Hemos visto que dos curvas el´ıpticas son isomorfas si y s´olo si tienen el mismo invariante. Ahora bien, si estamos estudiando —por ejemplo— el conjunto de puntos racionales de una curva el´ıptica dadaE/k, no podemos sustituirla por otra curva isomorfa cualquiera, puesE(k) puede cambiar completamente, sino que a lo sumo podemos reemplazarla por una curva el´ıptica k-isomorfa. Esto plantea diversas cuestiones que vamos a tratar aqu´ı, como en cu´antas clases distintas de curvask-isomorfas se descompone una clase de isomorf´ıa de curvas.
Cohomolog´ıa no abeliana Los problemas que vamos a abordar se tratan m´as adecuadamente con unos m´ınimos rudimentos de cohomolog´ıa no abeliana: Supongamos que el grupo de Galois G(k/k) act´ua sobre un grupo M no necesariamente abeliano, es decir, que tenemos un homomorfismo de grupos
ρ:G(k/k)−→Aut(M).
Diremos que la acci´on es discretasi para cadam∈M el estabilizador Est(m) ={σ∈G(k/k)|mσ =m}
tiene ´ındice finito enG(k/k) o, lo que es lo mismo, es de la formaG(k/l), para cierta extensi´on finitaldek. Esto equivale a que la aplicaci´on
ρ:G(k/k)×M −→M
inducida por la acci´on sea continua cuando enG(k/k) consideramos la topolog´ıa de Krull y enM la topolog´ıa discreta. En estas condiciones, definimos el grupo de cohomolog´ıa
H0(k/k, M) ={m∈M |mσ=mpara todoσ∈G(k/k)}.
Uncocicloes una aplicaci´onξ:G(k/k)−→M que cumple la relaci´on
ξστ =ξτξστ.
Diremos que ξ es continuo si lo es respecto a la topolog´ıa de Krull y la topolog´ıa discreta en M, es decir, si ξσ depende ´unicamente de la clase de σ
m´odulo un subgrupo de ´ındice finito en G(k/k) o, dicho de otro modo, si ξ
est´a inducido por una aplicaci´onξ:G(l/k)−→M, para cierta extensi´on finita normalldek.
Diremos que dos cociclosξyζsoncohom´ologossi existe unm∈M tal que
ξσmσ=mζσ para todoσ∈G(k/k).
CuandoM es un grupo abeliano, los cociclos continuos forman un grupo con el producto definido puntualmente, y la cohomolog´ıa de cociclos es la congruen- cia respecto al subgrupo de las cocadenas (los cociclos cohom´ologos al cociclo
constante 1). Sin embargo, cuandoM no es abeliano los cociclos no forman un grupo, aunque la cohomolog´ıa sigue siendo una relaci´on de equivalencia. Por lo tanto podemos definir el conjunto cociente del conjunto de todos los cociclos continuos respecto a la relaci´on de cohomolog´ıa, y lo representaremos por
H1(k/k, M).
Grupos de automorfismos SiC/kes una curva proyectiva regular llamare- mos Aut(C) al grupo de automorfismos de C en el sentido usual en geometr´ıa algebraica, es decir, al grupo de las biyecciones regulares con inversa regular de
C en s´ı misma.
Cuando C/ksea una curva el´ıptica escribiremos Autg(C) (donde lag hace
referencia a “automorfismos geom´etricos”) para distinguir a este grupo del grupo de automorfismos algebraicos (automorfismos geom´etricos que adem´as conser- van la estructura de grupo). El teorema siguiente muestra la relaci´on entre ambos:
Teorema 2.39 Si E/k es una curva el´ıptica, la aplicaci´on
Aut(E)×E−→Autg(E)
dada por(φ, P)→φτP (dondeτP(Q) =P+Q)es biyectiva, y es un isomorfismo
de grupos si enAut(E)×E consideramos el producto semidirecto inducido por la acci´on natural de Aut(E)sobreE, es decir,
(φ, P)(ψ, Q) = (φψ, ψ(P) +Q).
