Análisis Real, Elon Lima, Volumen 1

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Lima, Elon Lages

An´alisis Real, Volumen 1.

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Textos del IMCA

An´

alisis Real

Volumen 1

Elon Lages Lima

Traducido por Rodrigo Vargas

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Copyright c, 1997 by Elon Lages Lima Impreso en Chile / Printed in Chile Car´atula: Rodolfo Capeto y Noni Geiger

Textos del IMCA

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Con esta serie de textos el IMCA inicia sus trabajos contribu-yendo a la difuci´on de la cultura matem´atica por medio de una literatura de alta calidad cient´ıfica.

Esta colección busca poner a disposición de alumnos y profe-sores universitarios, libros escritos con rigor y claridad, que sirvan como textos de cursos de graduación.

La publicaci´on de este libro cont´o con el apoyo decidido de la

Sociedad Brasileira de Matem´atica y de laUniversidad Nacional de Ingenier´ıa del Per´u que compartieron su costo. A estas institucio-nes damos nuestro agradecimiento.

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Prefacio

Este libro pretende servir de texto para un primer curso de Análi-sis Matemático. Los temas tratados se exponen de manera simple y directa, evitando digresiones. As´ı espero facilitar el trabajo del profesor que, al adoptarlo, no necesitará perder mucho tiempo se-leccionando los temas que tratará y los que omitirá. Grupos espe-ciales, estudiantes avanzados, lectores que deseen una presentación más completa y los alumnos, por as´ı decirlo, normales que busquen lecturas complementarias pueden consultar el “Curso de Análisis Matemático, vol. 1”que trata de la misma materia con un enfoque más amplio, y que tiene aproximadamente el doble de tamaño.

Los lectores que tengo en mente son alumnos con conocimientos equivalentes a dos per´ıodos lectivos de Cálculo*_{, ya familiarizados} con las ideas de derivada e integral en sus aspectos más elemen-tales, principalmente los cálculos con las funciones más conocidas y la resolución de ejercicios sencillos. También espero que tengan una idea suficientemente clara de lo que es una demostración ma-temática. La lista de prerrequisitos termina diciendo que el lector debe estar habituado a las notaciones usuales de la teor´ıa de con-juntos, tales como x_∈A,A _⊂B, A_∪B, A_∩B, etc.

Una parte importante de este libro son sus ejercicios, que sirven para fijar ideas, desarrollar algunos temas esbozados en el texto y como oporunidad para que el lector compruebe si realmente ha en-tendido lo que acabó de leer. En el cap´ıtulo final se presentan las soluciones, de forma completa o resumida, de 190 ejercicios selec-cionados. Los restantes son, en mi opinión, bastante fáciles. Natu-ralmente, me gustar´ıa que el lector sólo consultase las soluciones después de haber hecho un serio esfuerzo para resolver cada

pro-*

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blema. Precisamente es este esfuerzo, con o sin ´exito, el que nos conduce a buenos resultados en el proceso de aprendizaje.

El procesamiento del manuscrito, por el sistema TEX, lo rea-lizaron Mar´ıa Celano Maia y Solange Villar Visgueiro, supervisa-das por Jonas de Miranda Gomes, al que debo bastantes consejos y opiniones sensatas durante la preparación del libro. La revisión del texto original en portugués la hicieron Levi Lopes de Lima, Ricar-do GalRicar-do Camelier y Rui Tojeiro. A todas estas personas debo mis agradecimientos cordiales.

La publicación de la edición original brasileña fue financiada por la CAPES; con su director, profesor José Ubirajara Alves, estoy en deuda por el apoyo y la compresión demostrados.

Rio de Janeiro

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Prefacio a la edici´

on en espa˜

nol

La iniciativa de editar este libro en español se debe al Profesor César Camacho que, con su empeño caracter´ıstico, tuvo la idea, superviso la traducción, cuidó de la impresión y aseguró la publi-cación. Es a él, por lo tanto, que tengo la satisfación de manifestar mis agradecimientos.

También estoy agradecido a Lorenzo Diaz Casado, que hizo la traducción y a Roger Metzger y Francisco León por el trabajo de revisión.

Rio de Janeiro, noviembre de 1997.

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´Indice general

Cap´ıtulo 1. Conjuntos finitos e infinitos 1

1. N´umeros naturales . . . 1

2. Conjuntos finitos . . . 4

3. Conjuntos infinitos . . . 6

4. Conjuntos numerables . . . 7

5. Ejercicios . . . 10

Cap´ıtulo 2. N´umeros reales 13 1. R es un cuerpo . . . 13

2. R es un cuerpo ordenado . . . 15

3. R es un cuerpo completo . . . 18

Cap´ıtulo 3. Sucesiones de n´umeros reales 25 1. Limite de una sucesi´on . . . 25

2. L´ımites y desigualdades . . . 29

3. Operaciones con l´ımites . . . 30

4. L´ımites infinitos . . . 34

Cap´ıtulo 4. Series de n´umeros 41 1. Series convergentes . . . 41

2. Series absolutamente convergentes . . . 44

3. Criterios de convergencia . . . 45

4. Reordenaciones . . . 48

Cap´ıtulo 5. Algunas nociones de topolog´ıa 53 1. Conjuntos abiertos . . . 53

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10 ´INDICE GENERAL

3. Puntos de acumulaci´on . . . 57

4. Conjuntos compactos . . . 59

5. El conjunto de Cantor . . . 61

Cap´ıtulo 6. L´ımites de funciones 69 1. Definici´on y primeras propiedades . . . 69

2. L´ımites laterales . . . 74

3. L´ımites en el infinito . . . 77

Cap´ıtulo 7. Funciones continuas 83 1. Definici´on y propiedades b´asicas . . . 83

2. Funciones continuas en un intervalo . . . 86

3. Funciones continuas en conjuntos compactos . . . 90

4. Continuidad uniforme . . . 93

Cap´ıtulo 8. Derivadas 101 1. La noci´on de derivada . . . 102

2. Reglas de derivaci´on . . . 105

3. Derivada y crecimiento local . . . 107

4. Funciones derivables en un intervalo . . . 109

Cap´ıtulo 9. F´ormula de Taylor y aplicaciones de la de-rivada 117 1. F´ormula de Taylor . . . 117

2. Funciones c´oncavas y convexas . . . 121

3. Aproximaciones sucesivas y el m´etodo de Newton . . . 127

Cap´ıtulo 10. La integral de Riemann 135 1. Revisi´on de sup e ´ınf . . . 135

2. Integral de Riemann . . . 137

3. Propiedades de la integral . . . 141

4. Condiciones suficientes para la integrabilidad . . . 145

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Cap´ıtulo 11. C´alculo con integrales 151

1. Teorema cl´asicos del C´alculo Integral . . . 151

2. La integral como l´ımite de sumas de Riemann . . . 155

3. Logaritmos y exponenciales . . . 157

4. Integrales impropias . . . 161

Cap´ıtulo 12. Sucesiones y series de funciones 171 1. Convergencia puntual y convergencia uniforme . . . . 171

2. Propiedades de la convergencia uniforme . . . 175

3. Series de potencias . . . 180

4. Series trigonom´etricas . . . 184

5. Series de Taylor . . . 186

5. Ejercicios . . . 189 Cap´ıtulo 13. Soluciones de los ejercicios 193

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1 Conjuntos finitos

e infinitos

En este cap´ıtulo se establecerá con precisión la diferencia entre con-junto finito y concon-junto infinito. También se hará la distinción entre conjunto numerable y conjunto no numerable. El punto de partida es el conjunto de los números naturales.

1. N´umeros naturales

El conjunto N de los n´umeros naturales se caracteriza por las siguientes propiedades:

1. Existe una funci´on inyectiva s : N → N. La imagen s(n) de cada n´umero natural n se llama sucesor den.

2. Existe un ´unico n´umero natural 1_≤ Ntal que 1₆=s(n) para todo n_∈N.

3. Si un conjuntoX _⊂Nes tal que 1 _∈X y s(X)_⊂X (esto es, n _∈X _⇒s(n)_∈X) entonces X =N.

Estas afirmaciones pueden ser reformuladas as´ı:

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2 Conjuntos Finitos Cap. 1

1′_{. Todo n´}_{umero natural tiene un sucesor, que tambi´en es un n´}

ume-ro natural; n´umeros diferentes tienen sucesores diferentes. 2′_{. Existe un ´}_{unico n´}_{umero natural que no es sucesor de ninguno.}

3′_{. Si un conjunto de n´}_{umeros naturales contine el n´}_{umero 1 y}

tam-bi´en contiene el sucesor de cada uno de sus elementos, entonces ese conjunto contiene a todos los n´umeros naturales.

