0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 Proporción no conformidades Probabilidad aceptación del lote
Figura A5.1 Curva característica del ejemplo 4 utilizando la distribución hipergeométrica b. Calcular el riesgo del productor y el riesgo del consumidor.
La probabilidad de aceptación del lote si éste tiene una proporción de no conformidades igual al
AQL=0,04 es 0,951, por lo que el riesgo del productor esα=1-0,951=0,049.
La probabilidad de aceptación del lote si éste tiene una proporción de no conformidades igual al LQL=0,3 es 0,136, por lo que el riesgo del consumidor es β=0,136.
c. ¿Cuál es el nivel de calidad indiferente?
El nivel de calidad indiferente es aquel que tiene una probabilidad asociada del 0,5; en este caso es 0,16. Este índice se interpreta de la forma siguiente: si los lotes llevarán un 16% de las unidades no conformes, la aceptación del lote podría decidirse al azar lanzando una moneda: si sale cara acep- tarlo y si sale cruz rechazarlo. De todas formas hay que remarcar
d. Realizar los apartados anteriores utilizando para el cálculo la distribución binomial.
En la tercera columna de la tabla A5.1 se encuentran los cálculos de las probabilidades de la curva característica se utiliza la hoja de cálculo Excel donde la fórmula en este caso es
= DISTR.BINOM(1;10;A3;VERDADERO)
y A es la columna de proporciones de unidades no conformes. Se puede pasar de la tabla al gráfico de la curva característica en la misma hoja de cálculo (Figura A5.2).
Módulo 2.Planes de muestreo 85 Curva característica 0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 Proporción de no conformidades Probabilidad aceptación de l lote
Figura A5.2 Curva característica del ejemplo 4 utilizando la distribución binomial
Tabla A5.1 Cálculo de las probabilidades de la curva característica del ejemplo 4 utilizando la distribución hipergeométrica y la binomial
Proporción de unida- des no conformes
Probabilidad de aceptación del lote
(Hipergeométrica)
Probabilidad de aceptación del lote
(Binomial) 0,02 0,991 0,984 0,04=AQL 0,951 0,942 0,06 0,891 0,882 0,08 0,818 0,812 0,1 0,738 0,736 0,12 0,657 0,658 0,14 0,576 0,582 0,16 0,500 0,508 0,18 0,428 0,439 0,2 0,363 0,376 0,22 0,333 0,318 0,24 0,278 0,267 0,26 0,229 0,222 0,28 0,187 0,183 0,3=LQL 0,136 0,149 0,32 0,108 0,121 0,34 0,085 0,096 0,36 0,066 0,076 0,38 0,051 0,060 0,4 0,039 0,046 0,42 0,029 0,036
Conclusión: A la vista de los cálculos realizados en la tabla A5.1, puede observarse que hay diferen- cias utilizando la distribución hipergeométrica y la binomial. El procedimiento correcto en este caso sería utilizar la distribución hipergeométrica puesto que el tamaño del lote no es suficientemente grande.
5. Un contrato de compra estipula la compra de componentes en lotes grandes que han de contener como máximo un 5% de componentes no conformes (el AQL=0,05). Para comprobar la calidad se inspeccionan 10 unidades del producto de cada lote, aceptando si hay como máximo una unidad de- fectuosa. Estudiar la probabilidad de aceptación de un lote cuando la proporción real de componentes no conformes en los lotes es 0,05, 0,10, 0,15 y 0,20.
Se trata de un plan de muestreo simple donde el tamaño de la muestra es n=10 y la aceptación del
lote es Ac=1.
Sea X la variable aleatoria “numero de no conformidades en una muestra de tamaño n=10”.
Como que el tamaño del lote N es grande (supongamos 10n<N) podemos aproximar la distribución de la variable aleatoria por una binomial de parámetros n=10 y p=probabilidad de no conformidad.
Dado el plan de muestreo n=10, Ac=1, la probabilidad de aceptar el lote si la proporción de no con-
formidad es P= 0,01; 0,05; 0,10; 0,15; 0,20 son1: P(aceptar el lote | p=0,01)=P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1)=B(1;10;0,01)=0,9957 P(aceptar el lote | p=0,05)=P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1)=B(1;10;0,05)=0,9139 P(aceptar el lote | p=0,10)=P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1)=B(1;10;0,10)=0,7361 P(aceptar el lote | p=0,15)=P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1)=B(1;10;0,15)=0,5443 P(aceptar el lote | p=0,20)=P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1)=B(1;10;0,20)=0,3758
A la vista de los resultados, podemos observar que:
•
Si el lote tiene un 1% de piezas no conformes (por debajo del nivel aceptable), tiene una probabi-lidad de aceptarlo de 0,9957, con lo cual al consumidor le puede parecer bien el plan de muestreo pero al fabricante no, ya que el contrato estipula un nivel de calidad aceptable de un 5% y si él sirve lotes con 1% de no conformidades le devolverán un 1,47% de los lotes.
