DINAMICA DE SISTEMAS COMPLEJOS: "ANALISIS FRACTAL DEL INDICE DE PRECIOS COTIZACIONES

´

_{Indice general}

Dedicatorias I

Agradecimientos II

Glosario III

Aportaciones IV

Resumen V

Abstract VI

´_{Indice de figuras} VII

´_{Indice de tablas} VIII

1. INTRODUCCI ´ON 1

1.1. Antecedentes . . . 2

1.2. Problem´atica . . . 8

1.3. Justificaci´on . . . 8

1.4. Objetivo . . . 10

1.5. Metodolog´ıa . . . 11

2. MARCO CONCEPTUAL 12 2.1. Teor´ıa General de Sistemas . . . 12

2.1.1. Pensamiento de sistemas . . . 13

2.1.2. Sistemas . . . 13

2.2. Sistemas Complejos . . . 16

2.2.1. Definici´on . . . 16

2.2.2. Caracter´ısticas y tipos de sistemas complejos . . . 17

2.2.3. Enfoques para caracterizar sistemas complejos . . . 18

2.3. Conclusi´on capitulo 2 . . . 19

3. TEOR´IA DE FRACTALES 21

3.1. Geometr´ıa fractal . . . 21

3.1.1. Caracter´ısticas y propiedades . . . 22

3.1.2. Tipos de fractales . . . 24

3.2. Crecimiento de interfases rugosas . . . 25

3.2.1. Escalamiento din´amico . . . 26

3.2.2. Escalamiento din´amico an´omalo . . . 29

3.3. Exponente de Hurst . . . 30

3.3.1. C´alculo del exponente de Husrt . . . 30

3.4. Distribuciones de ley de potencia . . . 33

3.5. Conclusi´on capitulo 3 . . . 34

4. ECONOF´ISICA 36 4.1. Mercados financieros . . . 37

4.2. Mercados burs´atiles . . . 41

4.2.1. Bolsa Mexicana de Valores . . . 42

4.2.2. ´Indice de Precios y Cotizaciones . . . 45

4.3. Fractales en los mercados financieros . . . 48

4.4. Conclusi´on capitulo 4 . . . 51

5. AN ´ALISIS FRACTAL DEL IPC 52 5.1. Definici´on del objeto de estudio . . . 53

5.2. An´alisis estad´ıstico . . . 56

5.3. An´alisis fractal . . . 63

5.4. An´alisis y discusi´on de resultados . . . 67

CONCLUSIONES 69

RECOMENDACIONES 71

REFERENCIAS 72

ANEXOS 77

Anexo A 78

Anexo B 85

Anexo C 94

Anexo E 103

i

Dedicatorias

AMarina mi madre, por su amor, apoyo y ser el pilar de mi vida.

ANoe mi padre, por apoyar todas mis decisiones

ii

Agradecimientos

Al Instituto Polit´ecnico Nacional por ser mi casa de estudios desde el nivel superior, alPrograma de Formaci´on de Investigadores por la beca otorgada en mis estudios de maestr´ıa.

Al Dr. Oswaldo Morales Matamoros, por su direcci´on y apoyo en la elaboraci´on de este trabajo.

AlDr. Luis Manuel Hern´andez Sim´on, alDr. Juan de la Cruz y al

iii

Glosario

Accion:Titulo valor de car´acter negociable que representa un porcentaje de participaci´on en la propiedad de la compa˜na emisora del titulo. Parte al´ıcuota del capital de una sociedad mercantil. Quien posee una accion se convierte en propietario parcial de la empresa. Las acciones son emitidas por las empresas para obtener capital.

Alcista. Posici´on de la bolsa en virtud de la cual se estima que las cotiza-ciones subiran.

Boom. Jornada intensamente alcista de una bolsa de valores, fuerte incre-mento en los precios de las acciones.

Broker: intermediario entre Compradores y Vendedores de negocios. Es responsable de conjuntar a dichas partes y su objetivo es vender negocios.

Burbujas(especulativas). El fen´omeno de las burbujas especulativas se da cuando en los precios de los valores se presentan fluctuaciones que se consideran excesivas, lo que hace aumentar la volatilidad de los precios.

Burs´atil. Relativo a la actividad en Bolsa. El mercado burs´atil maneja valores que son otorgados por los derechos, y por tanto es parte del mercado de valores.

Cotizaci´on. Precio registrado en una bolsa cuando se ingresa una postura de compra o venta, o cuando se realiza una negociaci´on de valores.

Crack. Jornada intensamente bajista de una bolsa de valores, fuerte ca´ıda en los precios accionarios.

iv

Aportaciones

El presente trabajo presenta un an´alisis para caracterizar la volatilidad hist´orica del IPC de la BMV dentro de la cin´etica del crecimiento de inter-fases rugosas en un periodo de tiempo aproximado de 27 a˜nos donde se analizan tanto los rendimiento logar´ıtmicos (δ(τ)) como la desviaci´on est´andar (Vn)

gen-eralmente asociada a la volatilidad de precios. Donde las aportaciones son las siguientes:

1. Se muestra que el comportamiento de la volatilidad hist´orica del IPC (Vn)

a corto plazo es antipersistente mientras que a largo plazo es persistente

2. Se hallo que el comportamiento de la volatilidad se ajustan a distribuciones de probabilidad de colas pesadas Log-logistic para horizontes de tiempo

n >15 mientras que para horizontes de tiempo menores a este se ajustan a distribuciones de colas ligeras.

3. Afirmamos que el mercado burs´atil mexicano BMV es un sistema esencial-mente complejo pues se demuestra la evidencia de universalidad y emer-gencia propiedades que se confirman formalmente por el an´alisis aplicado.

4. Se sientan las bases para la construcci´on de un modelo matem´atico que nos permita pronosticar el comportamiento del IPC.

v

Resumen

La din´amica de los mercados financieros se ha convertido en un problema de concepci´on f´ısica, debido a la analog´ıa que existe entre estos y los sistemas f´ısicos, mostrando que la BMV de valores es un sistema puramente complejo.

En el presente trabajo se estudia el comportamiento de la Bolsa Mexicana de Valores a trav´es del an´alisis estad´ıstico y fractal del ´Indice de Precios y Cotizaciones, a fin de sentar las bases cuantitativas para desarrollar y aplicar un modelo matem´atico que nos permita anticipar (desde el punto de vista es-tad´ıstico) desequilibrios econ´omico-financieros que afecten el desempe˜no de la bolsa.

El an´alisis fractal se desarrolla bajo el marco conceptual de la cin´etica del crecimiento de interfases rugosas, ya que los f´ısicos desde la d´ecada de 1980 han encontrado extraordinarias similitudes entre las fluctuaciones del crecimiento de interfases rugosas (a trav´es de medios porosos), con respecto a la volatilidad de los mercados burs´atiles y de los mercados accionarios.

vi

Abstract

The dynamics of the financial market have become in a physic conception, due to the similarity that exists between them and physic systems, showing that financial markets are complex systems. In this work the behavior of Mexican Fi-nancial Market is studied through a statistical and a fractal analysis of the IPC, in order to establish the quantitative basis to develop and apply a mathemat-ical problem, that let us to predict (since a statistmathemat-ical point of view) economic financial imbalances that affect the performance of the stock.

The fractal analysis has been developed under a conceptual framework of kinetic roughening of growing interfaces, since the decade of 1980 physician have found great similarities between growing fluctuations of roughening interfaces with the volatility of stock markets.

´

_{Indice de figuras}

1.1. Metodolog´ıa. . . 11

2.1. Caracter´ısticas de sistemas complejos. . . 20

3.1. Fractal de Mandelbrot. . . 23

3.2. Curva de Koch. . . 24

3.3. Curva de Peano . . . 24

3.4. An´alogia de los fen´omenos f´ısicos con los mercados financieros. . 35

4.1. Sistema Financiero Mexicano. . . 44

5.1. Metodolog´ıa especifica. . . 52

5.2. Interfase en experimento de imbibici´on. . . 54

5.3. Evoluci´on hist´orica del IPC . . . 55

5.4. Evolucion hist´orica paraδ(τ),|δ(τ)|, Vn(t), por semanas, meses, a˜nos . . . 57

5.5. Evoluci´on deVn(t),δ(τ),|δ(τ)|por semana. . . 58

5.6. Evoluci´on deVn(t),δ(τ),|δ(τ)|por mes. . . 59

5.7. Volatilidad Hist´orica . . . 60

5.8. Rendimientos logar´ıtmicos . . . 61

5.9. Tendencia de las desviaciones. paraVn(δ(τ)),Vn(|δ(τ)|),Vn(Vn(t)). 62 5.10. Graf´ıcas fractales ajustadas por el m´etodo R/L . . . 64

5.11. Graficas fractales ajustadas por el m´etodo RS . . . 65

5.12.H contra n, paraVn(t),δ(τ),|δ(τ)| . . . 66

´

_{Indice de tablas}

2.1. Jerarqu´ıa de Boulding . . . 14

4.1. Casas de Bolsa. . . 43

4.2. Indicadores de la BMV . . . 45

4.3. Series accionarias de la BMV . . . 47

Cap´ıtulo 1

INTRODUCCI ´

ON

El estudio de los indicadores burs´atiles o financieros resulta un ejercicio apremiante, dado que en ´estos descansa la informaci´on global del comportamien-to accionario de las empresas que negocian sus t´ıtulos en los respectivos merca-dos financieros; a´un mas la fortaleza o debilidad de las econom´ıas mundiales se muestran en la informaci´on que arrojan dichos indicadores. El conocimiento del comportamiento (o movimientos) de los mercados burs´atiles, por medio de sus indicadores, es un decisor importante en la toma de decisiones de inversionistas para la diversificaci´on de riesgos en sus inversiones.

