1/(n−1) si n > 1, es continua, pero su inversa f−1 : Y → N es discontinua en el punto 0. Luego en el Teorema 8 la compacidad de X no puede ser substituida por la de Y.
4. Continuidad uniforme
Seaf :X →Y continua. Dadoε >0, para cadax∈Xse puede encontrarδ >0 tal quey∈X,|x−y|< δimplican|f(x)−f(y)|< ε. El n´umero positivo δ depende no s´olo del ε >0 dado sino tambi´en del punto x donde se examina la continuidad. Dado ε > 0 no es simpre posible encotrar un δ > 0 que sirva para todos los puntos x∈X (inclusive cuando f es continua en todos estos puntos). Ejemplo 9. Sea f : R− {0} → R definida mediante f(x) = |xx|, luego f(x) = 1 si x > 0 y f(x) = −1 para x < 0. Esta funci´on es continua enR− {0}pues es constante en un entorno de cada punto x 6= 0. No obstante, si tomamos ε < 2, para todo δ > 0 escogido, siempre existir´an puntos x, y ∈ R− {0} tales que |y −x| < δ y
|f(x)−f(y)| ≥ε. Basta tomar x=δ/3 e y=−δ/3.
Ejemplo 10. La funci´on f : R+ → R, definida mediante f(x) = 1/x, es continua. Sin embargo, dadoε >0, con 0< ε <1, sea cual fuere el δ > 0 escogido, tomamos un n´umero natural n > 1/δ y escribimos x= 1/n e y= 1/2n. Entonces 0< y < x < δ, de donde
|y−x|< δ, pero |f(y)−f(x)|= 2n−n=n≥1> ε.
Una funci´on f : X → R se dice uniformemente continua en el conjunto X cuando, para todo ε >0 dado, se puede obtener δ > 0 tal que x, y ∈X, |y−x|< δ implican |f(y)−f(x)| < ε.
Una funci´on uniformemente continua f :X →Res continua en todos los puntos del conjunto X. El rec´ıproco es falso, como puede verse en los Ejemplos 9 y 19 de arriba.
La continuidad de una funci´on f : X → R en el punto a ∈ X significa que f(x) est´a tan pr´oximo a f(a) cuanto se desee, siempre que se tome xsuficientemente pr´oximo aa. Obs´ervese la asimetr´ıa: el punto a est´a fijo y x tiene que aproximarse a a para que f(x) se aproxime a f(a). En la continuidad uniforme se puede hacer que f(x)−f(y) est´en tan pr´oximos cuanto se quiera: basta con que x
94 Funciones continuas Cap. 7
e y tambi´en lo est´en. Aqu´ı, x e y son variables y juegan papeles sim´etricos en la definici´on.
Otra diferencia entre la mera continuidad y la continuidad uni- forme es la siguiente: si cada punto x ∈X posee un entorno V tal que la restricci´on de f a V ∩X es continua, entonces la funci´on f : X → R es continua. Sin embargo, como lo demuestram los Ejemplos 9 y 10, si cada punto x ∈X posee un entorno V tal que f es uniformemente continua en X∩V, no se puede concluir que f : X → R sea uniformemente continua en el conjunto X. Esto se expresa diciendo que la continuidad es una noci´on local, mientras que la continuidad uniforme es un concepto global.
