Curva característica

En un plan de muestreo, la curva característica o curva OC (operating characteristic curve) es una

función (o una curva, si la representamos gráficamente) que da la probabilidad de aceptaciónPa de

un lote en términos de p. La probabilidad de aceptación se calcula, bajo una de las dos hipótesis co- mentadas en la sección anterior, usando alguna de las fórmulas del Apéndice A3. Las curvas elabo- radas bajo el primero de los supuestos, el del muestreo aleatorio en una población finita, se llaman

curvas de tipo A, y las que se basan en el supuesto del muestreo en una población infinita homogé-

nea, curvas de tipo B. Esta distinción desaparece, a efectos prácticos, cuando el lote es mucho ma-

yor que la muestra. Sea cual sea el método de cálculo, la probabilidad de aceptación decrece al au- mentar p. En general, la curva característica tiene forma de S invertida.

El nivel de calidad aceptable es el porcentaje no conforme que se considera aceptable en la inspec- ción. Se designa por AQL (acceptable quality level). El AQL es una indicación que se da al productor, y depende de criterios económicos y técnicos. Al usar este parámetro, es importante tener bien claro lo que significa, ya que, de lo contrario, puede generar expectativas sin fundamento. El AQL puede ser cualquier valor de p para el cual la probabilidad de aceptación sea muy alta (en general superior al 90%). Por consiguiente, podemos asignar distintos valores de AQL a un mismo plan. Por ejemplo,

si en un plan de muestreo la probabilidad de aceptación de un lote con p = 2% es aproximadamente

igual al 95%, podemos asignar a este plan AQL = 2%, pero también AQL = 1,5%, o AQL = 2,25%, etc.

Módulo 2.Planes de muestreo 61

La calidad límite es el porcentaje no conforme máximo que se considera aceptable en la inspección. Se designa por LQ (limiting quality), LQL (limiting quality level), RQL (rejectable quality level) o LTPD (lot tolerance percent defective). El significado de la LQ en un plan de muestreo es similar al del AQL,

pero de sentido contrario. Si p = LQ, la probabilidad de aceptación es baja (en general inferior al

10%). Estos valores se usan en la selección de planes de muestreo, siendo el AQL el más corriente. Hay dos probabilidades asociadas a estos parámetros que aparecen a veces en la literatura sobre la

inspección por muestreo. El riesgo del productor α es la probabilidad de rechazar un lote con p

=AQL (que debería ser aceptado). Al hacer p = AQL, la curva característica nos da Pa= 1 - α. Natu- ralmente, α representa el riesgo de cometer un error, que, en un plan bien escogido, debe ser bajo. El

riesgo del consumidor, β, es la probabilidad de aceptar un lote con p = LQ (que debería ser recha- zado). Una vez fijados el AQL y la LQ, los riesgos α y β son las probabilidades de error al usar el plan de muestreo, sea rechazando lo que debería ser aceptado, sea aceptando lo que debería rechazarse. En la selección del plan deben tenerse en cuenta estos riesgos, ya que, para que un plan sea acep- table, ambos deben ser bajos (ordinariamente por debajo del 10%). Las tablas de muestreo disponi- bles, como las de la norma MIL-STD-105, son recopilaciones de planes de muestreo que cumplen este criterio.

El nivel de calidad indiferente, abreviadamente IQL (indifference quality level), es el porcentaje no conforme al que corresponde una probabilidad de aceptación del 50%. Se usa, a veces, en las tablas de muestreo.

El modo habitual de presentar los planes de muestreo en tablas; es identificarlos por el AQL No obs- tante, si alguien utiliza un plan seleccionado en una tabla de muestreo usando un cierto AQL podría creer que, como promedio, los lotes aceptados tienen un porcentaje no conforme inferior o igual al AQL, pero, en realidad, no es así. El AQL no representa más que un nivel de calidad que se conside- ra aceptable, y, por lo tanto, el plan tendrá entre otras consecuencias, la de no rechazar más que una proporción muy pequeña de lotes cuyo porcentaje no conforme sea inferior o igual al AQL. Pero eso no asegura que los lotes que aceptamos tengan esa calidad. Dicho de otro modo, el uso de un AQL

determinado supone una protección del productor en el sentido de que los lotes con p ≤ AQL serán

rechazados muy raramente, pero no una garantía para el consumidor, en el sentido de que los lotes

aceptados cumplan p≤ AQL.

Si el consumidor desea protegerse de la aceptación de lotes de calidad inferior, el camino es estable-

cer un valor de LQ adecuado. Si, por ejemplo, LQ = 8%, con un riesgo del consumidor β = 0,05, en un

plan de muestreo que cumpla estos requisitos será aceptado un 5%, aproximadamente, de los lotes con p = 8%. Si p > 8%, el porcentaje de lotes aceptados será menor del 5%.

Naturalmente, se puede rebajar α y β con muestras mayores, pero eso aumenta el coste de inspec-

ción. La elección del plan debe resultar de un compromiso entre la moderación del coste y el poder de discriminación del plan. En general, en los esquemas de muestreo, que son conjuntos de planes es- cogidos con un cierto método, se propone el plan más barato dentro de los que mantienen los riesgos en un nivel satisfactorio.

Ejemplo 3

Vamos a calcular algunas probabilidades de aceptación para dos planes de muestreo simple:

• Plan A: Extraer una muestra de 20 unidades y aceptar el lote si no hay unidades no conformes

(n = 20, Ac = 0).

• Plan B: Extraer una muestra de 50 unidades y aceptar el lote si hay, como máximo, una no con-

forme (n = 50, Ac = 1).

La tabla 2.1 da algunos valores de la probabilidad de aceptación para estos planes, calculados a par- tir de la fórmula binomial en una hoja Excel. Se puede pasar de la tabla a un gráfico (la curva caracte- rística) en la misma hoja de cálculo (Figura 2.1).

TABLA 2.1 Probabilidades de aceptación en función del porcentaje no conforme del lote para los planes A y B

Porcentaje Plan A Plan B

0,1% 0,9802 0,9988 0,2% 0,9608 0,9954 0,5% 0,9046 0,9739 1% 0,8179 0,9106 2% 0,6676 0,7358 3% 0,5438 0,5553 4% 0,4420 0,4005 5% 0,3585 0,2794 6% 0,2901 0,1900 7% 0,2342 0,1265 8% 0,1887 0,0827 9% 0,1516 0,0532 10% 0,1216 0,0338 15,0% 0,0388 0,0029 20,0% 0,0115 0,0002 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0% 1,5% 3,0% 4,5% 6,0% 7,5% 9,0% 10,5% 12,0% 13,5% 15,0% Porcentaje de no conformidades

Probabilidad aceptación del

lote

Figura 2.1 Curvas características de los planes A (línea con cuadrado) y B (línea con rombo) del Ejemplo 3.

De la tabla resulta que el plan A sólo podría ser adecuado para AQL < 0.50%, mientras que el plan B

sería adecuado para AQL ≤ 1%. Por otro lado, el plan A no sería adecuado para LQ = 8%, pero el

plan B sí.

Módulo 2.Planes de muestreo 63