Tema 1: Los n´
umeros naturales
∗ ¿Qu´e vamos a estudiar en este tema?
1. Sistemas num´ericos. La notaci´on posicional.
2. Aritm´etica elemental. Algoritmos y propiedades. 3. El lenguaje algebraico y el razonamiento abstracto.
4. Divisibilidad. N´umeros primos. M´aximo com´un divisor y m´ınimo com´un m´ultiplo.
Los n´
umeros naturales
∗ N = {1, 2, 3, 4, 5 . . .}
∗ Origen: necesidad de “contar”.
∗ Problema: representaci´on (oral y escrita) de n´umeros “grandes”.
Tipos de sistemas de numeraci´
on
1. Sistemas aditivos
∗ El n´umero se obtiene sumando el valor de los s´ımbolos que lo componen.
Im´agenes de http://www.ugr.es/ jgodino/edumat-maestros/welcome.htm
∗ Numeraci´on griega: I = 1, Π = 5, ∆ = 10, H = 100, X = 1000 y M = 10000 (la romana procede de ella).
Sistemas de numeraci´
on
2. Sistemas aditivo-multiplicativos
∗ Si hay que repetir varias veces un n´umero, eso se indica con otro n´umero.
Sistemas de numeraci´
on
3. Sistemas multiplicativos
(como el nuestro)∗ Tiene su origen en el sistema hind´u. Los s´ımbolos del sistema hind´u eran
(y unos s´ımbolos adicionales para las potencias de 10).
∗ Entre los siglos V y VIII se prescinde de los s´ımbolos para las potencias de 10, pero se utilizan unas barras:
Sistemas de numeraci´
on
∗ El cero.
El nombre proviene del s´anscrito shunya (vac´ıo), en ´arabe se llam´o sifr Nuestra palabra cifra viene de ah´ı.
Nuestro sistema de numeraci´on llega a Europa a trav´es de los ´arabes. Al-Jwarizmi escribi´o el libro “Acerca de los
c´alculos con los n´umeros de la India” alrededor del a˜no 825.
∗ A partir de la introducci´on del nuevo sistema de
numeraci´on, la aritm´etica se desarrolla de forma muy r´apida.
La introducci´
on del n´
umero de dos cifras
∗ Enfoque tradicional (1o de primaria):
- Tema 0: repaso de los n´umeros del 0 al 9. - Tema 1: los n´umeros del 10 al 19.
- Tema 2: los n´umeros del 20 al 29. - . . .
Decenas y unidades en los libros de texto
∗ Casi siempre, el enfoque de la figura:
∗ Es mejor, durante un tiempo,
mostrar las decenas como grupos de diez, expl´ıcitamente, como en la figura:
(El ejemplo es de la segunda mitad del primer curso de un libro de Singapur).
Una comparaci´
on
∗ Comparemos estos dos ejemplos:
Un libro espa˜nol de 2o
La introducci´
on del n´
umero de dos cifras
∗ Enfoque alternativo: contamos “haciendo grupos de diez”. Hay dos “grupos de diez” y 6
(o diez, diez y 6).
∗ Adem´as, se puede practicar el recuento con ejemplos que ayudan a profundizar en ese sentido num´erico.
La introducci´
on del n´
umero de dos cifras
∗ Una vez practicado el recuento de manera intensiva, ya se puede:
- 3 grupos de diez y 5 se escribe 35. - el grupo de diez se llama decena. - introducir el cero.
∗ Un alumno que ha seguido este proceso est´a en condiciones de contestar a la pregunta:
¿cu´antas son 32 + 20?
∗ Estos temas (y su relaci´on con la introducci´on de los algoritmos de suma y resta) ser´an ampliados en la asignatura de did´actica de las matem´aticas (3o).
La base b
∗ ¿Por qu´e contamos en base diez (haciendo “grupos de diez”)?
∗ ¿C´omo representar´ıamos la cantidad de la figura si
tuvi´eramos 8 dedos?
∗ Como 26 = 3 × 8 + 2, en base 8 el n´umero 26 se representa como 32(8.
La base b
∗ Expresi´on de un n´umero en base b: dado un n´umero natural b > 1 (la base), cualquier n´umero n se puede expresar de forma ´unica como
n = ak · bk + ak−1 · bk−1 + · · · + a1 · b + a0.
donde los d´ıgitos ai toman los valores 0, 1, . . . , b − 1. n se representa en base b como akak−1 · · · a1a0(b.
∗ ¿Por qu´e estudiar la base b? - Inter´es did´actico.
- Conexi´on de las matem´aticas con el mundo m´as pr´oximo: inform´atica.
Base b: ejercicios
∗ Ejercicios:
1. Escribe los 5 primeros n´umeros en base 2.
2. ¿C´omo se pasa de base 10 a base b, y al rev´es? (a) Escribe 354(7 en base 10.
(b) Escribe 928 en base 5.
El sistema de numeraci´
on oral
∗ N´umeros cardinales. Escribe en letra
? 87 065 006.
? 72 080 023 002 305 006.
Expresa en forma num´erica veintitres mil cuarenta y tres billones, doscientos cuatro mil dos millones, veinte mil cuatro.
∗ N´umeros ordinales.
Escribe en letra los ordinales 37o, 76o, 85o, 94o, 101o. M´as informaci´on, por ejemplo, aqu´ı:
La recta num´
erica
∗ Una ayuda excelente para desarrollar el sentido num´erico (a todos los niveles).
∗ Por ejemplo: al final de 1o, o en 2o.
0 100
Sit´ua (de forma aproximada) los n´umeros 87, 6, 25, 48.
∗ Hacia el final de primaria: sit´ua (de forma aproximada) los n´umeros 870100, 6005, 250037, 48025.
Aritm´
etica elemental: suma y resta
∗ La suma es una operaci´on interna en N. ∗ Propiedades: conmutativa, asociativa.
∗ Una vez definida la suma, la resta es f´acil:
Se dice que a − b = c si b + c = a.
Comentario: entender la resta as´ı desde el principio tiene importantes ventajas did´acticas. Por ejemplo, deja claro el papel an´alogo de b y c (“sustraendo” y “diferencia”). M´as en did´actica.
∗ La resta no es una operaci´on interna en N. ∗ La resta nos permite definir un orden en N:
Suma y resta - Algoritmos
∗ El principal error en Espa˜na: introducir demasiado pronto los algoritmos en columna (los tradicionales).
∗ Mejor: trabajar antes el c´alculo pensado o c´alculo natural
(creo que son nombres m´as apropiados para la variante m´as ´
util de lo que se suele llamar c´alculo mental).
Algoritmos tradicionales
∗ Todos conocemos las t´ecnicas escritas (algoritmos en columna).
¿Somos capaces de justificar las “llevadas”?
4 2 3 4 3 (5
+ 3 1 4 3 2 (5
6 0 2 4 7 (8
− 3 2 4 6 2 (8
∗ National library of virtual manipulatives: http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibrary.html
La aritm´
etica b´
asica en el siglo XXI
∗ ¿Qu´e algoritmos deber´ıan formar parte de la educaci´on primaria en la actualidad?
Algoritmo para el c´alculo de la ra´ız cuadrada.
∗ Hasta hace poco, saber calcular, de forma r´apida y fiable, era una
Formas de calcular
∗ Podemos considerar estas cuatro formas de calcular:
◦ los algoritmos tradicionales.
◦ las t´ecnicas de c´alculo mental (o c´alculo natural)
◦ el c´alculo aproximado, la estimaci´on.
◦ la calculadora, m´ovil, ordenador.
∗ Aclarar el papel de cada uno en las matem´aticas b´asicas es un debate importante, que apenas ha empezado en nuestro pa´ıs.
Una visi´on extrema:
“Stop teaching calculating, start learning math”.
La multiplicaci´
on
∗ ¿C´omo introducirla en primaria?
Tenemos 3 platos con 4 rosquillas en
cada plato. ¿Cu´antas rosquillas tenemos en total?
∗ Tenemos 4 + 4 + 4 rosquillas, es decir, 3 veces 4 rosquillas.
¿ 3 veces 4 ↔ 3 × 4 ? ∗ En los libros de texto
La multiplicaci´
on
∗ Veamos qu´e ocurre si asumimos que: a) 3 × 4 significa 3 veces 4.
b) en la tabla del 2, “contamos de dos en dos”.