Demostraci´on: La suprayectividad se debe a que todo automorfismo geom´etrico que fije al neutroOes un isomorfismo algebraico. Por consiguiente, dadoα∈Autg(E), tomamos P =α(O) y φ=ατ−P, de modo que φ(O) =O,
luegoφ∈Aut(E) y (φ, P)→ατ−PτP =α.
La inyectividad es trivial, pues si φτP = ψτQ, evaluando en O obtenemos
P =Q, de donde tambi´enφ=ψ.
Por ´ultimo vemos que el producto de las im´agenes de (φ, P) y (ψ, Q) es
φτPψτQ =φψψ−1τPψτQ =φψτψ(P)τQ =φψτψ(P)+Q,
que es la imagen del par (φψ, ψ(P) +Q).
Curvas conjugadas Introducimos ahora el concepto principal de esta secci´on:
Definici´on 2.40 Diremos que dos curvas proyectivas regulares C/k y C/k
sonconjugadassi son isomorfas (sobre k). Representaremos por Conj(C/k) al conjunto cociente del conjunto de curvas conjugadas con C/k respecto de la relaci´on de equivalencia dada por lak-isomorf´ıa.
Por ejemplo, todas las curvas el´ıpticasEn/Qdadas porY2=X3−n2X son
conjugadas (pues tienen invariantej= 1728), pero no son todasQ-isomorfas. Si lo fueran, todos los n´umeros naturales ser´ıan congruentes (o no lo ser´ıa ninguno). Notemos ahora que G(k/k) act´ua discretamente sobre Aut(C) mediante la acci´on dada por φσ(P) = φ(Pσ−1)σ. En efecto, si φ est´a definido sobre l,
entoncesG(k/l) estabiliza aφ.
Si C/kes una curva proyectiva regular y C/k es una curva conjugada con
C/k, elegimos un isomorfismoφ:C−→C y, para cadaσ∈G(k/k), definimos
ξσ =φ−1◦φσ∈Aut(C).
Vamos a comprobar que se trata de un cociclo continuo. Ciertamente es un cociclo:
ξστ =φ−1◦φστ= (φ−1φτ)(φ−1φσ)τ=ξτξτσ.
Adem´as es continuo, pues siφest´a definido sobre una extensi´on finita normal
l dek, entoncesξσ s´olo depende de la clase deσ m´oduloG(k/l).
Ahora demostramos que la clase de cohomolog´ıa [ξ]∈H1(k/k,Aut(C)) s´olo
depende de la clase de conjugaci´on de C/k. En efecto, si C/k es una curva
k-isomorfa a C/ky ψ:C−→C es un isomorfismo, hemos de probar que los cociclosξσ=φ−1◦φσ yζσ=ψ−1◦ψσ son cohom´ologos.
Tomemos unk-isomorfismoθ:C −→C y sea α=φ−1◦θ◦ψ∈Aut(C).
Entonces
ξσασ =φ−1◦θ◦ψσ=φ−1◦θ◦ψ◦ζσ=αζσ.
Con esto tenemos probada una parte del teorema siguiente:
Teorema 2.41 Sea C/k una curva proyectiva regular. Para cada curva C/k
conjugada con C/k elegimos un isomorfismo φ : C −→ C y para cada auto- morfismo σ ∈ G(k/k) definimos ξσ =φ−1◦φσ. Entonces la correspondencia
C/k→ξinduce una biyecci´on
Conj(C/k)−→H1(k/k,Aut(C)).
Demostraci´on: Tenemos probada la existencia de la aplicaci´on inducida. Falta ver que es biyectiva. Supongamos queC/kyC/kson curvas conjugadas conC/kque determinan la misma clase de cohomolog´ıa. Elegimos isomorfismos
φ : C −→ C y ψ : C −→ C y formamos los cociclos ξσ = φ−1◦φσ, ζσ =
ψ−1 ◦ψσ. Por hip´otesis existe α ∈ Aut(C) tal que ξ
σασ = αζσ, para todo
σ∈G(k/k). Consideramos el isomorfismoθ=φ◦α◦ψ−1:C−→C. Vamos
a probar que est´a definido sobrek. En efecto, siσ∈G(k/k), tenemos que
θσ=φσ◦ασ◦(ψ−1)σ=φ◦ξσασ◦(ψ−1)σ =φ◦αζσ◦(ψ−1)σ=φ◦α◦ψ−1=θ.