Ejemplo 11. Una funci´onf :X →Rse llamalipschitzianacuando existe una constante k > 0 (llamada constante de Lipschitz de la funci´on f) tal que |f(x) − f(y)| ≤ k|x− y| sean cuales fueren x, y ∈X. Para quef sea Lipschitziana es necesario y suficiente que el cociente (f(x)−f(y))/(x−y) est´e acotado, esto es, exista una constantek >0 tal quex, y ∈X,x6=y⇒ |f(x)−f(y)|/|x−y| ≤k. Toda funci´on lipschitziana f :X → R es uniformemente continua: dado ε > 0, se toma δ = ε/k. Entonces x, y ∈ X , |x−y| < δ ⇒
|f(x)−f(y)| ≤k|x−y|< k·ε/k=ε. Sif es un polinomio de grado
≤1, esto es,f(x) =ax+b, cona, b∈R, entoncesf es lipschitziana con constantek =|a|, pues|f(y)−f(x)|=|ay+b−(ax+b)|=|a||y− x|. La funci´on del Ejemplo 10, evidentemente, no es lipschitziana pues no es uniformemente continua. No obstante, para todo a >0, la restricci´on def al intervalo [a,+∞) es lipschitziana (y, por tanto, uniformemente continua) con constante de Lipschitz k = 1/a2. En efecto, si x ≥ a e y ≥ a entonces |f(y)−f(x)| = |y−x|/|xy| ≤
|y−x|/a2 =k|y−x|.
Teorema 9. Para que f :X →R sea uniformemente continua es necesario y suficiente, para todo par de sucesiones (xn),(yn) en X
tales que l´ım(yn−xn) =, se tenga l´ım(f(yn)−f(xn)) = 0.
Demostraci´on: Sif es uniformemente continua y l´ım|yn−xn|= 0
entonces dado cualquier ε > 0, existe δ > 0 tal que x, y ∈ X,
|y−x|< δ implican|f(y)−f(x)|< ε. Existe tambi´enn0 ∈Ntal que n > n0 implica|yn−xn|< δ. Luegon > n0implica|f(yn)−f(xn)|<
Secci´on 4 Continuidad uniforme 95
v´alida la condici´on estipulada en el enunciado del teorema. Si f no fuese uniformemente continua, existir´ıa ε > 0 con la siguiente propiedad: para todo n ∈ N podr´ıamos encontrar puntos xn, yn en
X tales que |xn− yn| < 1/n y |f(xn)−f(yn)| ≥ ε. Tendr´ıamos
entonces l´ım(yn −xn) = 0 sin que l´ım(f(yn)−f(xn)) = 0. Esta
contradicci´on concluye la prueba del teorema.
Ejemplo 12. La funci´on f : R → R, dada por f(x) = x2 no es uniformemente continua. En efecto, tomando xn = n e yn =
n + (1/n) tenemos l´ım(yn − xn) = l´ım(1/n) = 0, pero f(yn)−
f(xn) = n2 + 2 + (1/n2)−n2 = 2 + 1/n2 > 2, luego no se tiene
l´ım[f(yn)−f(xn)] = 0.
Teorema 10. Sea X ⊂ R compacto. Toda funci´on continua f : X →R es uniformemente continua.
Demostraci´on: Si f no fuese uniformemente continua existir´ıan ε >0 y dos sucesiones (xn), (yn) enX tales que l´ım(yn−xn) = 0 y
|f(yn)−f(xn)| ≥εpara todon ∈N. Considerando una subsucesi´on,
si as´ı fuese necesario, podemos suponer, en virtud de la compacidad de X, que l´ımxn = a ∈ X. Entonces, como yn = (yn−xn) +xn,
tambi´en se tiene l´ımxn = a. Como f es continua en el punto a,
tenemos l´ım[f(yn)−f(xn)] = l´ımf(yn)−l´ımf(xn) =f(a)−f(a) =
0, lo que contradice que |f(yn)−f(xn)| ≥ε para todon ∈N.