Las propiedades 1, 2, 3 de arriba se llaman axiomas de Peano. El axioma 3 es conocido como “principio de inducción”. Intuitiva-mente, éste significa que todo número natural puede obtenerse a partir del 1, tomando su sucesor s(1), el sucesor de éste, s(s(1)) y as´ı en adelante, en un número finito de etapas. (Evidentemente “número finito” es una expresión que, en este momento, no tiene todav´ıa significado. La formulación del axioma 3 es una manera extraordinariamente hábil de evitar la introducción de un nuevo principio hasta que la noción de conjunto finito esté dada).

El principio de inducción es la base de un método para demos-trar teoremas sobre números naturales, conocido como elmétodo de inducción (o recurrencia), que funciona as´ı: “si una propiedadP es válida para el número 1 y si, suponiendo P válida para el número n, como consecuencia se tiene que P también es válida para su su-cesor, entonces P es válida para todos los números naturales”.

Como ejemplo de demostración por inducción, probaremos que para todo n _∈ N, se tiene s(n) ₆= n. Esta afirmación es verdedara cuando n = 1, porque el axioma 2 se tiene 1 ₆= s(n) para todo n, luego, en particular, 1 ₆= s(1). Si suponemos verdadera la afirma-ción para algún n _∈ N, se cumple n ₆=s(n). Como la función s es inyectiva, entonces s(n)₆=s(s(n)), esto es, la firmación es verdade-ra paverdade-ras(n).

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defi-Secci´on 1 N´umeros naturales 3

nici´on:

m+ 1 = s(m) ;

m+s(n) = s(m+n), esto es, m+ (n+ 1) = (m+n) + 1; m_·1 = m

m_·(n+ 1) = m_·n+m.

Con otras palabras: sumar 1 a m significa tomar su sucesor. Y una vez conocida la suma m+n también es conocido m+ (n+ 1), que es el sucesor de m+n. En cuanto a la multiplicación: multi-plicar por 1 no altera el número. Y conocido el producto m_·n es conocidom_·(n+ 1) =m_·n+m. La demostración de la existencia de las operaciones + y _· con las propiedades anteriores, as´ı como su unicidad, se hace por inducción. Los detalles se omiten aqui. El lector interesado puede consultar el “Curso de Análisis Matemáti-co”, vol. 1, o las referencias bibliográficas de dicho libro, donde se demuestran (inductivamente) las siguientes propiedades de la adi-ción y la multiplicaadi-ción:

asociativa: (m+n) +p=m+ (n+p), m_·(n_·p) = (m_·n)_·p; distributiva: m_·(n+p) =m_·n+m_·p;

conmutativa: m+n =n+m, m_·n=n_·m;

ley de corte: m+n =m+p_⇒m=p, m_·n=m_·p_⇒n=p. Dados dos números reales m, n se escribe m < n cuando existe p _∈ N tal que m+p = n. Se dice que m es menor que n. La no-tación m _≤ n significa que m < n ó m = n. Se puede probar que m < n y n < p _⇒ m < p (transitividad) y que dados m, n _∈ N cualesquiera, se cumple una, y sólo una, de estas tres posibilidades: m < n,m =n óm > n.

Una de las propiedades m´as importantes de la relaci´on de orden

m < n entre números naturales es el llamado principio de buena ordenación, enunciado y probado a continuación.

Todo subconjunto no vac´ıo A _⊂ N posee un menor elemento, esto es, un elemento n0 _∈A tal que n0 _≤n para todo n _∈A.

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1 es el menor elemento de A. Si 1 _∈/ A entonces consideramos el conjuntoX de los n´umeros naturalesn tales queIn ⊂N−A. Como

I1 = _{1_{} ⊂} N−A, vemos que 1 _∈ X. Por otra parte, como A no es vac´ıo, conclu´ımos que X ₆=N. Luego la conclusi´on del axioma 3 no es v´alida. Se sigue que debe existir n _∈ X tal que n+ 1 _∈/ X. EntoncesIn={1,2, . . . , n} ⊂N−A yn0 =n+ 1∈A. Por lo tanto

n0 es el menor elemento del conjunto A.

2. Conjuntos finitos

Continuaremos usando la notaci´on In = {p ∈ N;p ≤ n}. Un

conjuntoXse dice finito cuando es vac´ıo o bien existenn _∈Ny una biyecci´on f :In → X. Escribiendo x1 = f(1), x2 =f(2), . . . , xn =

f(n) tenemos X = _{x1, . . . , xn}. La biyecci´on f se llama

enume-ración de los elemento de X, y el número n se llama número de elementos o cardinal del conjunto finito X. El Corolario 1 más adelante prueba que el cardinal está bien definido, esto es, que no depende de la enumeración f escogida.

Lema 1. Si existe una biyecci´onf :X _→Y, entonces dadosa_∈X

y b_∈Y tambi´en existe una biyecci´on g :X _→Y tal que g(a) =b.

Demostraci´on: Sea b′ ₌_{f(a). Como}_f _{es sobreyectiva, existe}_a′ _∈

Xtal quef(a′_{) =}_{b. Definamos}_g _:_X _→_Y _como_{g(a) =}_b,_g(a′_{) =}_b′

y g(x) =f(x) si x_∈X no es igual ni a a ni a b. Es f´acil ver que g es una biyecci´on.

Teorema 1. SiA es un subconjunto propio deIn, no puede existir

una biyecci´on f :A _→In.

Demostración: Supongamos, por reducción al absurdo, que el teorema sea falso y consideremos n0 _∈ N el menor número na-tural para el que existen un subconjunto propio A _⊂ In0 y una

biyecci´on f :A_→In0. Si n0 ∈A entonces, por el Lema, existe una

biyecci´ong :A_→In0 cong(n0) =n0. En este caso la restricci´on de

g aA_{− {}n0_} es una biyecci´on del subconjunto propio A_{− {}n0_} en In0−1, lo que contradice la minimalidad de n0. Si, por el contrario,

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Secci´on 2 Conjuntos finitos 5

restricci´on de f al subconjunto propio A_{− {}a_{} ⊂} In0−1 ser´ıa una

biyecci´on en In0−1, lo que de nuevo contradice la minimalidad de

n0.

Corolario 1. Sif :Im →Xyg :In→Xson biyecciones, entonces

m=n.

En efecto, si tuvi´esemosm < nentoncesInser´ıa un subconjunto

propio de In, lo que violar´ıa el Teorema 1, pues g−1◦f =Im →In

es una biyecci´on. An´alogamente se demuestra que no es posible m < n. Luegom =n.

Corolario 2. Sea Xun conjunto finito. Una aplicaci´onf :X _→X

es inyectiva si, y s´olo si, es sobreyectiva.

En efecto, existe una biyecci´on ϕ : In → X. La aplicaci´on f :

X _→X es inyectiva o sobreyectiva si, y s´olo si,ϕ−1_◦_f_◦_ϕ_:_I

n→In

lo es. Luego podemos considerar f : In → In. Si f es inyectiva

entonces tomando A =f(In) tendremos una biyecci´on f−1 : A →

In. Por el Teorema 1, A=In y f es sobreyectiva, Rec´ıprocamente,

si f es sobreyectiva entonces, para cada x _∈ In podemos escoger

y = g(x) _∈ In tal que f(y) = e. Entonces g es inyectiva y, por lo

que acabamos de probar, g es sobreyectiva. As´ı, si y1, y2 _∈ In son

tales quef(y1) =f(y2), tomamosx1, x2 con g(x1) =y1,g(x2) = y2 y tendremos x1 = f _◦g(x1) = f(y1) = f(y2) = f(g(x2)) = x2, de donde y1 =g(x1) = g(x2) =y2, luegof es inyectiva.

Corolario 3. No puede existir una biyecci´on entre un conjunto finito y una parte propia de ´este.

El Corolario 3 es una mera reformulaci´on del Teorema 1. Teorema 2. Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.

Demostraci´on: En primer lugar probaremos el siguiente caso par-ticular: siX es finito ya _∈X entoncesX_{− {}a_}es finito. En efecto, existe una biyecci´on f : In → X que, por el Lema, podemos

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evidente siX =∅´on= 1. Supongamos el Teorema verdadero para conjuntos de n elementos, sean X un conjunto de n+ 1 elementos e Y un subconjunto de X. Si Y =X no hay nada que probar. En caso contrario, existe a _∈ X tal que a /_∈ Y. Entonces tambi´en se cumple Y _⊂ X_{− {}a_}. Como X_{− {}a_} tiene n elementos, se sigue que Y es finito.

