Nos ocupamos ahora de las aplicaciones que conectan adecuadamente dos curvas el´ıpticas.
Definici´on 2.33 Unaisogenia φ:E1−→E2 entre dos curvas el´ıpticas es una
aplicaci´on regular tal queφ(O) =O.
Obviamente la funci´on constanteO es una isogenia (la isogenia nula), y es la ´unica isogenia constante. Notemos que siψ : E1 −→ E2 es una aplicaci´on
regular entre curvas el´ıpticas yP =ψ(O), entoncesφ=ψ◦τ−P es una isogenia,
luego toda aplicaci´on regular ψ entre curvas el´ıpticas es composici´on de una isogenia seguida de una traslaci´on: ψ=φ◦τP.
Ahora probamos que las isogenias cumplen m´as de lo que parece indicar la definici´on:
Teorema 2.34 Las isogenias son homomorfismos de grupos.
Demostraci´on: Sea φ : E1 −→ E2 una isogenia entre curvas el´ıpticas. Podemos suponer que es no nula. Consideramos el diagrama siguiente,
E1 φ H0(E1) φ E2 H0(E2)
donde las flechas horizontales son los isomorfismosP →[P/O]. Obviamente es conmutativo, luegoφes un homomorfismo de grupos.
Como consecuencia de este teorema, si φ : E1 −→ E2 es una isogenia no
nula, entonces N(φ) =φ−1(O) es un subgrupo finito deE
1, cuyo orden es a lo
sumo el grado deφ. Los teoremas siguientes precisan esto mucho m´as:
Teorema 2.35 Sea φ:E1−→E2 una isogenia no nula.
a) Para cadaQ∈E2, el cardinal|φ−1[Q]|es el grado de separabilidad de φ.
b) Para cadaP ∈E1, el ´ındice de ramificaci´on eφ(P)es el grado de insepa-
rabilidad deφ.
c) La aplicaci´on N(φ)−→G(k(E1)/k(E2)) definida porT →τT es un iso-
morfismo de grupos.
d) Siφes separable entonces es no ramificada y la extensi´onk(E1)/k(E2)es
finita de Galois, de grado igual al grado de φ.
Demostraci´on: a) Toda extensi´on de cuerpos de funciones algebraicas se descompone en una extensi´on puramente inseparable (en la que cada primo del cuerpo base es divisible entre un ´unico primo de la extensi´on) seguida de una extensi´on separable (en la que los primos no ramificados del cuerpo base son divisibles entre tantos primos de la extensi´on como indica el grado). Por lo tanto, en cualquier extensi´on casi todos los primos tienen tantos divisores como indica el grado de separabilidad. En nuestro caso eso significa que casi todos los puntosQ∈E2cumplen el apartado a), peroφes un epimorfismo de grupos,
luego todos los puntos deE2 tienen el mismo n´umero de antiim´agenes.
b) Por el mismo argumento, casi todos los primos de una extensi´on tienen ´ındice de ramificaci´on igual al grado de inseparabilidad. Ahora bien, cualquier par de puntos deE1pueden conectarse por una traslaci´onτ, la cual induce unk-
automorfismo dek(E1) que hace corresponder los respectivos divisores primos.
As´ı, todos los puntos deE1han de tener el mismo ´ındice de ramificaci´on, luego
´este ha de ser el grado de inseparabilidad deφ. c) SiT ∈N(φ) yf ∈k(E2), entonces
τT(φ(f)) =τT ◦φ(f) =φ(f),
luego τT es ciertamente un k(E2)-automorfismo dek(E1). Es f´acil ver que la
aplicaci´on T → τT es un homomorfismo de grupos. La teor´ıa de extensiones
de cuerpos nos da que|G(k(E1)/k(E2))|es a lo sumo el grado de separabilidad
de la extensi´on, que es precisamente el orden de N(φ). As´ı pues, si probamos que el homomorfismo es inyectivo, ser´a un isomorfismo. En efecto, si τT = 1,
entonces, para todaf ∈k(E1) tenemos quef(O) =τT(f)(O) = f(T), lo cual
s´olo es posible siT =O.