Ejemplo 13. La funci´on f : [0,+∞) → R, dado por f(x) = √x, no es lipschitziana. En efecto, multiplicando el numerador y el denominador por (√y +√x) vemos que (√y − √x)/(y − x) = 1/(√y+√x). Tomando x6=y suficientemente peque˜nos, podemos conseguir que √y+√x sea tan peueno cuanto se desee, luego el cociente (√y −√x)/(y −x) no est´a acotado. No obstante, f es lipschitziana (por tanto uniformemente continua) en el intervalo [1,+∞), ya que x, y ∈ [1,+∞) ⇒ √x+√y ≥ 2 ⇒ |√y−√x| =
|y−x|/(√y+√x) ≤ 1
2|y−x|. En el intervalo [0,1],f tambi´en es uniformemente continuam aunque no se lipschitziana, pues [0,1] es compacto. De aqu´ı resulta que f : [0,+∞)→R es uniformemente continua. En efecto, dado ε > 0 existen δ1 > 0 y δ2 > 0 tales que x, y ∈ [0,1], |y−x| < δ1 ⇒ |f(y)−f(x)| < ε2, y x, y ∈ [1,+∞),
|y −x| < δ2 ⇒ |f(y)−f(x)| < ε/2. Sea δ = m´ın{δ1, δ2}. Da- dos x, y ∈ [0,+∞) con |y − x| < δ, obviamente si x, y ∈ [0,1] ´o x, y ∈ [1,+∞) tenemos |f(y) − f(x)| < ε. Si, por ejemplo,
96 Funciones continuas Cap. 7
x ∈ [0,1] e y ∈ [1,+∞) entonces |y−1| < δ y |x−a| < δ, luego
|f(y)−f(x)| ≤ |f(y)−f(1)|+|f(1)−f(x)|< ε2 +2ε =ε.
Teorema 11. Toda funci´on f : X → R uniformemente continua en un conjunto acotado X est´a acotada.
Demostraci´on: Si f no estuviera acotada (supongamos superior- mente) existir´ıa una sucesi´on de puntosxn∈X tales quef(xn+1)>
f(xn) + 1 para todon ∈ N. Como X est´a acotado, podemos (con-
siderando una subsucesi´on si as´ı fuera necesario) suponer que la sucesi´on (xn) es convergente. Entonces, escribiendo yn = xn+1,
tendr´ıamos l´ım(yn −xn) = 0, pero como f(yn)−f(xn) > 1, no
es verdad que l´ım[f(yn)−f(xn)] = 0, luego f no ser´ıa uniforme-
mente continua.
El Teorema 11 nos da otra forma de ver que f(x) = 1/x no es uniformemente continua en el intervalo (0,1], pues f(0,1] = [1,+∞).
Teorema 12. Si f :X →R es uniformemente continua entonces, para todo a∈X′ (inclusive si a no pertenece a X), existe l´ım
x→af(x).
Demostraci´on: Escojamos una sucesi´on de puntos an∈X− {a}
tal que l´ıman =a. Del Teorema 11 se sigue que la sucesi´on (f(an))
est´a acotada. Considerando una subsucesi´on, si as´ı fuese necesario, podemos suponer que l´ımf(an) =b. Ahora afirmamos que se tiene
l´ımf(xn) = b se cual fuere la sucesi´on de puntos xn ∈ X − {a}
con l´ımxn = a. En efecto, tenemos l´ım(xn−an) = 0. Como f es
uniformemente continua, se sigue que l´ım[f(xn)−f(an)] = 0, luego
l´ımf(xn) = l´ımf(an) + l´ım[f(xn)−f(an)] = b.
Ejemplo 14. El Teorema 12 implica que 1/xenR+, as´ı comox/|x| y sen(1/x) en R− {0}, no son uniformemente continuas.
5. Ejercicios
Secci´on 1: Definici´on y primeras propiedades
1. Sean f, g : X → R continuas en el punto a ∈ X. Pruebe que tambi´en son continuas en el punto a las funciones ϕ, ψ : X →R, definidas mediante ϕ(x) = m´ax{f(x), g(x)}, ψ(x) = m´ın{f(x), g(x)} para todox∈X.
Secci´on 5 Ejercicios 97
2. Sean f, g : X → R continuas. Pruebe que si X es abierto entonces el conjuntoA={x∈X : f(x)6=g(x)} es abiero, y que si X es cerrado el conjunto F ={x∈ X : f(x) =g(x)} es cerrado.