Corolario 1. Dada f : X _→ Y, si Y es finito y f es inyectiva entonces X es finito; si X es finito y f es sobreyectiva entonces Y

es finito.

En efecto, si f es inyectiva entonces es una biyecci´on de X en el subconjunto f(X) del conjunto finito Y. Por otra parte, si f es sobreyectiva y X es finito entonces, para cada y _∈ Y podemos elegir x = g(y) _∈ X tal que f(x) = y. Esto define una aplicaci´on g :Y _→ X tal que f(g(y)) = y para todo y _∈Y. Se concluye que g es inyectiva luego, por lo que acabamos de probar, Y es finito.

Un subconjunto X _⊂Nse dice acotado cuando existe p_∈N tal que x_≤ ppara todo x_∈X.

Corolario 2. Un subconjuntoX _⊂Nes finito si, y s´olo si, est´a aco-tado.

En efecto, si X = _{x1, . . . , xn} ⊂ N es finito, tomando p =

x1 +_{· · ·}+xn vemos que x ∈ X ⇒ x < p, luego X est´a acotado.

Rec´ıprocamente, si X _⊂ N est´a acotado entonces X _⊂ Ip para

alg´un p_∈N, por tanto del Teorema 2 se sigue que X es finito.

3. Conjuntos infinitos

Se dice que un conjunto esinfinito cuando no es finito. As´ı,Xes infinito cuando ni es el conjunto vac´ıo ni existe para ning´un n_∈N una biyecci´on f :In →X.

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Secci´on 4 Conjuntos numerables 7

Demostraci´on: Para cada subconjunto no vac´ıo A _⊂ X escoge-mos un elemento xA ∈ A. A continuaci´on, definimos f : N → X

inductivamente. Hacemos f(1) = xX y, suponiendo ya definidos

f(1), . . . , f(n), escribimos An =X− {f(1), . . . , f(n)}. Como X es

infinito An no es vac´ıo. Entonces definimos f(n+ 1) = xAn. Esto

completa la definici´on de f. Para probar que f es inyectiva, sean m, n _∈ N, por ejemplo m < n. Entonces f(m) _{∈ {}f(1), . . . , f(n₋ 1)_} mientras que f(n) _∈ X_{− {}f(1), . . . , f(n₋1)_}, luego f(m) ₆= f(n).

Corolario. Un conjunto X es infinito si, y s´olo si, existe una bi-yecci´on ϕ:X _→Y es un subconjunto propioY _⊂X.

En efecto, sea X infinito y f : N → X una aplicaci´on inyec-tiva. Escribimos, para cada n _∈ N, f(n) = xn. Consideremos el

subconjunto propioY =X_{− {}x1}. Definimos entonces la biyecci´on ϕ : X _→ Y tomando ϕ(x) = x si x no es ninguno de los xn y

ϕ(xn) = xn+1 (n ∈ N). Rec´ıprocamente, si existe una biyecci´on de X en un subconjunto propio entonces X es infinito, en virtud del Corolario 3 del Teorema 1.

Si N1 = N− {1} entonces ϕ : N → N1, ϕ(n) = n + 1, es una biyecci´on de N en su subconjunto propio N1 = {2,3, . . .}. De forma general, dado p _∈ N podemos considerar Np = {p+ 1, p+

2, . . ._} y definir la biyecci´on ϕ : N → Np, ϕ(n) = n + p. Este

tipo de fenómenos ya eran conocidos por Galileo, el primero en observar que “hay tantos números pares como números naturales”, que demostró que si P =_{2,4,6, . . ._}es el conjunto de los números pares entonces ϕ : N→ P, dada por ϕ(n) = 2n, es una biyección. Evidentemente, si I = _{1,3,5, . . ._} es el conjunto de los número impares, entonces ψ : N → I, ψ(n) = 2n ₋ 1, también es una biyección. En estos dos últimos ejemplos, N−P =I y N−I = P son infinitos, mientras que N−Np ={1,2, . . . , p} es finito.

4. Conjuntos numerables

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Teorema 4. Todo subconjunto X _⊂N es numerable.

Demostraci´on: Si X es finito no hay nada que demostrar. En caso contrario, numeramos los elementos de X tomando x1 = me-nor elemento de X. Suponiendo definidos x1 < x2 < · · · < xn,

escribimos An = X− {x1, . . . , xn}. Observando que A 6= ∅, pues

X es infinito, definimos xn+1 = menor elemento de An. Entonces

X =_{x1, x2, . . . , xn, . . .}. En efecto, si existiese alg´un elemento de

Xdiferente de todos losxntendr´ıamos quex∈Anpara todon∈N,

luegox ser´ıa un n´umero natural mayor que todos los elementos del conjunto infinito _{x1, . . . , xn, . . .}, lo que contradice el Corolario 2

de Teorema 2.

Corolario 1. Sea f : X _→ Y inyectiva. Si Y es numerable X

tambi´en lo es. En particular, todo subconjunto de un conjunto nu-merable es nunu-merable.

En efecto, basta considerar el caso en que existe una biyección ϕ : Y _→ N. Entonces ϕ_◦f : X _→ N es una biyección de X en un subconjunto de N, que es numerable, por el Teorema 4. En el caso particular X _⊂ Y, tomamos f : X _→ Y igual a la aplicación inclusión.

Corolario 2. Sea f : X _→ Y sobreyectiva. Si X es numerable entonces Y tambi´en lo es.

En efecto, para cada y _∈ Y podemos tomar x = g(y) _∈ X tal que f(x) = y. Esto define una aplicaci´on g : Y _→ X tal que f(g(y)) = y para todo y _∈ Y. De donde se concluye que g es inyectiva. Por el Corolario 1, Y es numerable.

Corolario 3. El producto cartesiano de dos conjuntos numerables es un conjunto numerable.

En efecto, siXeY son numerables entonces existen aplicaciones sobreyectivas f :N →X y g :N → Y, luego ϕ : N×N → X_×Y dada por ϕ(m, n) = (f(m), g(n)) es sobreyectiva. Por tanto, es suficiente probar que N×N es numerable. Para esto consideremos la aplicaci´on ψ : N×N → N dada por ψ(m, n) = 3m _·₂n_{. Por la}

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Secci´on 4 Conjuntos numerables 9

Corolario 4. La uni´on de una familia numerable de conjuntos nu-merables es numerable.

Tomando X = S∞

n=1Xn, definimos la aplicaci´on sobreyectiva f :N×N→X haciendo f(m, n) =fn(m), El caso de uni´on finita

se reduce al caso anterior ya queX =X1∪X2∪· · ·∪Xn∪Xn+1∪· · ·.

El Teorema 3 significa que el infinito numerable es el “menor”de los infinitos. En efecto, el teorema se puede reformular como sigue:

Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numera-ble.

Ejemplo 1. El conjuntoZ=_{. . . ,₋2,₋1,0,1,2, . . ._}de los n´ ume-rosenteros es numerable. Se puede definir una biyecciónf :N→Z como f(n) = (n₋1)/2 si n es impar y f(n) =₋n/2 si n es par. Ejemplo 2. El conjunto Q = _{m/n : m, n _∈ Z, n ₆= 0_} de los números racionales es numerable. En efecto, si escribimos Z∗ ₌ Z− {0_} podemos definir una función sobreyectiva f :Z×Z∗ _→_Q

como f(m, n) = m/n.

Ejemplo 3. (Un conjunto no numerable). Sea S el conjunto de todas las sucesiones infinitas formadas con los s´ımbolos 0 y 1, como por ejemplo s = (0 1 1 0 0 0 1 0. . .). Con otras palabras, S es el conjunto de todas las funciones s : N → {0,1_}. Para cada n _∈ N, el valor s(n), igual a 0 ó 1, es el n-ésimo término de la sucesión s. Afirmamos que ningún subconjunto numerable X =

{s1, s2, . . . , sn, . . .} ⊂S es igual aS. En efecto, dadoX, indiquemos

mediante snn eln-ésimo término de la sucesión sn∈X. Formamos

una nueva sucesión s∗ _∈_X _{tomando el} _{n-ésimo término de}_s∗ _igual

a 0 si snn = 0. La sucesi´on s∗ no pertenece al conjunto X porque

su n-ésimo término es diferente del n-ésimo término de sn. (Este

argumento, debido a G. Cantor, es conocido como “m´etodo de la diagonal”).

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5. Ejercicios

Secci´on 1: N´umeros naturales

1. Usando el m´etodo de inducci´on, pruebe que (a) 1 + 2 +_{· · ·}+n =n(n+ 1)/2. (b) 1 + 3 + 5 +_{· · ·}+ (2n₋1) =n2_.

2. Dados m, n_∈N con n > m, pruebe que ó n es múltiplo de m o que existen q, r _∈Ntales que n=mq+r, r < m. Pruebe que q y r son únicos con esta propiedad.