La modelaci´on del comportamiento de indicadores de los sistemas financieros se ha convertido en un problema de concepci´on de la f´ısica estad´ıstica debido a la similitud de los fen´omenos f´ısicos y econ´omicos; conceptos, m´etodos y modelos de la f´ısica estad´ıstica se han aplicado al estudio de fen´omenos econ´omicos, incluyendo el comportamiento de los mercados financieros, dando pie, a partir de la d´ecada de 1990, al surgimiento de un nuevo campo de investigaci´on: la econof´ısica [1].

Los estudios realizados por diferentes investigadores sobre series financieras han evidenciado caracter´ısticas comunes en ellas [2]. Se han documentado los cambios sustanciales y el agrupamiento de la volatilidad condicionada. Tam-bi´en al analizar las gr´aficas de series financieras se aprecia que la volatilidad no s´olo cambia en el transcurso del tiempo sino que tiende a agruparse, es decir, un cambio grande (o peque˜no) en la volatilidad va seguido de un cambio peque˜no(o grande); lo que ya ha demostrado una correlaci´on serial [3]. Las burbujas en los mercados financieros latinoamericanos han sido identificadas y analizadas, de-mostrando que obedecen a caracter´ısticas log-peri´odicas y promedios acelerados que obedecen a leyes de potencia [2].

Por consiguiente, los modelos f´ısicos han sido empleados para entender mejor la din´amica vol´atil de los mercados burs´atiles. Esto nos permite emplear el enfoque de escalamiento din´amico (teor´ıa de fractales) para analizar series de tiempo de los mercados burs´atiles, incluyendo la Bolsa Mexicana de Valores, esperando caracterizar su comportamiento global a fin de sentar las bases para modelar y predecir su din´amica.

CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON ₂

1.1.

Antecedentes

Durante las ´ultimas tres d´ecadas las crisis financieras han ocasionado turbu-lencias en los mercados financieros. El impacto ha sido devastador en muchas econom´ıas. Los problemas de deuda externa, de las bolsas de valores, de quiebras bancarias, hiperinflaciones y volatilidad de los tipos de cambio han sido co-munes, no s´olo en los pa´ıses emergentes, sino tambi´en en pa´ıses como Estados Unidos(EU), Jap´on y de Europa. Los desajustes en la esfera de la producci´on y circulaci´on se manifiestan con profundidad a ra´ız de la ruptura del sistema mone-tario internacional establecido en Bretton Woods en 1944. Las crisis econ´omicas se enmarcan en la era posterior a Bretton Woods, que se inicia en agosto de 1971, cuando el entonces presidente de EU, Richard Nixon, puso fin al v´ınculo que exist´ıa entre el d´olar y el oro, en proporci´on de 35 d´olares por onza de oro fino, dejando al mundo inundado de d´olares sin respaldo alguno. Charles Kindle-berger se˜nala que de 1618 a 1929 hubo un sin n´umero de crisis financieras. Por mencionar s´olo algunas: la de los tulipanes (1636-1640), la de las compa˜nas de oriente a fines del siglo XVIII, la ca´ıda de los t´ıtulos ferrocarrileros (siglo XIX) y la ca´ıda en menos de dos horas del 75 % de los t´ıtulos de RCA (25 de octubre de 1929); en la d´ecada de 1930 m´as de mil bancos estadounidenses se declararon en quiebra. M´as recientemente, sorprende la ca´ıda del ´ındice Nasdaq, en el tran-scurso de un a˜no, a partir de marzo de 2000, cuando el precio de los t´ıtulos de la nueva econom´ıa se desplom´o en cerca de un 90 %, iniciando un proceso de rece-si´on econ´omica mundial, despu´es de un periodo de casi diez a˜nos de crecimiento de la econom´ıa de EU [4].

Las quiebras bancarias en Tailandia, Indonesia, Corea del Sur y Jap´on tu-vieron un costo para el Fondo Monetario Internacional(FMI) cercano a los cien mil millones de d´olares; las de los bancos de Escandinavia al inicio de la d´eca-da de 1990 y las de Am´erica Latina (M´exico, Argentina, Brasil y Venezuela), son las m´as importantes en la ´ultima d´ecada del siglo XX. Michael Camdessus, director gerente del FMI hasta fines de la dec´ada 1990, expres´o en 1995 que M´exico era el primer pa´ıs en el contexto de la mundializaci´on de los mercados financieros que presentaba una crisis de tal magnitud. Y, a˜nadi´o: ”Es preciso que todos los pa´ıses aprendan de esta experiencia y se preparen para enfrentar situaciones similares” [4].

CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON ₃

La principal amenaza e inquietud con que concluyo el siglo XX fue la cre-ciente interdependencia de las econom´ıas, ya sea por la alta erosi´on de la sober-an´ıa econ´omica que lleva consigo, por la cada d´ıa m´as limitada discrecionalidad de las pol´ıticas econ´omicas, por la supremac´ıa de los mercados financieros, o por la no menos expl´ıcita vulnerabilidad con que el mundo se encuentra expuesto a la emergencia y r´apida propagaci´on de las crisis financieras [5].

La crisis burs´atil de 1929, ”la gran depresi´on”, demostr´o la vulnerabilidad a la que en forma global los mercados financieros se encuentr´an expuestos, a la emergencia y a las crisis financieras, las crisis siguientes dadas a fin del siglo pasado, en M´exico 1990, Asia 1997, muestran efectos de propagaci´on de crisis financieras.

En M´exico la crisis financiera de 1994 fue producto de absorber un volumen masivo de ingresos de capital que se tradujo en un gran volumen de pasivos externos (especialmente cuando predomina el financiamiento de corto plazo o l´ıquido) y en una expansi´on excesiva del cr´edito interno. Entre 1990 y 1994 los productores y los consumidores se acomodaron a un volumen de gasto total que r´apidamente fue mucho mayor que el Producto Interno Bruto (PIB) potencial. El tipo de cambio real se apreci´o significativamente, contribuyendo al aumen-to dr´astico del d´eficit externo. Como las cuentas del secaumen-tor p´ublico estaban equilibradas, el desequilibrio se dio en el sector privado. Cuando se disiparon las expectativas de rentabilidad en 1994, despu´es de varios shocks negativos, los vol´umenes de endeudamiento llegaron a ser insostenibles. En este momento, una pronunciada reducci´on del financiamiento, por parte de los acreedores, oblig´o a M´exico a emprender un reajuste muy restrictivo, y se registro una devaluaci´on masiva luego de adoptar un tipo de cambio flexible. Pese al gran apoyo inter-nacional que recibi´o M´exico en 1995, el pa´ıs sufri´o una ca´ıda de 6.1 % del PIB y de casi 30 % en la formaci´on de capital [5].

Hubo una pronta recuperaci´on de la tasa de crecimiento del PIB, pero con un promedio general de apenas 2.9 % (1995-1999) pese a las exportaciones a EU (pues cuatro quintas partes de las exportaciones se destinaban a EU), M´exico s´olo experiment´o un crecimiento acelerado en el 2000. La abrupta ca´ıda del coeficiente de inversi´on en 1995 no se recuper´o sino hasta 1998. Los salarios reales decayeron intensamente durante la crisis y estaban lejos de haberse recuperado hacia el a˜no 2000. Lo propio sucedi´o con el ´ındice de pobreza: subi´o de 45 % a 52 % de la poblaci´on entre 1994 y 1996 y, aunque bajo a 47 % en 1998, no retomo los niveles anteriores a la crisis. El ´Indice de Precios y Cotizaciones (IPC), despu´es de mostrar un crecimiento sostenido durante el periodo mencionado (1990-1994) alcanzado un m´aximo el d´ıa 08/02/1994 con un valor de 2,881.1700, experiment´o una ca´ıda, producto de los hechos ya mencionados, hasta alcanzar un valor de 1,447.5200 el 27 de febrero de 1995. La crisis de 1995 no tuvo un efecto generalizado en toda la regi´on, como sucedi´o en 1982. La excepci´on fue la econom´ıa argentina que se vio seriamente afectada por el contagio con ca´ıdas importantes del PIB, empleo e inversi´on en 1995, siendo este conocido esto como el ”efecto Tequila” [5].

Argenti-CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON ₄

na que han afectado a los organismos financieros internacionales a tal grado que se anuncia la necesidad de una ”nueva arquitectura” del sistema financiero internacional.