•
Si el lote tiene un 5% de las piezas no conformes, tiene una probabilidad de aceptarlo de 0,9139,con lo cual al consumidor le puede parecer bien pero al fabricante no, ya que el contrato estipula un nivel de calidad aceptable de un 5% y si él sirve lotes con esta proporción le devolverán un 8,61% de los lotes.
1 Las probabilidades pueden calcularse con la hoja de cálculo excel con la fórmula
B(1;10;p=A·3)=DISTR.BINOM(1;10;A3;VERDADERO) o con las tablas de la Binomial del Anexo
.
Módulo 2.Planes de muestreo 87
•
Si el lote tiene un 10% de las piezas no conformes, tiene una probabilidad de aceptarlo de0,7361. con lo cual al consumidor no le parecerá bien, ya que el contrato estipulaba como máxi- mo un 5% de piezas no conformes y sólo rechaza un 26,39% de los lotes con un 10% de no con- formidades.
6. Dado el plan de muestreo n=25, Ac=1, utilizando la hoja de cálculo Excel, resolver las siguientes cuestiones teniendo en cuenta que el lote es de tamaño N = 1.000.
a. Calcular y dibujar la curva característica o curva operativa (OC) del plan de muestreo. Justificar la distribución de probabilidad utilizada para calcular las probabilidades.
En un plan de muestreo, la curva característica, o curva OC (operating characteristic curve), es una
función (o una curva, si la representamos gráficamente) que da la probabilidad de aceptación Pa de
un lote en términos de el porcentaje de no conformidades p. Dado el plan de muestreo n=25, Ac =1
para calcular las probabilidades asociadas a los porcentajes de no conformidades utilizaremos el
modelo probabilístico binomial puesto que el tamaño de la muestra 25 < N/10 donde N=1000 es el
tamaño del lote.
Sea la variable aleatoria X = ”número de unidades no conformes en la muestra de tamaño n=25”. X~ Binomial(25;p).
En la tabla A5.2 se dan algunas probabilidades de aceptación, calculadas a partir de la distribución binomial.
Tabla A5.2 Probabilidades de aceptación Porcentaje Probabilidad de acep-tación
1% 0,974 1,3% 0,958 1,4% 0,952 1,6% 0,940 2% 0,911 3% 0,828 4% 0,736 5% 0,642 6% 0,553 7% 0,470 8% 0,395 9% 0,329 10% 0,271 12% 0,180 14% 0,117 16% 0,074 18% 0,045 20% 0,027 22% 0,016 26% 0,005
Indicación: los cálculos pueden hacerse con la hoja de cálculo Excel con la fórmula =DISTR.BINOM(1;25;A3;1) o utilizando las tablas estadísticas del anexo.
Utilizando la hoja de cálculo puede dibujarse la curva característica:
Curva característica 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% Porcentaje de no conformidades pr ob ab ilid ad de ac ep ta ci ón
Figura A5. Curva característica del ejemplo 6 utilizando la distribución Binomial. b. ¿Qué valor identificarías como nivel de calidad aceptable (AQL)?
El nivel de calidad aceptable es el porcentaje no conforme que se considera aceptable en la inspec- ción. Se designa por AQL (acceptable quality level). El AQL es una indicación que se da al productor, y depende de criterios económicos y técnicos. Al usar este parámetro, es importante tener bien claro lo que significa, ya que, de lo contrario, puede generar expectativas sin fundamento. El AQL puede ser cualquier valor de p para el cual la probabilidad de aceptación sea alta (en general superior al
90%) . Normalmente se escoge del 0,95 y en este caso podría ser AQL=1,4%.
c. ¿Qué valor identificarías como nivel de calidad límite (LQ)?
La calidad límite es el porcentaje no conforme máximo que se considera aceptable en la inspección. Se designa por LQ (limiting quality), LQL (limiting quality level), RQL (rejectable quality level) o LTPD (lot tolerance percent defective). El significado de la LQ en un plan de muestreo es similar al del AQL,
pero de sentido contrario. Si p=LQL, la probabilidad de aceptación es baja (en general inferior al
10%). En este caso particular se podría cogerLQ=16%. ( Tabla A5.2).
d. ¿Cuál sería el riesgo del productor (α) y el del consumidor (β), teniendo en cuenta los valores AQL y LQ que se haya escogido?
El riesgo del productor α es la probabilidad de rechazar un lote con p=AQL (que debería ser acepta- do). Al escoger AQL= 1,4 % en la tabla A5.2, le corresponde una probabilidad de aceptación de 0,952, de donde se deduce que al hacer p=AQL la curva característica nos da Pa=1-α
En este caso α=1-0,952=0,048
El riesgo del consumidor, β, es la probabilidad de aceptar un lote con LQ de no conformidades (que debería ser rechazado).
Si LQ = 16 %, en la tabla A5.2 le corresponde una β=0,074.