3. Una funci´on f : X → R se dice semicontinua superiormente
(scs) en el punto a ∈ X cuando, para todo c > f(a), existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x−a| < δ, implican f(x) < c. Defina el concepto de funci´on semicontinua inferiormemente (sci) en el punto a. Pruebe que f es continua en el punto a si, y s´olo si, es scs y sci en dicho punto. Pruebe que si f es scs, g es sci y f(a) < g(a) entonces existe δ > 0 tal que x ∈ X,
|x−a|< δ ⇒f(x)< g(x).
4. Seaf :R→Res continua. Pruebe que sif(x) = 0 para todo x∈X entonces f(x) = 0 para todox ∈X.
5. Pruebe que si f :R → R es continua si, y s´olo si, para todo X ⊂R se tiene f(X)⊂f(X).
6. Seanf, g:X →Rcontinuas en el puntoa. Suponga que, para cada entornoV dea, existen puntosx, ytales quef(x)< g(x) y f(y)> g(y). Pruebe que f(a) = g(a).
7. Sea f : X → R discontinua en el punto a ∈ X. Pruebe que existe ε >0 con la siguiente propiedad: o se puede encontrar una sucesi´on de puntos xn ∈ X con l´ımxn = a y f(xn) >
f(a)+εpara todon∈N, o bien se encuentra (yn) conyn ∈X,
l´ımyn=a y f(y−n)< f(a)−ε para todo n∈N.
Secci´on 2: Funciones continuas en un intervalo
1. Una funci´on f :X → R se dice localmente constante cuando todo punto de X posee un entornoV tal que f es constante en V ∩X. Pruebe que toda funci´on f : I → R localmente constante en un intervalo I es constante.
2. Seaf :I →Runa funci´on mon´otona definida en un intervalo I. Si la imagen f(I) es un intervalo pruebe que entoncesf es continua.
98 Funciones continuas Cap. 7
3. Se dice que una funci´on f :I →R definida en un intervalo I tiene lapropiedad del valor intermediocuando la imagenf(J) de cualquier intervalo J ⊂ I es un intervalo. Demuestre que la funci´on f : R → R, dada por f(x) = sen(1/x) si x 6= 0 y f(0) = 0 tiene la propiedad del valor intermedio y sin embargo no es continua.
4. Sea f : I → R una funci´on con la propiedad del valor inter- medio. Si para cada c∈R existen como m´aximo un n´umero finito de puntos x ∈ I tales que f(x) = c, pruebe que f es continua.
5. Seaf : [0,1]→Rcontinua y tal quef(0) =f(1). Pruebe que existe x∈ [0,1] tal que f(x) = f(x+ 1/2). Pruebe el mismo resultado con 1/3 en vez de 1/2. Generalice.
Secci´on 3: Funciones continuas en conjuntos compactos 1. Sea f : R → R continua, tal que l´ım
x→+∞f(x) = l´ımx→−∞f(x) =
+∞. Pruebe que existe x0 ∈ R tal que f(x0) ≤ f(x) para todox∈R.
2. Seaf :R→Rcontinua con l´ım
x→+∞f(x) = +∞y l´ımx→−∞f(x) =
−∞. Pruebe que, para todo c ∈ R, entre las ra´ıces de la ecuaci´on f(x) =cexiste una cuyo m´odulo |x| es m´ınimo. 3. Pruebe que no existe ninguna funci´on continua f : [a, b]→R
que alcance cada uno de sus valores f(x), x ∈ [a, b], exacta- mente 2 veces.
4. Una funci´onf :R→Rse dice peri´odica cuando existep∈R+ tal que f(x+p) = f(x) para todo x ∈ R. Pruebe que toda funci´on continua peri´odica f :R→Rest´a acotada y alcanza sus valores m´aximo y m´ınimo, esto es, existenx0, x1 ∈Rtales quef(x0)≤f(x)≤f(x1) para todo x∈R.
