las definiciones de ´ınf y sup, existen a, b∈ I tales que α≤ f(a) < d < f(b) ≤ β. Por el Teorema 4 existe C ∈ [a, b], por tanto c ∈I, tal que f(c) = d. As´ı d ∈ f(I). Esto prueba que (α, β) ⊂ f(I). Como α es el ´ınf y β es el sup de f(I), ning´un n´umero real menor queα o mayor queβ puede pertenecer af(I). Por tantof(I) es un intervalo cuyos extremos son α y β.
Observaci´on: Si I = [a, b] es un intervalo compacto entonces f(I) tambi´en es un intervalo compacto; ver el Teorema 7 m´as ade- lante. Pero si I no es cerrado o no est´a acotado, f(I) puede no ser del mismo tipo que I. Por ejemplo, sea f : R → R dada por f(x) = senx. Tomando sucesivamente los intervalos abiertos I1 = (0,7), I2 = (0, π/2) e I3 = (0, π), tenemos f(I1) = [−1,1], f(I2) = (0,1) y f(I3) = (0,1].
Ejemplo 2. Como aplicaci´on demostraremos que todo polinomio p :R → R de grado impar tiene alguna ra´ız real. Sea p(x) = a0 + a1x+· · ·+anxn conn impar yan 6= 0. Para fijar ideas supongamos
que an > 0. Sacando anxn como factor com´un, podemos escribir
p(x) =anxn·r(x), donde r(x) = a0 an · 1 xn + a1 an · 1 xn−1 +· · ·+ an−1 an · 1 x + 1. Es claro que l´ım x→+∞r(x) = x→−∞l´ım r(x) = 1. Luego l´ımx→+∞p(x) = l´ım x→+∞anx n = + ∞ y l´ım x→−∞p(x) = l´ımx→−∞anx n = −∞ (pues n es impar). Por tanto, el intervalop(R) no est`a acotado, ni superior ni inferiormente, esto es, p(R) = R. Esto significa que p : R → R es sobreyectiva. En particular existe c ∈ R tal que p(c) = 0. Eviden- temente, un polinimio de grado par puede no tener ra´ıecs reales, como por ejemplo, p(x) =x2 + 1.
Ejemplo 3. (Existencia de √na) Dado n ∈ N, la funci´on f :
[0,+∞) → [0,+∞), definida como f(x) = xn, es creciente (por
tanto inyectiva), con f(0) = 0 y l´ım
x→+∞f(x) = +∞. Por tanto, su
imagen es un subintervalo no acotado de [0,+∞) que contiene a su extremo inferior, igual a cero. Luegof([0,+∞)) = [0,+∞), esto es, f es una biyecci´on de [0,+∞) en s´ı mismo. Esto significa que, para todo n´umero reala ≥0, existe un ´unico n´umero real b≥0 tal que
88 Funciones continuas Cap. 7
a =bn, o sea, b = √na. En el caso particular en que n es impar, la
funci´on x→xn es una biyecci´on de Ren R; as´ı, en este caso, todo
n´umero real a tiene una ´unica ra´ız n-´esima que es positiva cuando a >0 y negativa cuando a <0.
Ejemplo 4. El Teorema 4 es uno de los denominados “teoremas de existencia”. En ciertas condiciones nos asegura la existencia de una ra´ız para la ecuaci´on f(x) = d. Una de sus aplicaciones m´as sencillas es la que sigue. Seaf : [a, b]→Runa funci´on continua tal que f(a) ≤ a y b ≤ f(b). En estas condiciones existe al menos un n´umeroc∈[a, b] tal que f(c) =c. En efecto, la funci´on ϕ: [a, b]→ R, definida mediante ϕ(x) = x−f(x), es continua con ϕ(a) ≥ 0 y ϕ(b) ≤ 0. Por el Teorema 4, existe c ∈ [a, b] tal que ϕ(c) = 0, esto es, f(c) = c. Un punto x ∈ X tal que f(x) = x se denomina
punto fijo de la funci´on f :X →R. El resultado que acabamos de probar es una versi´on unidemensional del conocido “Teorema del punto fijo de Brouwer”.