La crisis en los pa´ıses de Asia oriental se dio de la siguiente manera, seg´un interpretaciones. El comportamiento especulativo y de reba˜no (herding) de los mercados internacionales de capital se superpuso a una vulnerabilidad end´ogena en los pa´ıses de Asia, que se debi´o a una liberalizaci´on (desregulaci´on y aper-tura) prematura e indiscriminada y que gener´o problemas de rentabilidad y de endeudamiento externo. Los flujos netos de capital privado extranjero en Asia pasaron de 102,300 millones de d´olares en 1996 a menos de 27,600 millones en 1998, correspondiendo el grueso de la ca´ıda a los cr´editos bancarios (que pasaron de 62,700 millones en 1996 a menos de 36,100 millones en 1998) y no bancarios (21,100 millones en 1996 y menos 5,300 millones en 1998), aunque tambi´en se redujo la inversi´on en cartera (de 13,900 millones a 4,300 millones). La pauta de desarrollo de Asia oriental se hizo vulnerable cuando comenz´o a modificar sus rasgos distintivos previos, esto es, cuando empez´o a reducir la intervenci´on del Estado en la econom´ıa y a abrir esta ´ultima, de manera indiscriminada, a los flujos comerciales y financieros internacionales. La interpretaci´on es la siguiente: las crisis fueron crisis de liberalizaci´on, o de manera m´as inequ´ıvoca, de desregu-laci´on (o de infrarregudesregu-laci´on) y de apertura. En palabras de Ajit Singh, ”si esos pa´ıses (los de Asia oriental) hubiesen seguido manteniendo el modelo asi´atico de inversi´on dirigida por el Estado y de control estatal del sistema financiero, no se habr´ıa producido una crisis en absoluto. La crisis se debi´o directamente a la desregulaci´on y a la liberalizaci´on, en virtud de las cuales los gobiernos renunciaron al control del sector financiero y de las actividades de inversi´on de las empresas privadas [6].

Por otra parte, la devaluaci´on del rublo (moneda rusa), el 17 de agosto de 1998, marc´o el fin de la estabilidad rusa y la necesidad de un nuevo programa de estabilizaci´on, as´ı como la necesidad de incrementar la recaudaci´on fiscal por parte del Estado. El descenso de los precios del petr´oleo en los meses previos ayud´o a debilitar a la moneda, aceler´o la incertidumbre y el riesgo en el pa´ıs e increment´o la fuga de capitales en cerca de 4,000 millones de d´olares s´olo unas semanas previas a la declaraci´on de la moratoria por parte de Rusia. Posterior-mente, la econom´ıa rusa tuvo tasas de crecimiento superiores a las del periodo que precedi´o a la crisis, tal como sucedi´o en los pa´ıses del sudeste asi´atico. El problema de la crisis financiera rusa radica no s´olo en la falta de previsi´on de c´omo se dio la transici´on de una econom´ıa centralizada a una econom´ıa de mercado sino en la falta de regulaci´on por parte de sus instituciones. Adem´as, la exposici´on de los bancos europeos en m´as de 30,000 millones de d´olares, de los bancos norteamericanos en 7,000 millones de d´olares y la incapacidad de la econom´ıa rusa en hacer frente a sus pagos puso en entredicho la rapidez de actuaci´on del FMI [4].

re-CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON ₅

curra a financiamientos externos. Sin embargo, el impacto ha sido diferente y en Brasil este proceso, al igual que en los otros pa´ıses, se ha visto acompa˜nado de devaluaci´on, crisis bancaria y reducci´on del gasto social por parte del Estado. A lo largo de varias d´ecadas el FMI ha dise˜nado diferentes planes de estabi-lizaci´on para Brasil, con el objeto de controlar la hiperinflaci´on y hacer frente al pago del servicio de la deuda externa. Como siempre, el ajuste econ´omico ha gravitado sobre la poblaci´on m´as pobre que constituye el 40 % de la poblaci´on total y a la que le corresponde s´olo el 8 % del ingreso nacional; en contraste, el 8 % de la poblaci´on de m´as altos ingresos recibe el 48 % del ingreso nacional. Esta distorsi´on en la distribuci´on del ingreso en los pa´ıses latinoamericanos y del sudeste asi´atico es consecuencia no s´olo de las devaluaciones sino tambi´en de las crisis bancarias que en buena medida derivan de la salida de capitales. As´ı, Brasil, que en 1997 fue considerado un promisorio mercado emergente en manos de un equipo econ´omico seguro, se convirti´o en un problema mundial m´as. El agotamiento de las reservas monetarias internacionales, por la salida del pa´ıs de 30,000 millones de d´olares, fue seguido de una operaci´on de apoyo internacional encabezada por el FMI. El manejo cuidadoso del momento ayud´o a evitar cualquier obst´aculo a la victoria electoral del presidente Cardoso ante su oponente Lula, de izquierda, en las elecciones de octubre. Tres semanas despu´es el gobierno anunci´o un programa de reducci´on de gastos y aumentos impositivos del orden de los 22,500 millones de d´olares. Lleg´o 1999 y los mercados obser-varon el lento progreso en la reducci´on del d´eficit del sector p´ublico. Los m´as de 40,000 millones de d´olares aportados por el FMI y otros organismos fueron insuficientes, el capital sigui´o saliendo del pa´ıs y la crisis monetaria explot´o. A fines de enero de 1999, la divisa brasile˜na, el real, hab´ıa ca´ıdo de 1.21 por d´olar estadounidense a 2.05. Los enviados del FMI volvieron a Brasilia; a ra´ız de esto, el 8 de marzo se anunci´o un nuevo programa econ´omico, mucho m´as severo que el anterior. En febrero de 1999, el gobierno, para cumplir con los objetivos de restricci´on fiscal, redujo la cantidad destinada a las raciones de alimentos de 98 millones de reales (48 millones de d´olares de 1998), a 47 millones (23 millones de d´olares). Esto afect´o severamente a alrededor de ocho millones de personas pertenecientes a los estratos m´as pobres de los 160 millones de habitantes de Brasil, cuya subsistencia depende de que el gobierno le suministre mensualmente arroz, porotos, az´ucar y aceite. Adem´as, la subvenci´on para el almuerzo escolar se redujo 35 %. El programa de estabilizaci´on brasile˜no, respaldado por las in-stituciones financieras internacionales, fracas´o; la estrategia era fijar la moneda local al d´olar, lo que redujo los precios de las importaciones y ejerci´o una presi´on comercial a la baja en los bienes de producci´on nacional. Se requirieron ingresos importantes de capital extranjero para incrementar las reservas monetarias in-ternacionales y poder defender el tipo de cambio, lo que oblig´o a elevar las tasas de inter´es reales al 20 y 30 por ciento. No solamente fue un modelo r´ıgido, sino que tambi´en ”externaliz´o” efectivamente la pol´ıtica econ´omica en un momento en que el capital hab´ıa inundado los mercados mundiales [4].

CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON ₆

tiene una econom´ıa diversificada, basada en la producci´on de textiles, siderur-gia, maquinaria el´ectrica y equipos electr´onicos; sin embargo, su escasez de re-cursos energ´eticos le ocasiona problemas econ´omicos, pues la factura petrolera es muy alta y la triplicaci´on de los precios del crudo a fines de la dec´ada de 1990 empeor´o su situaci´on. Los partidos isl´amicos tienen mucha afinidad con el iran´ı, lo cual ha alimentado algunas facciones extremistas e incluso el terrorismo urbano. La minor´ıa kurda en el este tambi´en a˜nade un elemento de violencia por su actitud desafiante e intenciones secesionistas. Sin embargo, Turqu´ıa apoy´o a la coalici´on en la guerra del Golfo, as´ı como -por conveniencia econ´omica- a EU y al Reino Unido en la imposici´on de las zonas de exclusi´on a´erea en Iraq, a pesar de que el gobierno iraqu´ı tambi´en combate a la minor´ıa kurda alojada en el norte por ser un foco constante de rebeli´on. Estos problemas pol´ıticos, junto con las extendidas pr´acticas de corrupci´on administrativa y la rivalidad entre facciones en altas esferas del gobierno y el parlamento, no pod´ıan sino precipitar la crisis en 2001 [4].

Desde 1999 Turqu´ıa estuvo tratando de adaptarse a la receta usual del FMI para tener acceso a sus cr´editos y as´ı apuntalar su d´ebil econom´ıa, marcada por una inflaci´on cercana al 100 % anual. Sin embargo, desde 1961 Turqu´ıa ha firmado 17 acuerdos con el FMI y los ha incumplido todos. El incumplimiento de los acuerdos, adem´as la crisis pol´ıtica por la rivalidad entre el primer ministro y el presidente, y la desconfianza en la econom´ıa afectaron r´apidamente al mercado burs´atil y a la divisa turca, obligando a una fuerte devaluaci´on de la moneda, la cual en tres a˜nos perdi´o 200 % de su valor frente al euro y al d´olar [4].