∗ La tabla del 2, con “veces” en vez de “por”, quedar´ıa ...
∗ Conclusi´on: el orden tradicional de las tablas no concuerda con la introducci´on natural de la multiplicaci´on.
Propiedades de la multiplicaci´
on
∗ La geometr´ıa puede ayudar en la introducci´on y comprensi´on de las propiedades.
∗ Conmutativa: a × b = b × a.
∗ Ojo: no es nada intuitivo que 4 veces 7 sea igual que 7 veces 4 ....
4 veces 7 ↔ 4 × 7
7 veces 4 ↔ 7 × 4
4
Propiedad distributiva
∗ Propiedad distributiva:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c) (a + b) × c = (a × c) + (b × c) ∗ ¿Qu´e sentido tiene en primaria?
∗ En los libros de texto ...
7 × (3 + 5) = 7 × 3 + 7 × 5
7 × 8 21 + 35
56 56
Propiedad distributiva
∗ Sirve para dos cosas:
i) manipulaciones algebraicas: 2(x + 3) = 2x + 6 ii) c´alculo natural (pensado, mental):
13 × 8 = (10 + 3) × 8 = 80 + 24 = 104
(2 + 5) × 4 = 2 × 4 + 5 × 4
Una ´
ultima propiedad
∗ Propiedad asociativa: a × (b × c) = (a × b) × c
∗ Dos preguntas finales:
◦ ¿Por qu´e 10 × 17 = 170?
2 × (3 × 5) = (2 × 3) × 5
2 3
5
◦ ¿Sabemos justificar el algoritmo cl´asico de la multiplicaci´on?
La divisi´
on
∗ Un primer comentario: es importante distinguir la idea de divisi´on y el algoritmo de la divisi´on.
∗ Si un ni˜no de 6 a˜nos lleva 8 caramelos al cole y quiere repatirlos (por igual) con un amigo, ¿sabe hacerlo?
∗ Esta idea de reparto es la mejor para introducir la divisi´on: se trata de la divisi´on partitiva.
∗ Si repartimos 20 caramelos en 4 bolsas iguales, ¿cu´antos caramelos habr´a en cada bolsa?
La divisi´
on
∗ Existe otra interpretaci´on de la divisi´on: Si repartimos 20 caramelos en bolsas con 5 caramelos cada
una, ¿cu´antas bolsas necesitaremos?
∗ Esta es la divisi´on cuotativa (y no se trabaja lo suficiente). Relaci´on con medida: ¿cu´antas veces “cabe” 5 en 20?
∗ Dos observaciones:
i) Una forma sencilla de distinguirlas: pensar en c´omo resolver´ıa el problema una persona sin conocimientos matem´aticos.
ii) En la divisi´on cuotativa, el divisor puede ser un n´umero no entero: Un grupo de amigos compra 6 pizzas, y se las reparten por igual. Si cada amigo come 2/3 de pizza, ¿cu´antos amigos son en el grupo?
La divisi´
on
∗ M´as en did´actica.
∗ Otra idea importante, que hay que trabajar con calma, es
la divisi´on como inversa de la multiplicaci´on: Como 5 × 4 = 20, 20 ÷ 5 = 4 y 20 ÷ 4 = 5.
∗ Un buen ejercicio para proponer en clase (en primaria), para entender los dos tipos de divisiones:
Inventa dos problemas (uno de cada tipo) cuya soluci´on contenga la divisi´on 72 ÷ 6.
∗ ¿Por qu´e no se puede definir la divisi´on por 0?
5 ÷ 0 = ? ↔ ? × 0 = 5 0 ÷ 0 = ? ↔ ? × 0 = 0
no hay soluci´on
Divisi´
on con resto
∗ Divisi´on entera (con resto, o eucl´ıdea)
Dados dos n´umeros naturales D (dividendo) y d (divisor), existen unos ´unicos n´umeros naturales q (cociente) y r
(resto) tales que D = q × d + r y 0 ≤ r ≤ b − 1.
∗ Idea de cualquier algoritmo de divisi´on:
Aproximar por defecto el dividendo por m´ultiplos del divisor.
∗ Otro aspecto que no se trabaja lo suficiente: problemas donde el resto sea lo importante.