5. Seaf :X →Rcontinua en un conjunto compacto X. Pruebe que, para todoε >0, existekε >0 tal quex, y ∈X,|y−x| ≥
ε ⇒ |f(y)−f(x)| ≤ kε|y−x|. (Esto significa que f cumple
la condici´on de Lipschitz siempre que los puntosx, y no est´en muy pr´oximos.)
Secci´on 5 Ejercicios 99
Secci´on 4: Continuidad uniforme
1. Si toda funci´on continuaf :X →Res uniformemente conti- nua pruebe que el conjunto X es cerrado pero no necesaria- mente compacto.
2. Demuestre que la funci´on continua f : R → R, dada por f(x) = sen(x2), no es uniformemente continua.
3. Dada f :X →R uniformemente continua, defina ϕ:X →R medianteϕ(x) =f(x) si x∈X es un punto aislado y ϕ(x) = l´ım
y→xf(y) si x∈X
′. Pruebe que ϕ es uniformemente continua
y que ϕ(x) =f(x) para todo x∈X.
4. Sea f : R → R continua. Pruebe que si existen l´ım
x→+∞f(x) y
l´ım
x→−∞f(x) entonces f es uniformemente continua. La misma
conclusi´on es v´alida si existen los l´ımites de f(x)−x cuando x→ ±∞.
5. Sean f, g : X → R uniformemente continua. Pruebe que f + g es uniformemente continua. Lo mismo ocurre con el producto f · g siempre que f y g est´en acotadas. Pruebe que ϕ, ψ : X → R dadas por ϕ(x) = m´ax{f(x), g(x)} y ψ(x) = m´ın{f(x), g(x)}, x ∈ X, son uniformemente conti- nuas.
8
Derivadas
Sean f :X →R y a∈X. El cociente q(x) = [f(x)−f(a)]/(x−a) tiene sentido si x 6=a, luego define una funci´on q :X − {a} → R; el valorq(x) es lapendiente de la secante (recta que une los puntos (a, f(a)) y (x, f(x)) del gr´afico de f) en relaci´on al ejex.
Si imaginamos x como el tiempo y f(x) como la abscisa, en el instante x, de un punto m´ovil que se desplaza a lo largo del eje x, entonces q(x) es la velocidad media de dicho punto en el intervalo de tiempo comprendido entre los instantes a y x.
De modo general, el cociente q(x) es la relaci´on existente entre la variaci´on de f(x) y la variaci´on dex a partir del punto x=a.
En el caso en que a∈X′∩X en natural considerar l´ım
x→aq(x).
Las interpretaciones de este l´ımite en los contextos anteriores sonm respectivamente, la pendiente de la tangente al gr´afico de f en el punto (a, f(a)), y la velocidad instant´anea del m´ovil en el instante x = a, o, en general, el “cociente incremental” de la funci´on f en el punto a.
Dicho l´ımite es una de las nociones m´as importantes de las Ma- tem´aticas y de sus aplicaciones. ´Este ser´a el objetivo de estudio de este cap´ıtulo.
102 Derivadas Cap. 8
1. La noci´on de derivada
Sea f :X →Ry a∈X∩X′. La derivada de la funci´on f en el
punto a es el l´ımite: f(a) = l´ım x→a f(x)−f(a) x−a = l´ımh→0 f(a+h)−f(a) h .
Bien entendido, el l´ımite anterior puede existir o no. Si existe se dice que f es derivable en el punto a. Cuando existe la deriva- da f′(x) en todos los puntos x ∈ X ∩X′ se dice que la funci´on
f :X → R es derivable en el conjunto x, obteni´endose una nueva funci´on f′ :X∩X′ → R, x→ f′(x), llamada funci´on derivada de
f. Si f′ es continua se dice que f es de clase C1.
Otras notaciones para la derivada de f en el punto a son Df(a), df dx(a), y df dx x=a
Teorema 1. Para que f : X → R sea derivable en el punto a ∈ X∩X′ es necesario y suficiente que exista c ∈ R tal que a+h ∈
X ⇒f(a+h) =f(a) +c·h+r(h), donde l´ım
h→0r(h)/h= 0. En caso
afirmativo se tiene c=f′(a).