El ahorro, factor importante para cualquier econom´ıa sana, era casi inexis-tente, pues las tasas de inter´es ofrecidas por los bancos turcos a sus depositantes eran poco atractivas por ser inferiores a la tasa de inflaci´on; en consecuencia, en vez de ahorrar, la gente prefer´ıa gastar su dinero antes de que perdiera m´as valor. En cambio, las tasas de inter´es que se cobraban sobre los pr´estamos eran tan altas que frenaban la inversi´on y el crecimiento econ´omico; de este modo, el p´ublico prefer´ıa tener dep´ositos en el exterior antes que en los bancos lo-cales. As´ı se fue conformando un cuadro de creciente deterioro, similar a otros casos del tercer mundo. En suma, en Turqu´ıa se repiti´o el fen´omeno t´ıpico de tantas econom´ıas deficitarias, que dependen mucho de pr´estamos para seguir funcionando y alimentando as´ı la improductividad, ineficiencia y corrupci´on [4]. En cuanto a la econom´ıa argentina, ´esta crec´ıa a buen ritmo en la primera mitad de la d´ecada de 1990. La revista Euromoney hizo el reconocimiento a Domingo Caballo como el mejor ministro de finanzas del a˜no 1992. Sin embargo, la crisis financiera mexicana y, posteriormente, la crisis brasile˜na, as´ı como la liberalizaci´on de la cuenta de capital argentina, da˜n´o hondamente la econom´ıa y cre´o incertidumbre y fuga de capitales. A partir de 2001 Argentina pas´o a ser un pa´ıs de alto riesgo.

CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON ₇

en Jap´on. ¿C´omo un programa de consolidaci´on fiscal podr´ıa bajar las tasas de inter´es en Argentina cuando en el resto del mundo estaban subiendo? El plan hab´ıa creado grandes expectativas, pero pronto Argentina enfrent´o una crisis de confianza, los precios se elevaron a´un m´as y la situaci´on empeor´o.

La renegociaci´on de Argentina con sus acreedores y la deuda externa del sector p´ublico arroj´o un total de 130 mil millones de d´olares. En tanto, la deuda externa total se acerc´o a 200,000 millones de d´olares. Argentina, que en di-ciembre de 2000 recibi´o un respaldo financiero de 40,000 millones de d´olares, convino entonces con el FMI un programa de ajuste fiscal que, supuestamente, permitir´ıa al pa´ıs atender sus compromisos de deuda externa a corto plazo. Sin embargo, ocho meses despu´es, Argentina figura junto con Turqu´ıa entre los pa´ıses de menor estabilidad en los llamados ”mercados emergentes” [4].

El flujo de capitales, la inversi´on extranjera, la deflaci´on e inflaci´on, la in-versi´on masiva de capitales, el cumplimiento e incumplimiento de contratos, las crisis petroleras, las pol´ıticas econ´omicas erradas en pa´ıses subdesarrollados, la sobrevaloraci´on de moneda, etc, son fen´omenos econ´omicos muy complejos. Sin embargo el an´alisis de estos fen´omenos ha sido ´util para predicci´on de crisis financieras. No obstante, los especialistas universitarios en crisis financieras, las agencias internacionales de calificaci´on de riesgo, los analistas financieros e in-cluso el FMI y el Banco Asi´atico de Desarrollo (BAsD) fueron incapaces, todos ellos, de predecir, no s´olo las crisis, sino cualquier tipo de rev´es econ´omico o financiero de importancia. Las crisis mexicana como asi´atica evidenciaron este hecho [4].

Como consecuencia de esto, el estudio del comportamiento de los indicadores financieros, basados en modelos formales, es decir, de concepci´on matem´atica, han sido desarrollados por economistas, f´ısicos y matem´aticos.

CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON ₈

1.2.

Problem´

atica

Es claro que los desiquilibrios financieros afectan el desarrollo econ´omico de cualquier naci´on. En particular, las econom´ıas de los pa´ıses en desarrollo son m´as vulnerables. Pero no s´olo las econom´ıas emergentes han presentado crisis, sino tambi´en pa´ıses de primer mundo. En M´exico las crisis econ´omicas han gol-peado al sector social de diversas formas; en las crisis que han encarecido al pa´ıs, revisando los niveles de vida en M´exico, tenemos que: el consumo privado cay´o 12.9 % en 1995; el desempleo abierto aument´o de un promedio de 3.7 % en 1994 a un m´aximo de 6.3 % en septiembre de 1995; durante 1995 se perdieron m´as de 1 mill´on de empleos en el sector formal y la remuneraci´on media en el sector manufacturero cay´o 12.5 %; a´un cuando la tasa de desempleo abierto baj´o durante 1996 a 5.5 % en promedio, los salarios reales promedio continuaron su ca´ıda. En suma, entre el inicio de la crisis y julio de 1997, los salarios reales manufactureros bajaron en 39 % ya que los asalariados aparecen entre los m´as golpeados durante la crisis. Uno habr´ıa de esperar un aumento de la pobreza urbana, mientras que en el sector rural las ´areas productoras de bienes comercia-bles deber´ıan haberse beneficiado de la devaluaci´on real del peso. Sin embargo, los ingresos salariales y no salariales de agricultura cayeron fuertemente; por tan-to, la pobreza rural debe de haber aumentado tambi´en. Debido a que la recesi´on de 1995, particularmente a su magnitud, fue en su mayor parte inesperada, no exist´ıan redes de seguridad social efectivas en funcionamiento. Hubo un esfuerzo de parte del gobierno para limitar el impacto de la austeridad en los servicios sociales financiados p´ublicamente. Como proporci´on de los gastos programables, el gasto social de hecho subi´o de 51 % en 1994 a 52 % en 1995. No obstante, ya que el gobierno ten´ıa que reducir el gasto fiscal y, simult´aneamente, dedicar una porci´on m´as grande al servicio de la deuda, el gasto social se contrajo 12 por ciento en t´erminos reales. Tal y como sucedi´o en la crisis de 1982-1983, una gran parte de esta contracci´on se dio por permitir que los salarios reales del personal que trabaja en el sector social cayeran. La recesi´on de 1995 result´o en un au-mento en el desempleo m´as marcado que el de la recesi´on de 1983 [11]. A raz´on de lo revisado, en cuanto al impacto de las crisis econ´omicas, es necesario contar con herramientas cuantitativas que nos permitan analizar, entender, caraterizar, modelar y predecir este tipo de crisis, a fin de planificar o prever los efectos en la microeconom´ıa del sector social, o los efectos tipo ”domino”, producto de la globalizaci´on financiera.

1.3.

Justificaci´

on

CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON ₉

estad´ısticas de los mercados financieros han sido ya estudiadas, revelando sor-prendentes similitudes entre la din´amica de la volatilidad de precios en diversos mercados financieros y la cin´etica del crecimiento de interfaces rugosas. El ´exito de los modelos para caracterizar la volatilidad de precios basados en lo anterior se ha mostrado en trabajos, como el presentado por Oswaldo Morales para car-acterizar el comportamiento del mercado petrolero [14] y otros realizados por el Grupo Interdisciplinario Mec´anica Fractal (GMF) de la ESIME Zacatenco, liderado por el Dr. Balankin. En una de sus l´ıneas de investigaci´on el GMF se ha enfocado a desarrollar, implementar y evaluar m´etodos de an´alisis frac-tal, as´ı como su aplicaci´on a la morfolog´ıa y proyecci´on del comportamiento de sistemas complejos.

CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON ₁₀

1.4.

Objetivo

El objetivo principal del presente trabajo es aplicar un an´alisis basado en la teor´ıa de fractales que nos permita caracterizar los par´ametros estad´ısticos que gobiernan la din´amica global de la volatilidad del ´Indice de Precios y Cotiza-ciones de la Bolsa Mexicana de Valores.

Objetivos espec´ıficos

1. Mostrar de manera formal las propiedad de universalidad y autoorgani-zaci´on de la BMV a trav´es del an´alisis aplicado.

2. Confirmar la persistencia y las correlaciones a largo plazo de la volatilidad del IPC.

CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON ₁₁

1.5.

Metodolog´ıa

Para lograr el objetivo arriba planteado, la metodolog´ıa de la investigaci´on se divide entres etapas como se muestra en la figura 1.1.

Figura1.1: Metodolog´ıa.

Primer etapa:se establecen las bases para entender el funcionamiento de la Bolsa Mexicana de Valores, vista como un sistema complejo por lo que se exponen conceptos de la teor´ıa de fractales y de la f´ısica estad´ıstica.

Segunda etapa:se realiza el an´alisis y la caracterizaci´on de la volatilidad del IPC; dicho an´alisis se conforma por un an´alisis estad´ıstico (distribuciones estad´ısticas) y uno de escalamiento (exponente de Hurst).

Cap´ıtulo 2

MARCO CONCEPTUAL

El cap´ıtulo anterior nos da una idea del impacto tanto local como global, de las crisis financieras, las cuales son producto de una infinidad de causas; sin embargo, las causas se pueden cuantificar desde una perspectiva sist´emica. Las crisis son producto de la interacci´on de un gran n´umero de elementos, y cuya interacci´on no resulta simple para estudiarse como un modelo est´atico; siendo estrictos, los mercados financieros son sistemas complejos por su naturaleza, pero ¿qu´e es un sistema complejo?, si los mercados econ´omicos son un sistema complejo entonces ¿c´omo se estudian?, ¿c´omo los caracterizamos?. Por tanto, en este cap´ıtulo se define qu´e es un sistema complejo, c´omo se estudia y c´omo se caracterizan.

As´ı pues, en este cap´ıtulo se sientan las bases te´oricas que describen a los mercados como un sistema complejo, adem´as de c´omo la caracterizaci´on de ´estos se ha desarrollado con base a conceptos de la f´ısica estad´ıstica.

2.1.