3. SeaX _⊂Nun subconjunto no vac´ıo tal quem, n_∈X _⇔m, m+ n _∈X. Pruebe que existe k_∈N tal que X es el conjunto de los m´ultiplos de k.

4. Dado n_∈N, pruebe que no existe x_∈N tal quen < x < n+ 1. 5. Obtenga el principio de inducci´on como consecuencia del

princi-pio de buena ordenaci´on. Secci´on 2: Conjuntos finitos

1. Indicando mediant card X el n´umero de elementos del conjunto finito X, pruebe que:

(a) Si X es finito e Y _⊂X, entonces card Y _≤card X. (b) Si X e Y son finitos, entoncesX_∪Y es finito y

card (X_∪Y) = cardX+ cardY ₋card (X_∩Y). (c) Si X e Y son finitos, entoncesX_×Y es finito y

card(X_×Y) = cardX_·cardY.

2. Sea _P(X) el conjunto cuyos elementos son los subconjuntos de X. Pruebe, usando el m´etodo deinducci´on, que si X es finito entonces card_P(X) = 2cardX_.

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Secci´on 4 Ejercicios 11

4. Pruebe que todo conjunto finito X de n´umeros naturales posee un elemento m´aximo (esto es, existe x0 _∈ X tal que x _≤ x0

∀x_∈X).

Secci´on 3: Conjuntos infinitos 1. Dada f :X _→Y, pruebe que:

(a) SiX es infinito y f es inyectiva entonces Y es infinito. (b) SiY es infinito y f es sobreyectiva entonces X es infinito. 2. SeanX un conjunto finito e Y un conjunto infinito. Pruebe que

existe una funci´on inyectivaf :X _→Y y una funci´on sobreyec-tivag :Y _→X.

3. Pruebe que el conjunto _P de los números primos es infinito. 4. Dé un ejemplo de una sucesión decreciente X1 _⊃ X2 _{⊃ · · · ⊃}

Xn ⊃ · · · de conjuntos infinitos cuya intersecci´on T∞n=1Xn sea

vac´ıa.

Secci´on 4: Conjuntos numerables

1. Definaf :N×N→Nmediantef(1, n) = 2n₋1 y f(n+ 1, n) = 2n_(2n₋_{1). Pruebe que} _f _{es una biyecci´on.}

2. Pruebe que existe g : N → N sobreyectiva tal que g−1_{(n) es} infinito para cada n_∈N.

3. Escriba N = N1 ∪N2 ∪ · · · ∪Nn ∪ · · · como uni´on inifnita de

subconjuntos infinitos disjuntos dos a dos.

4. Para cada n _∈ N, sea _Pn = {X ⊂ N : cardX = n}.

Prue-be que _Pn es numerable. Concluya que el conjunto Pf de los

subconjuntos finitos de N es numerable.

5. Pruebe que el conjunto _P(N) de todos los subconjuntos deNno es numerable.

(24)

(25)

2 N´

umeros reales

El conjunto de los números reales se denotará porR. En este cap´ıtu-lo haremos una descripción completa de sus propiedades; éstas, as´ı como sus consecuencias, se utilizarán en los próximos cap´ıtu-los.

1. R

es un cuerpo

Esto significa que enRest´an definidas dos operaciones, llamadas

adición ymultiplicación, que cumplen ciertas condiciones, especifi-cadas a continuación.

La adici´on hace corresponder a cada par de elementos x, y _∈R, su suma x+y _∈ R, mientras que la multiplicaci´on asocia a estos elementos su producto x_·y_∈R.

Los axiomas a los que obedecen estas operaciones son:

Asociatividad: para cualesquiera x, y, z _∈ R se tiene (x+y) +z = x+ (y+z) y x_·(y_·z) = (x_·y)_·z.

Conmutatividad: para cualesquiera x, y _∈R se tiene x+y =y+x y x_·y=y_·x.

Elementos neutros: existen enR dos elementos distintos 0 y 1 tales que x+ 0 =x y x_·1 =x para cualquier x_∈R.

(26)

14 N´umeros reales Cap. 2

Inversos: todo x _∈ R posee un inverso aditivo ₋x _∈ R tal que x+ (₋x) = 0 y si x ₆= 0, tambi´en existe un inverso multiplicativo

x−1 _∈_R _{tal que} _x_·_x−1 _{= 1.}

Distributividad: para cualesquiera x, y, z _∈ R se tienex_·(y+z) = x_·y+x_·z.

De estos axiomas resultan todas las reglas familiares del c´alculo con n´umeros reales. A t´ıtulo de ejemplo, establecemos algunas.

De la conmutatividad resulta que 0 +x=x y ₋x+x= 0 para todo x _∈ R. Análogamente, 1_·x = 1 y x−1 _·_x _{= 1 cuando} _x ₆_{= 0.} La suma x+ (₋y) se indicará conx₋y y se llamadiferencia entre xey. Siy₆= 0, el productox_·y−1 _{también se representará por}_x/y y se llamará cociente entre x e y. Las operaciones (x, y) _→ x₋y y (x, y)_→x/y se llaman, respectivamente, substracción y división. Evidentemente, la división de x por y sólo tiene sentido cuando y₆= 0, pues el número 0 no tiene inverso multiplicativo.

De la distributividad se concluye que, para todo x_∈R, se tiene x_·0 +x = x_·0 +x_·1 = x_·(0 + 1) = x_·1 = x. Sumando ₋x a ambos miembros de la igualdad x_·+x=xobtenemos x_·0 = 0.

Por otro parte, si x_·y= 0 podemos concluir que x= 0 ´oy= 0. En efecto, si y ₆= 0 entonces podemos multiplicar ambos miembros de la igualdad por y−1 _{y obtenemos} _x_·_y_·_y−1 _{= 0}_·_y−1_{, de donde} x= 0.

También es resultado de la distributividad la “regla de los sig-nos”: x_·(₋y) = (₋x) _·y = ₋(x _·y) y (₋x)_·(₋y) = x_· y. En efecto, x_·(₋y) + x_·y = x_·(₋y+y) = x_·0, sumando ₋(x_·y) a ambos miembros de la igualdad x_· (₋y) + x_· y = 0 se tiene x_· (₋y) = ₋(x _· y). Análogamente, (₋x)_· y = ₋(x_· y). Luego (₋x)_·(₋y) = ₋[x _·(₋y)] = ₋[₋(x_· y)] = x _·y. En particular (₋1)_·(₋1) = 1. (Observación: la igualdad ₋(₋z) = z, anterior-mente usada, resulta al sumar z a ambos miembros de la igualdad

−(₋z) + (₋z) = 0.)

(27)

Secci´on 2 Res un cuerpo ordenado 15

x=_±y. En efecto, six2 ₌_y2 _{entonces 0 =} _x2₋_y2 _{= (x}₋_y)(x₊_y), y como sabemos, el producto de dos n´umeros reales s´olo es cero si al menos uno de los factores es nulo.

2. R

es un cuerpo ordenado

Esto significa que existe un subconjunto R+ _⊂_R _llamado con-junto de losn´umeros reales positivos, que cumple las siguientes con-diciones:

P1. La suma y el producto de n´umeros reales positivos son positi-vos. O sea,x, y _∈R+ _⇒_x₊_y_∈_R+ _y _x_·_y_∈_R+_.

P2. Dado x _∈ R se verifica una, y sólo una, de las 3 alternativas siguientes: ó x= 0, ó x_∈R+ _ó ₋_x_∈_R+_.

Si indicamos mediante R− _{al conjunto de los n´}_umeros₋_x,

don-dex_∈R+_{, la condici´on P2 nos dice que}_R₌_R+_∪_R−_{∪ {}₀_}_{, y que}

los conjuntos R+_, _R− _y _{₀_} _{son disjuntos dos a dos. Los n´}_umeros

y_∈R− _{se llaman} _negativos_.

Todo n´umero real x ₆= 0 tiene cuadrado positivo. En efecto, si x _∈ R+ _entonces _x2 ₌ _x _· _x _∈ _R+ _{por P1. Si} _{x /}_∈ _R+ en-tonces (como x ₆= 0) ₋x _∈ R+_{, luego, tambi´en por P1, tenemos} x2 _{= (}₋_x)_·₍₋_x) _∈ _R+_{. En particular, 1 es un n´}_{umero positivo,} pues 1 = 12_.