Un astronauta hizo un viaje de 505 horas. Si despeg´o a las 8 de la ma˜nana, ¿qu´e hora era cuando aterriz´o?
La divisi´
on en N
∗ Algoritmos tradicionales para la divisi´on:
Algoritmo “usual” (“comprimido”) Algoritmo “extendido” 6 4 0 2 3 2 7 1 8 0 1 9 6 4 0 2 3 2 7 −4 6 1 8 0 −1 6 1 1 9
Divisi´
on: Significado ↔ Algoritmo
∗ El algoritmo no es f´acil (sobre todo con divisor de dos cifras), requiere tiempo y pr´actica.
∗ No existe notaci´on est´andar para decir que al dividir 27 entre 4, el cociente es 6 y el resto 3.
∗ Una opci´on: 27 ÷ 4 = 6 R 3.
Ejercicios
1. ¿Qu´e ocurre con cociente y resto cuando dividendo y divisor se multiplican (o dividen) por el mismo n´umero? 2. Sabiendo que 4185 = 45 × 93, encuentra de manera
razonada el cociente y el resto de dividir 41862 entre 930.
3. Escribe 3 n´umeros de 4 cifras que tengan resto 7 al dividir entre 19.
4. Encuentra el menor n´umero que es mayor que 300 y que tiene resto 7 al dividirlo entre 29.
Introducci´
on al lenguaje algebraico
∗ La aritm´etica se ocupa de las operaciones con n´umeros. El ´algebra se ocupa de las operaciones con s´ımbolos.
∗ El ´algebra es muy antigua. Griegos y babilonios hac´ıan razonamientos algebraicos.
Los matem´aticos de la Edad Media hablaban de “la cosa” (para referirse a la inc´ognita).
Introducci´
on al lenguaje algebraico
∗ Permite enunciar propiedades generales:
Para cualesquiera a y b, se cumple que a + b = b + a.
∗ Permite razonar sobre cantidades desconocidas, estableciendo relaciones entre ellas:
Juan se ha presentado a un concurso en el que le hicieron 40 preguntas. Le daban 150 euros de premio por cada respuesta acertada, y le restaban 60 euros por cada fallo. Si no pod´ıa dejar preguntas en blanco y se llevo 4530 euros de premio, ¿cu´antas respuestas acert´o?
∗ Permite manipular expresiones como la anterior (ecuaciones) y encontrar las soluciones.
Ejercicio
1. Escribe tres n´umeros pares consecutivos “gen´ericos”.
2. Usando el ejercicio anterior, demuestra que la suma de tres n´umeros pares consecutivos es siempre m´ultiplo de 3.
3. Que sean pares no es importante. Escribe ahora tres
m´ultiplos de 17 consecutivos “gen´ericos” y demuestra que su suma es siempre m´ultiplo de 3.
4. Demuestra que, para cualquier k ∈ N, la suma de tres m´ultiplos de k consecutivos es siempre m´ultiplo de 3.
El lenguaje algebraico y los patrones
∗ Observa y busca alguna regularidad:
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
∗ Expr´esala en lenguaje usual
El lenguaje algebraico y los patrones
Figura 1 Figura 2 Figura 3
1. ¿Cu´antos cuadraditos tiene la figura 8? 2. ¿Cu´antos cuadraditos tiene la figura n?
El lenguaje algebraico y los patrones
∗ Piensa varias formas de contar las cruces que hay en la figura y escribe la expresi´on algebraica resultante de cada
n
n
n n
Divisibilidad (en N ∪ {0})
∗ Dados dos n´umeros enteros a y c, se dice que c divide a a
si existe un entero q tal que a = q · c (es decir, si en la divisi´on a ÷ c el resto es 0).
c | a significa que c divide a a (c es un divisor de a).
∗ Si c no divide a a, escribiremos c - a.
∗ Si c | a, tambi´en decimos que a es m´ultiplo de c. Denotamos por ˙c al conjunto de los m´ultiplos de c. Ejemplo: ˙3 = {0, 3, 6, 9, 12, . . .}.
Divisibilidad
∗ Ejemplos:
a) 2 | 36 (porque 36 = 2 · 18),
b) 5 - 19 (porque 19 = 3 · 5 + 4).
c) Para cualquier n´umero entero a, 1 | a. d) ¿8 | 0? S´ı: 8 · 0 = 0.