Teor´ıa General de Sistemas

El inter´es por la concepci´on de sistemas y su estudio nace en forma de disciplina, la Teor´ıa General de Sistemas (TGS), a finales de la dec´ada de 1920 propuesta por el bi´ologo alem´an Ludwig von Bertalanffy, basando su estudio en las complejidades organizadas, donde el concepto de complejidad es distinto al expuesto en la teor´ıa de los sistemas complejos. De lo cual se hablara m´as adelante, pero ¿qu´e es un sistema?

Draper Kauffman define a un sistema como una colecci´on de partes que in-teract´uan con cada una de las otras partes para funcionar como un todo. Para Bertalanffy un sistema es un conjunto de elementos en interacci´on [15]. Las definiciones anteriores carecen de contexto y nos dejan divagando en una in-finidad de realidades, que dependen del observador [16]. Desde nuestro punto de vista o ”perspectivismo.” definiremos un sistema como una reuni´on o conjunto de elementos relacionados para lograr un fin com´un.

CAP´ITULO 2. MARCO CONCEPTUAL ₁₃

2.1.1.

Pensamiento de sistemas

La TGS es un enfoque filos´ofico que contempla cualquier fen´omeno que for-ma parte de un sistefor-ma y que, potencialmente por si mismo, puede ser tambi´en un sistema. El concepto de sistema por s´ı mismo carece de problemas y de obje-to de estudio. El estudio depende de los problemas de relaci´on, de estructuras e interdependencia m´as que de los atributos de cada elemento; enfatiza la apari-ci´on de propiedades emergentes, adem´as de resaltar una visi´on hol´ıstica en el estudio como entidades m´as que como conglomerado de partes. Es decir, el pen-samiento de sistemas (TGS) evita el reduccionismo a elementos, o estudio de s´olo las partes o disciplinas, desea constituir preceptos (axiom´aticos o no) para la convergencia a una ´unica realidad. De tal forma que las metas de la Teor´ıa General de Sistemas son las siguientes:

1. Integrar varias ciencias naturales y sociales que giran en torno a la TGS.

2. Buscar una teor´ıa exacta en los campos no f´ısicos de la ciencia.

3. Acercarse a la meta de la unidad de la ciencia.

4. Conducir a una integraci´on, que hace mucha falta en la instrucci´on cient´ıfi-ca [17].

La TGS como principio fundamental tiene la formulaci´on de principios v´ali-dos para sistemas en general, sea cual fuere la naturaleza de sus elementos componentes y las relaciones o fuerzas reinantes entre ellos. De tal suerte que la TGS es una ciencia general de la totalidad. De manera mas formal, dir´ıamos que la TGS es una disciplina l´ogica-matem´atica, puramente formal en si misma, pero aplicable a las varias ciencias emp´ıricas [17].

2.1.2.

Sistemas

Los te´oricos de sistemas coinciden en que el concepto de sistema no est´a lim-itado a entidades materiales sino que puede aplicarse a cualquier ”todo” que consista en una serie de elementos que interact´uan. La clasificaci´on de sistemas entonces se hace necesaria por la universalidad del concepto, adem´as de la necesi-dad de la tipificaci´on de los sistemas dependiendo del contexto o perceptivismo del observador. Dado lo anterior, se tienen las siguientes clasificaciones de sis-temas.

CAP´ITULO 2. MARCO CONCEPTUAL ₁₄

Sistemas Aislados, Sistemas Cerrados y Sistemas Abiertos[15]. Otra

clasificaci´on de tipos de sistemas nos la ofrece la diferenciaci´on tradicional que en f´ısica se hace entre sistemas aislados, sistemas cerrados y sistemas abiertos. La caracter´ıstica cr´ıtica para diferenciar unos de otros lo representan los inter-cambios de energ´ıa y/o materia con el medio. En los sistemas cerrados se producen intercambios de energ´ıa, pero no de materia, con el medio ambiente circundante. Un recipiente cerrado, con cualquier contenido en su interior, inter-cambia temperatura con el exterior (energ´ıa), pero no materia. Enlos sistemas abiertosse dan tanto intercambios de energ´ıa como de materia con el exteri-or. Un organismo vivo ser´ıa un ejemplo prototipo de ellos. Por ´ultimo, en los sistemas aisladosno ocurre ning´un tipo de intercambio, ni de energ´ıa ni de materia, con el exterior; el universo, considerado en su totalidad, es un ejemplo de ello.

La Jerarqu´ıa de Complejidad de K. Boulding[15]. Otro tipo de clasi-ficaci´on de sistemas fue propuesta en 1956 por el economista Keneth Boulding, quien distingu´ıa nueve niveles distintos de sistemas, ordenados de menor a may-or complejidad, entendiendo pmay-or complejidad tanto el grado de diversidad o variabilidad de los elementos que conforman el sistema como la aparici´on de nuevas propiedades sist´emicas. Estos nueve niveles (cuadro 2.1), que van desde las estructuras est´aticas hasta sistemas a´un por descubrir, son las siguientes:

1.- Estructuras estaticas 2.- Sistemas simples din´amicos 3.- Sistemas ciberneticos 4.- Sistemas abiertos 5.- Organismos inferiores 6.- Sistemas animales 7.- Sistema humano 8.- Sistemas socioculturales 9.- Complejidades por descubrir

Tabla2.1:Jerarqu´ıa de Boulding

1. Estructuras est´aticas, como por ejemplo un cristal, una roca, un mapa de una ciudad, una representaci´on gr´afica mediante organigrama de una organizaci´on, etc´etera. Se trata de sistemas est´aticos con propiedades es-tructurales.

CAP´ITULO 2. MARCO CONCEPTUAL ₁₅

3. Sistemas cibern´eticos, en los que se incluyen mecanismos de control me-diante dispositivos de feedback, como en un termostato, o en los procesos homeost´aticos de un organismo vivo. En este nivel los sistemas son capaces de procesar informaciones a un nivel que les permiten autorregularse.

4. Sistemas abiertos, como estructuras con una capacidad de auto-perpetuarse. Una c´elula es un excelente ejemplo de sistema abierto. Asimismo, y a difer-encia de los sistemas cibern´eticos (nivel 3), los sistemas abiertos mantienen una diferenciaci´on interna gracias a la relaci´on que mantienen con el en-torno.

5. Organismos inferiores, que presentan una diferenciaci´on creciente dentro del sistema (diferenciaci´on de funciones en el organismo), y en los que se puede distinguir entre la reproducci´on del propio sistema y el individuo funcional (a diferencia de los sistemas de nivel 4). Una planta, por ejemplo, genera semillas en las que va interno el c´odigo gen´etico para el posterior desarrollo del nuevo organismo.

6. Sistemas animales, en los que hay una mayor capacidad en el procesamien-to de la informaci´on del exterior para la evoluci´on de subsistemas recep-tores, como el sistema nervioso, etc´etera y en la organizaci´on de la propia informaci´on en cuanto a la generaci´on de una imagen o conocimiento es-tructurado sobre el entorno. Por otro lado, en los sistemas animales hay una capacidad de aprendizaje y una primera capacidad de conciencia sobre s´ı mismos.

7. Sistema humano, que incluye las capacidades de autoconciencia, autosen-sibilidad, y del simbolismo como medio de comunicaci´on. Todo ello gracias a la capacidad de manejo de una herramienta como es el lenguaje. Un sis-tema humano es capaz de preguntarse a s´ı mismo sobre c´omo se ve a s´ı mismo, sobre qu´e imagen tiene del entorno y actuar en consecuencia.

8. Sistemas socioculturales u organizaciones sociales, o conjuntos de individ-uos con capacidad de crear un sentido social de organizaci´on, de compartir cultura, historia y futuro, de disponer de sistemas de valores, de elaborar sistemas de significados, etc´etera. El nivel 8 recoge, como puede apreciarse, a los sistemas de nivel 7 en interacci´on, con lo cual aparecen y emergen, las ya mencionadas, y nuevas, propiedades sist´emicas.

9. Por ´ultimo, Boulding dejaba abierta la posibilidad a un noveno nivel en el que se hallar´ıan sistemas hoy no descubiertos o no existentes, pero que bien podr´ıan convertirse en realidades en futuros pr´oximos. Este nivel noveno ser´ıa, obviamente, todav´ıa m´as complejo que los precedentes.

CAP´ITULO 2. MARCO CONCEPTUAL ₁₆

y que los modelos emp´ıricos son deficientes en pr´acticamente todos los niveles (1956). Igualmente, y centr´andose en la ciencia de la administraci´on, Boulding argumentaba que, aunque las organizaciones pertenecen al nivel 8, en su estudio no se han desarrollado modelos m´as all´a de los niveles tercero y cuarto (sistemas cibern´eticos y sistemas abiertos, respectivamente). Por otra parte, esta jerarqu´ıa de complejidad puede concebirse, de tal manera que cada nivel incluye a todos los precedentes. De este modo, es posible la aproximaci´on a niveles m´as com-plejos a trav´es de modelos elaborados desde niveles menos comcom-plejos [18]. En los ´ultimos niveles (7, 8, 9) tenemos mayor grado de abstracci´on, el hecho del comportamiento humano, su interacci´on y la aparici´on de propiedades emer-gentes, generan un nuevo tipo de sistemas: sistemas complejos, donde la teor´ıa de los sistemas complejos estudia el comportamiento de los individuos y como se autoorganizan estas conductas colectivas.