Esto prueba que la correspondencia es inyectiva. La parte m´as delicada es la suprayectividad. Consideremos un cociclo ξ : G(k/k) −→ Aut(C). Cada
σ∈ G(k/k) determina un automorfismo ξσ :C −→ C, el cual determina a su
vez unk-automorfismo de cuerpos ¯ξσ:k(C)−→k(C).
Para cada f ∈k(C) definimosf σ= ¯ξσ(fσ). Se comprueba inmediatamente
que se trata de una acci´on discreta de G(k/k) sobrek(C) (distinta de la usual, denotada porfσ). Definimos
L={f ∈k(C)|f σ=f para todoσ∈G(k/k)}.
Es claro que Les un subcuerpo de k(C). Adem´as L∩k=k, pues sif ∈k
se cumple quef σ =fσ. Veamos ahora quekL=k(C). Tomamosf ∈k(C) y
seal/k una extensi´on finita normal tal quef σ=f para todoσ∈G(k/l). Sea
α1, . . . , αn unak-base dely seaG(l/k) ={σ1, . . . , σn}. Los elementos
gi= n j=1 (αif)σj = n j=1 ασj i (f σj) est´an claramente enL.
Por otra parte, la matriz (ασj
i ) es regular, pues el cuadrado de su determi-
nante es el discriminante de la base. Esto nos permite despejar cada fσj (en
particularf) como combinaci´on lineal de losgi, lo que prueba quef ∈kL.
En particular tenemos que Ltiene grado de trascendencia 1 sobre k, luego es un cuerpo de funciones algebraicas sobre el cuerpo de constantes (exacto)k. Esto implica queL esk-isomorfo ak(C), donde C/kes una curva proyectiva regular.
El isomorfismo se extiende a unk-isomorfismoφ:k(C)−→k(C). A trav´es de φ, la acci´on que hemos definido en k(C) se corresponde con una acci´on de
G(k/k) enk(C) que fija ak(C) y coincide con la natural sobrek. Ahora bien, estas dos propiedades determinan completamente a dicha acci´on, luego ´esta ha de coincidir con la acci´on usual de G(k/k) sobre k(C). En otros t´erminos, para toda funci´onf ∈k(C) y todoσ∈G(k/k) tenemos queφ(f)σ =φ(f σ) =
φ(ξσ◦fσ).
Sea φ:C−→C el isomorfismo de curvas que induce elk-isomorfismoφ, es decir, tal queφ(f) =φ◦f. Entonces
φσ◦fσ =φ◦ξσ◦fσ,
para todaf ∈k(C), de donde podemos concluir que φσ =φ◦ξσ o, lo que es lo
mismo,ξσ=φ−1◦φσ. Esto significa que la clase de la curvaC/ken Conj(C/k)
se corresponde con la clase deξenH1(k/k,Aut(C)).
Espacios Homog´eneos Vamos a ver que si E/k es una curva el´ıptica, las curvas conjugadas con E/k determinadas por cociclos con valores enE tienen una estructura adicional. En primer lugar describiremos dicha estructura y luego la relacionaremos con la cohomolog´ıa.
Definici´on 2.42 SeaE/k una curva el´ıptica unespacio homog´eneo(principal) paraE/kes una curva proyectiva regularC/kjunto con una aplicaci´on regular + :C×E−→C definida sobrekque cumpla las propiedades siguientes:
a) p+O=p, para todop∈C,
b) (p+P) +Q=p+ (P+Q), para todop∈C,P, Q∈E,
c) Para cada p∈C, la aplicaci´onθp :E −→C dada por θp(P) =p+P es
un isomorfismo.