d) Siφ es separable de gradonentonces es no ramificada por b), el n´ucleo N(φ) tienenelementos por a) yG(k(E1)/k(E2)) tiene tambi´ennelementos por
Teorema 2.36 Si φ : E1 −→ E2 y ψ : E1 −→ E3 son isogenias tales que
N(φ)⊂N(ψ) y φ es separable, entonces existe una isogenia λ:E2 −→ E3 tal
que el diagrama siguiente es conmutativo:
E1 φ ψ E2 λ E3
Demostraci´on: Por el teorema anterior, k(E1) es una extensi´on finita de Galois dek(E2), y tambi´en es una extensi´on dek(E3). Todok(E2)-automorfismo
de k(E1) es de la formaτT, con T ∈ N(φ)⊂ N(ψ), y si f ∈k(E3), entonces τT(ψ(f)) =f. Tenemos, pues, que el grupo de Galois fija a los elementos de
k(E3), lo que nos da las inclusiones
ψ[k(E3)]⊂φ[k(E2)]⊂k(E1).
La primera inclusi´on nos da un k-monomorfismo λ : k(E3) −→ k(E2) tal
queλ◦φ=ψ. Por consiguiente, existe una aplicaci´on racional (que, de hecho, ser´a regular) λ:E2−→E3 tal que φ◦λ=ψ. De aqu´ı se sigue queλ(O) =O,
luegoλes una isogenia.
De aqu´ı se obtiene la unicidad del teorema siguiente:
Teorema 2.37 SeaEuna curva el´ıptica yHun subgrupo finito deE. Entonces existe una ´unica curva el´ıpticaE (salvo isomorfismo) y una isogenia separable
φ:E−→E tal queN(φ) =H.
Demostraci´on: CadaT ∈H induce unk-automorfismoτT dek(E). Lla- memosKal subcuerpo dek(E) fijado por todos ellos. Entoncesk(E)/K es una extensi´on finita de Galois y su grupo de Galois es isomorfo a H (sia∈ k(E), entoncesp(X) =
T∈H
(X−τT(a))∈K[X]).
Tenemos que k ⊂K ⊂k(E), y la extensi´on superior es finita, de donde se sigue que K es un cuerpo de funciones algebraicas sobre k, luego existe una curva proyectiva regular E tal que k(E) es k-isomorfo a K. Componiendo este isomorfismo con la inclusi´on K ⊂ k(E) obtenemos un k-monomorfismo
φ : k(E) −→ k(E), inducido por una aplicaci´on regular φ : E −→ E. Por construcci´onφ[k(E)] =K.
Vamos a ver que φes no ramificada. TomemosP ∈E yT ∈H. Para toda
f ∈k(E), se cumple
f(φ(P+T)) =τT(φ(f))(P) =φ(f)(P) =f(φ(P)),
donde hemos usado queτT fija aφ(f)∈K. Esto implica queφ(P+T) =φ(P).
Para cadaQ∈E tomemosP∈Etal queφ(P) =Q. EntoncesQtiene a lo sumo tantas antiim´agenes como el grado deφ, que es |H|, pero por otra parte
tiene como antiim´agenes a los puntos P+T, conT ∈H, que son distintos dos a dos, luego todos los puntos deE tienen exactamente|H|antiim´agenes. Esto s´olo es posible siφes no ramificada y, en virtud del teorema anterior, separable. Ahora aplicamos la f´ormula del g´enero de Hurwitz, que para una extensi´on no ramificada se reduce a
0 = 2gE−2 = (2gE−2) gradφ,
luego el g´enero deE ha de sergE = 1. Si definimosO =φ(O), tenemos que
E es una curva el´ıptica yφes una isogenia.
Para probar la unicidad observamos que siψ:E−→Efuera otra isogenia de n´ucleoH, por el teorema anterior existir´ıa una isogeniaλ:E−→Etal que
φ◦λ=ψ, pero λser´ıa un isomorfismo, ya que siλ(P) =O podemos expresar
P =φ(Q), conQ∈E, pero entoncesψ(Q) =O, luegoQ∈H yP=φ(Q) =O. Notemos que la isogeniaφno es ´unica, pues, por ejemplo,−φcumple tambi´en el teorema.
