Una interfase es una superficie que separa dos fases de la materia. Una interfase no es una superficie geom´etrica, sino m´as bien es una capa delgada que contiene propiedades diferentes a las de las fases de la materia que las separa. Una interfase com´un es aquella que existe entre el agua y el aire, la cual exhibe propiedades tales como la tensi´on superficial [30].
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El crecimiento de interfases rugosas bajo condiciones de no-equilibrio es un fen´omeno muy com´un en la naturaleza. Ejemplos de tales procesos incluyen la difusi´on, el quemado, el crecimiento de grietas, fraguado de materiales y flujo de fluidos en medios porosos [31].
La rugosidad de interfases que crecen en no equilibrio es s´olo uno de los campos en los cuales la invariancia de escala se ha observado como una carac- ter´ıstica com´un y b´asica. La invariancia de escala din´amica de las interfases en crecimiento, los eventos y la informaci´on sobre un amplio intervalo de escalas de longitud se presenta de tal manera que no importa cu´al es el tama˜no de la escala considerado, siempre se observa sorprendentemente una riqueza en estructuras complejas.
El hecho de que el crecimiento de interfases en sistemas en no-equilibrio ex- hiba propiedades de escalamiento complejas no nos dice nada acerca del por qu´e sucede as´ı. Por lo tanto, un punto crucial para comprender este fen´omeno es el origen de la invariancia de escala general de la rugosidad de interfase. Esto corresponder´ıa a la comprensi´on del origen de las estructuras fractales y de las propiedades de Criticidad Auto-Organizada (SOC1), a partir del conocimien- to de los procesos f´ısicos microsc´opicos en la base de estos fen´omenos. Se ha hallado que el crecimiento estoc´astico de superficies exhibe un comportamiento en escalamiento no trivial y que evoluciona hacia un estado estacionario, que no tiene una escala de tiempo o espacio caracter´ıstica, lo cual ha conducido al desarrollo de un m´etodo general de escalamiento [32]. Para describir de man- era cuantitativa el crecimiento de interfases, este formalismo, que se basa en conceptos de invariancia de escala y fractales [33, 34], se ha convertido en una herramienta est´andar para estudiar el crecimiento de interfases. En particular, el m´etodo de escalamiento din´amico [32] se ha aplicado al estudio de un gran variedad de modelos te´oricos de interfases.
Se consideran las interfases como fractales auto-af´ınes aleatorios, pero s´olo en su estado final, la condici´on inicial de estos sistemas no se encuentra en dicha situaci´on.
3.2.1.
Escalamiento din´amico
El m´etodo de escalamiento din´amico se ha aplicado al estudio de una gran variedad de modelos te´oricos de crecimiento de interfases. Los perfiles de altura,
h(x, t), son la piedra angular en el an´alisis de crecimiento de interfases [35]. Com´unmente las interfases son representadas por h(x, t), dondeh es la altura de superficie sobre la posici´on del substratoxen el tiempot. Los procedimientos para establecer el perfil dehno siempre estan bien definidos. Se han propuesto varias soluciones a dicho problema. La posibilidad m´as simple es considerar el valor m´aximo dehen cada posici´on. Mientras los m´aximos tengan un tama˜no caracter´ıstico, este m´etodo, o alg´un otro similar, puede ser v´alido.
Los experimentos realizados en laboratorio o en computadora generan uno de esos perfiles para cada tiempo de la medici´on. Si el experimento se repite,
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el perfil de altura obviamente ser´a diferente. Este hecho agrega complejidad al proceso de definici´on de las cantidades promedio. Por ejemplo; consideremos la altura promedio para un perfil de altura espec´ıfico:
hhi(t) ={hhix}= ( 1 L X i hi(t) ) (3.3) donde{. . .}representa el promedio de un conjunto de diferentes perfiles de altura, mientras que h. . .ix corresponde a un promedio del espacio para un desorden
singular.
La cantidad b´asica a ser estudiada son las fluctuaciones de cada frente, a partir de la altura promedio.
δh(x, t) =h(x, t)− hhix(t) (3.4)
Se espera queδhse comporte como la masa o hiper-volumen en los fractales aleatorios. La principal diferencia es que esta magnitud puede tomar valores positivos o negativos. De hecho, el promedio de δh en el espacio es cero por definici´on,hδh(x, t)ix= 0. La primera magnitud a ser analizada es entonces el
primer momento de segundo orden; la anchura global de la interfase.
W(t, L) = h[h(x, t)− hhix]2 1/2 = [∆h(x, t)]2 1/2 (3.5) En muchos casos pr´acticos una superficie plana es considerada como el estado inicialh(x, t= 0). Esto significa que la anchura global es cero ent. Despu´es el sistema evoluciona y la interfase llega a ser m´as rugosa. La ausencia de una escala caracter´ıstica hace patente que el crecimiento de la anchura en el tiempo se manifieste en forma de ley de potencia:
W(t, L)∼tβ (3.6) La rugosidad de la interfase contin´ua hasta que el sistema alcanza un estado estacionario. Asimismo, la anchura de las superficies depende del tama˜no del sistema:
W(t > tsat)∼Lα (3.7)
Estas dos ´ultimas ecuaciones pueden expresarse como:
W(t, L)∼tβ=tβf(t/tx) =tβf(t/Lα/β) (3.8)
dondeαes el exponente de rugosidad (que caracteriza el r´egimen estacionario),β
el exponente de crecimiento (que caracteriza el comportamiento de la superficie en el corto plazo),Lel tama˜no del sistema yf una funci´on de escalamiento que se comporta asintoticamente como:
CAP´ITULO 3. TEOR´IA DE FRACTALES 28 f(u)∼ constante siu <<1 u−β de otra manera (3.9) Este ansatz para el escalamiento de la anchura es conocido como escalamien- to de Family-Vicsek [32].
