Conceptos físicos previos

2.3.2.1.1 Descripción de una onda electromagnética

Una onda electromagnética es una onda transversal constituida por un campo eléctrico y uno magnético, mutuamente perpendiculares y a su vez perpendiculares a la dirección de propagación de la onda, pudiéndose expresar tanto por el vector de campo eléctrico como por el de campo magnético, por simplicidad aquí se empleará el formalismo en términos del campo eléctrico,

0

2

A(x, t) A sin _ (x c t)   _ 

  (2.43) donde A hace referencia al campo eléctrico, A0 es la amplitud, x es la coordenada de

propagación de la onda, t el tiempo, c es la velocidad de la luz, λ es la longitud de onda, y ξ es una fase arbitraria. La propagación espacial de una onda estacionaria, se puede representar por la posición del campo eléctrico de la manera que muestra la Figura 2.8.

Las ondas transportan una energía proporcional al cuadrado del campo A,34

2 c A I 8    (2.44)

‡‡ _{Los experimentos de elipsometría fueron realizados en la UIRC del CAI de Espectroscopia de la}

Figura 2.8 Representación esquemática de una onda electromagnética estacionaria

2.3.2.1.2 Interacción de la luz con la materia 2.3.2.1.2.a Índice de refracción complejo

Cuando la luz atraviesa una interfase, pueden aparecer diferentes fenómenos dependiendo de la naturaleza de los materiales a ambos lados de la interfase, y en concreto de los índices de refracción de los mismos. Para definir el índice de refracción complejo es necesario tomar como ejemplo un material que absorbe parte de la radiación incidente (ver Figura 2.9).

Figura 2.9 Interacción entre la luz y un material de índice de refracción complejo N2*

El índice de refracción complejo N* se define por,

*

N   n ik (2.45)

donde n es la parte real del índice de refracción y k es el coeficiente de extinción, ambos dependen de la longitud de onda. En materiales como el vidrio, la contribución debida a la absorción es nula en el intervalo de frecuencias del visible, lo que implica que k=0, por tanto el índice de refracción, en el visible, es real e igual a n.

La parte real del índice de refracción viene dada por el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío, c=31010 _ms-1_{, y la velocidad en el medio material, v,}

c

n _v (2.46) Antes de introducir el coeficiente de extinción k, es conveniente definir el coeficiente de absorción, . Cuando la radiación atraviesa un determinado material que la absorbe, la disminución de intensidad, I, por unidad de longitud z es proporcional al valor de intensidad en cada punto, siendo la constante de proporcionalidad el coeficiente de absorción,

dI(z)

I(z)

dz    (2.47) Por integración de la ec.(2.47) se obtiene,

z o

I(z) I e_  _(2.48)

donde Io es el valor de la intensidad incidente en la superficie del medio absorbente. El

coeficiente de extinción viene definido por,

m n k 4 4         (2.49) donde  y m hacen referencia a la longitud de onda de la luz en el vacío y en el medio,

respectivamente.

2.3.2.1.2.b Leyes de reflexión y refracción

Cuando la luz alcanza la superficie de un material parte de la radiación puede ser reflejada y otra parte adsorbida por el material, como se representa en la Figura 2.9. Según las leyes de la reflexión, el ángulo incidente y reflejado, 1, deben ser iguales. Sin

embargo, la fracción de radiación que es adsorbida no continua en la misma dirección, siendo refractada con un ángulo 2, de acuerdo con la ley de Snell,

* *

1 1 2 2

N sin N sin (2.50) En el caso límite de materiales dieléctricos donde k=0, la ley de Snell viene dada por,

1 1 2 2

n sin n sin (2.51) 2.3.2.1.2.c Dispersión

Como se ha indicado, la parte real, n, e imaginaria, k, del índice de refracción no son simples constantes para un medio dado, sino que depende de la longitud de onda, .

Para describir las dependencias de n y k con la longitud de onda se utilizan ecuaciones de dispersión como las siguientes,

3 3 2 2 1 2 4 1 2 4 n k n k n( ) n    k( ) k        (2.52) donde ni (i = 1,2,3) y ki (i = 1,2,3) son los coeficientes de Cauchy del índice de refracción

y del coeficiente de extinción, respectivamente.

2.3.2.1.3 Luz polarizada

La mayor parte de las fuentes de luz tienen componentes de campo eléctrico en todas las posibles direcciones del espacio, es decir, emiten luz no polarizada. En el caso de que el campo eléctrico este orientado en una sola dirección se habla de luz polarizada, o más concretamente luz linealmente polarizada.

