesquiera, al menos dos son para futbol.
¿Cu´antos balones para baloncesto hay en la canasta?
(a) 1
(b) 2
(c) 4
(d) 38
pregunta 12, I Eliminatoria, 2013
4. Cuatro estudiantes: Eny, Raquel, Brenda y Alicia participaron durante dos semana en la Escuela de Matem´atica Latinoamericana y del Caribe. Cada una viene de un lugar diferente: Sarapiqu´ı, Santo Domingo, Moravia o Birrisito. Adem´as se cuenta con la siguiente informaci´on:
• Eny y la estudiante de Birricito comparteron habitaci´on.
• Eny nunca ha estado en Sarapiqu´ı ni en Moravia.
• En un partido de futbol que se realiz´o entre semana, Brenda jug´o en el mismo equipo que la estudiante de Sarapiqu´ı, mientras que la estudiante de Birrisito estaba en el equipo opuesto.
• La estudiante de Sarapiqu´ı y Alicia pasaban jugando ajedrez.
¿De qu´e ˜nugar es Alicia?
(a) Sarapiqu´ı (b) Moravia
(c) Birrisito
(d) Santo Domingo
pregunta 19, I Eliminatoria, 2013, nivel B
5. Los asientos de un carrusel est´an numerados con1,2,3, ..y as´ı sucesivamente de forma consecutiva y circular. Un ni˜no est´a sentado en el n´umero11 y otro est´a sentado en el n´umero4, que est´a diametralmente opuesto. Entonces, la cantidad de asientos que tiene el carrusel es
(a) 13
(b) 14
(c) 16
(d) 17
pregunta 7, I Eliminatoria, 2012
6. Si 12trabajadores contruyen un muro en 8 d´ıas, con una jornada de 8 horas diarias, entonces la cantidad de trabajadores que se ocupan para construir un muro igual al anterior en4 d´ıas con jornadas de6 horas corresponde a
(a) 24
(b) 32
(c) 36
(d) 40
17
pregunta 17, I Eliminatoria, 2012
7. El Ministerio de Salud report´o hace un mes que 10% de la poblaci´on padeci´o de una enfermedad. En el trascurso de este mes, 20% de las personas enfermas se curaron y un 10% de las personas sanas se enfermaron. Entonces el porcentaje de la poblaci´on que goza de buena salud actualmente es
(a) 82
(b) 83
(c) 90
(d) 91
pregunta 2, I Eliminatoria, 2011
8. El ´angulo que recorre la aguja de las horas de un reloj en 75minutos es
(a) 30◦
(b) 32,5◦
(c) 35◦
(d) 37,5◦
pregunta 3, I Eliminatoria, 2011
9. El n´umero de combinaciones posibles para tener 900colones en 11monedas de todas las denominaciones (c5,c10,c25, c50, c100, c500) es
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
pregunta 5, I Eliminatoria, 2011
10. En la siguiente cuadr´ıcula deben colocarse los n´umeros 1,2,3,4de modo que la suma de los n´umeros de cada fila, columna, diagonal y subcuadr´ıcula sea 10.
Entonces la suma de los n´umeros que deben colocarse en las casillas inferior izquierda y superior derecha es
(a) 4
(b) 5
(c) 6
(d) 7
pregunta 4, I Eliminatoria, 2011
6
Soluci´
on a los ejercicios propuestos
1. Como la piscina est´a siendo abastecida a raz´on de 57litros por cada 3 horas, que es equivalente a decir19litros por hora y sale agua a raz´on de 64litros por cada4horas que equivalen a 16 litros por hora. Entonces hay una diferencia de 3 litros por hora a favor del llenado de la piscina, por lo que la piscina tardar´a1000 horas en llenarse. Por lo tanto, la opci´on correcta es la (c).
2. El n´umero total de formas distintas en que pueden salir cara o escudo en 5 lanzamien-tos es25 = 32y como la ´unica forma de que salgan5escudos es la1, la probabilidada es 321, opci´on (a).
3. La respuesta correcta es la (a), es decir que solamente hay un bal´on para baloncesto, ya que de haber dos se tendr´ıa un posible caso de que al sacar tres balones, dosde ellos ser´ıan de baloncesto, lo cual contradice el hecho de que siempre que saquemos tres balones, dos al menos deben ser de f´utbol.
19
4. De la primera afirmaci´on se deduce que Eny no vive en Birrisito, y de la segunda que tampoco vive en Moravia o en Sarapiqu´ı, luego se concluye que Eny vive en Santo Domingo.
Por la tercera afirmaci´on, Brenda no es de Sarapiqu´ı, ni de Birrisito. Adem´as no es de Santo Domingo, por lo que debe ser de Moravia.
Alicia entonces no es de Santo Domingo, ni de Moravia, pero por la cuarta afirmaci´on tampoco es de Sarapiqu´ı, y por lo tanto es de Birrisito. Luego, la respuesta es la (c).
5. La respuesta correcta es la (b), ya que si el11est´a opuesto al 4, el 12lo esta al 3, el
13lo est´a con el 2y el 14con el 1. Por lo tanto, hay 14asientos en el carrusel.
6. La cantidad de horas trabajadas en construir el muro en primera instancia por los12
trabajadores es 12·8·8 = 768. Por lo tanto se debe invertir el mismo n´umero de horas para construir el muro con la segunda condici´on, entonces si designamos conxla cantidad de trabajadores requeridos, se tiene quex·4·6 = 768↔x= 768÷24 = 32. Entoces se requiren 32 trabajadores para construir el muro y la respuesta es la (b).
7. El n´umero de personas no es importante en el problema pero podemos suponer que son100para resolverlo. Como hace un mes 10%estaban enfermos, entonces hab´ıa10
personas enfermas y90saludables. En el transcurso del mes, un 20%de las personas enfermas se curaron; es decir; 2 se recuperaron. El 10% de las personas saludables; o sea, 9 se enfermaron. De all´ı se sigue que hay 8 + 9 = 17 personas enfermas y 83
saludables o el 83%.
8. En 12 horas la aguja recorre un ´angulo de 360. Ahora 75 minutos corresponden 114
horas. Por regla de tres, la aguja recorre un ´angulo de37,5.
9. Se debe tener al menos una moneda de cada denominaci´on, es decir 6 monedas distintas que sumanc690. Por lo tanto se debe tenerc210en las restantes5monedas. Esto significa que no puede haber m´as monedas de c500 y a lo sumo una moneda de
c100. Las formas posibles son
n Denominacion n Denominacion n Denominacion
1 c100 1 c100 4 c50 1 c50 2 c50 1 c10 2 c25 2 c5
1 c10
Por lo tanto la respuesta correcta es (c).
10. La diagonal donde est´an el3y4solamente puede completarse con2y1. El 1 no puede colocarse en la casilla inferior derecha (pues en esa subcuadr´ıcula faltar´ıa n´umero 5). Para completar la columna derecha deben colocarse el4y3, en la casillas superior debe colocarse el 4 (si se coloca el 3se llega nuevamente a necesitar un 5 en una casilla).
La ´unica forma posible es colocando los n´umeros por lo que la respuesta correcta es (d).
21
7
Cr´
editos
Este documento es un material de apoyo sobre Probabilidad, Conteo y Razonamiento L´ogico para estudiantes que participan en el primer nivel de la primera eliminatoria de la Olimpiada Costarricense de Matem´atica.
Autora
Yoilyn Rojas Salazar
Editora
Yoilyn Rojas Salazar
Revisor
Christhian Zamora Ja´en
Para referenciar este documento
Olimpiadas Costarricenses de Matem´aticas (2015). Material de apoyo sobre Combinatoria, Probabilidad y Razonamiento L´ogico: I nivel, I Eliminatoria. San Jos´e, Costa Rica: Licda. Yoilyn Rojas Salazar.
•
•
•
(A, B, P, Q, . . .) (l1, l2)
AB A B
−→
AB A B
←→
AB A B
A−B−C A B C
lm l m
l⊥m l m
N◦
A B C D E ←→AD ←→BE
←→ AB
B A C CD AB
C A B CE DB
D ←→AB A D C AB
AC E
A B C
D E
D E ←→
AB
A C B
D
E
D E ←→
A C B E
D
N◦
ABCD ABF G GF EH B F D
ABCD
AB BC CD DA ABF G AB BF F G GA
GF EH GF F E EH HG
ABCD ABF G
ABCD
GF EH
A
B
C
D
E F
G
H
0◦ 90◦ 90◦ 90◦ 180◦ 90◦
180◦
∼ =
O
A B
C
∠AOB ∠BOC
O D
E
F
∠DOE ∠EOF
1 2 3 4
5 6 7 8
m
n
t
∠3 ∠5 ∠4 ∠6
∠1 ∠7 ∠2 ∠8
∠1 ∠5 ∠2 ∠6 ∠3 ∠7 ∠4 ∠8
∠1 ∠8 ∠2 ∠7 ∠3 ∠6 ∠4 ∠5
N◦
pq rs ←→BD ∠ABC α
35◦
70◦
110◦
145◦ 35◦ s
p
q r
α
C A
D
←→
BD ∠ABC
∠ABD 35◦ ∠DBC
∠ABC 70◦
∠ABC ∠θ
r s q 180◦
m∠θ= 110◦
∠θ ∠α p q r
∠α ∼= ∠θ m∠α = 110◦
35◦ s
p
q r
α
35◦ θ
C A
D
B
r s p q
∠ABC
∠θ ∠α
N◦
ABCD EF GH m∠AP F +
m∠BRH
150◦
180◦
210◦
225◦
A
B
C
D E
F
G
H P
Q
S R
EF GH F G EH AD
∠AP F ∠ASE ∠AP F ∼=
∠ASE()
∠BRE ∼= ∠ASE()
AD BC EH
∠BRE ∠BRH m∠BRE+
∠BRH = 180◦( )
() () ∠AP F ∼= ∠BRE
( ) ∠BRE ∠AP F
180◦ 360◦
α
β
θ γ
δ
ϕ
m∠α+m∠β+m∠θ= 180◦
m∠δ+m∠ϕ+m∠γ = 180◦
m∠ϕ=m∠α+m∠β
N◦
CDHG m∠DHF = 120◦ m∠CDI = 30◦
IEF IEF m∠DCG= 60◦
m∠DIG= 120◦
A C D B
E G H F
I
IEF
CDHG AB EF
∠CDI ∠GEI m∠GEI = 30◦
CG DH ∠DHF ∠IGH
m∠IGH = 120◦
30◦
30◦ 120◦ 120◦
A C D B
E G H F
I
∠EGI ∠IGH m∠EGI +m∠IGH = 180◦
m∠CGH = 120◦ m∠EGI = 60◦
m∠EGI +m∠GEI +m∠EIG= 180◦
m∠EGI = 60◦ m∠GEI = 30◦ m∠EIG= 90◦
909090◦◦◦
30◦
30◦ 606060◦◦◦120◦ 120◦
A C D B
E G H F
m∠EIF = m∠EIG+m∠GIF m∠EIG = 90◦
m∠EIF > 90◦ IEF
m∠EIG=m∠CID CDI
m∠CID = 90◦ m∠CDI = 30◦ m∠DCI = 60◦
180◦ ∠DCI ∠DCG
∠DIG ∠EIG
m∠EIG = 90◦ ∠DIG
90◦
6 + 8<15
N◦
AB = 4 AD = 5 DE = 6 EC = 2 BE = 4 BD=BC BD
A B C
D
E
x BD
4
x
4
5
2
6
x
A B C
D
E
ABD x+ 4 > 5 4 + 5 > x x > 1 9 > x
DBE x+ 4>6 4 + 6> x x >2 10> x 2< x <10 (2)
BEC x+ 2>4 4 + 2> x x >2 6> x 2< x < 6 (3)
ADC 8 + 5>4 +x 5 + 4 +x >8 9> x x >0 0< x <9 (4)
x 2< x <6
3 4 5
BD
N◦28
AE AD AB AC
120◦
50◦
70◦
75◦
80◦
A
E
C B
D
ADE AE
AEC m∠ACE = 60◦
50◦ 70◦ 180◦
AC
ABC m∠BAC = 25◦
AC
D
N◦18
α β γ γ=α+β
α β γ α+β+γ= 180◦ γ=α+β
γ+γ= 180◦ γ= 90◦
α
N◦11
1 : 4
1 : 4
α 4α
α α α 4α
4α α 4α 4α
180◦
α+α+ 4α = 180◦ ⇒ 6α = 180◦
⇒ α= 30◦
⇒ 30◦ 30◦ 120◦
α+ 4α+ 4α= 180◦ ⇒ 9α= 180◦
⇒ α = 20◦
⇒ 20◦ 80◦ 80◦
= base×altura 2
=base×altura
(lado)2 lado
×4
lado×ancho largo×2 +ancho×1
diagonal mayor×diagonal menor
= (base mayor+base menor)×altura 2
N◦4
ABCD 4cm O
DC R AO T 3T B =AT P OT
A B
C D O
T P R
1 2 1
2
3 2
ABCD 4 AB = 4.
AT+T B =AB= 4 AT = 3T B 3T B+T B = 4
T B = 1 AT = 3
RP AOT R P
AO OT RP AT RP = 3
2
ARP RP
h A ←→RP
RP AOT
A= base×altura
2 =
3 2×2
2 = 3 2
A=πr2
r C= 2πr
N◦2
64cm2
16π
32−4π
64−4π
16−4π
64cm2
4cm
2cm
4cm
=
= lado×lado−πr2
= 4×4−π(2)2
= 64−4π
N◦14
150m
1050 + 150π
1200 675 +π
600 + 75π
N◦13
P QRS P QSR SR= 2P Q M P Q N QR L SR LR= 3LS P Q= 1cm
LM N P QRS
1 2 2 √ 3
2 3 1 3
P Q
S R
M
L
N◦3
ABC CDE D B−C−E
∠DCE
22,5◦ 30◦
45◦
60◦
B
A C
D E
N◦10
1 4 1 2 1 2
N◦17
ABCD BC = 2AB BCE
AD M CE ∠CM D
60◦ 75◦ 80◦ 87◦
N◦3
ABC CDE AC =CD ∠ACD
80◦ ∠ABD
30◦
35◦
40◦
45◦
A
B
C
E
D
N◦4
β
75◦
85◦
95◦
125◦
125◦
β
30◦
A B
D E F
C
N◦8
ABDC GFBD EFBA ∠GEF = 60◦
∠GHA
90◦
75◦
65◦
35◦
A B
C D
E F G
N◦15
25cm
5 6 7 12
N◦23
AD =CD= 3cm F E = 2cm EB= 5cm
1cm
2cm
3cm
4cm
A B
F
C
D E
N◦24
N◦27
α
70◦
80◦
110◦
150◦
60◦
110◦
α
N◦1
3
11
N◦22
ABCD AB DC BD =AD
m∠DCB= 110◦ m∠CBD = 30◦ m∠ADB
N◦23
ABC AB AC D E F
AB AC BC DEF
a=m∠BF D b=m∠ADE c=m∠F EC
b= a+c 2
b= a−c 2
a= b+c 2
a= b−c 2
N◦14
150m
300 + 300 + 75π = 600 + 75π
N◦13
P Q= 1 SR= 2P Q= 2 SL= 1
2 LR= 3 2
2h P QRS
(base mayor+base menor)×altura
2 =
(2 + 1)2h
2 = 3h
P M LS
base×altura= 1
2 ×2h=h M QN
base×altura
2 =
1 2 ×h
2 =
h
4 LRN
base×altura
2 =
3 2 ×h
2 = 3h
4 LM N
P QRS
(LM N) (P QRS) =
h
3h =
1 3
N◦3
ABC ⇒ ∠BCA = 60◦ ⇒ ∠CED = 60◦
∠DCE = 30◦ ∠CED ∠DCE
N◦10
l b h
l2= 2bh
2 b= 2l l
2= 2·l·h h= 1
2l 1
h =
1 1 2 ·l
= 2
N◦17
EC =BC 2M C =EC =BC = 2AB ⇒M C =AB =DC CDM
m∠M CD m∠BCD−m∠BCE
90◦−60◦ 30◦
m∠M CD+m∠M CD+m∠M CD = 180◦
⇒30◦+ 2m∠CM D = 180◦
⇒m∠CM D = 75◦
N◦3
BCD m∠BCD= 60◦+ 80◦ = 140◦
m∠DBC = 180
◦−140◦
2 = 20
◦ m∠ABC = 60◦
m∠ABD= 60◦−20◦ = 40◦
N◦4
120◦ 55◦
β 30◦+ 55◦ = 85◦
β 180◦+ 85◦ = 95◦
N◦8
GFBD m∠GF E = 90◦ m∠GEF = 60◦
m∠EGF = 30◦ AD
m∠ADC = 45◦ m∠F ID= 45◦ m∠GIH = 45◦
m∠EGF = 30◦ m∠GIH = 45◦
m∠GHA= 75◦
N◦15
x y
2x+y = 25 2x y
yyy xxx xxx
1 12 12 3 11 11 5 10 10
7 9 9
9 8 8
11 7 7
y= 13 x= 6 13,6,6
6 12
13 25
6
N◦23
ACD: 3 +x >34 6> x CED: 2x >3
DEB : 2x >5 CF E : 2x >2
CED: 2x+ 7>3 +x 10 +x= 2x 3x+ 3>7
x= 3cm
N◦24
m
3m+ 30◦= 180◦ m
50◦
70◦ 60◦ 50◦
N◦27
100◦ 180◦−110◦ = 70◦
α 70 90◦−60◦= 30◦ α= 180−70−30 = 80
60◦
110◦
α
30◦
70◦
70◦
N◦1
3 3
7,5
1 3
1,5
∴
7,5 + 1,5 + 9 = 18
N◦22
BD ABCD BCD
m∠CDB = 180◦ −m∠DCB −m∠CBD = 40◦ CDB ABD
BD=AD m∠ABD=m∠DAB = 40◦
m∠ADB = 180◦−m∠ABD−m∠DAB= 180◦−2·40◦= 100◦
N◦23
b+ 60◦=m∠ABC+a
a+ 60◦=c+m∠ACB
(b+ 60◦)−(a+ 60◦) = (m∠ABC+a)−(c+m∠ACB)
b−a=a−c+m∠ABC−m∠ACB
m∠ABC = m∠ACB (AB = AC) b−a = a−c a= b+c
UNA - UCR - TEC - UNED - MEP - MICIT
Teor´ıa de N´
umeros
I Nivel
I Eliminatoria
´Indice
1. Presentaci´on. 2
2. Contenidos de Teor´ıa de N´umeros. 3
3. Concepto de m´ultiplo y divisor. 4
3.1. M´ultiplo de un n´umero natural. . . 4 3.2. Divisor de un n´umero entero. . . 5
4. Algoritmo de la divisi´on. 6
5. N´umero primos y compuestos. 7
6. Teorema fundamental de la aritm´etica: descomposici´on en factores primos. 8
7. Reglas de divisibilidad. 10
8. M´ınimo com´un m´ultiplo y m´aximo com´un divisor. 11
8.1. M´ınimo com´un m´ultiplo. . . 11 8.2. M´aximo com´un divisor . . . 13
9. Ejercicios sobre teor´ıa de n´umeros. 15
10.Soluci´on a los ejercicios propuestos. 20
11.Cr´editos 23
1.
Presentaci´
on.
Este es un material de apoyo sobre Teor´ıa de N´umeros. Est´a dirigido a estudiantes de primer a˜no de secundaria que inician su preparaci´on para la I eliminatoria de la Olimpiada Costarri-cense de Matem´atica (OLCOMA). Se pretende que el estudiante se familiarice con el tipo de problemas que se eval´uan y las principales estrategias que se emplean para su soluci´on.
Para cada uno de los contenidos del tema de Teor´ıa de N´umeros se presenta un breve desarrollo te´orico. Posteriormente, se ejemplifica la aplicaci´on de los conceptos por medio de problemas resueltos tomados de las primeras eliminatorias de a˜nos anteriores (2008-2014). Es importante destacar que el desarrollo te´orico ofrecido se ha realizado principalmente desde un punto de vista intuitivo, esto por el nivel de la competencia al que corresponde. Otros materiales para niveles superiores presentan los contenidos con m´as formalidad matem´atica.
Para que el(la) estudiante ponga en pr´actica los conocimientos adquiridos se incluye una secci´on con problemas propuestos y otra con las respectivas soluciones.
A continuaci´on se presenta la primera secci´on con el temario de Teor´ıa de N´umeros para el I nivel y I Eliminatoria.
2
2.
Contenidos de Teor´ıa de N´
umeros.
Estos son los contenidos que se eval´uan en el tema de Teor´ıa de N´umeros para el I nivel de la I Eliminatoria de la Olimpiada Costarricense de Matem´atica.
Concepto de divisibilidad: divisor, m´ultiplo. Propiedades. Obtener los divisores positivos de un n´umero natural.
Algoritmo de la divisi´on.
N´umeros primos y compuestos.
El teorema fundamental de la aritm´etica (descomposici´on can´onica).
Reglas de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11.
Notaci´on desarrollada de un n´umero en base 10.
M´aximo com´un divisor. M´ınimo com´un m´ultiplo.
3.
Concepto de m´
ultiplo y divisor.
Dos de los conceptos que aparecen con mayor frecuencia en la soluci´on de ejercicios del primer nivel de OLCOMA son los de m´ultiplo y divisor de un n´umero. Por ejemplo, en la I eliminatoria del I nivel del 2014 hay tres ejercicios que pueden resolverse por medio de estos conceptos. A continuaci´on se presenta la definici´on de m´ultiplo de un n´umero natural y un problema en el cual se ejemplifica c´omo utilizar el concepto.
3.1.
M´
ultiplo de un n´
umero natural.
Un n´umero natural es m´ultiplo de otro si lo contiene un n´umero entero de veces. Por ejemplo 12 es m´ultiplo de 6, pues 12÷6 = 2. Para determinar los m´ultiplos de un n´umero natural se m´ultiplica ese n´umero por los n´umeros naturales 1, 2, 3, ... . Dado a que 6 = 6·1, 12 = 6·2, 18 = 6·3, 24 = 6·4 y 30 = 6·5, los m´ultiplos de 6 menores a 34 son{6,12,18,24,30}. Observe que el cociente que se obtiene al dividir 34 entre 6 es 5, que es precisamente la cantidad de m´ultiplos de 6 menores a 34.
Algunas propiedades de los m´ultiplos son las siguientes:
1. Todo n´umero distinto de 0 es m´ultiplo de s´ı mismo, del n´umero 1 y tiene infinito n´umero de m´ultiplos. Por ejemplo, 5 es m´ultiplo de s´ı mismo ya que 5÷5 = 1. Tambi´en es m´ultiplo de 1 puesto que 5÷1 = 5. Por ´ultimo existe una cantidad infinita de m´ultiplos de 5: todos aquellos n´umeros cuya cifra de las unidades es 5 o 0.
2. La suma de varios m´ultiplos de un n´umero es otro m´ultiplo de dicho n´umero. Por ejemplo, 3, 6, 18, 24 son m´ultiplos de 3 y observe que 3 + 6 + 18 + 24 = 51 el cual es m´ultiplo de 3 puesto que 51÷3 = 17.
3. La diferencia de dos m´ultiplos de un n´umero es otro m´ultiplo de dicho n´umero. Por ejemplo: 10 y 6 son m´ultiplos de 2, y note que 10−6 = 4, que es otro m´ultiplo de 2
4. Si un n´umero es m´ultiplo de otro, y ´este lo es de un tercero, el primero es m´ultiplo del tercero. Por ejemplo, 64 es m´ultiplo de 32 y 32 es m´ultiplo de 8. Observe que 64 es m´ultiplo de 8.
5. Si un n´umero es m´ultiplo de otro, todos los m´ultiplos del primero lo son tambi´en del segundo. Por ejemplo, 16 es m´ultiplo de 4. Note que cualquier m´ultiplo de 16 es tambi´en m´ultiplo de 4.
Analice el siguiente problema en el que se utiliza el concepto de m´ultiplo.
4
Problema 1
Por un error en la fotocopiadora, en un libro de 400 p´aginas se dejaron en blanco todas las p´aginas cuyos n´umeros de p´agina eran m´ultiplos de 3 o de 4, determine cu´antas p´aginas se fotocopiaron correctamente.
(a) 150
(b) 200
(c) 220
(d) 250 ´Item 18. I Eliminatoria, I nivel 2014
Soluci´on
Para resolver el problema se debe determinar la cantidad de m´ultiplos de 3 y 4 menores que 400.
De acuerdo con lo expuesto anteriormente, la cantidad de m´ultiplos de 3 menores que 400 es 133. Esto porque el cociente de la divisi´on de 400 por 3 es 133. De forma an´aloga, hay 100 m´ultiplos de 4 menores que 400.
Ahora se deben restar todos los n´umeros que son m´ultiplos de ambos, es decir los m´ultiplos de 12 (pues se consideraron dos veces) que en total son 33 pues el cociente entre 400 y 12 es 33. Por lo tanto se dejaron en blanco 133 + 100−33 = 200 p´aginas y se fotocopiaron correctamente 200 p´aginas. La opci´on correcta es la b.
Un concepto relacionado al de m´ultiplo es el de divisor de un n´umero entero el cual se presenta a continuaci´on.
3.2.
Divisor de un n´
umero entero.
Un n´umero aes divisor de un n´umero bsi la divisi´on de bentrea es exacta. Se acostumbra a escribira|bpara indicar quea es un divisor deb. Por ejemplo, 2 es un divisor del 6 ya que la divisi´on de 6 entre 2 es exacta.
A difererencia de los m´ultiplos, en que cualquier n´umero distito de 0 tiene infinito n´umero de m´ulitplos, un n´umero tiene una cantidad finita de divisores. Para hallar los divisores de un n´umero se divide sucesivamente entre 1, 2, 3, 4, 5, ... y aquellos n´umeros para los que la divisi´on sea exacta ser´an sus divisores. Por ejemplo, los divisores de 32 son{1,2,4,8,16,32}.
Otras propiedades de los divisores son:
1. Todo n´umero distinto de 0 es divisor de s´ı mismo. Por ejemplo, 10 es divisor de s´ı mismo ya que 10÷10 = 1
2. El n´umero 1 es divisor de cualquier n´umero.
3. Si un n´umero es divisor de otros dos, tambi´en lo es de su suma y de su diferencia. Por ejemplo, 2 es un divisor de 8 y 12, note que 2 es divisor de 8 + 12 = 20 y 12−8 = 4.
4. Si un n´umero es divisor de otro, tambi´en lo es de cualquier m´ultiplo del segundo. Por ejemplo, 3 es divisor de 15. Observe que 3 es un divisor de 45 que es un m´ultiplo de 3.
5. Si un n´umero es divisor de otro, y ´este lo es de un tercero, el primero lo es del tercero. Por ejemplo, 4 es un divisor de 16 y 16 es un divisor de 64. En consecuencia 4 es un divisor de 64.
Observe c´omo se utiliza el concepto de divisor para resolver el siguiente problema.
Problema 2
¿Cu´al de las siguientes parejas de n´umeros enteros tienen m´as divisores en com´un?
(a) 24 y 18
(b) 56 y 98
(c) 72 y 36
(d) 105 y 216 ´Item 13. I Eliminatoria, I nivel 2014
Soluci´on
Denotemos con Da los divisores del n´umeroa.
D24={1,2,3,4,6,8,12,24} D18={1,2,3,6,9,18}
Divisores en com´un del 24 y 18 son{1,2,3,6} Verifique que:
Los divisores en com´un del 56 y 98 son{1,2,7,14}
Los divisores en com´un del 72 y 36 son{1,2,3,4,6,9,12,36} El ´unico divisor en com´un del 105 y 216 es{3}
Por lo que la pareja de n´umeros que tiene m´as divisores en com´un es 72 y 36. Opci´on correcta c.
4.
Algoritmo de la divisi´
on.
Al dividir un n´umero por otro se obtiene siempre un cociente y un residuo. Por ejemplo, al dividir 98 por 5, el cociente es 19 y el residuo 3.
El algoritmo de la divisi´on establece que dados dos n´umeros (dividendo y divisor) existe otros dos n´umeros (cociente y residuo) que cumplen la siguiente igualdad:
6
Dividendo es igual al cociente por el divisor m´as el residuo. El residuo siempre es igual o mayor que cero y menor que el divisor.
De acuerdo con el algoritmo de la divisi´on 98 = 5·19 + 3.
Una aplicaci´on com´un del algoritmo de la divisi´on se presenta en el siguiente problema.
Problema 3
El d´ıgito de las unidades del n´umero 232014 corresponde a
(a) 1
(b) 3
(c) 7
(d) 9 ´Item 20. I Eliminatoria, I nivel 2014
Soluci´on
Para resolver ejercicios de este tipo se debe buscar un patr´on o ciclo en la cifra de las unidades de las potencias de 23.
Observe que el d´ıgito de las unidades de 231es 3, de 232 es 9, de 233es 7, de 234es 1 y a partir
de ah´ı se repite un ciclo de periodo 4. Debido a esto se puede establecer una relaci´on entre el residuo de la divisi´on del exponente de la potencia y 4. Si el residuo es 1 entonces la cifra de las unidades es 3, si el residuo es 2 entonces la cifra de las unidades es 9, si el residuo es 3 la cifra de las unidades es 7 y si el residuo es 0 la cifra de las unidades es 1. Dado que al dividir 2014 por 4 se obtiene cociente 503 y residuo 2, entonces 232014 termina en 9. La opci´on correcta es
d.
5.
N´
umero primos y compuestos.
Un n´umero es primo si s´olo es divisible por s´ı mismo y por 1. Si un n´umero no es primo diremos que es compuesto. El 0 y el 1 no son ni primos ni compuestos.
Los 25 primeros n´umeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97, que son todos los primos menores que 100.
El algoritmo m´as sencillo que puede utilizarse para saber si un n´umero n es primo es el de la divisi´on. Se trata de determinar si tiene alg´un divisor distinto de 1 y el mismo n´umero. Para ello se divide el n´umeron entre 2, 3, 4, 5, ... ,n−1. Si alguna de las divisiones es exacta podemos asegurar que el n´umeron es compuesto. Si ninguna de estas divisiones es exacta, el n´umero n
es primo. Este m´etodo puede hacerse m´as eficiente observando simplemente, que si un n´umero
es compuesto alguno de sus factores (sin contar el 1) debe ser menor o igual que √n. Por lo tanto, el n´umero de divisiones a realizar es mucho menor. S´olo hay que dividir entre 2, 3, 4, 5, ... ,√n. Es decir, bastar´ıa hacer las divisiones entre los n´umeros primos menores o iguales que√n. Estudie la soluci´on del siguiente problema en el que se utiliza el concepto de n´umero primo.
Problema 4
La cantidad de n´umeros primos menores que 100 tales que el m´ınimo com´un m´ultiplo de sus d´ıgitos sea 6 corresponde a
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4 ´Item 24. I Eliminatoria, nivel A 2012
Soluci´on
Los n´umeros de 0 a 100 que satisfacen que el m´ınimo com´un m´ultiplo de sus d´ıgitos sea 6 corresponden a 66, 62, 63, 26, 36,16, 61, 23, 32. De ellos solo son primos el 61 y 23. Por lo tanto, solo dos n´umeros cumplen esta condici´on. Opci´on correcta: b.
6.
Teorema fundamental de la aritm´
etica:
descomposi-ci´
on en factores primos.
El teorema fundamental de la aritm´etica garantiza que todo n´umero compuesto se puede des-componer de forma ´unica (salvo el orden de los factores) en un producto de n´umeros primos. Esto fue demostrado por Gauss (1777-1855).
Para descomponer un n´umero compuesto, por ejemplo 180, como el producto de factores se realiza el siguiente procedimiento:
1. Escribir el n´umero compuesto y a su derecha se traza una l´ınea vertical.
180
8
2. Dividir el n´umero por el menor primo que sea posible: 2, 3, 5,... . Colocar el divisor (el n´umero primo) en la parte superior del lado derecho de la l´ınea vertical y el cociente debajo del primer n´umero en la izquierda del la l´ınea vertical.
180 2 90
3. Repetir el proceso hasta que en la parte izquierda aparezca un 1. Esto indica que la descomposici´on habr´a terminado.
180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1
La descomposici´on en factores primos de 180 es 2·2·3·3·5 = 22·32·5.
Observe que 22·32·5 = 180
En la soluci´on del siguiente problema se emplea el teorema fundamental de la aritm´etica.
Problema 5
El triple del producto de las edades de un padre y su hijo es 2013. Si ambos cumplen a˜nos el mismo d´ıa, entonces cuando naci´o el hijo la edad del padre era
(a) 48
(b) 49
(c) 50
(d) 51 ´Item 11. I Eliminatoria, I nivel 2013
Soluci´on
Por el teorema fundamental de la aritm´etica, 2013 puede descomponerse como el producto de n´umeros primos. Al descomponer 2013 en factores primos se obtiene 2013 = 3·11·61. Esto quiere decir que 2013 se expresa de forma ´unica como el triple producto de 11 y 13. Dado que el triple producto de las edades del padre y el hijo es 2013 se tiene que la edad del padre es 61 y la del hijo 11. Por lo tanto, la edad del padre era 50 cuando naci´o el hijo. La respuesta correcta es la opci´on c.
7.
Reglas de divisibilidad.
Como se estudi´o en el apartado 1, para hallar los divisores de un n´umero n se debe dividir dicho n´umero por 1,2,3, ..., n. Si la divisi´on es exacta el n´umero por el que se ha dividido es un divisor de n.
Si el n´umero es grande hacer una divisi´on puede llevar mucho tiempo. Adem´as no interesa el cociente de la divisi´on en s´ı sino si es exacta o no.
Tambi´en se estudi´o en el apartado 4 sobre el teorema fundamental de la aritm´etica que para descomponer un n´umero en producto de factores primos, se debe determinar si es divisible por los sucesivos n´umeros primos 2,3,5, ....
En ambos casos el trabajo a realizar se ver´a simplificado si se tiene en cuenta las llamadasreglas de divisibilidad, que indican si un n´umero es divisible o no por otro sin necesidad de efectuar la divisi´on.
Las principales y m´as usadas reglas de divisibilidad son:
1. Un n´umero es divisible por 2 si la cifra de las unidades es 0 o un n´umero par.
2. Un n´umero es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.
3. Un n´umero es divisible por 4 si el n´umero formado por sus dos ´ultimas cifras es divisible por 4.
4. Un n´umero es divisible por 5 si la cifra de las unidades es 0 o 5.
5. Un n´umero es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 a la vez.
6. Un n´umero entero es divisible por 7 cuando la diferencia entre el n´umero entero y el doble del n´umero que resulta de eliminar el d´ıgito de las unidades del n´umero dado es divisible por 7. Si no es claro que el n´umero obtenido sea divisible por 7 se puede seguir el procedimiento descrito anteriormente hasta obtener un n´umero que, a simple vista, lo sea o no.
7. Un n´umero es divisible por 8 si sus tres ´ultimas cifras es divisible por 8.
8. Un n´umero es divisible por 9 si la suma de sus cifras es divisible por 9.
9. Un n´umero es divisible por 10 si la cifra de las unidades es 0.
10. Un n´umero es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar impar y la suma de las que ocupan lugar par es divisible por 11.
Analice el siguiente problema.
10
Problema 6
¿Cu´antos posibles n´umeros de la forma 5a6bson divisibles por 6?, siendo a y
blos d´ıgitos de las centenas y unidades, respectivamente. (a) 5
(b) 10
(c) 16
(d) 32 ´Item 12. I Eliminatoria, I nivel 2014
Soluci´on
Seg´un las reglas de divisibilidad descritas, el n´umero entero 5a6b es divisible por seis si es di-visible por dos y por tres a la vez. Analicemos cada caso por separado.
Caso I: 5a6bdivisible por 2.
Seg´un las reglas de divisibilidad, 5a6bes divisible por dos si la cifra de las unidades es par, esto es sib∈ {0,2,3,4,6,8}
Caso II: 5a6bdivisible por 3.
Seg´un las reglas de divisibilidad, 5a6b es divisible por tres si la suma de sus cifras es divisible por 3, esto es si 5 +a+ 6 +bes divisible por tres o lo que es lo mismo si 11 +a+bes divisible por tres. Sustituyendo los posibles valores debobtenidos en el caso I se obtiene:
Si b= 0 entonces a∈ {1,4,7} ⇒3 n´umeros diferentes. Si b= 2 entonces a∈ {2,5,8} ⇒3 n´umeros diferentes. Si b= 4 entonces a∈ {0,3,6,9} ⇒4 n´umeros diferentes. Si b= 6 entonces a∈ {1,4,7} ⇒3 n´umeros diferentes. Si b= 8 entonces a∈ {2,5,8} ⇒3 n´umeros diferentes. As´ı en total hay 16 n´umeros diferentes.
8.
M´ınimo com´
un m´
ultiplo y m´
aximo com´
un divisor.
8.1.
M´ınimo com´
un m´
ultiplo.
El m´ınimo com´un m´ultiplo de dos n´umeros es el menor de sus m´ultiplos comunes. Se acostum-bra a denotar el m´ınimo com´un m´ultiplo de dos n´umerosa ybpor m.c.m. (a,b). Una forma de calcular el m´ınimo com´un m´ultiplo de dos n´umeros consiste en elaborar una lista con los m´ ulti-plos de esos n´umeros hasta encontrar el primero que coincida. Por ejemplo, para determinar
m.c.m.(120,300) se elabora una lista con algunos m´ultiplos de 120 y de 300.
M´ultiplos de 120: 120, 240, 360, 480, 600, 720, 840,960, 1080, 1200, 1320 ...
M´ultiplos de 300: 300, 600, 900, 1200, 1500, ...
Observe que en la lista de m´ultiplos hay dos comunes: 600 y 1200. No obstante el m´as peque˜no de ellos es 600. Por lo tanto m.c.m.(120,300)=600.
Otro m´etodo para determinar el m´ınimo com´un m´ultiplo de dos o m´as n´umeros, por ejemplo m.c.m. (120,300), es la siguiente:
1. Se colocan los n´umeros uno al lado del otro sin importar el orden y a su derecha se traza una l´ınea vertical.
120 300
2. Se determina el menor divisor primo que tienen en com´un los n´umeros involucrados y se escribe en la parte superior del lado derecho de la l´ınea vertical. Los cocientes respectivos se colocan debajo de cada n´umero ubicado a la izquierda de la l´ınea vertical.
120 300 2 60 150
3. Se repite el paso 2 hasta que los cocientes no tengan divisores en com´un.
120 300 2 60 150 2 30 75 3 10 25 5
2 5
4. El m´ınimo com´un m´ultiplo es el producto de los ´ultimos cocientes que no tienen divisores en com´un y de los divisores primos ubicados a la derecha de la l´ınea vertical.
As´ı m.c.m.(120,300)= 2·5·2·2·3·5 = 600. Es decir, el menor m´ultiplo que tienen en com´un 120 y 300 es 600.
En el siguiente problema se emplea el concepto de m´ınimo com´un m´ultiplo.
12
Problema 7
En una tuber´ıa de gas de 6km de longitud se deben hacer agujeros cada 120m para conectar con tuber´ıas secundarias y cada 300m para instalar v´alvulas de control. (En caso de coincidir se pueden instalar ambas en un mismo agujero). Si el primer agujero coincide al inicio de la tuber´ıa, ¿Cu´antos hoyos se requieren en total?
(a) 60
(b) 61
(c) 72
(d) 600 ´Item 6. I Eliminatoria, I nivel 2014
Soluci´on
Para resolver este problema se debe determinar cada cu´anto coincide un agujero. Este n´umero coincide con el menor de los m´ultiplos comunes de 120 y 300, es decir, con el m´ınimo com´un m´ultiplo. Verfique que m.c.m.(120,300)=600. Esto significa que cada 600m coincide un agujero. Como hay un hoyo al inicio de la tuber´ıa, coinciden un total de 11 hoyos (6000÷600 + 1). Es decir, en 11 hoyos se instala una tuber´ıa secundaria y una v´alvula de control.
Por otro lado se requieren 51 agujeros para las salidas secundarias (6000÷120 + 1 = 51) y 21 para las v´alvulas de control (6000÷300+1 = 21), es decir, 72 hoyos, de los cuales coinciden 11.
Por lo tanto se deben hacer un total de 72−11 = 61 agujeros.
Un concepto similar al de m´ınimo com´un m´ultiplo es el de m´aximo com´un divisor.
8.2.
M´
aximo com´
un divisor
El m´aximo com´un divisor de dos n´umeros es el mayor de sus divisores comunes. Por lo general se denota por M.C.D. (a,b) al m´aximo com´un divisor de los n´umerosa yb.
Una forma de determinar el m´aximo com´un divisor de dos o m´as n´umeros es elaborar una lista con los divisores de los n´umeros. El mayor divisor com´un de la lista es el m´aximo com´un divisor. Para facilitar la b´usqueda de divisores se pueden utilizar las reglas de divisibilidad. Para ejemplificar este procedimiento determinemos M.C.D.(36,28).
Si denotamos porDa a los divisores de a entonces:
D36 ={1,2,3,4,6,9,12,18,36}
D28 ={1,2,4,7,14,28}
Observe que el mayor de los divisores com´unes de 36 y 28 es 4. Por lo tanto M.C.D.(36,28)=4.
Otro procedimiento para determinar el m´aximo com´un divisor de dos o m´as n´umeros es uno si-milar al presentado para el m´ınimo com´un m´ultiplo. A continuaci´on se describe el procedimiento para determinar M.C.D.(36,28).
1. Se colocan los n´umeros uno al lado del otro sin importar el orden y a su derecha se traza una l´ınea vertical.
36 28
2. Se determina el menor divisor primo que tienen en com´un los n´umeros involucrados y se escribe en la parte superior del lado derecho de la l´ınea vertical. Los cocientes respectivos se colocan debajo de cada n´umero ubicado a la izquierda de la l´ınea vertical.
36 28 2 18 14
3. Se repite el paso 2 hasta que los cocientes no tengan divisores en com´un.
36 28 2 18 14 2
9 7
4. El m´aximo com´un divisor es el producto de los divisores primos ubicados a la derecha de la l´ınea vertical.
As´ı M.C.D.(36,24)= 2·2 = 4. Esto es, el mayor n´umero que divide a 36 y 24 a la vez es 4.
En el problema 8 debe determinar el m´aximo com´un divisor de tres n´umeros.
14
Problema 8
Se desea envasar 84ml, 252ml y 378ml de tres sustancias distintas en el menor n´umero de frascos con la misma capacidad y sin mezclarlas. La cantidad total de frascos es
(a) 12
(b) 17
(c) 42
(d) 119 ´Item 13. I Eliminatoria, I nivel 2013
Soluci´on
Debido a que se desea envasar tres cantidades distintas en el menor n´umero de frascos, se debe determinar el m´aximo com´un divisor de esas cantidad. Este n´umero ser´a la capacidad de cada frasco.
Verifique que M.C.D (84, 252, 378)= 42. Es decir cada frasco contiene 42ml. As´ı la cantidad de frascos de 84ml, 252ml y 378ml es, respectivamente, 2 (84÷42 = 2), 6 (252÷42 = 6) y 9 (378÷42 = 9). Por lo tanto, la cantidad total de frascos es 2 + 6 + 9 = 17. La respuesta correcta es la opci´on B.
9.
Ejercicios sobre teor´ıa de n´
umeros.
A continuaci´on se presenta una lista de ejercicios tomados de las eliminatorias 2008-2014 de la Olimpiada Costarricense de Matem´atica. Para resolverlos se deben emplear los conceptos estudiados en este documento.
1. La cantidad de n´umeros que hay entre 100 y 300 (sin contarlos) que sean divisibles entre 3 y 5 son
(a) 91
(b) 92 (c) 93
(d) 94 ´Item 21. I Eliminatoria, I nivel 2014