Otra aplicaci´on del Teorema 4 es la que se refiere a la conti- nuidad de la funci´on inversa. Sean X, Y ⊂ R y f : X → Y una biyecci´on. Suponiendo que f es continua, ¿se puede concluir que su inversa f−1 tambi´en lo es? La respuesta es, en general, negativa, como lo demuestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 5. Sean X = [−1,0]∪(1,2] e Y = [0,4]. La funci´on f : X → Y definida como f(x) = x2, es una biyecci´on de X en Y, que es obviamente continua (ver Fig. 3). Su inversa g : Y →X est´a dada por g(y) =−√y si 0≤y ≤1 y g(y) =√y si 1< y ≤4. Luego g es discontinua en el punto y = 1 (pues l´ım
y→1−g(y) = −1 y
l´ım
Secci´on 2 Funciones continuas en un intervalo 89 + + + 4 3 2 1 2 Fig. 3
Demostraremos ahora que si una biyecci´on entre intervalos f : I →J es continua, entonces su inversa tambi´en lo es. En la secci´on 3, m´as adelante, veremos que, si el dominio es compacto, la inversa de una biyecci´on continua tambi´en es continua. (En el Ejemplo 5 el dominio de f no es ni un intervalo ni un conjunto compacto.) Teorema 5. Sea I ⊂ R un intervalo. Toda funci´on continua e inyectiva f : I →R es mon´otona y su inversa g :J →I, definida en el intervalo J =f(I), es continua.
Demostraci´on: Supongamos, inicialmente, que I = [a, b] sea un intervalo cerrado y acotado. Para fijar ideas, sea f(a) < f(b). De- mostraremos que f es estrictamente creciente. En caso contrario existir´ıan puntos x < y en [a, b] con f(x) > f(y). Hay dos posi- bilidades: f(a) < f(y) y f(a) > f(y). En el primer caso, tenemos f(a)< f(y)< f(x), luego, por el Teorema 4, existec∈ (a, x) coon f(c) = f(y), contradiciendo la inyectividad de f. En el segundo caso, se tiene f(y) < f(a) < f(b), por tanto existe c ∈ (y, b) con f(c) = f(a), obteni´endose otra contradicci´on, luego f es estricta- mente creciente. Sea ahora f : I → R continua e inyectiva en un intervalo cualquiera I. Si f no fuese mon´otona existir´ıan puntos u < v y x < y en I tales que f(u) < f(v) y f(x) > f(y). Sean a el menor y b el mayor de los n´umerosu, v, x, y. Entonces, la res- tricci´on de f al intervalo [a, b], ser´ıa continua e inyectiva, pero no mon´otona, contradiciendo lo que acabamos de probar. Finalmen- te, consideremos la invaersa g : J → I de la biyecci´on continua
90 Funciones continuas Cap. 7
estrictamente creciente f : I → J. Evidentemente, g es estricta- mente creciente. Sea a ∈ I un punto cualquiera y b = f(a). Para probar que g es continua en el punto b comenzaremos suponiendo que a es interior a I. Entonces, dado ε > 0 podemos admitir que (a−ε, a+ε) ⊂I. As´ı, f(a−ε) = b−α y f(a+ε) = b+β, don- de α > 0 y β > 0. Sea δ = m´ın{α, β}. Como g es estrictamente creciente, y ∈ J, b− δ < y < b+δ ⇒ b − α < y < b+β ⇒ g(b−α) < g(y) < g(b+β) ⇒ a−ε < g(y) < a+ε. Luego g es continua en el punto b. Si, por el contrario, a es un extremo de I, supongamos inferior, entonces b=f(a) es el extremo inferior de J. Dado cualquier ε >0 podemos suponer que a+ε∈I y tendremos que f(a+ε) =b+δ, δ >0. Entonces:
y∈J , b−δ < y < b+δ ⇒ b≤y < b+δ
⇒ a≤g(y)≤g(b+δ)
⇒ a≤g(y)< a+ε
⇒ a−ε < g(y)< a+ε , luego g, tambi´en en este caso, es continua en el punto b.
Corolario 1. Para todo n∈N, la funci´on g : [0,+∞)→[0,+∞), definida mediante g(x) = √nx es continua.
En efecto,ges la inversa de la biyecci´on continuaf : [0,+∞)→ [0,+∞) definida como f(x) =xn.
En el caso particular en que n es impar, f : R → R dada por f(x) = xn es una biyecci´on continua y su inversa g :R →R, tam-
bi´en denotada por g(x) = √nx, es continua en toda la recta.
Sean X ⊂ R e Y ⊂ R. Un homeomorfismo entre X e Y es una biyecci´on continua f : X → Y cuya inversa f−1 : Y → X tambi´en es continua. El Teorema 5 nos deice, por tanto, que si I es un intervalo entonces toda funci´on continua e inyectiva f : I →R es un homeomorfismo local entre I y el intervaloJ =f(I).