Luz linealmente polarizada. La combinación de dos haces de luz con la misma frecuencia moviéndose en el mismo plano, uno polarizado en el plano vertical y otro perpendicular al plano vertical, teniendo ambas igual amplitud y la misma fase, generaría una nueva onda linealmente polarizada en una dirección desplazada 45º con respecto a las ondas originales.

Luz elípticamente polarizada. En el caso en el que se tienen dos ondas que viajan en la misma dirección y con igual longitud de onda pero desfasadas una cierta cantidad, al combinarse generarían una onda que no se movería en el plano sino alrededor del plano. Si el desfase fuera de 90º se estaría ante una onda circularmente polarizada pero si el desfase es distinto a 90º se tendría una onda elípticamente polarizada.

Existen múltiples maneras de generar luz elípticamente polarizada, la más importante en el caso de la elipsometría es la que se produce por la interacción entre luz linealmente polarizada y una superficie. En efecto, la superficie induce cambios de fase diferentes en cada una de las componentes de la onda, dando lugar a luz elípticamente polarizada; el grado de elipticidad dependerá del espesor y propiedades ópticas del material objeto de estudio. Otro procedimiento para generar elipticidad es la utilización de una placa de cuarto de onda (/4). Se volverá a este punto durante el desarrollo de este Capítulo.

2.3.2.1.4 Reflexión

2.3.2.1.4.a Sistema de coordenadas para la reflexión

La elipsometría implica la reflexión de la luz por una superficie, siendo el plano de incidencia aquel que contiene al haz de luz antes y después de la reflexión, y es normal a la superficie (ver Figura 2.10).

Figura 2.10 a) Reflexión de la luz en una superficie. b) Reflexión y transmisión en una interfase

La radiación empleada en elipsometría es plano polarizada, pudiéndose distinguir dos tipos de polarizaciones, polarización p cuando están polarizadas en el plano de incidencia y s cuando la polarización es perpendicular al plano de incidencia.

2.3.2.1.4.b Coeficientes de reflexión de Fresnel y ángulo Brewster

Para la reflexión de radiación en una interfase que separa dos medios, como muestra la Figura 2.10.b, donde parte de la luz es reflejada y parte transmitida, se define el coeficiente de reflexión de Fresnel, r, como el cociente entre las amplitudes de las ondas reflejadas e incidentes en la interfase. Para los dos estados de polarización, p o s, de la luz incidente se definen los coeficientes de Fresnel como

* * * *

p 2 1 1 2 s 2 1 1 2

12 * * 12 * *

2 1 1 2 2 1 1 2

N cos N cos N cos N cos

r r

N cos N cos N cos N cos

     

 

      (2.53)

donde los superíndices representan el estado de polarización de las ondas (p o s), y los subíndices 1 y 2 hacen referencia a los medios que separan la interfase. La reflectancia, , se define como la razón entre las intensidades incidente y reflejada

2 2

p _rp s _rs

    (2.54) Para una interfase entre dos medios dieléctricos, donde uno de ellos es aire (n=1) y suponiendo incidencia normal a la superficie, tras una serie de transformaciones es posible llegar a, 2 1 1 n tan n   (2.55) Cuando se cumple la ec.(2.55) no se refleja la luz con polarización paralela al plano de incidencia y el ángulo particular donde se cumple esta condición se denomina ángulo de polarización o ángulo Brewster.

2.3.2.1.4.c Coeficientes de Reflexión total por interfases múltiples

Cuando en el material estudiado existen múltiples interfases (ver Figura 2.11) la reflexión total es la suma de la reflexión en la superficie exterior, con todas las componentes de la reflexión en cada una de las interfases intermedias donde se transmite la luz.

Figura 2.11 Reflexión y transmisión con múltiples interfases

Azzam35 y Heavens36 dedujeron la relación existente entre la amplitud de la onda resultante con respecto a la de la onda incidente, lo que se conoce como coeficientes de reflexión total. p p 2 j s s 2 j p 12 23 s 12 23 p p 2 j s s 2 j 12 23 12 23 r r e r r e R R 1 r r e 1 r r e               (2.56)

donde el subíndice ij (i=1, 2, 3 y j=i+1) hace referencia al coeficiente de reflexión entre los medios i y j.  es el espesor de fase, de la película dado por,

op * 2 2 h 2  N cos   _{ }     (2.57)

donde hop es el espesor de la película. En el límite hop 0 el coeficiente de reflexión total

es igual al coeficiente de Fresnel, en el caso de la Figura 2.11, entre el medio 1 y 3.

Por analogía con el caso de una interfase única, se puede definir la reflectancia de múltiples interfases según la expresión siguiente,

2 2

p _Rp s _Rs

2.3.2.2. Conceptos básicos de elipsometría