En particular, la propiedad c) implica que todo espacio homog´eneo sobre
E/k es una curva conjugada con E/k. Otra consecuencia es que para cada par de puntos p, q ∈ C existe un ´unico punto P ∈ E tal que p+P = q. Representaremos a este punto porP =q−p.
Notemos que la resta − :C×C −→ E es una aplicaci´on regular definida sobrek. En efecto, fijamos un puntop0∈C y observamos que1
θ−p01(q)−θp−01(p) =p0+θp−01(q)−(p0+θ
−1
p0 (p)) =q−p.
Comoθ−1p0 (y la resta enE) es regular, concluimos que la resta enCtambi´en lo es. Por otra parte, siσ∈G(k/k), vemos que
θσp(P) =θp(Pσ −1
)σ=pσ+P =θpσ(P),
luegoθσ
p =θpσ y, en consecuencia, (θp−1)σ =θp−σ1. Por consiguiente:
(p−q)σ=θq−1(p)σ= (θσq)−1(pσ) =θq−σ1(pσ) =pσ−qσ,
lo que significa que la resta est´a definida sobrek.
Diremos que dos espacios homog´eneos C/k yC/k para una curva el´ıptica
E/k sonequivalentes si existe un isomorfismoθ:C−→C definido sobrektal que
θ(p+P) =θ(p) +P,
para todop∈C,P ∈E.
Definimos elgrupo de Weil-Chˆateletde una curva el´ıpticaE/kcomo el con- junto de clases de equivalencia de espacios homog´eneos paraE/k. (Enseguida veremos que tiene una estructura natural de grupo.) Lo representaremos por WC(E/k).
Es claro que E/k es un espacio homog´eneo para s´ı misma considerando la acci´on definida por traslaciones. Los espacios homog´eneos equivalentes a E/k
se llamantriviales. Veremos que la clase trivial es el elemento neutro del grupo de Weil-Chˆatelet. En primer lugar damos una caracterizaci´on sencilla:
Teorema 2.43 Si C/kes un espacio homog´eneo para una curva el´ıpticaE/k, entonces C/kes trivial si y s´olo si C(k)=∅.
1Aqu´ı usamos que, en general, (q+Q)−(p+P) = (q−p)+(Q−P), pues esto es equivalente aq+Q=p+P+ (q−p) +Q−P, que es una consecuencia inmediata de la definici´on de espacio homog´eneo.
Demostraci´on: Si C/k es trivial y θ : E −→ C es una equivalencia de espacios homog´eneos, entoncesθ(O)∈C(k).
Rec´ıprocamente, si p0 ∈ C(k), el isomorfismo θp0 : E −→ C est´a definido sobreky es una equivalencia de espacios homog´eneos, pues
θp0(P+Q) =p0+P+Q=θp0(P) +Q.
Ejemplo Si E/k es una curva el´ıptica sobre un cuerpo finito k, entonces WC(E/k) = 0.
Esto es consecuencia de que todo cuerpo de funciones algebraicas sobre un cuerpo finito tiene al menos un divisor primo de grado 1. En particular, siC/k
es un espacio homog´eneo para E/k, tenemos que k(C) tiene un divisor primo de grado 1, que se corresponde con un punto deC(k) y, por consiguiente,C/k
determina la clase trivial en WC(E/k).
Teorema 2.44 Si E/k es una curva el´ıptica, existe una biyecci´on WC(E/k)−→H1(G(k/k), E)
definida como sigue: para cada clase [C/k] ∈WC(E/k) elegimos p0 ∈ C y le
asignamos la clase del cociclo{pσ
0−p0}σ.
Demostraci´on: Veamos que la aplicaci´on est´a bien definida. En primer lugar,{pσ
0 −p0}σ es un cociclo:
pστ0 −p0= (p0στ−pτ0) + (pτ0−p0) = (pσ0 −p0)τ+ (pτ0−p0).
Adem´as es continuo, pues sip0∈k, depende s´olo de la clase de σm´odulo G(k/k).