Divisibilidad
∗ Ejercicio: escribe todos los divisores de 20.
∗ Dado cualquier n´umero natural n, los n´umeros 1 y n son siempre divisores de n. Al resto de divisores, se les llama
divisores propios.
∗ Def: Un n´umero primo p es un n´umero natural mayor que 1 que no tiene divisores propios (es decir, sus ´unicos divisores son 1 y p).
N´
umeros primos: preguntas b´
asicas
∗ ¿Es n un n´umero primo?
a) ¿Es 97 un n´umero primo?
b) ¿Es primo 72648233746283843?
∗ Encuentra todos los n´umeros primos menores que n: la criba de Erat´ostenes.
Ejemplo (animado) en http://tinyurl.com/ca7v8r6
∗ ¿Cu´antos n´umeros primos hay?
Descomposici´
on en factores primos (Factorizaci´
on)
∗ Teorema fundamental de la aritm´etica:
Todo n´umero entero se puede descomponer, de manera ´
unica, en producto de factores primos.
∗ Demostrar que se pueden descomponer es muy sencillo: Si n es primo, hemos terminado.
Si no, tiene alg´un divisor a, y tenemos que n = a · b. Ahora podemos repetir el razonamiento con a y b.
Que hay solo una descomposici´on (salvo el orden, claro) no es tan inmediato, y no lo vamos a demostrar.
∗ Obs: el teorema fundamental de la aritm´etica no ser´ıa cierto si consideramos 1 como n´umero primo.
Descomposici´
on en factores primos: algoritmo
5544 2 2772 2 1386 2 693 3 231 3 77 7 11 11 1 Por tanto, 5544 = 23 · 32 · 7 · 11∗ Pero es igual de correcto escribir 60 = 6 · 10 = 22 · 3 · 5
2 · 3 2 · 5
∗ Ejercicio: Escribe todos los divisores de 60 y compara la factorizaci´on de 60 con la factorizaci´on de sus divisores.
Factores primos y divisores
∗ c = ajbk (a y b primos) es divisor de n si y solo si aj y bk son parte de la factorizaci´on de n.
(Y lo mismo se generaliza a m´as de dos factores).
∗ El conjunto de los divisores de un n´umero se puede obtener a partir de su descomposici´on en factores primos usando el siguiente resultado:
∗ Ejercicio:
1. Encuentra todos los divisores del n´umero 84. 2. ¿Cu´antos son impares?
3. ¿Cu´ales son m´ultiplos de 14?
Observa que los apartados 2 y 3 se pueden hacer sin haber hecho antes el 1.
El n´
umero de divisores
∗ Una f´ormula para el n´umero de divisores: Si n = pa1 1 · p a2 2 · · · p ak k entonces n tiene (a1 + 1) · (a2 + 1) · · · (ak + 1) divisores.
∗ Ejercicio: encuentra 4 n´umeros de 3 cifras que tengan 20 divisores.
Otras aplicaciones de la factorizaci´
on
∗ Encuentra el menor n´umero por el que hay que multiplicar a 140 para que el resultado sea un cuadrado perfecto.
∗ Encuentra el menor n´umero por el que hay que multiplicar a 360 para que el resultado sea un cubo perfecto.
∗ Sea n = 181405. Sabiendo que 181405 = 71 · 73 · 35,
encuentra la forma de escribir n = a · b (a, b ∈ N, a > b) de manera que a − b sea m´ınimo.
De vuelta a una pregunta b´
asica
∗ Teorema (Euclides, ∼ 300 aC): Existen infinitos n´umeros primos.
∗ Demostraci´on:
Supongamos que hubiera un n´umero finito. Entonces, podr´ıamos hacer una lista de todos ellos:
L = {p1, p2, . . . , pn} es la lista de todos los n´umeros primos. Consideremos el entero q = p1 · p2 · · · pn + 1.
1. q no es un n´umero primo (no est´a en la lista). 2. q no se puede poner como producto de factores
Comentarios sobre n´
umeros primos
∗ Dos impares consecutivos que son ambos n´umeros primos se llaman primos gemelos.