Módulo 2.Planes de muestreo 89
7. Indicar el plan de muestreo (para inspección rigurosa) que propone la ISO 2859 1ª parte si se quieren inspeccionar lotes de N=20.000 unidades de forma continuada y el nivel de calidad aceptable (AQL) pactado con el proveedor es de 0,25% no conformidades.
Para escoger un plan de muestreo, la norma la ISO 2859 propone que a menos que se indique lo contrario se utilizará la inspección para usos generales nivel II.
Mirando la tabla 3.1 del capítulo 2 (Módulo 2), para un lote de tamaño N=20.000 unidades le corres-
ponde la letra código M.
Para la letra código M, para inspección rigurosa, mirando la tabla 3.4 del capítulo 2, le corresponde
para un AQL=0,25% el plan de muestreo n=315 Ac=1
8. Indicar el plan de muestreo (para inspección normal) que propone la ISO 2859 1ª parte si se quie- ren inspeccionar lotes de N=700 unidades de forma continuada y el nivel de calidad aceptable (AQL) pactado con el proveedor es de 0,15% no conformidades.
Para escoger un plan de muestreo, la norma la ISO 2859 propone que a menos que se indique lo contrario se utilizará la inspección para usos generales nivel II.
Mirando la tabla 3.1 del capítulo 2 (Módulo 2), para un lote de tamaño N=700 unidades le correspon-
de la letra código J.
Para la letra código J, para inspección normal, mirando la tabla 3.4 del capítulo 2, le corresponde para
un AQL=0,15% el plan de muestreo n=80 Ac=0.
9. Indicar el plan de muestreo (para inspección reducida) que propone la ISO 2859 1ª parte si se quieren inspeccionar lotes de N=500 unidades de forma continuada y el nivel de calidad aceptable (AQL) pactado con el proveedor es de 1% no conformidades.
Para escoger un plan de muestreo, la norma la ISO 2859 propone que a menos que se indique lo contrario se utilizará la inspección para usos generales nivel II.
Mirando la tabla 3.1 del capítulo 2 (Módulo 2), para un lote de tamaño N=500 unidades le correspon-
de la letra código H.
Para la letra código H, para inspección reducida, mirando la tabla 3.3 del capítulo 2, le corresponde
para un AQL=1% el plan de muestreo n=20 Ac=0 y Re=2, lo que indica que en caso de detectar una
unidad no conforme se acepta el lote y se restablece la inspección normal.
10. Con el plan escogido en el ejercicio 9 determinar ¿cuál sería la probabilidad de aceptar un lote de N=500 con 50 no conformidades?
La proporción de no conformidades del lote es p=50/500=0,10.
Sea X la variable aleatoria “número de no conformidades en una muestra de tamaño n=20”. Por ser
10n<N podemos aproximar X por la distribución binomial de parámetros n=20 y p=0,10. La probabili- dad de aceptar el lote con un 10% de no conformidades es:
P(aceptar el lote p=0,10)=P( X≤ 1)=B(1;20;0,10)=0,3917 ( mirando las tablas de la binomial).
Obsérvese que se ha hecho el cálculo de la probabilidad de aceptar el lote con el plan de muestreo n=20 Ac=1 ya que en el apartado anterior para inspección reducida, mirando la tabla 3.3 del capítulo
2, le corresponde para un AQL=1% el plan de muestreo n=20 Ac=0 y Re=2, lo que indica que en
caso de detectar una unidad no conforme se acepta el lote y se restablece la inspección normal.
11. Con el plan escogido en el ejercicio 9 determinar ¿cuál sería la el riesgo del productor α?.
El riesgo del productor, α, es la probabilidad de rechazar un lote con p=AQL (que debería ser acepta- do). La probabilidad de aceptar el lote cuando p=AQL=1% es:
P(aceptar el lote p=0,01)= P( X≤ 1)=B(1;20;0,01)=0,9831 ( mirando las tablas de la binomial). Por lo que la probabilidad de rechazarlo es:
α=1- P(aceptar el lote p=0,01)=1-0,9831=0,0169.
Módulo 3. Control estadístico de proceso 91
Módulo 3. Control estadístico de proceso
Capítulo 1. Introducción
Capítulo 2. Gráficos de control
2.1 Algunas fórmulas de los gráficos de control 2.2 Primeras ideas de los gráficos de control 2.3 Variantes de los gráficos de control 2.4 Límites de control
2.5 Pautas en los límites de control
Capítulo 3. Capacidad de un proceso
3.1 Variantes en la expresión de la capacidad 3.2 Índices de capacidad
3.3 Validez de los índices
Capítulo 4. Gráficos de control para variables
4.1 Gráficos de control para subgrupos 4.2 GráficosX R/ yX s/
4.3 Gráficos para observaciones individuales
Capítulo 5. Gráficos de control para atributos
5.1 Control de la proporción de unidades no conformes 5.2 Control del número de no conformidades
5.3 Control del número de deméritos