En segundo lugar, la imagen no depende de la elecci´on del representante
C/k ni del puntop0, pues si C/k es un espacio equivalente yp0 ∈C(k), sea θ:C−→C la equivalencia. Entonces
pσ0−p0=θ(pσ0)−θ(p0) = (p0σ−p0) + (θ(p0)σ−p0σ)−(θ(p0)−p0),
luego los cociclos{pσ0−p0}σy{p0σ−p0}σse diferencian en la cocadena inducida
porm=θ(p0)−p0 e inducen la misma clase de cohomolog´ıa.
Ahora veamos que la aplicaci´on es inyectiva. Si dos espacios homog´eneos
C/kyC/kdeterminan cociclos cohom´ologos{pσ
0−p0}σy{p0σ−p0}σ, entonces
existe unm∈E tal que
pσ
0−p0= (p0σ−p0) + (mσ−m),
para todoσ∈G(k/k). Definimosθ:C−→Cmedianteθ(p) =p0+(p−p0)+m.
Es claro queθ es un isomorfismo. Adem´as, siσ∈G(k/k) vemos que
=p0+ (p0σ−p0) + (p−pσ0) + (mσ−m) +m
=p0+ (pσ0−p0) + (p−pσ0) +m=p0+ (p−p0) +m=θ(p),
luegoθest´a definido sobrek. Se comprueba inmediatamente queθes compatible con la acci´on deE, luegoC/k yC/k son equivalentes.
Por ´ultimo, veamos que la aplicaci´on es suprayectiva. El teorema 2.39 nos permite ver a E como subgrupo de Autg(E), luego tambi´en podemos ver un
cociclo {ξσ}σ sobre E como cociclo sobre Autg(E). Enseguida veremos que
hemos de pasar al cociclo{−ξσ}σ. El teorema 2.41 nos da una curvaC/kjunto
con un isomorfismo φ : C −→ E tal que para todo σ ∈ G(k/k) se cumple
φ−1◦φσ=−ξσ. En particular,
(φ−1)σ◦φ=−ξσσ−1=ξσ,
donde hemos usado la ecuaci´on de los cociclos teniendo en cuenta queξ1=O.
Definimos + :C×E−→C mediantep+P =φ−1(φ(p) +P). Veamos que la suma est´a definida sobrek. Para ello tomamosσ∈G(k/k) y calculamos
(p+P)σ= (φ−1)σ(φσ(pσ) +Pσ) =φ−1(φ(pσ)−ξσ+Pσ+ξσ) =pσ+Pσ.
Ahora es inmediato comprobar que C/kes un espacio homog´eneo con esta suma (su estructura es la trasladada a trav´es de φ de la estructura trivial de espacio homog´eneo enE/k). Para calcular su cociclo, tomamos p0 =φ−1(O),
con lo que
pσ0−p0= (φ−1)σ(O)−φ−1(O) =φ−1(O+ξσ)−φ−1(O) =ξσ,
pues, ciertamente, φ−1(O) +ξσ = φ−1(O+ξσ) por la definici´on de la suma.
ComoEes un grupo abeliano,H1(G(k/k), E) es un grupo, luego la biyecci´on
descrita en el teorema anterior induce una estructura de grupo en el conjunto WC(E/k). Es inmediato que el elemento neutro es la clase trivial.
Curvas el´ıpticas conjugadas Nos ocupamos ahora de las curvas conjugadas con una curva el´ıptica dadaE/k correspondientes a cociclos con valores en el grupo Aut(E) de los automorfismos deE como curva el´ıptica.
Notemos que el teorema 2.39 nos da homomorfismos de grupos
i: Aut(E)−→Autg(E), j : Autg(E)−→Aut(E)
tales quei◦j= 1, donde ies la inclusi´on. Estos homomorfismos inducen a su vez aplicaciones
i:H1(G(k/k),Aut(E))−→H1(G(k/k),Autg(E)),
tales quei◦j = 1, por lo queies inyectiva y podemos ver aH1(G(k/k),Aut(E)) como subconjunto deH1(G(k/k),Aut
g(E)).