Se escribe x < y, y se dice que x es menor que y, cuando y₋x _∈ R+_{, esto es,} _y ₌ _x ₊_z _donde _z _{es positivo. En este} ca-so, tambi´en se escribe y > x, y se dice que y es mayor que x. En particular, x > 0 significa que x _∈ R+_{, esto es, que} _x _{es positivo,} mientras que x < 0 quiere decir que x es negativo, esto es, que

−x_∈R+_.

Se tiene las siguientes propiedades para la relaci´on de orden x < y en R:

O1. Transitiva: six < y e y < z entonces x < z.

(28)

O3. Monoton´ıa de la adici´on: si x < y entonces, para todo z _∈R, se tienex+z < y+z.

O4. Monoton´ıa de la multiplicaci´on: si x < y entonces para todo z >0 se tienex_·z < y_·z. Si, por el contrario, z <0 entonces x < y implica x_·z > y_·z.

Demostraci´on: O1. x < y e y < z significan y ₋ x _∈ R+ _e z ₋y _∈ R+_{. De P1 se sigue que (y} ₋_{x) + (z} ₋ _y) _∈ _R+_{, esto} es, z₋x_∈R+_{, o sea,}_{x < z.}

O2. Dados x, y _∈R, óy₋x_∈R+_{, ó}_y₋_x_{= 0 ó} _y₋_x_∈_R− _(esto

es, x₋y _∈ R+_{). En el primer caso se tiene} _{x < y, en el segundo} x = y y en tercero y < x. Por P2 estas posibilidades se excluyen mutuamente.

O3. Si x < y entonces y₋x _∈ R+_{, de donde (y}₊_z)₋_(x₊_{z) =} y₋x_∈R+_{, esto es} _x₊_{z < y}₊_z.

O4. Si x < y y z > 0 entonces y₋ x _∈ R+ _y _z _∈ _R+_{, luego} (y₋x)_·z _∈R+_{, o sea,} _yz₋_xz _∈_R+_{, lo que significa que} _{xz < yz.} Si x < y y z < 0 entonces y ₋x _∈ R+ _y _y₋_z _∈ _R+_{, de donde} xz₋yz= (y₋x)(₋z)_∈R+_{, lo que significa que} _{yz < xz.}

En general, x < y y x′ _{< y}′ _implican _x ₊_x′ _{< y} ₊_y′ _pues

yy′₋xx′ =yy′₋yx′+yx′₋xx′ =y(y′₋x′) + (y₋x)x′ >0. Si 0 < x < y entonces y−1 _{< x}−1_{. Para probar esto observe} primero que x > 0 _⇒ x−1 ₌ _x(x−1₎2 _> _{0. A continuaci´on} multi-plicando ambos miembros de la desigualdad x < y por x−1_y−1 _se tiene y−1 _{< x}−1_.

Como 1 _∈Res positivo, se sigue que 1<1+1<1+1+1<_{· · ·}. Entonces podemos considerar N ⊂ R. Se tiene Z ⊂R, pues 0 _∈ R y n _∈ R ⇒ −n _∈ R. Adem´as, si m, n _∈ Z, donde n ₆= 0, entonces m/n = mn−1 _∈ _R_{, lo que no permite concluir que} _Q _⊂ _R_{. As´ı,} N⊂Z⊂Q⊂R.

(29)

Secci´on 2 Res un cuerpo ordenado 17

Ejemplo 1. (Desigualdad de Bernoulli) Para todo n´umero real x _{≥ −}1 y todo n _∈ N, se tiene (1 +x)n _≥ _{1 +}_{nx. Esto se}

de-muestra por inducción respecto a n. La desigualdad es obvia si n = 1. Suponiendo la desigualdad válida para n, multiplicamos ambos miembros por el número (1 +x)_≥0 y obtenemos

(1 +x)n+1= (1 +x)n(1 +x)_≥(1 +nx)(1 +x) = 1 +nx+x+nx2 = 1 + (n+ 1)x+nx2

≥ 1 + (n+ 1)x .

Usando el mismo argumento se puede ver que (1 +x)n _> _{1 +}_nx

cuando n >1,x >₋1 yx₆= 0.

La relaci´on de orden de R nos permite definir el valor absoluto

(o m´odulo) de un n´umero real x_∈R como sigue: _|x_| =x si x >0,

|0_|= 0 y _|x_|=₋x si x <0. Con otras palabras, _|x_|= m´ax_{x,₋x_} es el mayor de los n´umeros reales x y ₋x.

Se tiene _−|x_{| ≤}x_{≤ |}x_|para todo x_∈R. En efecto, la desigual-dad x_{≤ |}x_| es obvia, mientras que _−|x_{| ≤}x resulta al multiplicar por ₋1 ambos miembros de la desigualdad₋x_{≤ |}x_|. As´ı podemos caracterizar _|x_|como el ´unico n´umero_≥0 cuyo cuadrado es x2_. Teorema 1. Six, y _∈Rentonces_|x+y_{| ≤ |}x_|+_|y_|y_|x_·y_|=_|x_|·|y_|.

Demostraci´on: Sumando miembro a miembro las desigualdades

|x_{| ≥}x e_|y_{| ≥}y se tiene _|x_|+_|y_{| ≥}x+y. An´alogamente, de _|x_{| ≥}

−xy_|y_{| ≥ −}yresulta_|x_|+_|y_{| ≥ −}(x+y). Luego_|x_|+_|y_{| ≥ |}x+y_|= m´ax_{x+y,₋(x+y)_}. Para probar _|x_·y_| = _|x_{| · |}y_| es suficiente demostrar que estos dos n´umeros tienen el mismo cuadrado, pues ambos son_≥0. Ahora bien, el cuadrado de_|x_·y_|es (x_·y)2 ₌_x2_·_y2_, mientras que (_|x_{| · |}y_|)2₌_|_x_|2_{· |}_y_|2 ₌_x2_·_y2_.

Teorema 2. Sean a, x, δ _∈ R. Se tiene _|x₋a_| < δ si, y s´olo si,

a₋δ < x < a+δ.

(30)

De modo an´alogo se puede ver que _|x₋a_{| ≤}δ _⇔ a₋δ _≤ x_≤ a+δ.

Usaremos la siguiente notaci´on para representar tipos especiales de conjuntos de n´umeros reales, llamados intervalos:

[a, b] =_{x_∈R : a _≤x_≤b_} (_−∞, b] =_{x_∈R : x_≤b_} (a, b) =_{x_∈R : a < x < b_} (_−∞, b) =_{x_∈R : x < b_} [a, b) =_{x_∈R : a_≤x < b_} [a,_∞) =_{x_∈R : a_≤x_} (a, b] =_{x_∈R : a < x_≤b_} (a,+_∞) =_{x_∈R : a < x_}

(_−∞,+_∞) = R

Los cuatro intervalos de la izquierda est´an acotados, sus extre-mos son a, b; [a, b] es un intervalo cerrado, (a, b) es abierto, [a, b) es

cerrado por la izquierda y (a, b] cerrado por la derecha. Los cinco intervalos a la derecha son no acotados: (_−∞, b] es la semirrecta cerrada a la derecha con origen en b. Los dem´as tienen denomina-ciones an´alogas. Cuando a = b, el intervalo [a, b] se reduce a un ´

unico elemento y se llama intervalo degenerado.

En términos de intervalos, el Teorema 2 afirma que _|x₋a_|< δ si, y sólo si, x pertenece al intervalo abierto (a₋δ, a+δ). Análo-gamente,_|x₋a_{| ≤}δ_⇔x_∈[a₋δ, a+δ].

Es muy útil imaginar el conjunto R como una recta (la “recta real”) y los número reales como sus puntos. Entonces la relaciónx < ysignifica que el puntoxestá a la izquierda dey(eya la derecha de x), los intervalos son segmentos de la recta y_|x₋y_|es la distancia del punto x al punto y. As´ı, el significado del Teorema 2 es que el intervalo (a₋δ, a+δ) está formado por los puntos que distan menos que δ del punto a. Tales interpretaciones geométricas constituyen un valioso auxilio para comprender los conceptos y teoremas del Análisis Matemático.

3. R es un cuerpo completo

(31)

Secci´on 3 Res un cuerpo completo 19

cumple Q.

Un conjunto X _⊂Rse diceacotado superiormente cuando exis-teb _∈R tal quex_≤b para todo x_∈X. En este caso se dice que b es una cota superior de X. Análogamente, se dice que el conjunto X está acotado inferiormente cuando existe a _∈ R tal que a _≤ x para todo x _∈ X. Entonces el número a es una cota inferior de X. Si X está acotado superiormente e inferiormente se dice que es un conjunto acotado. Esto significa que X está contenido en algún intervalo acotado de la forma [a, b], o, equivalentemente, que existe k >0 tal que x_∈X _{⇒ |}x_{| ≤}k.

Sea X _⊂Racotado superiormente y no vac´ıo. Un n´umerob _∈R se llama supremo del conjunto X cuando es la menor de las cotas superiores de X. De forma expl´ıcita, b es el supremo de X cuando se cumple las dos condiciones siguientes:

S1. Para todox _∈X se tiene x_≤b.

S2. Si c_∈R es tal que x_≤cpara todox_∈X, entonces b_≤c. La condici´on S2 admite la siguiente reformulaci´on

S2′_{. Si} _{c < b}_{entonces existe} _x_∈_X _{tal que} _{c < x.}

En efecto, S2′ _{afirma que ning´}_{un n´}_{umero real menor que}_b_puede

ser una cota superior de X. A veces S2′ _{se escribe as´ı: para todo}

ε >0 existe x_∈X tal que b₋ε < x.

Escribimos b= supX para indicar queb es el supremo del con-junto X.

An´alogamente, si X es un conjunto no vac´ıo acotado, inferior-mente se dice que un n´umero real a es el´ınfimo deX, y se escribe a= ´ınfX, cuando es la mayor de las cotas inferiores de X. Esto es equivalente a las dos afirmaciones siguientes:

I1. Para todo x_∈X se tiene a _≤x.

(32)

I2′_{. Si} _{a < c} _{entonces existe} _x_∈_X _{tal que} _{x < c.}

De hecho, I2′ _{nos dice que ning´}_{un n´}_{umero mayor que} _a _{es una}

cota inferior deX. Equivalentemente: para todoε >0 existex_∈X tal que x < a+ε.

Se dice que un número b _∈ X es el máximo del conjunto X cuando b _≥ x para todo x _∈ X. Esto quiere decir que b es una cota superior deX que pertenece a X. Por ejemplob es el máximo del intervalo [a, b], sin embargo el intervalo [a, b) no posee máximo. Evidentemente, si un conjuntoXposee un máximo éste es su supre-mo. La noción de supremo sirve precisamente para substituir a la idea de máximo de un conjunto cuando éste no existe. El supremo del conjunto [a, b) esb. Se pueden hacer consideraciones totalmente análogas con relación al ´ınfimo.

Afirmar que el cuerpo ordenado R escompleto significa afirmar que todo conjunto no vac´ıo y acotado superiormente X _⊂Rposee un supremo b= supX.

No es necesario postular también que todo conjunto no vac´ıo y acotado inferiormente posee un ´ınfimo. En efecto, en este caso el conjunto Y = _{−x : x _∈ X_} no es vac´ıo y está acotado superior-mente, luego posee un supremob _∈R. Entonces, como se puede ver fácilmente, el número a=₋b es el ´ınfimo de X.

A continuaci´on veremos algunas consecuencias de la completitud deR.

Teorema 3.

i) El conjunto N ⊂ R de los n´umero naturales no est´a acotado superiormente;

ii) El ´ınfimo del conjunto X =_{1/n : n_∈N} es igual a 0; iii) Dadosa, b_∈R+_{, existe} _n_∈_N _{tal que} _n_·_{a > b}_.

(33)

Secci´on 3 Res un cuerpo completo 21

c no ser´ıa una cota superior de N. Esta contradicci´on prueba i). Respecto a ii): 0 es, evidentemente, una cota inferior deX. Enton-ces basta probar que cualquier c >0 no es un cota inferior de X. Ahora bien, dado c >0, existe, por i), un n´umero naturaln >1/c, de donde 1/n < c, lo que prueba ii). Finalmente, dados a, b _∈ R+ usamos i) para obtener n_∈N tal quen > b/a. Entonces na > b, lo que demuestra iii).

Las propiedades i), ii) y iii) del teorema anterior son equivalentes y significan que R es un cuerpo arquimediano. En realidad, iii) se debe al matem´atico griego Eudoxo, que vivi´o algunos siglos antes que Arqu´ımedes.

Teorema 4. (Principio de los intervalos encajados) Dada una sucesi´on decreciente I1 _⊃ I2 _{⊃ · · · ⊃} In ⊃ · · · de intervalos

cerrados y acotados, In = [an, bn], existe al menos un n´umero real

c tal quec_∈In para todo n∈N.

Demostraci´on: Las inclusiones In ⊃In+1 significan que a1 _≤a2 _{≤ · · · ≤}an≤ · · · ≤bn ≤ · · · ≤b2 ≤b1.

El conjunto A=_{a1, a2, . . . , an, . . .} est´a, por tanto, acotado

supe-riormente; sea c= supA. Evidentemente, an≤ cpara todo n ∈N.

Adem´as, como cada bn es una cota superior de A, tenemosc ≤bn

para todo n_∈N. Por tanto c_∈In para todo n∈N.

Teorema 5. El conjunto de los n´umeros reales no es numerable.

Demostración: Demostraremos que ninguna función f : N → R puede ser sobreyectiva. Para esto, suponiendo f dada, construire-mos una sucesión decrecienteI1 _⊃I2 _{⊃ · · · ⊃}In ⊃ · · · de intervalos

cerrados y acotados tales que f(n)_∈/In. Entonces, sices un n´

ume-ro real que pertenece a todos los In ning´un valor de f(n) puede

ser igual a c, luego f no es sobreyectiva. Para obtener los inter-valos, comenzaremos tomando I1 = [a1, b1] tal que f(1) < a1 y, suponiendo obtenidos I1, I2, . . . , In tales que f(j) ∈/ Ij,

considera-mos In = [an, bn]. Si f(n+ 1) ∈In, al menos uno de los extremos,

por ejemplo an, es diferente de f(n+ 1), esto es, an < f(n+ 1).

En este caso tomamos In+1 = [an+1, bn+1], donde an+1 = an y

(34)

Un número se llama irracional cuando no es racional. Como el conjunto Q de los números racionales es numerable, del teore-ma anterior resulta que existen números irracionales y, aún más, como R = Q∪(R−Q), los irracionales constituyen un conjunto no numerable (por tanto son la “mayor´ıa” de los números reales) pues la unión de dos conjuntos numerables es numerable. Eviden-temente, se pueden exhibir número irracionales expl´ıcitamente. En el Cap´ıtulo 3, Ejemplo 15, veremos que la función f : R → R+_, dada por f(x) = x2_{, es sobreyectiva. Luego existe un n´}_{umero real} positivo, expresado por √2, cuyo cuadrado es igual a 2. Pitágoras y sus disc´ıpulos demostraron que ningún número racional puede te-ner cuadrado igual a 2. (En efecto, si (p/q)2 _{= 2 entonces 2q}2 ₌_p2_, donde p y q son enteros, lo que es absurdo pues el factor primo 2 aparece un número par de veces en la descomposición de p2 _en factores primos y un número impar de veces en la de 2q2_).

Corolario 1. Todo intervalo no degenerado no es numerable.

En efecto, todo intervalo no degenerado contiene un intervalo abierto (a, b). Como la función f : (₋1,1) _→ (a, b), definida como f(x) = 1₂[(b ₋ a)x+ a +b], es una biyección, basta probar que (₋1,1) no es numerable. Ahora bien, la función ϕ : R → (₋1,1), dada por ϕ(x) = x/(1 +_|x_|), es una biyección cuya inversa es ψ : (₋1,1)_→R, definida mediante ψ(y) =y/(1_{− |}y_|), puesϕ(ψ(y)) = y e ψ(ϕ(x)) = x para cualesquiera y _∈ (₋1,1) y x _∈ R, como se puede ver fácilmente.

Teorema 6. Todo intervalo no degeneradoI contiene n´umeros ra-cionales e irrara-cionales.

Demostración: ObviamenteIcontiene números irracionales, pues en caso contrario I ser´ıa numerable. Para probar que I contiene números racionales consideramos [a, b]_⊂I, donde a < b se pueden tomar irracionales. Tomemos n _∈ N tal que 1/n < b ₋ a. Los intervalos Im = [m/n,(m+ 1)/n],m∈Z, cubren la recta real, esto

es, R =S

m∈ZIm. Por lo tanto existe m tal que a∈Im. Como a es

irracional, tenemos m/n < a < (m+ 1)/n. Como 1/n, la longitud del intervalo Im, es menor que b−a, se tiene que (m+ 1)/n < b.

(35)

Secci´on 5 Ejercicios 23

5. Ejercicios

Secci´on 1: R es un cuerpo.

1. Pruebe las siguientes unicidades:

(a) Six+θ=x para todox_∈R entonces θ = 0; (b) Six_·u=x para todox_∈R entonces u= 1;

(c) Six+y= 0 entonces y=₋x; (d) Six_·y= 1 entonces y =x−1_.

2. Dados a, b, c, d_∈ R, si b ₆= 0 y d ₆= 0 pruebe que (a/b+c/d) = (ad+bc)/bd y (a/b)(c/d) = (ac/bd).

3. Si a, b _∈ R, a ₆= 0 y b ₆= 0, pruebe que (ab)−1 ₌ _a−1 _·_b−1 _y concluya que (a/b)−1 ₌_b/a.

4. Pruebe que (1₋xn+1_)/(1₋_{x) = 1 +x}₊_{· · ·}₊_xn _{para todo}_x₆_{= 1.}

Secci´on 2: R es un cuerpo ordenado

1. Para cualesquierax, y, z _∈R, pruebe que_|x₋z_{| ≤ |}x₋y_|+_|y₋z_|. 2. Pruebe que _||x_{| − |}y_{|| ≤ |}x₋y_|para cualesquiera x, y _∈R. 3. Dados x, y _∈R, si x2 ₊_y2_{= 0 pruebe que} _x₌_y_{= 0.}

4. Pruebe por el m´etodo de inducci´on que (1 +x)n _≥ _{1 +}_nx ₊

[n(n₋1)/2]x2 _si _x_≥_0.

5. Para todo x₆= 0, pruebe que (1 +x)2n_>_{1 + 2nx.}

6. Pruebe que _|a₋b_|< ε_{⇒ |}a_|<_|b_|+ε.

7. Usando que el trinomio de segundo grado f(λ) = Pn

i=1(xi +

λyi)2 es ≥0 para todoλ ∈Rpruebe la desigualdad de

Cauchy-Schwarz:

n

X

i=1 xiyi

!2 ≤

n

X

i=1 x2_i

! _n

X

i=1 y_i2

!

(36)

8. Sia1/b1, . . . , an/bn pertenecen al intervalo (α, β) yb1, . . . , bn son

positivos, pruebe que (a1 +_{· · ·}+an)/(b1 +· · ·+bn) pertenece

a (α, β). Con las mismas hip´otesis, si t1, . . . , tn ∈ R+, pruebe

que (t1a1+· · ·+tnan)/(t1b1 +· · ·+tnbn) tambi´en pertenece al

intervalo (α, β).

Secci´on 3: R es un cuerpo ordenado completo

1. Se dice que una funci´on f :X _→R est´a acotada superiormente

cuando su imagen f(X) =_{f(x) : x_∈ X_}es un conjunto aco-tado superiormente. Entonces se escribe sup(f) = sup_{f(x) : x _∈ X_}. Pruebe que si f, g : X _→ R están acotadas superior-mente ocurre lo mismo con la suma f+g : X _→R; además se tiene sup(f +g) _≤ sup(f) + sup(g). Dé un ejemplo en el que sup(f +g) < sup(f) + sup(g). Enuncie y pruebe un resultado análogo con ´ınf.

2. Dadas funciones f, g : X _→ R+ _{acotadas superiormente pruebe} que el producto f _·g :X _→R es una función acotada (superior e inferiormente) tal que sup(f_·g)_≤sup(f) sup(g) e ´ınf(f_·g)_≥ ´ınf(f)_·´ınf(g). Dé ejemplos en los que se tenga < en vez de =. 3. Con las hipótesis del ejercicio anterior demuestre que sup(f2_{) =}

sup(f)2 _{e ´ınf(f}2_{) = ´ınf(f}₎2_.

4. Dados a, b _∈ R+ _con _a2 _< ₂ _{< b}2_{, tome} _{x, y} _∈ _R+ _{tales que} x < 1, x < (2₋a2_)/(2a_{+ 1) e} _{y <} _(b2 ₋_{2)/2b. Pruebe que} (a+x)2 _<₂_<_(b₋_y)2 _{y (b}₋_y)_>_{0. A continuaci´on, considere} el conjunto acotado X = _{a _∈R+ _: _a2 _<₂_} _{y concluya que el} n´umero real c= supX cumple c2 _{= 2.}

5. Pruebe que el conjunto de los polinomios con coeficientes enteros es numerable. Un número real se llamaalgebraicocuando es ra´ız de un polinomio con coeficiente enteros. Pruebe que el conjunto de los números algebraicos es numerable. Un número real se llama trascendente cuando no es algebraico. Pruebe que existen números trascendentes.

(37)

3 Sucesiones

de n´

umeros reales

En este cap´ıtulo se introducirá la noción de l´ımite en su forma más simple, el l´ımite de una sucesión. A partir de aqu´ı, todos los con-ceptos importantes del Análisis Matemático, de una forma u otra se reducirán a algún tipo de l´ımite.

1. Limite de una sucesi´on

Una sucesión de números reales es una función x : N →R que asocia a cada número natural n un número real xn, llamado

n-ési-mo término de la sucesión.

Se escribe (x1, x2, . . . , xn, . . .) o (xn)n∈N, o simplemente (xn),

pa-ra indicar la sucesión cuyo n-ésimo término esxn.

No debe confundirse la sucesi´on (xn) con el conjunto{x1, x2, . . . ,

xn, . . .}de sus t´erminos. Por ejemplo, la sucesi´on (1,1, . . . ,1, . . .) no

es lo mismo que el conjunto _{1_}. O de otra forma: las sucesiones (0,1,0,1, . . .) y (0,0,1,0,0,1, . . .) son diferentes pero el conjunto de sus t´erminos es el mismo, igual a _{0,1_}.

Una sucesi´on (xr) se dice acotada superiormente

(respectiva-mente inferiormente) cuando existe c _∈R tal que xn ≤c

(respec-tivamente xn ≥ c) para todo n ∈ N. Se dice que la sucesi´on (xn)

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26 Sucesiones de n´umeros reales Cap. 3

est´a acotada cuando est´a acotada superior e inferiormente. Esto equivale a decir que existe k >0 tal que _|xn| ≤k para todo n∈N.

Ejemplo 1. Sia >1 entonces la sucesi´on (a, a2_{, . . . , a}n_{, . . .) est´a}

aco-tada inferiormente pero no superiormente. En efecto, multiplican-do ambos miembros de la desigualdad 1 < a por an _obtenemos

an _{< a}n+1_{. Se sigue que}_{a < a}n_{para todo}_n_∈_N_{, luego (a}n_{) est´a}

aco-tada inferiormente por a. Por otra parte, tenemos a = 1 +d, con d > 0. Por la desigualdad de Bernoulli, para todo n _∈ N se tiene an _>_{1 +}_{nd. Por tanto, dado cualquier} _c_∈_R_{podemos hacer}_an _{> c}

siempre que tomemos 1 +nd > c, esto es, n >(c₋1)/d.

Dada una sucesi´on x= (xn)n∈N, unasubsucesi´on dexes la

res-tricci´on de la funci´on x a un subconjunto infinito de N′ ₌ _{_n

1 < n2 <_{· · ·}< nk <· · · }deN. Se escribex′ = (xn)n∈N′ ´o (x_n₁, x_n₂, . . . ,

xnk, . . .}, ´o (xnk)k∈Npara indicar la subsucesi´on x′ =x|N′. La

nota-ci´on (xnk)k∈Nindica que una subsuceci´on se puede considerar como

una sucesi´on, esto es, una funci´on cuyo dominio es N.

Recordemos queN′ _⊂_N _{es infinito si, y s´olo si, no est´a acotado,}

esto es, para todo n0 _∈Nexiste nk ∈N′ tal que nk > n0.

Ejemplo 2. Dado un n´umero reala <₋1, consideremos la sucesi´on (an₎

n∈N. Si N′ ⊂ N es el conjunto de los n´umeros pares y N′′ es el

conjunto de los n´umeros impares entonces la subsucesi´on (an₎ n∈N′′

s´olamente est´a acotada superiormente.

Se dice que un n´umero real a es el l´ımite de la sucesi´on (xn)

cuando para todo n´umero realε >0, dado arbitrariamente, se pue-de obtener n0 _∈N tal que todos los t´erminos xn con ´ındice n > n0

cumplen la condici´on _|xn−a|< ε. Se escribe entonces a= l´ımxn.

Esta importante definición significa que, para valores muy gran-des de n, los términos xn permanecen tan próximos aa cuando se

desee. Más precisamente, estipulándose un error ε > 0, existe un ´ındice n0 _∈N tal que todos los términos de la sucesión con ´ındice

n > n0 son valores aproximados de a con un error menor que ε. Con s´ımbolos matem´aticos, se escribe:

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Secci´on 1 Limite de una sucesi´on 27

en donde el s´ımbolo _{· ≡ ·} significa que lo que sigue es la definici´on de lo que antecede, _∀ significa “para todo” o “cualquier que sea” y _∃ significa “existe”. El punto y como quiere decir “tal que” y la flecha _⇒ significa “implica”.

Es conveniente recordar que _|xn − a| < ε es lo mismo que

a₋ε < xn < a+ε, esto es, xn pertenece al intervalo (a−ε, a+ε).

As´ı, decir quea= l´ımxnsignifica que cualquier intervalo abierto

centrado en acontiene todos los t´erminosxnde la sucesi´on excepto

un número finito de éstos (a saber, los de ´ındice n _≤n0, donde n0 se escoge en función del radio ε del intervalo).

En vez dea= l´ımxn, tambi´en se escribea= l´ım

n∈Nxn,a= l´ımn→∞xn,

ó xn → a. Esta última expresión se lee “xn tiende a a” o “xn

converge a a”. Una sucesi´on que posee l´ımite se llama convergente. En caso contrario se llama divergente.

Teorema 1. (Unicidad del l´ımite) Una sucesi´on no puede con-verger a dos l´ımites diferentes.

Demostraci´on: Sea l´ımxn =a. Dadob 6=a podemos tomarε >0

tal que los intervalo abiertos I = (a₋ε, a+ε) y J = (b₋ε, b+ε) sean disjuntos. Existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0, implica xn ∈ I.

Entonces, para todo n _≥ n0, tenemos xn ∈/ J. Luego no se tiene

l´ımxn =b.

Teorema 2. Sil´ımxn =a entonces toda subsucesi´on de(xn)

con-verge a.

Demostraci´on: Sea (xn1, xn2, . . . , xnk, . . .) una subsucesi´on. Dado

cualquier intervalo abierto centrado en a existe n0 _∈ N tal que todos los t´erminos xn, con n ≥ n0, pertenecen a I. En particular,

todos los t´erminos xnk con nk≥ n0, tambi´en pertencen a I. Luego

l´ımxnk =a.

Teorema 3. Toda sucesi´on convergente est´a acotada.

Demostraci´on: Sea a= l´ımxn. Tomando ε= 1 vemos que existe

n0 _∈N tal que n > n0 _⇒ xn ∈ (a−1, a+ 1). Sean b el mayor y c

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Todos los términosxnde la sucesión están contenidos en [c, b], luego

la sucesi´on est´a acotada.

Ejemplo 3. La sucesión (2,0,2,0, . . .), cuyo n-ésimo término es xn = 1 + (−1)n+1, está acotada. Sin embargo no es convergente

porque posee dos sucesiones constantes, x2n−1 = 2 y x2n = 0, con

l´ımites diferentes.

Ejemplo 4. La sucesi´on (1,2,3, . . .), conxn=n, no es convergente

porque no est´a acotada.

Una sucesión (xn) se llamamonótonacuando se tienexn ≤xn+1 para todo n _∈ N, o bien xn ≥ xn+1 para todo n ∈ N. En el pri-mer caso se dice que (xn) es monótona creciente, y en el segundo

caso que (xn) es mon´otona decreciente. En particular, si tenemos

xn< xn+1 (respec. xn > xn+1) para todo n∈N decimos que la

su-cesión esestrictamente creciente (respc.estrictamente decreciente). Toda sucesión monótona creciente (resp. decreciente) está aco-tada inferiormente (respec. superiormente) por su primer término. Para que esté acotada es suficiente que tenga una subsucesión acota-da. En efecto, sea (xn)n∈N′ una subsucesión acotada de una sucesión

mon´otona (supongamos creciente) (xn). Tenemoos,xn ≤cpara

to-do n _∈ N′_{. Dado cualquier} _n _∈ _N _existe _n′ _∈ _N′ _{tal que} _{n < n}′_.

Entonces xn≤xn′ ≤c.

El próximo teorema nos da una condición suficiente para que una sucesión converja. Cuando intentaba demostrarlo mientras pre-paraba sus clases, a mediados del siglo XIX, R. Dedekind percibió la necesidad de una formalización rigurosa del concepto de número real.

Teorema 4. Toda sucesi´on mon´otona y acotada es convergente.

Demostraci´on. Sea (xn) mon´otona, supongamos que creciente, y

acotada. EscribimosX =_{x1, . . . , xn, . . .}ya = supX. Afirmamos

que a = l´ımxn. En efecto, dado ε > 0, el n´umero a−ε no es una

cota superior de X. Luego existe n0 tal que a₋ε < xn0 ≤ a. As´ı,

n > n0 _⇒ a₋ε < xn0 ≤xn < a+ε, de donde l´ımxn =a.

An´alogamente, si (xn) es decreciente y acotada entonces l´ımxn

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Secci´on 2 L´ımites y desigualdades 29

Corolario. (Teorema de Bolzano.Weierstrass)Toda suce-sión acotada de números reales posee una subsucesión convergente.

En efecto, basta demostrar que toda sucesi´on acotada (xn) posee

una subsucesión monótona. Decimos quexnes un términodestacado

de la sucesi´on (xn) sixn ≥xppara todop > n. SeaDel conjunto de

´ındices n tal que xn es un t´ermino destacado. Si D es un conjunto

infinito, D=_{n1 < n2 <_{· · ·} < nk < · · · }, entonces la subsucesi´on

(xn)n∈D es mon´otona decreciente. Por el contrario, si D es finito

sea n _∈N el mayor de los n_∈D. Entonces xn1, donden1 =n+ 1,

no es destacado, luego existe n2 > n1 tal que xn1 < xn2. A su

vez, xn2 no es destacado, luego existe n3 > n2 con xn1 < xn2 <

xn3. Prosiguiendo obtenemos una sucesi´on estrictamente creciente

xn1 < xn2 <· · ·< xnk <· · ·.

Ejemplo 5. La sucesión cuyo n-ésimo término es xn = 1/n es

mon´otona, estrictamente decreciente y acotada. Tenemos entonces l´ım 1/n = ´ınf_{1/n;n _∈N}= 0, por el Teorema 3, Cap´ıtulo 2. Ejemplo 6. Sea 0< a < 1. La sucesi´on (a, a2_{, . . . , a}n_{, . . .), formada}

por las sucesivas potencias, deaes estrictamente decreciente y aco-tada, pues multiplicando 0 < a <1 por an _{resulta 0}_{< a}n+1 _{< a}n_.

Afirmamos que l´ımn→∞an= 0. En efecto, como 1/a >1, del

Ejem-plo 1 se deduce que, dado ε > 0 arbitrario existe n0 _∈ N tal que (1/a)n0 _> _{1/ε, o sea,} _an0 _{< ε. Se sigue que l´ım}_an _{= ´ınf}_{_an_;_n _∈

N}= 0.

2. L´ımites y desigualdades

Sea P una propiedad referente a los t´erminos de una sucesi´on (xn). Diremos que “para todonsuficientemente grandexncumple la

propiedadP”para significar que “existen0 _∈Ntal quen_≥ n0 _⇒xn

cumple la propiedad P”.

Teorema 5. Seaa = l´ımxn. Sib < aentonces, para todon

suficien-temente grande, se tiene b < xn. An´alogamente, si a < b entonces

xn < b para todon suficientemente grande.

Demostración: Tomando ε = a₋b, tenemos ε >0 y b =a₋ε. Por la definición de l´ımite, existe n0 _∈Ntal que n > n0 _⇒a₋ε < xn < a+ ε ⇒ b < xn. La otra afirmación se prueba de forma

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Corolario 1. Sea a = l´ımxn. Si a > 0 entonces, para todo n

suficientemente grande, se tiene xn > 0. An´alogamente, si a < 0

entonces xn<0para todo n suficientemente grande.

Corolario 2. Sean a = l´ımxn y b = l´ımyn. Si xn ≤yn, para todo

n suficientemente grande entonces a _≤ b. En particular, si xn ≤ b

para todon suficientemente grande entonces l´ımxn ≤b.

En efecto, si tuvi´esemos b < a entonces tomar´ıamos c _∈ R tal que b < c < a y tendr´ıamos, por el Teorema 5, yn < c < xn para

todon suficientemente grande, contradiciendo la hipótesis. Observación: Si tuviésemos xn < yn no podr´ıamos concluir que

a < b. Basta considerar xn = 0 e yn = 1/n.

Teorema 6. (Teorema del Sandwich.) Sil´ımxn= l´ımyn=ay

xn≤zn ≤yn para todon suficientemente grande entoncesl´ımzn=