Ejemplos: 3 y 5 son primos gemelos, 11 y 13 tambi´en.
∗ No se sabe si hay una cantidad finita de primos gemelos. Los mayores conocidos son p = 65516468355 · 2333333 + 1 y
p + 2.
100355 d´ıgitos
∗ El mayor n´umero primo conocido (sept. 2013) era
p = 243112609 − 1
(12978189 d´ıgitos).
Y todo esto, ¿sirve para algo (pr´
actico)?
Buena parte de la seguridad en inform´atica (Internet) depende de que no se sabe descomponer en factores primos n´umeros grandes. RSA: Criptograf´ıa de clave p´ublica. La clave p´ublica de la figura es un n´umero (de aproximadamente 600 d´ıgitos en base 10, pero est´a
expresado en hexadecimal - base 16). Para leer algo m´as:
Dos propiedades de la divisibilidad
∗ Si c | a, entonces c | (k · a) (para cualquier entero k).
Es decir, si c es un divisor de a, tambi´en lo es de cualquier m´ultiplo de a.
∗ Si c | a y c | b, entonces c | (a + b).
∗ Combinando las dos propiedades anteriores, tenemos:
Si c | a y c | b, entonces c | (k · a + j · b) (para cualesquiera enteros k y j).
M´
aximo com´
un divisor
∗ El m´aximo com´un divisor de dos n´umeros a y b, mcd(a, b), es el mayor entero positivo que es divisor de a y de b.
∗ ¿Por qu´e pueden aparecer aqu´ı dificultades de aprendizaje? Quiz´a porque no se pone el suficiente cuidado en diferenciar el concepto en s´ı mismo del algoritmo para su c´alculo.
∗ Ejercicios:
a) mcd(40, 15)
b) mcd(38478, 1)
C´
alculo de mcd(a, b)
I) A partir de la descomposici´on en factores primos. Sabiendo que
17640 = 23 · 32 · 5 · 72 12474 = 2 · 34 · 7 · 11 calcula mcd(17640, 12474).
El m´aximo com´un divisor de a y b es el producto de los factores comunes de las descomposiciones en factores primos correspondientes. (Con el menor exponente).
C´
alculo de mcd(a, b)
∗ Obs´ervese que de la descomposici´on en factores primos
tambi´en se pueden obtener todos los divisores comunes de dos n´umeros a y b.
Encuentra todos los divisores comunes de 17640 y 12474.
∗ Con la misma idea, se obtiene la siguiente propiedad:
Los divisores comunes de dos n´umeros a y b son los divisores de su m´aximo com´un divisor.
C´
alculo de mcd(a, b)
II) Algoritmo de Euclides. Basado en el siguiente resultado:
Teorema: Si a = q · b + r, entonces los divisores comunes de a y b son los mismos que los de b y r.
∗ Un ejemplo: a = 78, b = 42.
∗ La demostraci´on. Tenemos que ver dos cosas:
1. Si c es divisor de a y de b, entonces es divisor de b y de r. 2. Si c es divisor de b y de r, entonces es divisor de a y de b.
∗ Aplicaci´on al c´alculo del maximo com´un divisor:
Si queremos calcular mcd(a, b), hacemos la divisi´on y
obtenemos la relaci´on a = q · b + r. Ahora, sabemos que
mcd(a, b) = mcd(b, r).
Comparaci´
on de los algoritmos
∗ Se puede demostrar que el algoritmo de Euclides es mucho
mejor que el algoritmo que utiliza la descomposici´on en factores primos, en el siguiente sentido: un ordenador puede calcular el m´aximo com´un divisor de dos n´umeros de, por ejemplo, 500 d´ıgitos, en cuesti´on de segundos. Sin embargo, factorizar n´umeros as´ı podr´ıa requerir miles de a˜nos de c´alculo.
∗ Un ejemplo “peque˜no”, para hacer la comparaci´on a mano. Calcula el m´aximo com´un divisor de 12319 y 9991 (puedes utilizar la calculadora).
M´
aximo com´
un divisor de varios n´
umeros
∗ La definici´on es exactamente igual:
mcd(a1, a2, . . . , ak) es el mayor de sus divisores comunes.