Diremos que dos curvas el´ıpticas E/k y E/k sonconjugadassobrek como curvas el´ıpticas(no s´olo como curvas) si son isomorfas sobrek (a trav´es de un isomorfismo de curvas el´ıpticas, es decir, un isomorfismo que hace corresponder los elementos neutros respectivos). Representaremos por ConjO(E/k) el con- junto de clases dek-isomorf´ıa de curvas el´ıpticasE/kconjugadas conEen este sentido.
Teorema 2.45 Si E/k es una curva el´ıptica, la biyecci´on del teorema 2.41 se restringe a una biyecci´on
ConjO(E/k)−→H1(G(k/k),Aut(E)).
Demostraci´on: Sea E/k una curva el´ıptica conjugada con E/k. Sea
φ:E −→E un isomorfismo. Entonces
(φ−1◦φσ)(O) =φσ(φ−1(O)) =φσ(O) =φ(O)σ =Oσ=O,
luegoφ−1◦φσ∈Aut(E).
Rec´ıprocamente, si una curva E/k determina un cociclo {φ−1◦φσ}σ con
imagen en Aut(E) (dondeφ:E−→Ees un isomorfismo de curvas), entonces, llamandoO=φ−1(O), vemos que
φσ(φ−1(O)) =O,
luego Oσ =O, lo que significa que O ∈E(k) y podemos considerar a E/k
como curva el´ıptica sobrek con neutro O, yφ se convierte en un isomorfismo de curvas el´ıpticas.
El teorema 2.12 muestra que si la caracter´ıstica de k es distinta de 2 y 3 entonces Aut(E) es un grupo c´ıclico, luego ConjO(E/k) tiene tambi´en una estructura natural de grupo. Es f´acil calcularlo expl´ıcitamente:
Teorema 2.46 Sea E/kuna curva el´ıptica sobre un cuerpo kde caracter´ıstica distinta de2 y 3. Sea n= 2 si j(E)= 0,1728, 4 si j(E) = 1728, 6 si j(E) = 0.
Entonces ConjO(E/k)∼=k∗/k∗n. Expl´ıcitamente, si E/k admite una ecua-
ci´on de WeierstrassY2=X3+a
4X+a6, entonces cada clase d(m´odk∗n) se
corresponde con la curva el´ıptica dada por
Y2=X3+d2a4X+d3a6 sij(E)= 0,1728, Y2=X3+da
4X sij(E) = 1728, Y2=X3+da
Demostraci´on: En la demostraci´on del teorema 2.12 se ve que Aut(E) es un grupo c´ıclico de ordenn. Por lo tanto, si llamamosCn al grupo de las ra´ıces
n-simas de la unidad dek, tenemos que Aut(E)∼=Cn (aqu´ı usamos la hip´otesis
sobre la caracter´ıstica). Consideramos la sucesi´on exacta 0−→Cn −→k∗
n
−→k∗−→0,
de la que extraemos la sucesi´on de cohomolog´ıa:
−→k∗−→n k∗−→δ H1(G(k/k), Cn)−→H1(G(k/k), k∗)−→
El ´ultimo grupo es trivial por el teorema de Hilbert-Speiser, luegoδinduce un isomorfismoH1(G(k/k), C
n)∼=k∗/k∗n.
Para calcular expl´ıcitamente el isomorfismo, supongamos primeramente que
j = 0, 1728. Sid ∈k∗ y σ ∈G(k/k), definimosχd(σ) = (
√
d)σ/√d ∈ {±1}.
Es claro queχd(σ) no depende de la elecci´on de la ra´ız cuadrada. De hecho, es
f´acil ver que δ([d]) = [{χd(σ)}σ].
Si llamamos E/k a la curva indicada en el enunciado, observamos que un isomorfismo φ:E−→E viene dado porφ(X, Y) = (d−1X, d−3/2Y), de modo
queφσ(X, Y) = (d−1X, χ
d(σ)d−3/2Y) y
(φ−1◦φσ)(X, Y) = (X, χd(σ)Y) =χd(σ)(X, Y).