2.2.

Sistemas Complejos

De 1997 a 2003 el n´umero de art´ıculos del servidor de los ´Alamos con el t´ermino complex system paso de 17 a 66, aunado al lanzamiento de revistas especializadas en problemas relacionados con este tipo de sistemas [19]. Sin embargo, el origen de la complejidad dista mucho de ser una cuesti´on actual, o de moda, desde el planteamiento de Boulding y desde que su TGS existe. Aunque como ciencia y objeto de estudio, tenemos que considerar como piedra angular de la Ciencia de la Complejidad al art´ıculo ”More is different” de P. W. Anderson [20] y del premio Nobel de F´ısica Phil Anderson, cuyo t´ıtulo se refiere precisamente al concepto de ”emergencia”, que es la principal caracter´ıstica en los sistemas complejos.

La Complejidad surge como un campo con personalidad propia en la dec´ada de 1990, porque el avance tecnol´ogico (computacional) facilita la capacidad de c´alculo, asimismo en esa d´ecada se comenz´o a entender, particularmente en la comunidad de F´ısica Estad´ıstica y No Lineal, que los objetos en interacci´on de los que se ocupa la Mec´anica Estad´ıstica no tienen porque ser part´ıculas, sino que pueden ser pr´acticamente lo que uno quiera. Y eso convirti´o a la F´ısica Estad´ıstica, que ten´ıa m´as o menos un siglo por ese entonces, en una de las herramientas b´asicas de la Complejidad [21].

2.2.1.

Definici´

on

No existe una definici´on precisa de sistemas complejos, pero por este tipo de sistemas se suelen entender aquellos en los que la din´amica est´a gobernada por ecuaciones no lineales presentando comportamientos ca´oticos, a menudo de alta dimensionalidad.

condi-CAP´ITULO 2. MARCO CONCEPTUAL ₁₇

cionado m´as por caracter´ısticas globales del sistema, como son sus simetr´ıas, di-mensionalidad, topolog´ıa de la interacci´on entre componentes, que por la din´ ami-ca individual. Por ello, sistemas pertenecientes a ´areas de conocimiento diver-sas, como es el caso de sistemas hidrodin´amicos, sistemas ´opticos no lineales, medios granulares, sistemas y circuitos electr´onicos, sistemas optoelectr´onicos, reacciones qu´ımicas, sistemas biol´ogicos, redes de comunicaci´on, pueden mostrar din´amicas globales e inestabilidades parecidas.

Siendo un poco m´as formales, podemos decir que un sistema complejo est´a con-st´ıtuido por muchas partes, iguales o distintas, que generalmente se relacionan de manera no lineal, y que est´an acopladas, lineal o no linealmente. Un sistema tal puede ser discreto, como en el caso de los aut´omatas celulares y las ecua-ciones diferenciales, o puede ser continuo, como en un sistema de ecuaecua-ciones diferenciales o una ecuaci´on en derivadas parciales. Es el hecho de su no lin-ealidad intr´ınseca lo que hace que los sistemas complejos sean algo m´as que la suma de sus partes, es decir, que su comportamiento sea impredecible desde una perspectiva puramente reduccionista. En ese sentido, la investigaci´on sobre sis-temas complejos solapa sustancialmente con la que se realiza sobre din´amica no lineal, pero los sistemas complejos son diferentes en el sentido de que incluyen un n´umero no peque˜no de partes din´amicas que interact´uan entre s´ı [22, 23].

2.2.2.

Caracter´ısticas y tipos de sistemas complejos

CAP´ITULO 2. MARCO CONCEPTUAL ₁₈

y/o espacio. Esto ´ultimo significa que estos sistemas tienen una apariencia sim-ilar a diferentes escalas y que no se puede encontrar un rasgo caracter´ıstico que nos indique la escala de observaci´on. Las leyes de potencia describen la manera en que las magnitudes que caracterizan al sistema se comportan cerca de una transici´on de fase, punto en el que t´ıpicamente el sistema presenta un estado auto-semejante, con ausencia de escalas de longitud caracter´ısticas [21]. Estos dos ´ultimos conceptos nos lleva a la auto-organizaci´on, este tipo de sistemas se autoorganiza hasta alcanzar cierto equilibrio (punto cr´ıtico); un ejemplo cl´asico de auto-organizaci´on es la pila de arena, en la cual los granos al caer van for-mando un peque˜no mont´on de arena con cierta pendiente. A medida que van cayendo los granos se producen peque˜nas avalanchas de arena de muy diversos tama˜nos, de tal modo que la pendiente permanece constante, se auto-regula. El sistema est´a siendo perturbado y se ”auto-organiza” disipando arena mediante avalanchas para mantener la pendiente. La distribuci´on de los tama˜nos de las avalanchas sigue una ley de potencias que los f´ısicos relacionan con fen´omenos cr´ıticos como son las transiciones de fase [21-23].

Ejemplos de sistemas complejos incluyen fractales, redes neuronales, aut´omatas celulares, sistemas como los lenguajes (palabras y estructuras de sentencias), genes prote´ıcos, an´alisis de datos de mercado; por mencionar algunos. Es nece-sario entonces diferenciar entre tipos de sistemas complejos. Al revisar la lit-eratura, podemos hallar clasificaciones como: estoc´asticos, no estocasticos, lin-eales y no linlin-eales (recordemos que la no linealidad es caracter´ıstica necesaria de un sistema complejo), fundamentalmente existen dos tipos de sistemas com-plejos [25]:

Primer tipo. Los que conocemos por lo simple de su din´amica, pero no re-conocemos lo complejo de sus comportamientos. En este caso podemos apuntar al an´alisis y la clasificaci´on de su posible comportamiento

Segundo tipo (o esencialmente sistemas complejos). Cuando no conocemos su din´amica y parcialmente conocemos su comportamiento. En este caso nuestra meta es simplificar la descripci´on de esos sistemas y, si es posible, hallar su din´amica [25, 26].

2.2.3.

Enfoques para caracterizar sistemas complejos

El estudio de los sistemas complejos se ha abordado con enfoques multi-disciplinarios; en los ´ultimos a˜nos la caracterizaci´on de estos sistemas se ha desarrollado dentro del marco de la teor´ıa de los fractales.

CAP´ITULO 2. MARCO CONCEPTUAL ₁₉

La F´ısica Estad´ıstica es otra forma de caracterizar los sistemas complejos, pues basicamente la Mec´anica Estad´ıstica proporciona un marco para rela-cionar las propiedades microsc´opicas de, por ejemplo, ´atomos, mol´eculas in-dividuales con las propiedades macroscopicas de los materiales (emergencia y auto-organizaci´on). Su aplicaci´on original fue en f´ısica, donde se utiliza, entre otras cosas para fundamentar la termodin´amica. Sin embargo, el concepto es mucho m´as general y trasciende esta aplicaci´on f´ısica, ya que no necesita apli-carse a ´atomos o mol´eculas sino que describe cualquier colectividad de objetos cuya din´amica individual e interacciones mutuas son conocidas. Es decir: a los sistemas complejos. La F´ısica Estad´ıstica es el marco matem´atico ideal para describir esos sistemas que, como hemos dicho, constan de muchos componentes acoplados. Y en esos componentes, a veces en ellos, a veces en su acoplamiento, es donde entra la no linealidad, el otro aspecto fundamental de la Complejidad.

2.3.

Conclusi´

on capitulo 2

Desde el contexto de los sistemas hemos discutido las caracter´ısticas gen-erales de los sistemas complejos donde destacamos al emergencia como su prcipal caracter´ıstica (figura 2.1). Dicha propiedad viene condicionada por la in-teracci´on social. Los sistemas sociales u organizaciones sociales seg´un Boulding es donde emergen y aparecen las nuevas propiedades sist´emicas y desde nuestro percepitivismo la ubicaci´on de los sistemas complejos en el mas alto nivel de la complejidad propuesta por Boulding. El comportamiento complejo se refiere a una situaci´on intermedia entre un estado bien ordenado y un estado totalmente desordenado. Por ejemplo, el crecimiento y organizaci´on espacial de una ciudad representa una situaci´on intermedia entre una distribuci´on aleatoria y una que siga las pautas con que se organiza un asentamiento militar. La raz´on es que los propios ciudadanos se autoorganizan en el desarrollo de la ciudad. De hecho, la observaci´on y el sentido com´un sugieren que la mayor´ıa de los fen´omenos que ocurren en la escala de las actividades diarias humanas muestran un balance delicado entre orden y desorden, d´andoles un status que es intermedio entre la rigidez de un orden est´atico perfecto y el azar describible por un proceso aleatorio, lo que provoca en el observador la idea intuitiva de ”complejidad”.

Una de las caractersticas m´as importantes de los sistemas sociales es que las interacciones entre los individuos no vienen prefijadas por una autoridad central organizadora ni est´an fijas en el tiempo. M´as bien los diversos elemen-tos que forman el sistema se autoorganizan, rompiendo y estableciendo nuevas interacciones dependiendo de las circunstancias. Por ejemplo, normalmente se puede mantener una colaboraci´on entre cient´ıficos siempre que ´esta sea benefi-ciosa. Pero en cuanto uno de los integrantes deje de colaborar al nivel esperado, el resto del grupo intentar´a buscar nuevos aliados. Es este aspecto din´amico y auto-organizado de interacciones sociales el que pretendemos asociar al compor-tamiento de la BMV.

CAP´ITULO 2. MARCO CONCEPTUAL ₂₀

Figura 2.1: Caracter´ısticas de sistemas complejos, y algunos sistemas que cumplen dichas caracter´ısticas, los mercados bursatiles parte de los mercados finacieros, exhiben propiedades de complejidad.

interacci´on de los agentes que operan en Bolsa se refleja en la evoluci´on de unos ´ındices, ofrece la ventaja de la abrumadora cantidad de datos precisos almacenados que permite validar o desechar teor´ıas y modelos. Uno de los prob-lemas de gran inter´es es el origen y las caracter´ısticas de las fluctuaciones de los diversos ´ındices en los mercados financieros. Estudios emp´ıricos sobre la dis-tribuci´on de las variaciones de los precios, indican que ´estos no se corresponden a las obtenidas en un mercado puramente aleatorio, sino que se observa que la probabilidad de fluctuaciones grandes (las correspondientes a un ”boom” o a un ”crash”) es mucho m´as frecuente. Esto indica que en los mercados de val-ores los agentes no toman sus decisiones de forma aislada. Las acciones de los agentes en algunos instantes producen un fen´omeno colectivo (auto-organizaci´on y emergencia).

En el caso particular de la Bolsa, el comportamiento gregario puede ser debido, por ejemplo, a agentes (”brokers”) que, usando las mismas herramientas para analizar los distintos activos, observan las mismas tendencias; a agentes que siguen rumores que se propagan en el parqu´e; a grandes transacciones que inducen a otros agentes a seguir la misma acci´on; a inversores que operando desde su casa siguen las sugerencias de la secci´on financiera de su matutino; etc. Por otro lado, la transmisi´on de la informaci´on, la comunicaci´on entre agentes (incluyendo rumores), en suma, es algo esencial en el funcionamiento de un mercado financiero.

Cap´ıtulo 3

TEOR´

IA DE FRACTALES

En la secci´on 2.2.2. se se˜nal´o que la universalidad (invariancia de escala) y las leyes de potencia son propiedades que exhiben los sistemas complejos reales, propiedades que no se establecen de manera empirica, en el capitulo anterior atribuimos algunas caracter´ısticas de complejidad a los mercados burs´atiles, el establecer la universalidad y leyes de potencia se hara desde la persepectiva de la teoria de fractales que en a˜nos recientes ha permitido entender la naturaleza de las estructuras desordenadas y su formaci´on mediante procesos aleatorios. Emplear el enfoque de escalamiento din´amico, el cual es utilizado en el estudio de la cin´etica de crecimiento de interfases (superficies) rugosas nos permitira establecer la invariancia a diferentes escalas. Por tanto en este cap´ıtulo se de-scriben los conceptos de la geometr´ıa fractal y el escalamiento din´amico en la caracterizaci´on de sistemas complejos.

3.1.

Geometr´ıa fractal

La geometr´ıa fractal, o teor´ıa de fractales, es un lenguaje matem´atico em-pleado para describir geometr´ıas complejas e irregulares, y especialmente ade-cuada para las computadoras debido a su naturaleza iterativa. El prop´osito de la geometr´ıa fractal es la de caracterizar cuantitativamente c´omo el espacio es ocupado por una curva o una geometr´ıa particular. La geometr´ıa fractal se aplica para caracterizar los fen´omenos cr´ıticos que presentan invariancia, como es el caso de las interfases, mediante la explotaci´on de su principal propiedad: la ausencia de una escala caracter´ıstica, por lo que no existe ninguna unidad asociada, es decir, el mismo modelo es v´alido para todas esas escalas [27].

Los fractales fueron concebidos aproximadamente en 1890 por el franc´es Hen-ri Poncar´e. Sus ideas fueron extendidas m´as tarde fundamentalmente por dos matem´aticos tambi´en franceses, Gaston Julia y Pierre Fatou. Hacia 1918 se tra-baj´o mucho en este campo durante varios a˜nos, pero el estudio qued´o congelado en la d´ecada de 1920. El estudio fue renovado a partir de 1974 en IBM y fue fuertemente impulsado por el desarrollo de la computadora digital. Mandelbrot,

CAP´ITULO 3. TEOR´IA DE FRACTALES ₂₂

de la Universidad de Yale, con sus experimentos de computadora, es considerado como el padre de la GEOMETR´IA FRACTAL.

La geometr´ıa fractal busca una regularidad en la relaci´on de un objeto y sus partes a diferentes escalas, es decir, estudia aspectos geom´etricos que son invari-antes con el cambio de escala. Dicho de otra forma, la geometr´ıa fractal aborda el estudio de formas geom´etricas no diferenciables o ”quebradas” a cualquier escala que se observen [28].

3.1.1.

Caracter´ısticas y propiedades

FRACTAL es un objeto geom´etrico de estructura irregular aparentemente ca´otica. Mandelbrot observ´o que estos objetos estaban presentes en muchos procesos y formas de la naturaleza [28]:

Procesos de separaci´on de fronteras de dos medios.

Procesos de ramificaci´on.

Procesos de formaci´on de porosidad.

Los fractales tienen dos caracter´ısticas fundamentales [29]:

Auto-similitud

Dimensi´on fractal

Auto-similitud: significa que cada porci´on de un objeto tiene las mismas caracter´ısticas del objeto completo. Tambi´en se puede decir que cada ´area de un fractal conserva, de manera estad´ısticamente similar, sus caracter´ısticas globales. Un ejemplo grafico es con el conjunto de Mandelbrot (figura 3.1).

Ejemplos introductorios y la construcci´on matem´atica de estos cuerpos ge-om´etricos se pueden encontrar en [28]. Para entender la dimensi´on fractal sub-rayemos que los fractales fueron descubiertos como un grupo de estructuras que presenta una paradoja para la teor´ıa de la medida.

La paradoja consisti´o en la imposibilidad de medir el tama˜no de algunos conjuntos a trav´es de un est´andar empleado. Por ejemplo, al medir la curva de Koch (figura 3.2) por el m´etodo de conteo de cajas tenemos como resultado que su l´ımite tiende a infinito. Lo parad´ojico radica en que la curva de Koch por este m´etodo es de dimensi´on infinita, pero esta se encuentra dentro de un ´area finita.

La soluci´on a tal paradoja es resultado de haber replanteado el concepto de dimensi´on. Sup´ongase que µ es la magnitud a ser medida; longitud, ´area o volumen de un cierto conjunto. El m´etodo para estimar µ es cubriendo la estructura original con conjuntos construidos a partir del propio µ, es decir

µi, y de longitud l. Si µ(l) = P_iµi es la aproximaci´on de µ en la escala l, la

dimensi´on de Hausdorff esta definida como:

D= l´ım

l→0

log(µ(l))

CAP´ITULO 3. TEOR´IA DE FRACTALES ₂₃

Figura3.1:La primera de estas cuatro im´agenes (superior izquierda) es el conjunto de Mandelbrot en su estado original, las siguientes figuras se generan ampliando un sector del fractal.

La dimensi´on de Hausdorff es un entero para los objetos geom´etricos cl´asicos como puntosD = 0, l´ıneas D = 1, cuadrados D = 2 o cubos D = 3, y toma valores no enteros para los fractales. Para el caso de la curva de Koch, D =

log(4)/log(3) = 1.2618, valor que se encuentra entre la dimensi´on de una l´ınea y de una superficie.

Se espera queD sea un n´umero finito, por la forma deµ(l). Si se considera un segmento de longitud L, la masa,µl, es el n´umero de peque˜nos segmentos

CAP´ITULO 3. TEOR´IA DE FRACTALES ₂₄

Figura3.2:Curva de Koch en diferentes etapas.

Figura3.3: curva de Peano, fractal de dimensi´onD= 2.

3.1.2.

Tipos de fractales

En la secci´on anterior hemos mencionado que las principales caracter´ısticas de los fractales son la auto-similaridad y la dimensi´on fractal, comencemos en-tonces por mencionar que existen dos tipos de fractales. Los lineales y los no lineales.

CAP´ITULO 3. TEOR´IA DE FRACTALES ₂₅

algunas geometr´ıas preestablecidas. Ejemplos de estos sistemas son las colonias de bacter´ıas o el crecimiento de cristales.

Los fractales no lineales, o auto-af´ınes, son aquellos que se generan a par-tir de distorsiones complejas usando un t´ermino proveniente de la matem´atica ca´otica: distorsiones no lineales [29]. La mayor´ıa de los objetos fractales pura-mente matem´aticos y naturales son no lineales. Ejemplos de ellos son el conjunto de Mandelbrot y el conjunto de Julia. Un fractal auto-af´ın es un conjunto que permanece invariante bajo una escala (estad´ıstica o literalmente) de transforma-ci´on anisotr´opica. A pesar de sus diferencias, en una escala de transformaci´on las direcciones no son completamente independientes. Si al hacer un zoom, uno de los ejes se transforma en un factorb,x−→bx, el resto de los ejes coordenados deben ser reescalados en un factorbαi_{, x}

i−→bαixi, con el objeto de preservar

al conjunto invariante. Los exponentesαi son llamados exponentes de Hurst y

nos indica cu´al es el grado de anisotrop´ıa del conjunto.

En el crecimiento de interfases, la dimensi´on especial corresponde a la direc-ci´on del crecimento. La existencia de una direcci´on privilegiada implica que solo existe un exponente de Hurst no trivial, el cual es conocido como exponente de rugosidad,α[27].

En algunos casos los fractales pueden ser expresados como funciones de un solo valor que dependen s´olo de la posici´onh(x1, x2, . . .). Una de estas funciones representa un fractal auto-af´ın siempre y cuando satisfaga la siguiente condici´on:

h(bx1, bα2x2, . . .) =b −α

h(x1, x2, . . .) (3.2)

Los fractales hasta el momento son generados por la repetici´on, a diferentes escalas, de un arreglo unitario. Es decir, son fractales construidos por la adici´on de un cierto n´umero de part´ıculas, o la perforaci´on de una figura, manteniendo algunas simetr´ıas preestablecidas. (El n´umero de part´ıculas agregadas fluct´ua o las direcciones son aleatoriamente elegidas). El conjunto resultante es un fractal muy particular llamado fractal aleatorio.

Para ambos tipos de fractales tenemos un concepto inherente a su compor-tamiento:invariancia. Este es un concepto fundamental para la comprensi´on de los fen´omenos asociados a la teor´ıa fractal. La rugosidad de interfases que crecen en no equilibrio es solo uno de los campos en donde la invariancia de escala se ha observado como una caracter´ıstica com´un y b´asica. Por ello la teor´a desarrolla-da para dicho campo es herramienta en la caracterizaci´on del comportamiento fractal.

3.2.

Crecimiento de interfases rugosas

CAP´ITULO 3. TEOR´IA DE FRACTALES ₂₆

El crecimiento de interfases rugosas bajo condiciones de no-equilibrio es un fen´omeno muy com´un en la naturaleza. Ejemplos de tales procesos incluyen la difusi´on, el quemado, el crecimiento de grietas, fraguado de materiales y flujo de fluidos en medios porosos [31].

La rugosidad de interfases que crecen en no equilibrio es s´olo uno de los campos en los cuales la invariancia de escala se ha observado como una carac-ter´ıstica com´un y b´asica. La invariancia de escala din´amica de las interfases en crecimiento, los eventos y la informaci´on sobre un amplio intervalo de escalas de longitud se presenta de tal manera que no importa cu´al es el tama˜no de la escala considerado, siempre se observa sorprendentemente una riqueza en estructuras complejas.

El hecho de que el crecimiento de interfases en sistemas en no-equilibrio ex-hiba propiedades de escalamiento complejas no nos dice nada acerca del por qu´e sucede as´ı. Por lo tanto, un punto crucial para comprender este fen´omeno es el origen de la invariancia de escala general de la rugosidad de interfase. Esto corresponder´ıa a la comprensi´on del origen de las estructuras fractales y de las propiedades de Criticidad Auto-Organizada (SOC1_{), a partir del} conocimien-to de los procesos f´ısicos microsc´opicos en la base de esconocimien-tos fen´omenos. Se ha hallado que el crecimiento estoc´astico de superficies exhibe un comportamiento en escalamiento no trivial y que evoluciona hacia un estado estacionario, que no tiene una escala de tiempo o espacio caracter´ıstica, lo cual ha conducido al desarrollo de un m´etodo general de escalamiento [32]. Para describir de man-era cuantitativa el crecimiento de interfases, este formalismo, que se basa en conceptos de invariancia de escala y fractales [33, 34], se ha convertido en una herramienta est´andar para estudiar el crecimiento de interfases. En particular, el m´etodo de escalamiento din´amico [32] se ha aplicado al estudio de un gran variedad de modelos te´oricos de interfases.

Se consideran las interfases como fractales auto-af´ınes aleatorios, pero s´olo en su estado final, la condici´on inicial de estos sistemas no se encuentra en dicha situaci´on.

3.2.1.

Escalamiento din´

amico

El m´etodo de escalamiento din´amico se ha aplicado al estudio de una gran variedad de modelos te´oricos de crecimiento de interfases. Los perfiles de altura,

h(x, t), son la piedra angular en el an´alisis de crecimiento de interfases [35]. Com´unmente las interfases son representadas por h(x, t), dondeh es la altura de superficie sobre la posici´on del substratoxen el tiempot. Los procedimientos para establecer el perfil dehno siempre estan bien definidos. Se han propuesto varias soluciones a dicho problema. La posibilidad m´as simple es considerar el valor m´aximo dehen cada posici´on. Mientras los m´aximos tengan un tama˜no caracter´ıstico, este m´etodo, o alg´un otro similar, puede ser v´alido.

Los experimentos realizados en laboratorio o en computadora generan uno de esos perfiles para cada tiempo de la medici´on. Si el experimento se repite,

1

CAP´ITULO 3. TEOR´IA DE FRACTALES ₂₇

el perfil de altura obviamente ser´a diferente. Este hecho agrega complejidad al proceso de definici´on de las cantidades promedio. Por ejemplo; consideremos la altura promedio para un perfil de altura espec´ıfico:

hhi(t) ={hhix}=

(

1

L X

i

hi(t)

)

(3.3)

donde{. . .}representa el promedio de un conjunto de diferentes perfiles de altura, mientras que h. . .ix corresponde a un promedio del espacio para un desorden

singular.

La cantidad b´asica a ser estudiada son las fluctuaciones de cada frente, a partir de la altura promedio.

δh(x, t) =h(x, t)− hhix(t) (3.4)

Se espera queδhse comporte como la masa o hiper-volumen en los fractales aleatorios. La principal diferencia es que esta magnitud puede tomar valores positivos o negativos. De hecho, el promedio de δh en el espacio es cero por definici´on,hδh(x, t)ix= 0. La primera magnitud a ser analizada es entonces el

primer momento de segundo orden; la anchura global de la interfase.

W(t, L) =

h[h(x, t)− hhix]2

1/2 =

[∆h(x, t)]2 1/2

(3.5)

En muchos casos pr´acticos una superficie plana es considerada como el estado inicialh(x, t= 0). Esto significa que la anchura global es cero ent. Despu´es el sistema evoluciona y la interfase llega a ser m´as rugosa. La ausencia de una escala caracter´ıstica hace patente que el crecimiento de la anchura en el tiempo se manifieste en forma de ley de potencia:

W(t, L)∼tβ (3.6)

La rugosidad de la interfase contin´ua hasta que el sistema alcanza un estado estacionario. Asimismo, la anchura de las superficies depende del tama˜no del sistema:

W(t > tsat)∼Lα (3.7)

Estas dos ´ultimas ecuaciones pueden expresarse como:

W(t, L)∼tβ=tβf(t/tx) =tβf(t/Lα/β) (3.8)

dondeαes el exponente de rugosidad (que caracteriza el r´egimen estacionario),β

CAP´ITULO 3. TEOR´IA DE FRACTALES ₂₈

f(u)∼







constante siu <<1

u−β

de otra manera

(3.9)

Este ansatz para el escalamiento de la anchura es conocido como escalamien-to de Family-Vicsek [32].

Otro aspecto importante a estudiar en todos los sistemas aleatorios es el de la correlaci´on, correlaci´on espacial en el caso del crecimiento de superficies. Esta funci´on se define como:

C(t, l) ={h∆h(x+l, t)∆h(x, t)ix} (3.10)

Normalmente para un tiempo especifico, la funci´on de correlaci´on toma un valor positivo (grande) enl = 0. Realmente la funci´onC(t, l) = 0) es igual al cuadrado de la anchura global. Adem´as, cuando se incrementallas correlaciones decrecen y estas llegan a ser cero despu´es de haber pasado una distanciaξ. El esquema b´asico es mantenido en cada momento, pero la distancia a la cual las correlaciones se desvanecen aumenta con el tiempo:

ξ∼t1/z _(3.11)

El exponentez es conocido como el exponente din´amico y nos proporciona informaci´on de qu´e tan r´apido las correlaciones se expande a trav´es del sistema. Este exponente se relaciona conαyβ mediante una relaci´on de escalamiento:

z=α/β (3.12)

Esta expresi´on se debe a que las correlaciones no pueden expandirse de manera infinita en un sistema de tama˜no finitoL. Por ende, la expansi´on debe detenerse en un tiempo especifico,tx∼Lz, para el cualξ(tx) =L. Despu´es de

este tiempotx, la din´amica del sistema alcanza un estado estacionario, en donde

la anchura o las correlaciones ya no cambian.

Existe otra funci´on que es la de segundo orden en ∆hy que debe ser men-cionada. Esta funci´on es la correlaci´on altura-altura en un mismo instante de tiempo:

G(t, l) =

(h(x+l, t)−h(x, t))2

x =

(∆h(x+l, t)−∆h(x, t))2

x

(3.13) La funci´onGes un puente entre al anchura global y la funci´on de correlaci´on:

G(t, l) = 2W2

(t, l)−2C(t, l) (3.14)

Este comportamiento de escalamiento es similar al escalamiento de la anchu-ra local. De hecho, en algunas ocasiones, paanchu-ra los valoresαcercanos a uno [36]