Conocimiento Didáctico del Contenido (PCK)

El segundo dominio del MTSK que vamos a tratar, el conocimiento didáctico del contenido (Pedagogical Content Knowledge, PCK), caracteriza el conocimiento propio de la enseñanza y es una parte de lo que el profesor requiere para su labor docente y es el complemento necesario al MK (Escudero-Ávila, 2015, p. 36). Introducida la distinción por Shulman (1986, 1987) como una de las componentes del conocimiento del contenido para su enseñanza, son muchos los investigadores que han profundizado en él (por ejemplo: Llinares, 2000; Park y Oliver, 2008; Pinto y González, 2006 y 2008). Dentro del grupo del SIDM, ha sido Escudero-Ávila (2015) quien ha desarrollado en profundidad este dominio, por lo que nos centraremos en su trabajo para describir cada subdominio y sus categorías correspondientes. Esta investigadora aclara que se ha utilizado el término

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conocimiento didáctico del contenido en lugar de otros (como el propuesto por Llinares y Sánchez, 1998, conocimiento de contenido pedagógico) para distinguir claramente entre dos campos de la práctica: el didáctico (estructuración y gestión de contenidos matemáticos), incluido en nuestro modelo, y el pedagógico (gestión y control interactivo de los hechos de clase, en los que intervienen factores psicosociales, socioculturales y humanos) no incluido en el modelo por no ser expresamente matemático (Escudero- Ávila, 2015), pues se pretende que el modelo esté centrado en el conocimiento de los procesos de enseñanza y aprendizaje de la disciplina matemática (Parada y Pluvinage, 2014), si bien se reconoce la importancia que estos factores pedagógicos tienen.

El conocimiento didáctico del contenido tiene importancia desde tres puntos de vista: desde el contenido a enseñar, desde el contenido a aprender y desde la visión general de los estándares del aprendizaje, que incluyen el currículo vigente en cada país y en cada momento y las investigaciones de expertos en la materia.

El Conocimiento de las Características del aprendizaje de las matemáticas (Knowledge of Features of Learning Mathematics, KFLM) considera el conocimiento de aspectos relacionados con el aprendizaje de sus estudiantes y la categorización elegida está respaldada por la propuesta inicial de Shulman (1986). Distinguimos cuatro categorías.

La primera, Teorías sobre el aprendizaje asociadas a un conocimiento matemático, ya sean formales o personales del profesor estudiado, considera el conocimiento del profesor sobre las formas de aprender el contenido matemático de sus alumnos, que incluyen teorías sobre el desarrollo cognitivo para las matemáticas.

La segunda, Fortalezas y dificultades asociadas al aprendizaje de un contenido matemático, informa sobre el conocimiento del profesor acerca de los errores, obstáculos y dificultades en el pensamiento matemático de los estudiantes, y podríamos distinguir el origen de los mismos en tres tipos (Ruiz, 2005). Los de carácter epistemológico se deben a la propia naturaleza del conocimiento matemático, y podríamos ejemplificarlo con el conocimiento que tiene el profesor sobre errores típicos de sus estudiantes de secundaria sobre la potenciación y la confusión de sus propiedades con la suma y el producto de potencias. Por ejemplo, cuando deciden erróneamente que √𝑎 + 𝑏 = √𝑎 + √𝑏 confundiéndolo con la propiedad del producto de potencias √𝑎 · 𝑏 = √𝑎 · √𝑏, puesto que no tienen en cuenta el conocimiento fundamental que puede llevarles a una u otra

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conclusión; en la observación que nos ocupa, encontramos este tipo de obstáculos cuando los estudiantes intentan plantear una imagen mental de un constructo sin apoyarse en una imagen (por ejemplo, decidir cuáles son los ejes de simetría de una figura sin dibujarla, y, partiendo de sus propiedades, hacer una imagen mental de la situación). Los errores de tipo didáctico, relacionados con una enseñanza no correcta, por ejemplo, cuando esta es eminentemente procedimental hace que, al enfrentarse los estudiantes con una situación de la que no tienen un patrón claro, fallen en su resolución, mientras que si la enseñanza hubiera tenido en cuenta el conocimiento fundamental que soporta el procedimiento podrían haber tenido éxito. Ma (1999) escenifica un caso que resulta significativo para ilustrar esta situación: plantea la situación en el aula cuando una alumna llega al aula creyendo que ha descubierto una nueva teoría: según aumenta el perímetro, también lo hace el área y lo demuestra con un ejemplo:

Figura 3. 1 Ejemplificación propuesta por una alumna para mostrar que a medida que aumenta el perímetro, aumenta el área (Ma, 1999, p. 104)

En el estudio de Ma (1999), en el que analiza el conocimiento de maestros estadounidenses y chinos ante esta situación, se asegura que la reacción de ambos grupos fue muy parecida, ya que la mayoría consideró que se trataba de una teoría nueva que escuchaban por primera vez y aceptaron sin dudar. Si los profesores lo incorporasen a su conocimiento y lo transmitieran como resultado válido, podrían generar obstáculos didácticos relacionados no solo con el resultado en sí, sino también, por ejemplo, con la posibilidad de validar una afirmación de forma general con un caso particular.

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Otro ejemplo de este tipo se puede producir cuando se ejemplifica el segmento con elementos del entorno de los estudiantes que ostensivamente tienen volumen y que no son continuos, como ocurre en el aula observada para esta investigación, cuando la maestra asocia filas de pupitres a la idea de segmento.

Finalmente estarían los errores de tipo ontogenético, debidos a la madurez matemática de cada individuo y que precisaría de una enseñanza personalizada, si bien este conocimiento no estaría incluido en el modelo MTSK por estar más relacionado con factores psicosociales, socioculturales y humanos (Llinares y Sánchez, 1998).

En esta categoría, fortalezas y dificultades, estarían incluidas también las fortalezas derivadas de las potencialidades que podrían aprovecharse dependiendo del grupo de clase, por ejemplo, teniendo en cuenta si tienen facilidad para un determinado tipo de representación. Por ejemplo, la representación simbólica del cálculo del área de una superficie y el procedimiento que les lleva a obtener dicha cantidad de magnitud, es una fortaleza que la maestra conoce de sus alumnos.

Las formas de interacción de los estudiantes con un contenido matemático están relacionadas con el conocimiento del profesor sobre los procedimientos y estrategias de los estudiantes, incluyendo el conocimiento sobre el lenguaje y representaciones que estos utilizan. Por ejemplo, en el caso de la maestra que nos ocupa, ella conoce cómo sus alumnos se enfrentan al cálculo de áreas: siempre a través de la fórmula correspondiente, así como también conoce que para representar gráficamente un ángulo, precisan no solo de los elementos de este (lados y vértice y, en su caso, dirección o cualidad de ser cóncavo o convexo), sino también representar un arco de circunferencia con el que, en realidad, lo identifican (Figura 3. 2). Es decir, sabe que si no dibujan tal arco, no reconocen el ángulo en la representación.

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Otro ejemplo podría ser el conocer qué tipo de procedimiento usarán los estudiantes para realizar la división de polinomios dependiendo del grado de estos (por ejemplo, el algoritmo de Ruffini o de la división), de qué modo se referirán a los componentes de los polinomios implicados (por ejemplo, polinomio de grado n, o monomino, binomio,… dividendo, divisor…) y con qué profundidad describirán los procedimientos implicados, es decir, si fundamentarán matemáticamente los mismos (por qué se hace así, cuándo puede usarse, cómo se usa…) o no.

El conocimiento sobre los intereses y expectativas de los estudiantes con respecto a las matemáticas incluye el saber si estos consideran fácil o no un contenido, proceso o procedimiento concreto. Por ejemplo, conocer que para los estudiantes de Primaria, cuando se resta necesariamente se obtiene un número menor (lo que podría generar una conexión con la categoría fortalezas y dificultades) o la tendencia a utilizar la regla de tres cuando atisban una proporcionalidad en un problema.

El Conocimiento de la Enseñanza de las Matemáticas (Knowledge of Mathematics Teaching, KMT) considera el conocimiento de aspectos relacionados con la actividad principal del profesor: la enseñanza, práctica profesional ligada directamente al aula, si bien en este modelo se tienen en cuenta, además, otros contextos y situaciones propias de la labor del profesor y que tienen la misma importancia como parte de su desarrollo como profesional de la educación (Escudero-Ávila, 2015, p. 46). Distinguimos tres categorías.