Demostraci´on: Sea Y = {h ∈ R : a +h ∈ X}. Entonces 0 ∈ Y ∩Y′. Suponiendo que f′(a) exista, definimos r : Y → R como
r(h) = f(a+h)−f(a)−f′(a)·h. Entonces,
r(h) h = f(a+h)−f(a) h −f ′(a), luego l´ım
h→0r(h)/h= 0. La condici´on es, por tanto, necesaria. Rec´ıpro- camente, si la condici´on es v´alida, entonces r(h)/h = [f(a+h)− f(a)]/h−c, luego l´ım
h→0(f(a+h)−f(a))/h−c= l´ımh→0r(h)/h= 0, por tanto f′(a) existe y es igual ac.
Corolario 1. Una funci´on es continua en los puntos donde es de- rivable.
En efecto, si f es derivable en el punto a, entonces f(a+h) = f(a) +f′(a)·h+ [r(h)/h]hcon l´ım
h→0r(h)/h= 0, luego l´ımh→0f(a+h) = f(a), o sea, f es continua en el punto a.
Secci´on 1 La noci´on de derivada 103
Observaci´on: Para toda funci´on f, definida en los puntos a y a+h, y todo n´umero real c, siempre se puede escribir la igualdad f(a+h) = f(a) +c·h+r(h), que simplemente define el n´ume- ro r(h). Lo que afirma el Teorema 1 es que existe como m´aximo un ´unico c ∈ R tal que l´ım
h→0r(h)/h = 0. Dicho n´umero c, cuando existe, es igual af′(a). El Teorema 1 nos dice tambi´en que, cuando
f′(a) existe, el incremento f(a+h)−f(a) es igual a la suma de
una “parte lineal” c·h, proporcional al incremento hde la variable independiente, y de un resto r(h), que es infinitamente peque˜no en relaci´on a h, en el sentido de que el cociente r(h)/h tiende a cero con h.
Cuando a∈X es un punto de acumulaci´on por la derecha, esto es, a ∈ X∩X′
+, se puede considerar el l´ımite f+′(a) = l´ım
x→a+q(x).
Cuando existe, dicho l´ımite se llamaderivada por la derecha def en el punto a. An´alogamente, si a ∈X∩X′
−, tiene sentido considerar
el l´ımite por la izquierda f−(a) = l´ım
x→a−q(x); si existe, ´este se llama
derivada por la izquierda def en el punto a. En el caso en que a ∈ X∩X′
+∩X−′ , esto es, si a es un punto
de acumulaci´on bilateral, la funci´on f es derivable en el puntoa si, y s´olo si, existen y son iguales las derivadas por la derecha y por la izquierda, en cuyo caso f′(a) = f′
+(a) = f−′ (a). El Teorema 1 (con
l´ım
h→0+r(h)/h= 0 y l´ımh→0−r(h)/h= 0), as´ı como su contrario valen
para las derivadas laterales. Por ejemplo, si existe la derivada por la derecha f′
+(a) entonces f es continua por la derecha en el punto a, esto es, f(a) = l´ımh→0+f(a+h).
En particular, si a ∈ X ∩ X′
− ∩ X+′ y existen ambas deriva- das laterales, f+(a) y f−′ (a), entonces f es continua en el punto a. (Inclusive si estas derivadas laterales son diferentes).
Ejemplo 1. Una funci´on constante es derivable y su derivada es id´enticamente nula. Si f : R → R est´a dada por f(x) = ax+b entonces, para cualesquiera c∈R y h6= 0, [f(c+h)−f(c)]/h=a, luego f′(c) =a. Para cualquier n ∈ N, la funci´on f : R → R, con
f(x) =xn, tiene derivada f′(x) =nxn−1. En efecto, por el binomio de Newton, f(x+h) = (x+h)n=xn+hnxn−1+h2p(x, h), donde
104 Derivadas Cap. 8
p(x, h) es un polinomio en x y h. Por tanto [f(x+h)−f(x)]/h= nxn−1+hp(x, h). Se sigue quef′(x) = l´ım
h→0[f(x+h)−f(x)]/h=
nxn−1.
Ejemplo 2. La funci´on f : R → R, definida mediante f(x) = xsen(1/x) cuando x 6= 0 y f(0) = 0, es continua y posee deri- vada en todo punto x 6= 0. En el punto 0, tenemos [f(0 +h)− f(0)]/h= [hsen(1/h)]/h= sen(1/h). Como no existe l´ım
h→0sen(1/h), se concluye que f no es derivable en el punto x = 0, donde tam- poco existe ninguna derivada lateral. Por otra parte, la funci´on g : R → R, definida mediante g(x) = x· f(x), esto es, g(x) = x2sen(1/x),x6= 0, g(0) = 0, es derivable en el puntox= 0, porque l´ım
h→0[g(0 + h)−g(0)]/h = l´ımh→0h ·sen(1/h) = 0. Luego g
′(0) = 0.
Cuando x 6= 0 las reglas de derivaci´on conocidas nos dan g′(x) =
2x·sen(1/x)− cos(1/x). Observe que no existe l´ımx→0g′(x). En particular, la funci´on derivada, g′ : R → R, no es continua en el
punto 0, luego g no es de clase C1.
Ejemplo 3. La funci´on ϕ : R → R, dada por ϕ(x) = |x|, es derivable en todo x6= 0. En efecto, ϕ(x) =xsi x >0 yϕ(x) =−x si x < 0. Luego ϕ(x) = 1 para x >0 y ϕ′(x) =−1 si x < 0. En el
punto 0 no existe la derivada ϕ′(0). De hecho, existen ϕ′
+(0) = 1 y ϕ′
−(0) =−1. La funci´onI :R→R, definida comoI(x) =n cuando
n ≤ x < n+ 1, n ∈ Z, es derivable, con I′(x) = 0, en los puntos x /∈Z. Sines entero, existeI′
+(n) = pero no existeI−′ (n). En efecto,
si 1 > h >0, se tiene I(n+h) =I(n) =n, pero para −1< h <0, I(n+h) =n−1,I(n) =n. Por tanto l´ım
h→0+[I(n+h)−I(n)]/h= 0
y l´ım
h→0−[I(n+h)−I(n)]/h= l´ımh→0(−1/h), que no existe.
Ejemplo 4. Regla de L’Hˆopital Esta regla constituye una de las aplicaciones m´as populares de la derivada. En su forma m´as sencilla sirve para clacular l`ımites de la forma l´ım
x→af(x)/g(x) cuando f y g
son derivables en el punto a y l´ım
x→af(x) = f(a) = 0 = g(a) =
l´ım
x→ag(x). As´ı, por la definici´on de derivada,f
′(a) = l´ım
x→af(x)/(x−a)
y g′(a) = l´ım
x→ag(x)/(x−a). Si g
Secci´on 1 La noci´on de derivada 105 dice que l´ım x→a f(x) g(x) = f′(a)
g′(a). La prueba es inmediata:
l´ım x→a f(x) g(x) = l´ımx→a f(x) (x−a) g(x) (x−a) = l´ım x→a f(x) (x−a) l´ım x→a g(x) (x−a) = f ′(a) g′(a) .
Como aplicaci´on consideremos los l´ımites l´ım
x→0(senx/x) y l´ımx→0(e
x
−
1)/x. Aplicando la Regla de L’Hˆopital, el primer l`ımite se reduce a cos 0 = 1 y el segundo ae0 = 1. Sin embargo, conviene observar que estas aplicaciones (y otras an´alogas) de la Regla de L’Hˆopital no son totalmente correctas pues, para utilizarla, es necesario conocer las derivadasf′(a) yg′(a). En estos dos ejemplos los l´ımites a calcular
son, por definici´on, las derivadas de senxy deex en el puntox= 0.