Por consiguiente, la curva del enunciado se corresponde con [d].
Veamos ahora el caso j(E) = 1728. Ahora Aut(E) consta de cuatro auto- morfismos de la forma (X, Y)→(u2X, u3Y), donde ues una ra´ız cuarta de la
unidad.
Partimos de una clase [d]∈k∗/k∗4, elegimos √4
d∈k y formamos el cociclo
ξσ = (
4
√
d)σ/√4
d. Entonces δ([d]) = [{ξσ}σ]. En este caso el isomorfismo es
φ(X, Y) = (d−1/2X, d−3/4Y), con lo queφσ(X, Y) = (ξ2
σd−1/2X, ξσ3d−3/4Y) y
(φ−1◦φσ)(X, Y) = (ξσ2X, ξσ3Y) =ξσ(X, Y).
El casoj(E) = 0 es an´alogo.
Rec´ıprocamente, es f´acil decidir si dos curvas dadas son o nok-isomorfas:
Teorema 2.47 SeanE/kyE/kdos curvas el´ıpticas conjugadas sobre un cuer- pokde caracter´ıstica= 2,3definidas mediante ecuaciones can´onicas:
E:Y2=X3+a4X+a6, E:Y2=X3+a4X+a6.
EntoncesE y E son k-isomorfas si y s´olo si se cumple la condici´on siguiente: a) Si j= 0,1728, entoncesa6/a6∈k.
b) Si j= 1728, entonces 4 a
c) Si j= 0, entonces 6
a6/a6∈k.
Demostraci´on: Que las curvas sean conjugadas significa simplemente que tienen el mismo invariantej. Observemos quej= 0 equivale a quea4=a4= 0,
mientras quej= 1728 equivale a quea6=a6= 0.
Los ´unicos cambios de variables que transforman una ecuaci´on de este tipo en otra son los de la formaX =u2X,Y =u3Y. Por lo tanto, las dos curvas ser´ank-isomorfas si y s´olo si existe unu∈k∗ tal que
a4=u−4a4, a6=u−6a6. (2.7)
En el caso j = 0, 1728, si existe el isomorfismo entoncesa6/a6=u3 ∈k.
Rec´ıprocamente, supongamos que a6/a6∈k. La igualdad de los invariantes
se traduce en la relaci´on a6 a6 2 = a4 a4 3 .
En general, si tenemos una relaci´on v2 = w3, podemos llamarr =v/w y
entonces r3=v. En nuestro caso concluimos quea
6/a6 tiene ra´ız c´ubica enk.
Por otra parte, siu=v2=w3, entoncesu=r6, conr=v/w. Nosotros tenemos
quea6/a6tiene ra´ız cuadrada (por hip´otesis) y ra´ız c´ubica enk, luego tiene una
ra´ız sexta: a6/a6=u6. A su vez, (a4/a4)3= (u4)3, luegoa4/a4 =ωu4, donde ω ∈k cumple ω3= 1. Cambiamos uporωu y entonces se cumplea
4/a4 =u4
sin dejar de cumplirsea6/a6=u6.
En los casos j = 0 (a4 = 0), o j = 1728 (a6 = 0) las condiciones (2.7) son
exactamente las del enunciado.
Curvas de g´enero 1 Si C/kes una curva proyectiva regular de g´enero 1, no es necesariamente una curva el´ıptica sobre k, pues para ello hace falta adem´as que tenga un punto racional. En cualquier caso, ser´a una curva el´ıptica sobre
k tomando como elemento neutro cualquier puntoO∈C. Podemos encontrar un isomorfismo φ : C −→ E, donde E es una curva dada por una ecuaci´on de Weierstrass. Ahora bien, si σ ∈ G(k/k) entonces tenemos un isomorfismo
φσ :C −→ Eσ, luego las curvasE y Eσ son isomorfas, luego tienen el mismo invariantej(E) =j(E)σ. Esto prueba quej(E)∈k. Por el teorema 2.10 existe una curva el´ıpticaE/k con invariantej(E), luego hemos llegado a queC/kes conjugada con una curva el´ıpticaE/k.
