Si se especifican la tasa de alimentación F, la composición de la alimentación formada por (C-1) valores de z¡, la presión del tambor de destilaciónPtamby la temperatura de alimentación TF,el líqui
do caliente se evaporará cuando baje su presión . Esta evaporación instantánea o flasheo enfría al líquido, tomando su energía para evaporar algo de él mismo .LaTtamb que resulta se desconoce ; por
lo tanto, debemos usar un procedimiento de solución simultánea .Primero, se escoge una presión de entrada tal que la alimentación sea líquida. Entonces se puede calcular la entalpía de alimentación en la misma forma con las ecuaciones (2-47)y(2-48):
e
hF
=
Z¡hFi (TF'PF)i=l
(2-50)
Aunque los balances de masa y energía, las ecuaciones de equilibrio y las ecuaciones estequiomé tricas podrían resolverse simultáneamente, otra vez es más fácil usar un procedimiento de prueba y error .Este problema es ahora uno de doble tanteo.
La primera pregunta para preparar un procedimiento de prueba y error es: ¿Cuáles son las varia bles tentativas posibl yc áles se deberán usar? Aquí primero escogeremos Ttamb porque se requiere
calcular todas las K¡,HviyhLi'ytambién porque es difícil de despejar. La segunda variable para ten tativa es V/F porque podemos usar el método de Rachford-Rice con convergencia newtoniana .
La segunda pregunta es: ¿Se debe hacer converger las dos variables en forma simultánea (esto es,cambiar al mismo tiempo Ttamb y V/F) o se debe hacer convergencia secuencial? Ambas técni cas funcionan, pero sólo si se aplican bien. La convergencia secuencial tiende a ser más estable. Si usamos convergencia secuencial, una tercera pregunta es: ¿Cuál variable se debe hacer converger primero, V/F o Ttamb?Para contestar necesitamos tener en cuenta el sistema químico que estemos
separando. Si la mezcla hierve entre amplios límites, esto es, si el punto de rocío y el punto de bur bujas están muy alejados entre sí (digamos, entre 80 a 100°C o más), entonces un cambio pequeño
en T,,,. ¡,no puede tener gran efecto sobre V/F.En este caso, debemos hacer converger VfF primero.
11
A continuación,cuando se cambiaT,•mb'nos acercaremos al resultado correcto para V/F.Para tener
una separación importante en un sistema de destilación instantánea, las volatilidades deben ser muy diferentes:esd caso de la evaporación instantánea. El procedimiento de ebullición estrecha para la destilación se ve en la figura 6-1.
El procedimiento para alimentaciones con puntos de ebullición separados se muestra en la figura 2-lJ. Note que el balance de energía se usa al último. Éste es el procedimiento usual porque se dispone de valores exactos de X¡y Y; para calcular entaJpías en el balance de energía.
La cuarta pregunta es: ¿Cómo hacer los pasos individuales de convergencia? Para la ecuación de Rachford-Rice, la interpolación lineal o la convergencia de Newton serán satisfactorias. Se pueden
2.7 Convergencia simult ánea con varios componentes 41
Ingresar condiciones
especificadas
ydatos de equilibrio
Calcular Ki!Ttambo Ptombl
Resolver Ec. Rachford-Rice (2-42)
No Sí Calcular X¡.Y¡. L.V. H y h Estimar Ttamb No Sí
FIGURA 2-13. DIAGRAMA DE FLUJO PARA l:NA ALIMENTACIÓN QUE HIERVE ENTRE AMPLIOS VALORES DE TEMPERATURA.