Otro aspecto importante a estudiar en todos los sistemas aleatorios es el de la correlaci´on, correlaci´on espacial en el caso del crecimiento de superficies. Esta funci´on se define como:
C(t, l) ={h∆h(x+l, t)∆h(x, t)ix} (3.10)
Normalmente para un tiempo especifico, la funci´on de correlaci´on toma un valor positivo (grande) enl = 0. Realmente la funci´onC(t, l) = 0) es igual al cuadrado de la anchura global. Adem´as, cuando se incrementallas correlaciones decrecen y estas llegan a ser cero despu´es de haber pasado una distanciaξ. El esquema b´asico es mantenido en cada momento, pero la distancia a la cual las correlaciones se desvanecen aumenta con el tiempo:
ξ∼t1/z (3.11)
El exponentez es conocido como el exponente din´amico y nos proporciona informaci´on de qu´e tan r´apido las correlaciones se expande a trav´es del sistema. Este exponente se relaciona conαyβ mediante una relaci´on de escalamiento:
z=α/β (3.12)
Esta expresi´on se debe a que las correlaciones no pueden expandirse de manera infinita en un sistema de tama˜no finitoL. Por ende, la expansi´on debe detenerse en un tiempo especifico,tx∼Lz, para el cualξ(tx) =L. Despu´es de
este tiempotx, la din´amica del sistema alcanza un estado estacionario, en donde
la anchura o las correlaciones ya no cambian.
Existe otra funci´on que es la de segundo orden en ∆hy que debe ser men- cionada. Esta funci´on es la correlaci´on altura-altura en un mismo instante de tiempo: G(t, l) = (h(x+l, t)−h(x, t))2 x = (∆h(x+l, t)−∆h(x, t))2 x (3.13) La funci´onGes un puente entre al anchura global y la funci´on de correlaci´on:
G(t, l) = 2W2
(t, l)−2C(t, l) (3.14) Este comportamiento de escalamiento es similar al escalamiento de la anchu- ra local. De hecho, en algunas ocasiones, para los valoresαcercanos a uno [36]
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3.2.2.
Escalamiento din´amico an´omalo
En la secci´on anterior se mencion´o el escalamiento de Family-Vicsek ansatz. Sin embargo, la din´amica de los sistemas no siempre puede ser descrita por este escalamiento. En el escalamiento ansatz de Family-Vicsek las universalidades para el crecimiento est´an caracterizadas por los exponentes: el exponente de rugosidad α, el exponente de crecimiento β y el exponente din´amico z. Los exponentesαyβ son independientes por la condici´on de auto-consistenciaz=
α/β. Ambos exponentes pueden ser medidos y usados como estimadores para la anchura: global o local.
En un fractal auto-af´ın, el tama˜no del sistema L act´ua como un l´ımite su- perior para la simetr´ıa de la invariancia de escala. Por consiguiente, cuando un magnitud es estimada cerca de esta escala se pierde la forma funcional de ley de potencia. Este efecto puede ser considerado en teor´ıa, mediante un artificio conocido como tama˜no finito de escalamiento. Por ejemplo, para una interfase despu´es de la saturaci´on, la anchura local se comporta comoW(l)∼lα hasta
que el tama˜no del sistema llega a serL. El l´ımite superior puede ser inclu´ıdo en esta f´ormula como:
W(l, L)∼lαf(l/L) (3.15)
Donde la funci´on f(u) es constante para valores peque˜nos deu(u <<1), y
f(u) =u−1parau
≈1. Esto es una forma de abordar las escalas globales. Si esto
es valido, la anchura global debe incrementarse con el tama˜no del sistema como
W(L)∼Lα. La misma dependencia de ley de potencia y el mismo exponente
para la anchura local. Esto significa que la ley de comparaci´on de las anchuras de dos sistemas de diferente tama˜no sigue la misma ley que las anchuras locales de dos escalas diferentes dentro del mismo sistema. De hecho, si se mantiene la relaci´on (L2/L1) = (l2/l1), esta puede ser extrapolada a las anchuras como:
W(L2)
W(L1) =
w(l2)
w(l1) (3.16)
Existen algunos modelos te´oricos sobre el crecimiento en los que la simetr´ıa entre las magnitudes global y local no ofrece los mismos valores para los expo- nentes; es decir, el escalamiento est´andar de la anchura global difiere sustan- cialmente del comportamiento de escalamiento de la interfase local (medidas tanto para la anchura local como para la correlaci´on altura-altura). De manera m´as precisa, en algunos modelos de crecimiento la anchura local y la correlaci´on altura-altura tienen un comportamiento de escalamiento definido por (3.10), pero con una funci´on de escalamiento an´omalo.
fA(u)∼ uαloc siu <<1 constante siu >>1 (3.17) Donde el nuevo exponente independiente αloc es llamado exponente de ru-
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en muchos modelos de crecimiento. Tambi´en se ha demostrado que la rugosi- dad an´omala toma dos formas [37, 38]: procesos super-rugosos, α > 1, para los cuales (αloc = 1), y procesos donde se presenta rugosidad intr´ınsicamente
an´omala, para los cualesαloc<1; yαpuede tomar cualquier valorα > αloc.