Sea φ:C −→E un isomorfismo y consideremos el cociclo ξσ =φ−1◦φσ.
Por el teorema 2.39, podemos descomponer ξσ = ζστPσ, con ζσ ∈ Aut(E) y Pσ∈E. Como la proyecci´on sobre Aut(E) es un homomorfismo de grupos, es
f´acil ver que{ζσ}σ es tambi´en un cociclo, el cual determina una curva el´ıptica
E/kconjugada conE. Seaψ:E−→E un isomorfismo tal queψ−1◦ψσ=ζ σ.
Vamos a calcular el cociclo correspondiente al isomorfismoφ◦ψ−1:C−→E: (φ◦ψ−1)−1◦(φ◦ψ−1)σ=ψ◦φ−1◦φσ◦(ψ−1)σ=ψ◦ζστPσ◦(ψ−
1)σ
=ψσ◦τPσ◦(ψ
−1)σ=τ
As´ı pues, C/k se corresponde con una clase de H1(G(k/k), E), y por el teorema 2.44 admite una estructura de espacio homog´eneo paraE/k. Con esto casi hemos demostrado el teorema siguiente:
Teorema 2.48 SiC/kes una curva proyectiva regular de g´enero 1, existe una curva el´ıpticaE/k (´unica salvok-isomorfismo) tal queC/k admite una estruc- tura de espacio homog´eneo para E/k.
Demostraci´on: S´olo falta probar la unicidad. Supongamos queC/kes un espacio homog´eneo para las dos curvasE/k yE/k. Fijemos un puntop0∈C
y consideremos los isomorfismos θp0 : E −→ C, θp0 : D
−→ C dados por θp0(P) =p0+P,θp0(P
) =p 0+P.
Entoncesφ:θp0◦θp−10 :E−→E
es un isomorfismo de curvas el´ıpticas, pues φ(O) =θp−01(p0) =O, y est´a definido sobrek, pues
φσ(P) =φ(Pσ−1)σ =θp−σ1 0 (θp σ 0(P σ−1))σ=θ−1 pσ 0 (p σ 0 +Pσ −1 )σ=P.
Cap´ıtulo III
El ´algebra de las curvas
el´ıpticas
En este cap´ıtulo estudiamos la estructura de grupo de una curva el´ıptica definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, junto con las estructuras relacionadas con ella. Por ejemplo, observamos que las isogenias de una curva el´ıptica en s´ı misma forman un anillo con la suma definida puntualmente y la composici´on como producto. En la primera secci´on definimos este anillo de endomorfismos, pero s´olo al llegar a la ´ultima secci´on estaremos en condiciones de determinar su estructura.
3.1Las multiplicaciones enteras
Definici´on 3.1 Si E y E son dos curvas el´ıpticas, llamamos Hom(E, E) al conjunto de todas las isogenias de E en E, que es un grupo abeliano con la suma definida puntualmente (es obvio que la suma de isogenias es una isogenia). Definimos End(E) como el conjunto de todas las isogenias deEenE, que es un anillo (no necesariamente conmutativo) tomando como producto la composici´on de aplicaciones.
De momento lo ´unico que conocemos del anillo de endomorfismos de una curva el´ıptica es su grupo de unidades, que es el grupo Aut(E) descrito en el teorema 2.12.
Si E es una curva el´ıptica y m ∈ Z, representaremos tambi´en por m a la isogeniam:E −→E definida por la multiplicaci´on por m en el sentido usual de la teor´ıa de grupos m→ mP. Ciertamente es una isogenia (definida sobre
k si E lo est´a). La aplicaci´on Z −→ End(E) que a cada m ∈ Z le asigna la multiplicaci´on pormes claramente un homomorfismo de anillos. No es evidente en absoluto, pero vamos a probar que es inyectivo. Para ello necesitaremos el teorema siguiente que, en contra de lo que podr´ıa parecer a primera vista, no