emplear varios métodos para estimar la siguiente temperatura del tambor de destilación; uno de los más rápidos y sencillos es usar un procedimiento de convergencia de Newton. Para hacerlo, se reaco moda el balance de energía (ecuación 2-7) en la forma funcional,
42 Capítulo 2 Destilación instantánea
=
El subíndice kse refiere de nuevo al número de tanteo. Cuando Ek es cero, el problema está
resuelto. En el procedimiento de Newton se estima Ek+1(Ttamb) con la derivada,
(2-52)
donde ilTtamb es el cambio de Ttamb de un tanteo al siguiente,
(2-53) ydE/dTtamb es la variación de Ek a medida que cambia la temperatura. Como los dos últimos térmi
nos en la ecuación (2-51) no dependen de Ttamb' esta derivada se puede calcular con:
dEk dHv
V dT +L dHL
=
VCPv+LcPL (2.54)dTtamb k tamb dTtamb
en donde se ha usado la definición de capacidad calorífica.Al deducir la ecuación (2-54) hicimos
que dV/dT y dL!dT fueran cero, porque se está usando una rutina secuencial de convergencia, y no se quiere variar V o Len este ciclo. En el siguiente tanteo se quiere satisfacer el balance de energía. Entonces, hacemos que Ek+t =O y se puede despejar ilTtamb de la ecuación (2-52):
(2-55) dTtambk
En esta ecuación se sustituye la expresión de ilTtamb y se despe ja Ttam bk +I; de ese modo se obtiene la
mejor estimación de la temperatura, para la siguiente tentativa: T T Ek (Ttambk)tambk+l
= tambk- dE
dTtambk
(2-56)
En esta ecuación, Ek es el valor numérico calculado de la función de balance de energía con la ecua ción (2-51);dE/dTtamb es el valor numérico de la derivada calculado con la ecuación (2-54).
El procedimiento ha convergido cuando
(2-56)
Para cálculos en computadora quee=0.01
oc
esuna opción razonable.Para cálculos amano se usaría un límite menos estricto, como por ejemploc=0.2°C. El procedimiento seilustra en el Ejemplo 2-3.Es posible que este esquema de conver gencia calcule valores demasiado grandes de ilTtam b· Cuando esto sucede, la temperatura del tambor puede oscilar con una amplitud creciente y por lo tanto nunca converge. Para evitar este comportamiento S$! puede amortiguar ilTtamb"
2.7 Convergencia simultánea con varios component es 43
donde el factor de amortiguamiento , d, es 0.5, aproximadamen te. Observe que si d=1.0 el método corresponde al de Newton.
La temperatura del tambor siempre debe estar entre las temperaturas del punto de burbuja y punto de rocío de la alimentación . Además, la temperatura debe converger hacia algún valor cen tr al. Si se viola cualquiera de estos crilerios, debe amortiguarse el esquema de convergencia o se debe usar otro esquema alternativo.
EJEMPLO 2-3. Convergencia simultánea para evaporación instantánea
Una alimentación líquida con 20% mol de metano, 45% mol de n-pentano
y
35% mol de n-hexano. El flujo de alimentación es 1500 kgmol!hr, la temperatura de alimentación es 45°C y la presión es 100.0 psia . El tambor de destilación trabaja a 30 psia y es adiabático. Calcular:Ttamb' V!F, X¡, y¡, L, V.Solución
A. Defina. El proceso se representa con este diagrama:
V, y¡ desconocidas 1500 lbmoles/hr =0.20 Zp=0.45 zH=.35 TF= 42°C p = 30psia Ttamb=? ... L ,X¡desconocidas
B. Explore. Como TF es dato, se hará doble tanteo. Se pueden usar los valores de K de las gráficas de DePriester , o los obtenidos con la ecuación (2-30). Para los balances de energía, se puede calcular las entalpías con las capacidades caloríficas y los calores latentes. Los datos necesarios aparecen en la tabla 2-5.
C. Planee. Como se requiere doble prueba y error, se harán todos los cálculos en com putadora
y
se resumirán aquí. Se usará convergencia de Newton para la ecuación de Rachford-Ricey
también para el balance de energía con el que se estimará la nueva temperatura del tambor . Se usará e= 0.02 para convergencia de energía (ecuación 2- 56). Se considerará que la ecuación de Rachford-Rice ha convergido cuandoAquí se usará ER
=
0.005.(2-58)
D. Hágalo. La primera tentativa se hace suponiendo arbitrariamente que T,amb
=
15°Cy V/F =0.25.Como la convergencia del programa es rápida , probablemente no se jus tifique una primera tentativa que sea más exacta. Al usar la ecuación (2-46), como se describió en el ejemplo 2-2, se obtuvieron los siguientes valores de V/F [valores K de la ecuación (2-30)]:V/F = 0.25, 0.2485, 0.2470, 0.2457, 0.2445, 0.2434, 0.2424, 0.2414, 0.2405, 0.2397, 0.2390,0.2383, 0.2377, 0.2371,0.2366,0.2361
44 Capítulo2 Destilación instantánea
5
m
TABLA 2-5. DATOS PARA METANO, N-PENTANO Y N HEXANO.
Com ponent e A.c, k callg-mol P .eb. normal,
oc
C P , L' cal/g-mo/- °Cl.Metano 1.955 -161.48 11.0 (est.)
2. n-Pentano 6.160 36.08 39.66
3. n-hexano 6.896 68.75 45.58
Capacidades caloríficas de vapores en caUg-mol-°C; Tenoc: CPV,l
=
8.20+0.01307 T+8.75X 1o-T-2.63X lo-T CPv.2=
27.45+0.08148T-4.538 x1Q-T2+10.1x 1o-'T CPv. 3=32.85+0.09763T-5.716 x 1Q- 5T2+13.78x 10-9]'3 Fuente: Himmelblau (1974).Observe que la convergencia es monótona. Conocida la relación V/F, se calculan X¡ y Y¡ con las ecuaciones (2-38) y (2-39).
Las composiciones son xm
=
0.0124, xP=
0.5459, xH=
0.4470 y Ym= 0.8072,Yp=
0.1398y yH
=
0.0362.Las tasas de flujo deL y V se calculan con el balance de masa y el valor de V/F. Des
pués de determinar las entalpías, se usa la ecuación (2-56) para calcular Tramb.2
=
27.9oc.
Esobvioque todavía está le jos la convergencia.
Se continúa el procedimiento de convergencia, como muestra la tabla 2-6. Observe que la temperatura del tambor oscila
y
por eso el valor de V/F con convergencia también oscila. También, la cantidad de tentativas para convergencia de V/F disminuye al avanzar el cálculo.Las composiciones y tasas de flujo finales son:X
=
0.0108, X=
0.5381, XH=
0.4513Ym=0.7531,Yp
=
0.1925,YH=0.0539V = 382.3 kgmollhr y L
=
1117.7 kgmollhr.TABLA2-6. ITERACIONES PARA EL EJEMPLO2-3.
It eración No. T,umb inicial Tentativas pa r a calcularV/F VIF Tt amb Cale.
1 15.00 16 0.2361 27.903 2 27.903 13 0.2677 21.385 3 21.385 14 0.2496 25.149 4 25.149 7 0.2567 23.277 5 23.277 3 0.2551 24.128 6 24.128 2 0.2551 23.786 7 23.786 2 0.2550 23.930 8 23.930 2 0.2550 23.875 9 23.875 2 0.2549 23.900 10 23.900 2 0.2549 23.892
2.8 Cálculo de los tamaño s 45
=
=
E.. Compruebe. Los resultados se comprue ban durante el procedimiento de prueba y error. Naturalmente , dependen de la validez de los datos de las entalpías y de las K usados. Al menos los resultados parecen ser auto-consistentes (esto es, que LX;
=
l.O, LY;=
1.0) por tener la magnitud adecuada . Este problema también se resolvió usando el programa Aspen -Pius con la ecuación de Peng-Rob inson para equilibrios vapor líquido (vea el apéndice del capítulo 2). Los resultados son x m 0.0079,xp 0.5374, XH=
0.4547, L=
1107.8,Ym= 0.7424,Yp=
0.2032,YH=
0.0543, V= 392.2YTtamb=
27.99°C.A excepción de la temperatura del tambor, estos resultados, en los que se usaron datos diferentes, concuerdan bastante bien.
F. Generalice. El uso de la computadora reduce considerablemente el tiempo de cálculo en problemas de doble tanteo. Al usar un simulador de proceso que contenga correla ciones de equilibrios vapor-líquido y de entalpías, la rapidez será máxima.