∗ El algoritmo a partir de la factorizaci´on es exactamente el mismo: Sabiendo que 17640 = 23 · 32 · 5 · 72 12474 = 2 · 34 · 7 · 11 3591 = 33 · 7 · 19 4998 = 2 · 3 · 72 · 17 calcula mcd(17640, 12474, 3591, 4998).
M´
aximo com´
un divisor de varios n´
umeros
∗ El algoritmo de Euclides se puede adaptar f´acilmente:
Supongamos que ak es menor o igual que el resto de los ai, para i = 1, . . . , k − 1, y supongamos que hacemos las
divisiones
ai = qi · ak + ri para i = 1, . . . , k − 1. Entonces,
mcd(a1, a2, . . . , ak−1, ak) = mcd(r1, r2, . . . , rk−1, ak). ∗ Ejemplo: calcula el m´aximo com´un divisor de los enteros
616, 1155, 308 y 693.
∗ Observaci´on: para mas de dos n´umeros, tambi´en es cierto que los divisores comunes de un conjunto de n´umeros son los divisores de su m´aximo com´un divisor.
C´
alculo “mental” del mcd
∗ ¿Por qu´e es ´util calcular “a ojo” ejemplos como... a) mcd(9, 24)
b) mcd(17, 284) c) mcd(8, 68)
∗ La siguiente propiedad puede ser ´util: Si k es un divisor de a y de b, entonces
mcd(a, b) = k · mcd(a/k, b/k).
M´ınimo com´
un m´
ultiplo
∗ El m´ınimo com´un m´ultiplo de dos enteros a y b, que
denotaremos mcm(a, b), es el menor entero (mayor que cero) que es m´ultiplo tanto de a como de b.
∗ Las dificultades de aprendizaje son del mismo tipo que las que aparecen con el m´aximo com´un divisor.
∗ Ejercicios:
a) mcm(6, 10)
Algoritmo para el c´
alculo del mcm
∗ Queremos calcular el m´ınimo com´un m´ultiplo de a = 3591 y b = 14994 sabiendo que
3591 = 33 · 7 · 19
14994 = 2 · 32 · 72 · 17
1) El entero m = a · b = 3591 · 14994 = 2 · 35 · 73 · 17 · 19
es m´ultiplo de los dos.
2) ¿Qu´e factores de m = a · b se pueden eliminar para que el n´umero resultante siga siendo m´ultiplo com´un?
3) Por tanto, mcm(a, b) = a · b
Algoritmo para el c´
alculo del mcm
∗ Tambi´en hemos obtenido el algoritmo “cl´asico”:
El m´ınimo com´un m´ultiplo de a y b es el producto de los factores de las descomposiciones en factores primos
correspondientes, tomando los factores comunes elevados al exponente mayor.
∗ Ejemplo: calcula mcm(3591, 14994) sabiendo que 3591 = 33 · 7 · 19
14994 = 2 · 32 · 72 · 17
∗ Este algoritmo sigue siendo v´alido para calcular el m´ınimo com´un m´ultiplo de m´as de dos enteros.
Ojo: no es cierto que mcd(a, b, c) · mcm(a, b, c) sea igual al producto a · b · c.
Una propiedad del m´ınimo com´
un m´
ultiplo
∗ Los m´ultiplos comunes de dos (o m´as n´umeros) son los m´ultiplos de su m´ınimo com´un m´ultiplo.
∗ Dos faros emiten una se˜nal especial cada 16 y 12 minutos, respectivamente. Sabiendo que emiten la se˜nal a la vez a las 0 horas y que empezamos a contemplarlos a las 5 de la tarde:
1. ¿cu´antas veces han emitido la se˜nal a la vez antes de que lleg´aramos?
Reglas de divisibilidad
∗ Aritm´etica con restos. Un primer ejemplo: par/impar.
∗ Sea r(a, n) el resto que se obtiene al dividir a entre n. Pregunta: si conocemos r(a, n) y r(b, n), ¿podemos determinar r(a + b, n)?
∗ Si r(a, 3) = 2 y que r(b, 3) = 2, ¿cu´anto vale r(a + b, 3)?
∗ Con este tipo de razonamientos, vamos a encontrar las reglas de divisibilidad (de hecho, reglas para calcular restos), para el 3, 4, 5, 6, 8 y 9.