Ejemplo Supongamos que cark = 2 y consideremos la curva dada por la ecuaci´on
E1:Y2=X3+aX2+bX.
Su discriminante es ∆ = 16b2(a2−4b), luego E
1 es una curva el´ıptica si
suponemos que b = 0 y b = a2−4b = 0. En estas condiciones, tambi´en es
el´ıptica la curva (de la misma familia) dada por
E2:Y2=X3−2aX2+bX.
Definimosφ:E1−→E2 como la aplicaci´on dada por φ(X, Y) = Y2 X2, Y(b−X2) X2 .
Veamos que, en efecto, si (X, Y) ∈E1 con X = 0 entonces φ(X, Y)∈ E2.
Hemos de ver que
Y6 X6 −2a Y4 X4 + (a 2−4b)Y2 X2 = Y2(b−X2)2 X4 .
Dividiendo entreY2 y multiplicando porX6 esto equivale a
Y4−2aX2Y2+ (a2−4b)X4=b2X2−2bX4+X6.
Ahora basta sustituir en el miembro izquierdoY4eY2por la expresi´on que
proporciona la ecuaci´on deE1y comprobar que tenemos una identidad.
El ´unico punto (finito) deE1 con X = 0 es (0,0). Para calcular su imagen
expresamosφen coordenadas homog´eneas:
Vemos que las tres coordenadas se anulan, pero la primera tiene un cero de orden 2 en (0,0), la segunda de orden 1 y la tercera de orden 4. Por lo tanto, basta dividir entreY:
φ(X, Y) = Y, b−X2, Y X X2+aX+b ,
de donde concluimos que φ(0,0) = [0,1,0] =O. Igualmente podemos compro- bar queφ(O) =O, si bien esto se sigue de queφes una isogenia.
Hemos comprobado que el n´ucleo deφtiene orden 2, pues est´a formado por
O y (0,0).
Observemos ahora que podemos construir una curvaE3 a partir deE2igual
que hemos construidoE2 a partir deE1. El resultado es E3:Y2=X3+ 4aX2+ 16bX.
Ahora bien, E3 es isomorfa a E1 a trav´es de (X, Y) → (X/4, Y /8). Al
componer la isogenia E2 −→E3 an´aloga a φcon este isomorfismo obtenemos
una isogenia ˆφ:E2−→E1 dada por
ˆ φ(X, Y) = Y2 4X2, Y(b−X2) 8X2 ,
cuyo n´ucleo es tambi´en de orden 2.
La situaci´on del ejemplo anterior no es casual: Aunque no es evidente en absoluto, veremos que toda isogenia φ : E1 −→ E2 entre dos curvas el´ıpticas
tiene asociada una isogenia dual ˆφ:E2−→E1.
Terminamos la secci´on con una observaci´on ´util para trabajar con isogenias en cuerpos de caracter´ıstica prima:
Teorema 2.38 Si E es una curva el´ıptica sobre un cuerpo de caracter´ıstica prima py m=pr, entonces la aplicaci´on de Frobeniusφ:E −→E(m) es una isogenia.
Demostraci´on: Basta probar que la curva E(m) tiene g´enero 1, pues en- tonces podemos considerarla como una curva el´ıptica con neutro igual aφ(O), lo que convierte aφen una isogenia. SiK=k(E), entoncesk(E(m)) =Km. Todo
se reduce a probar que siK es un cuerpo de funciones algebraicas de g´enero 1 sobre un cuerpo de caracter´ısticap, entonces Km tambi´en tiene g´enero 1. De
aqu´ı se sigue que no perdemos generalidad si suponemos queE⊂P2 est´a defi- nida por una ecuaci´on de Weierstrass, pero en tal casoE(m)est´a definido por la
ecuaci´on de Weierstrass que resulta de elevar amlos coeficientes de la ecuaci´on de E. El discriminante de la ecuaci´on de E(m) se obtiene tambi´en elevando a