En esta secci´on demostraremos que siKes un subcuerpo deC, toda variedad proyectiva V /K se extiende a una variedad proyectiva V /C definida por las mismas ecuaciones. Para ello necesitamos algunos resultados algebraicos.
Definici´on 1.11 SeaF/Kuna extensi´on de cuerpos y seanAyBdos dominios intermedios. Diremos que A yB sonlinealmente disjuntossobre K si cuando
{ai}i∈I ⊂A y{bj}j∈J⊂B son conjuntos linealmente independientes sobre K,
entonces{aibj}(i,j)∈I×J es linealmente independiente sobre K.
Teorema 1.12 SeaF/K una extensi´on de cuerpos y seanAy B dos dominios intermedios linealmente disjuntos sobre K.
a) Si{ai}i∈Iy{bj}j∈Json bases deAyBsobreKrespectivamente, entonces
{aibj}(i,j)∈I×J es una base deAB sobre K.
b) Los cuerpos de cocientes deAy B son linealmente disjuntos sobre K. Demostraci´on: a) Por hip´otesis {aibj}(i,j)∈I×J es linealmente indepen- diente sobreK, y obviamente es un generador de AB, luego es una base.
b) SeanA yBlos cuerpos de cocientes. Si no fueran linealmente disjuntos, existir´ıan familias finitas{ai}i∈I ⊂A y{bj}j∈J ⊂Blinealmente independien-
tes sobreK tales que{aibj}(i,j)∈I×J es linealmente dependiente sobreK. Esto
significa que
i,j
λijaibj = 0,
para ciertos λij ∈K no todos nulos. Existen a∈A, b∈B no nulos tales que
aai∈A,bbj ∈B para todoi,j. Entonces
i,j
de donde se sigue que la familia{(aai)(bbj)}(i,j)∈I×Jes linealmente dependiente
sobreK. Por hip´otesis, una de las familias{aai}i∈I ⊂Ao {bbj}j∈J⊂B ha de
ser linealmente dependiente sobreK, lo cual es absurdo.
Teorema 1.13 SeaF/K una extensi´on de cuerpos y seanAyB dos dominios intermedios. Si existen K-bases {ai}i∈I y {bj}j∈J de A y B respectivamente,
tales que{aibj}(i,j)∈I×J es linealmente independiente sobre K, entonces AyB
son linealmente disjuntos sobreK.
Demostraci´on: Para probar que A y B son linealmente disjuntos basta tomar familias finitas {ur}mr=1 ⊂ A, {vs}ns=1 ⊂ B linealmente independientes
sobre K y demostrar que el producto es tambi´en linealmente independiente. SeanI ⊂I,J⊂J conjuntos finitos tales que
{ur}mr=1⊂ ai|i∈I, {vs}ns=1⊂ bj |j∈J.
Seand= dimai|i∈I, e= dimbj |j∈J. Podemos extender {ur}mr=1
y{vs}ns=1a dos bases{ur}dr=1y{vs}se=1de los espaciosai|i∈Iybj|j ∈J
respectivamente. Es claro entonces que
urvs|r= 1, . . . , d, s= 1, . . . , e=aibj|i= 1, . . . , d, j= 1, . . . , e.
Por hip´otesis, el segundo espacio tiene dimensi´onde, luego la familia{urvs}
ha de ser linealmente independiente.
Teorema 1.14 Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado y sea K(S) una ex- tensi´on tal queS sea algebraicamente independiente sobreK. Supongamos que
S = S1∪S2, con S1 ={x1, . . . , xm}, S2 = {y1, . . . , yn}. En una clausura al-
gebraica de K(S), consideremos dos cuerpos L1 y L2 tales que las extensiones Li/K(Si) sean finitas de Galois. Entonces L1 y L2 son linealmente disjuntos
sobreK.
Demostraci´on: Sea αi ∈ Li tal que Li = K(Si)(αi). Consideremos el epimorfismo de anillos K[X1, . . . , Xm+1] −→ K[S1][α1] dado por Xi → xi,
para i = 1, . . . , m, y Xm+1 → α1. Su n´ucleo es un ideal primo que deter-
mina una variedad af´ın V1 tal que K[V1] ∼= K[S1][α1] y el isomorfismo se
extiende a un isomorfismo K(V1) ∼= K(S1)(α1). Las funciones coordenadas x1, . . . , xmson algebraicamente independientes, y el polinomio m´ınimo dexm+1
sobreK(x1, . . . , xm) se corresponde con el deα1sobreK(S1).
Similarmente, definimos una variedad af´ın V2 tal queK[V2]∼=K[S2][α2] y K(V2)∼=K(S2)(α2). El producto V1×V2 es una variedad af´ın y cumple que K(V1×V2) =K(x1, . . . , xm+1, y1, . . . , yn+1). