Tema 1: Los números naturales

Tema 1: Los n´

umeros naturales

∗ ¿Qu´e vamos a estudiar en este tema?

1. Sistemas num´ericos. La notaci´on posicional.

2. Aritm´etica elemental. Algoritmos y propiedades.

3. Divisibilidad. N´umeros primos. M´aximo com´un divisor y m´ınimo com´un m´ultiplo.

Los n´

umeros naturales

∗ _{N = {1, 2, 3, 4, 5 . . .}}

∗ Origen: necesidad de “contar”.

∗ Problema: representaci´on (oral y escrita) de n´umeros “grandes”.

Tipos de sistemas de numeraci´

on

1. Sistemas aditivos

∗ El n´umero se obtiene sumando el valor de los s´ımbolos que lo componen.

Im´agenes de http://www.ugr.es/ jgodino/edumat-maestros/welcome.htm

∗ Numeraci´on griega: I = 1, Π = 5, ∆ = 10, H = 100, X = 1000 y M = 10000 (la romana procede de ella).

Sistemas de numeraci´

on

2. Sistemas aditivo-multiplicativos

∗ Si hay que repetir varias veces un n´umero, eso se indica con otro n´umero.

Sistemas de numeraci´

on

3. Sistemas multiplicativos

∗ Tiene su origen en el sistema hind´u. Los s´ımbolos del sistema hind´u eran

(y unos s´ımbolos adicionales para las potencias de 10).

∗ Entre los siglos V y VIII se prescinde de los s´ımbolos para las potencias de 10, pero se utilizan unas barras:

Sistemas de numeraci´

on

∗ El cero.

El nombre proviene del s´anscrito shunya (vac´ıo), en ´arabe se llam´o sifr Nuestra palabra cifra viene de ah´ı.

Nuestro sistema de numeraci´on llega a Europa a trav´es de los ´arabes. Al-Jwarizmi escribi´o el libro “Acerca de los

c´alculos con los n´umeros de la India” alrededor del a˜no 825.

∗ A partir de la introducci´on del nuevo sistema de

numeraci´on, la aritm´etica se desarrolla de forma muy r´apida.

La introducci´

on del n´

umero de dos cifras

∗ Enfoque tradicional (1o de primaria):

- Tema 0: repaso de los n´umeros del 0 al 9. - Tema 1: los n´umeros del 10 al 19.

- Tema 2: los n´umeros del 20 al 29. - . . .

Decenas y unidades en los libros de texto

∗ Casi siempre, el enfoque de la figura:

∗ Es mejor, durante un tiempo,

mostrar las decenas como grupos de diez, expl´ıcitamente, como en la figura:

(El ejemplo es de la segunda mitad del primer curso de un libro de Singapur).

Una comparaci´

on

∗ Comparemos estos dos ejemplos:

Un libro espa˜nol de 2o

La introducci´

on del n´

umero de dos cifras

∗ Enfoque alternativo: contamos “haciendo grupos de 10”. Hay dos “grupos de diez” y 6

(o diez, diez y 6).

∗ Adem´as, se puede practicar el recuento con ejemplos que ayudan a profundizar en ese sentido num´erico.

La introducci´

on del n´

umero de dos cifras

∗ Una vez practicado el recuento de manera intensiva, ya se puede:

- 3 grupos de diez y 5 se escribe 35. - el grupo de diez se llama decena. - introducir el cero.

∗ Un alumno que ha seguido este proceso est´a en condiciones de contestar a la pregunta:

¿cu´antas son 32 + 20?

∗ Estos temas ser´an ampliados en la asignatura de did´actica de las matem´aticas (3o).

La base b

∗ ¿Por qu´e contamos en base 10 (haciendo “grupos de 10”)?

∗ ¿C´omo representar´ıamos la cantidad de la figura si

tuvi´eramos 8 dedos?

∗ Como 26 = 3 × 8 + 2, en base 8 el n´umero 26 se representa como 32₍₈.

La base b

∗ Expresi´on de un n´umero en base b: dado un n´umero natural b > 1 (la base), cualquier n´umero n se puede expresar de forma ´unica como

n = a_k · bk + a_k−1 · bk−1 + · · · + a₁ · b + a₀.

donde los d´ıgitos a_i toman los valores 0, 1, . . . , b − 1. n se representa en base b como a_ka_k−1 · · · a₁a_0(b.

∗ ¿Por qu´e estudiar la base b? - Inter´es did´actico.

- Conexi´on de las matem´aticas con el mundo m´as pr´oximo: inform´atica.

Base b: ejercicios

∗ Ejercicios:

1. Escribe los 5 primeros n´umeros en base 2 y los 10 primeros en base 4.

2. Efect´ua la operaci´on 3504₍₇ + 30604₍₇

∗ Ejercicio: ¿c´omo se pasa de base 10 a base b, y al rev´es? 1. Escribe 354₍₇ en base 10.

El sistema de numeraci´

on oral

∗ N´umeros cardinales. Escribe en letra

? 87 065 006.

? 72 080 023 002 305 006.

Expresa en forma num´erica veintitres mil cuarenta y tres billones, doscientos cuatro mil dos millones, veinte mil cuatro.

∗ N´umeros ordinales.

Escribe en letra los ordinales 37o, 76o, 85o, 94o, 101o. M´as informaci´on, por ejemplo, aqu´ı:

La recta num´

erica

∗ Una ayuda excelente para desarrollar el sentido num´erico (a todos los niveles).

∗ Por ejemplo: a final de 1o

0 100

Sit´ua (de forma aproximada) los n´umeros 87, 6, 25, 48.

∗ Hacia el final de primaria: sit´ua (de forma aproximada) los n´umeros 870100, 6005, 250037, 48025.

Aritm´

etica elemental: suma y resta

∗ La suma es una operaci´on interna _{en N.} ∗ Propiedades: conmutativa, asociativa.

∗ Una vez definida la suma, la resta es f´acil:

Se dice que a − b = c si b + c = a.

Comentario: entender la resta as´ı desde el principio tiene importantes ventajas did´acticas. Por ejemplo, deja claro el papel an´alogo de b y c (“sustraendo” y “diferencia”). M´as en did´actica.

∗ La resta no es una operaci´on interna _{en N.} ∗ La resta nos permite definir un orden _{en N:}

Suma y resta - Algoritmos

∗ El principal error en Espa˜na: introducir demasiado pronto los algoritmos en columna (los tradicionales).

∗ Mejor: trabajar antes el c´alculo pensado o c´alculo

inteligente (creo que son nombres m´as apropiados para la variante m´as ´util de lo que se suele llamar c´alculo mental).

Algoritmos tradicionales

∗ Todos conocemos las t´ecnicas escritas.

¿Somos capaces de justificar las “llevadas”?

4 2 3 4 3 ₍₅

+ 3 1 4 3 2 ₍₅

6 0 2 4 7 ₍₈

− 3 2 4 6 2 ₍₈

∗ National library of virtual manipulatives: http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibrary.html

La multiplicaci´

on

∗ ¿C´omo introducirla en primaria?

Tenemos 3 platos con 4 rosquillas en

cada plato. ¿Cu´antas rosquillas tenemos en total?

∗ Tenemos 4 + 4 + 4 rosquillas, es decir, 3 veces 4 rosquillas.

¿ 3 veces 4 ↔ 3 × 4 ? ∗ En los libros de texto

La multiplicaci´

on

∗ Veamos qu´e ocurre si asumimos que: a) 3 × 4 significa 3 veces 4.

b) en la tabla del 2, “contamos de dos en dos”.

∗ La tabla del 2, con “veces” en vez de “por”, quedar´ıa ...

∗ Conclusi´on: el orden tradicional de las tablas no concuerda con la introducci´on natural de la multiplicaci´on.

Propiedades de la multiplicaci´

on

∗ La geometr´ıa puede ayudar en la introducci´on y comprensi´on de las propiedades.

∗ Conmutativa: a × b = b × a.

∗ Ojo: no es nada intuitivo que 4 veces 7 sea igual que 7 veces 4 ....

4 veces 7 ↔ 4 × 7

7 veces 4 ↔ 7 × 4

4

Propiedad distributiva

∗ Propiedad distributiva:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c) (a + b) × c = (a × c) + (b × c) ∗ ¿Qu´e sentido tiene en primaria?

∗ En los libros de texto ...

7 × (3 + 5) = 7 × 3 + 7 × 5

7 × 8 21 + 35

56 56

Propiedad distributiva

∗ Sirve para dos cosas:

i) manipulaciones algebraicas: 2(x + 3) = 2x + 6 ii) c´alculo pensado (inteligente, mental):

13 × 8 = (10 + 3) × 8 = 80 + 24 = 104

4 × (2 + 5) = 4 × 2 + 4 × 5

Una ´

ultima propiedad

La divisi´

on

∗ Un primer comentario: es importante distinguir la idea de divisi´on y el algoritmo de la divisi´on.

∗ Si un ni˜no de 6 a˜nos lleva 8 caramelos al cole y quiere repatirlos (por igual) con un amigo, ¿sabe hacerlo?

∗ Esta idea de reparto es la mejor para introducir la divisi´on: se trata de la divisi´on partitiva.

∗ Si repartimos 20 caramelos en 4 bolsas iguales, ¿cu´antos caramelos habr´a en cada bolsa?

La divisi´

on

∗ Existe otra interpretaci´on de la divisi´on: Si repartimos 20 caramelos en bolsas con 5 caramelos cada

una, ¿cu´antas bolsas necesitaremos?

∗ Esta es la divisi´on cuotativa (y no se trabaja lo suficiente). Relaci´on con medida: ¿cu´antas veces “cabe” 5 en 20?

∗ Dos observaciones:

i) Una forma sencilla de distinguirlas: pensar en c´omo resolver´ıa el problema una persona sin conocimientos matem´aticos.

ii) En la divisi´on cuotativa, el divisor puede ser un n´umero no entero: Un grupo de amigos compra 6 pizzas, y se las reparten por igual. Si cada amigo come 2/3 de pizza, ¿cu´antos amigos son en el grupo?

La divisi´

on

∗ M´as en did´actica.

∗ Otra idea importante, que hay que trabajar con calma, es

la divisi´on como inversa de la multiplicaci´on: Como 5 × 4 = 20, 20 ÷ 5 = 4 y 20 ÷ 4 = 5.

∗ Un buen ejercicio para proponer en clase (en primaria), para entender los dos tipos de divisiones:

Inventa dos problemas (uno de cada tipo) cuya soluci´on contenga la divisi´on 72 ÷ 6.

∗ ¿Por qu´e no se puede definir la divisi´on por 0?

5 ÷ 0 = ? ↔ ? × 0 = 5 0 ÷ 0 = ? ↔ ? × 0 = 0

no hay soluci´on

Divisi´

on con resto

∗ Divisi´on entera (con resto, o eucl´ıdea)

Dados dos n´umeros naturales D (dividendo) y d (divisor), existen unos ´unicos n´umeros naturales q (cociente) y r

(resto) tales que D = q × d + r y 0 ≤ r ≤ b − 1.

∗ Idea de cualquier algoritmo de divisi´on:

Aproximar por defecto el dividendo por m´ultiplos del divisor.

∗ Otro aspecto que no se trabaja lo suficiente: problemas donde el resto sea lo importante.

Un astronauta hizo un viaje de 505 horas. Si despeg´o a las 8 de la ma˜nana, ¿qu´e hora era cuando aterriz´o?

La divisi´

_{on en N}

∗ Algoritmos tradicionales para la divisi´on:

Algoritmo “usual” (“comprimido”) Algoritmo “extendido” 6 4 0 2 3 2 7 1 8 0 1 9 6 4 0 2 3 2 7 −4 6 1 8 0 −1 6 1 1 9

La ense˜

nanza de los algoritmos en primaria

∗ Hasta hace poco, saber calcular, de forma r´apida y fiable, era una

competencia profesional muy valorada.

∗ Dir´ıa que los alumnos espa˜noles de primaria dedican al menos 1/3 del tiempo de la asignatura de matem´aticas a “hacer cuentas”. ¿Tiene esto sentido?

∗ Sin entrar en el debate de fondo (espero que al menos lo explor´eis en did´actica), dos ideas fundamentales:

1. En el BOE aparecen el c´alculo mental, la aritm´etica tradicional, y la calculadora.

Divisibilidad (en N ∪ {0})

∗ Dados dos n´umeros enteros a y c, se dice que c divide a a

si existe un entero q tal que a = q · c (es decir, si en la divisi´on a ÷ c el resto es 0).

c | a significa que c divide a a (c es un divisor de a).

∗ Si c no divide a a, escribiremos _{c - a}.

∗ Si c | a, tambi´en decimos que a es m´ultiplo de c. Denotamos por ˙c al conjunto de los m´ultiplos de c. Ejemplo: ˙3 = {0, 3, 6, 9, 12, . . .}.

Divisibilidad

∗ Ejemplos:

a) 2 | 36 (porque 36 = 2 · 18),

b) 5 - 19 (porque 19 = 3 · 5 + 4).

c) Para cualquier n´umero entero a, 1 | a. d) ¿8 | 0? _{S´ı: 8 · 0 = 0.}

Divisibilidad

∗ Ejercicio: escribe todos los divisores de 20.

∗ Dado cualquier n´umero natural n, los n´umeros 1 y n son siempre divisores de n. Al resto de divisores, se les llama

divisores propios.

∗ Def: Un n´umero primo es un n´umero natural mayor que 1

que no tiene divisores propios (es decir, sus ´unicos divisores son el 1 y el propio n´umero).

N´

umeros primos: preguntas b´

asicas

∗ ¿Es n primo?

a) ¿Es 97 primo?

b) ¿Es primo 72648233746283843?

∗ Encuentra todos los n´umeros primos menores que n: la criba de Erat´ostenes.

Ejemplo (animado) en http://tinyurl.com/ca7v8r6

∗ ¿Cu´antos n´umeros primos hay?

Descomposici´

on en factores primos

∗ Teorema fundamental de la aritm´etica:

Todo n´umero entero se puede descomponer, de manera ´

unica, en producto de factores primos.

∗ Demostrar que se pueden descomponer es muy sencillo: Si n es primo, hemos terminado.

Si no, tiene alg´un divisor a, y tenemos que n = a · b. Ahora podemos repetir el razonamiento con a y b.

Que hay solo una descomposici´on (salvo el orden, claro) no es tan inmediato, y no lo vamos a demostrar.

∗ Obs: el teorema fundamental de la aritm´etica no ser´ıa cierto si consideramos 1 como n´umero primo.

Descomposici´

on en factores primos: algoritmo

A partir de la descomposici´on en factores primos, se pueden escribir todos los divisores, utilizando el siguiente resultado:

∗ Si ak y bl aparecen en la descomposici´on en factores primos de n, entonces ai · bj es divisor de n, para cualesquiera

0 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ l. (Y lo mismo se generaliza a m´as de dos factores).

Construcci´

on de divisores

∗ Ejercicio: encuentra todos los divisores del n´umero 84. ¿Cu´antos son impares? ¿Cu´ales son m´ultiplos de 14?

∗ Una f´ormula para el n´umero de divisores: Si n = pa1 1 · p a₂ 2 · · · p a_k k entonces n tiene (a₁ + 1) · (a₂ + 1) · · · (a_k + 1) divisores.

∗ Ejercicio: encuentra 3 n´umeros de 3 cifras que tengan 20 divisores.

N´

umeros primos: preguntas b´

asicas

∗ Teorema (Euclides, ∼ 300 aC): Existen infinitos n´umeros primos.

∗ Demostraci´on:

Supongamos que hubiera un n´umero finito. Entonces, podr´ıamos hacer una lista de todos ellos:

L = {p₁, p₂, . . . , p_n} es la lista de todos los n´umeros primos. Consideremos el entero q = p₁ · p₂ · · · p_n + 1.

1. q no es un n´umero primo (no est´a en la lista). 2. q no se puede poner como producto de factores

Comentarios sobre n´

umeros primos

∗ Dos impares consecutivos que son ambos n´umeros primos se llaman primos gemelos.

Ejemplos: 3 y 5 son primos gemelos, 11 y 13 tambi´en.

∗ No se sabe si hay una cantidad finita de primos gemelos. Los mayores conocidos son p = 65516468355 · 2333333 + 1 y

p + 2.

100355 d´ıgitos

∗ El mayor n´umero primo conocido (hasta “hoy”) es

Y todo esto, ¿sirve para algo (pr´

actico)?

Buena parte de la seguridad en inform´atica (Internet) depende de que no se sabe descomponer en factores primos n´umeros grandes. Clave p´ublica de uno de los sistemas criptogr´aficos m´as utilizados: el RSA. (Es un n´umero entero, de unos 600 d´ıgitos, expresado en base

hexadecimal).

Para leer algo m´as:

Dos propiedades de la divisibilidad

∗ Si c | a, entonces c | (k · a) (para cualquier entero k).

Es decir, si c es un divisor de a, tambi´en lo es de cualquier m´ultiplo de a.

∗ Si c | a y c | b, entonces c | (a + b).

∗ Combinando las dos propiedades anteriores, tenemos:

Si c | a y c | b, entonces c | (k · a + j · b) (para cualesquiera enteros k y j).

M´

aximo com´

un divisor

∗ El m´aximo com´un divisor de dos n´umeros a y b, mcd(a, b), es el mayor entero positivo que es divisor de a y de b.

∗ ¿Por qu´e pueden aparecer aqu´ı dificultades de aprendizaje? Quiz´a porque no se pone el suficiente cuidado en diferenciar el concepto en s´ı mismo del algoritmo para su c´alculo.

∗ Ejercicios:

a) mcd(40, 15)

b) mcd(38478, 1)

C´

alculo de mcd(a, b)

I) A partir de la descomposici´on en factores primos. Sabiendo que

17640 = 23 · 32 · 5 · 72 12474 = 2 · 34 · 7 · 11 calcula mcd(17640, 12474).

El m´aximo com´un divisor de a y b es el producto de los factores comunes de las descomposiciones en factores primos correspondientes.

¿Y la “coletilla” usual del “menor exponente”?

No hace falta: si en la descomposici´on de a aparece el factor 42 y en la de b el factor 45, el factor com´un es 42.

C´

alculo de mcd(a, b)

∗ Obs´ervese que de la descomposici´on en factores primos

tambi´en se pueden obtener todos los divisores comunes de dos n´umeros a y b.

Encuentra todos los divisores comunes de 17640 y 12474.

∗ Con la misma idea, se obtiene la siguiente propiedad: Los divisores comunes de dos n´umeros a y b son los divisores de mcd(a, b).

C´

alculo de mcd(a, b)

II) Algoritmo de Euclides. Basado en el siguiente resultado:

Teorema: Si a = q · b + r, entonces (a, b) y (b, r) tienen los

mismos divisores comunes.

∗ Un ejemplo: a = 78, b = 42.

∗ La demostraci´on. Tenemos que ver dos cosas:

1. Si c es divisor de a y de b, entonces es divisor de b y de r. 2. Si c es divisor de b y de r, entonces es divisor de a y de b.

∗ Aplicaci´on al c´alculo del maximo com´un divisor:

Si queremos calcular mcd(a, b), hacemos la divisi´on y

obtenemos la relaci´on a = q · b + r. Ahora, sabemos que

mcd(a, b) = mcd(b, r).

Comparaci´

on de los algoritmos

∗ Se puede demostrar que el algoritmo de Euclides es mucho

mejor que el algoritmo que utiliza la descomposici´on en factores primos. Un ordenador puede calcular el m´aximo

com´un divisor de dos n´umeros de, por ejemplo, 500 d´ıgitos, en cuesti´on de segundos. Sin embargo, factorizar n´umeros as´ı requerir´ıa miles de a˜nos de c´alculo.

∗ Un ejemplo “peque˜no”, para hacer la comparaci´on a mano. Calcula el m´aximo com´un divisor de 12319 y 9991 (puedes utilizar la calculadora).

M´

aximo com´

un divisor de varios n´

umeros

∗ La definici´on es exactamente igual:

mcd(a₁, a₂, . . . , a_k) es el mayor de sus divisores comunes.

∗ El algoritmo de la descomposici´on en factores primos tambi´en es exactamente el mismo:

Sabiendo que 17640 = 23 · 32 · 5 · 72 12474 = 2 · 34 · 7 · 11 3591 = 33 · 7 · 19 4998 = 2 · 3 · 72 · 17 calcula mcd(17640, 12474, 3591, 4998).

M´

aximo com´

un divisor de varios n´

umeros

∗ El algoritmo de Euclides se puede adaptar f´acilmente:

Supongamos que a_k es menor o igual que el resto de los a_i, para i = 1, . . . , k − 1, y supongamos que hacemos las

divisiones

a_i = q_i · a_k + r_i para i = 1, . . . , k − 1. Entonces,

mcd(a₁, a₂, . . . , a_k−1, a_k) = mcd(r₁, r₂, . . . , r_k−1, a_k).

∗ Ejemplo: calcula el m´aximo com´un divisor de los enteros 616, 1155, 308 y 693.

C´

alculo “mental” del mcd

∗ ¿Por qu´e es ´util calcular “a ojo” ejemplos como... a) mcd(9, 24)

b) mcd(17, 284) c) mcd(8, 68)

∗ La siguiente propiedad puede ser ´util: Si k es un divisor de a y de b, entonces

M´ınimo com´

un m´

ultiplo

∗ El m´ınimo com´un m´ultiplo de dos enteros a y b, en

adelante mcm(a, b), es el menor entero (mayor que cero) que es m´ultiplo tanto de a como de b.

∗ Las dificultades de aprendizaje son del mismo tipo que las que aparecen con el m´aximo com´un divisor.

∗ Ejercicios:

a) mcm(6, 10)

Algoritmo para el c´

alculo del mcm

∗ Queremos calcular el m´ınimo com´un m´ultiplo de 3591 y 4998 sabiendo que

3591 = 33 · 7 · 19

4998 = 2 · 3 · 72 · 17

1) El entero m = 3591 · 4998 = 2 · 34 · 73 · 17 · 19

es m´ultiplo de los dos.

2) Si dividimos m por un divisor com´un de ambos, el entero resultante sigue siendo m´ultiplo de los dos.

3) Por tanto, mcm(a, b) = a · b

Algoritmo para el c´

alculo del mcm

∗ Tambi´en hemos obtenido el algoritmo “cl´asico”:

El m´ınimo com´un m´ultiplo de a y b es el producto de los factores de las descomposiciones en factores primos

correspondientes, tomando los factores comunes elevados al exponente mayor.

∗ Ejemplo: calcula mcm(3591, 4998) sabiendo que 3591 = 33 · 7 · 19

4998 = 2 · 3 · 72 · 17

∗ Este algoritmo sigue siendo v´alido para calcular el m´ınimo com´un m´ultiplo de m´as de dos enteros.

Ojo: no es cierto que mcd(a, b, c) · mcm(a, b, c) sea igual al producto a · b · c.

Una propiedad del m´ınimo com´

un m´

ultiplo

∗ Los m´ultiplos comunes de dos (o m´as n´umeros) son los m´ultiplos de su m´ınimo com´un m´ultiplo.

∗ Dos faros emiten una se˜nal especial cada 16 y 12 minutos, respectivamente. Sabiendo que emiten la se˜nal a la vez a las 0 horas y que empezamos a contemplarlos a las 5 de la tarde, ¿en qu´e momento los veremos coincidir por primera vez?

Reglas de divisibilidad

∗ Aritm´etica con restos. Un primer ejemplo: par/impar.

∗ Sea r(a, n) el resto que se obtiene al dividir a entre n. Pregunta: si conocemos r(a, n) y r(b, n), ¿podemos determinar r(a + b, n)?

∗ Si r(a, 3) = 2 y que r(b, 3) = 2, ¿cu´anto vale r(a + b, 3)?

∗ Con este tipo de razonamientos, vamos a encontrar las reglas de divisibilidad (de hecho, reglas para calcular restos), para el 3, 4, 5, 6, 8 y 9.