Las teorías de enseñanza asociadas a un contenido matemático, que pueden ser personales o formales, implican un conocimiento basado bien en la observación y la experiencia, bien en investigaciones publicadas referidas a la enseñanza matemática. Shoenfeld y Kilpatrick (2008) afirman que esto condiciona la actuación del profesor en el aula, tanto en su forma de interactuar con los estudiantes como en cómo utiliza su conocimiento matemático.

La categoría de Los recursos materiales o virtuales para la enseñanza de un contenido matemático nos indica el conocimiento de las características matemáticas (potencialidad matemática y limitaciones) de los recursos y materiales. Por ejemplo, el conocimiento de las posibilidades de regletas como recurso didáctico para trabajar la descomposición no

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canónica de los números, o la limitación del geoplano rectangular no isométrico para representar triángulos equiláteros.

Las estrategias, técnicas, tareas y ejemplos nos llevan al conocimiento que el profesor tiene partiendo de los recursos de los que dispone, incluyendo tanto la potencialidad para la enseñanza de las matemáticas que pueden tener ciertas secuenciaciones de tareas y ejemplos, como sus limitaciones y los obstáculos que puede generar en un grupo de estudiantes particular. Por ejemplo, formaría parte de esta categoría el conocimiento del tipo de ayuda que conviene dar a los estudiantes en un momento concreto, como en el caso que nos ocupa, en el que la maestra insiste en que representen gráficamente la cuestión que se presenta en el problema porque sabe que sus estudiantes lo comprenderán mejor.

El Conocimiento de los Estándares de Aprendizaje de las Matemáticas (Knowledge of Mathematics Learning Standards, KMLS) considera el conocimiento, tanto del currículo oficial vigente en cada país en cada momento, como de estándares definidos por grupos de investigación o asociaciones profesionales de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas (como la NCTM: National Council of Teachers of Mathematics). La temporalización de este subdominio se justifica desde el propio currículum, es decir, qué contenidos se ubican en qué curso. Se diferencia claramente del Conocimiento de la Estructura Matemática (KSM conexiones de complejización y simplificación (KSM), vistas en el apartado 3.3.1) en el que la temporalización no se ve desde el punto de vista curricular, sino como visión secuenciadora que genera conexiones (Flores-Medrano, Escudero-Ávila, Montes, Aguilar, Carrillo, 2014, p. 61).

Distinguimos tres categorías. Las expectativas de aprendizaje incluyen el conocimiento que tiene el profesor de lo que se pretende, desde el currículo oficial, que un estudiante aprenda en un determinado curso.

El nivel de desarrollo conceptual o procedimental esperado para un contenido en un determinado momento escolar hace referencia al conocimiento sobre el nivel al que se debe llegar para un contenido determinado en un momento académico concreto. Un ejemplo claro podrían ser los diferentes contextos en los que se trata la resta de números y las diferentes propiedades que se van añadiendo, desde los números naturales a los reales.

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La secuenciación con temas anteriores y posteriores a un determinado momento escolar se diferencia del KSM, como ya hemos dicho, por referirse a una cuestión temporal y no conceptual. Si conectamos con el ejemplo anterior, aquí estaría el conocimiento que tendría un profesor de que la resta se comienza en el contexto de los números naturales en Primaria y hasta final de la Primaria no se introduce en el contexto de los números enteros.

Subdominios PCK Categorías asociadas al subdominio

Conocimiento de las características de aprendizaje de las matemáticas

KFLM

Teorías sobre aprendizaje Fortalezas y dificultades

Formas de interacción con un contenido matemático Intereses y expectativas Conocimiento de la enseñanza de las matemáticas KMT

Teorías sobre enseñanza Recursos materiales y virtuales

Estrategias, técnicas, tareas y ejemplos

Conocimiento de los estándares de aprendizaje de las matemáticas KMLS Expectativas de aprendizaje

Nivel de desarrollo conceptual o procedimental esperado Secuenciación con temas anteriores y posteriores

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En la Figura 3. 3 mostramos gráficamente el modelo MTSK, donde podemos observar la división entre dominios y subdominios.

Figura 3. 3 Modelo del Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas (Elaboración propia a partir de Muñoz-Catalán, Contreras, Carrillo, Rojas, Montes, Climent, 2015)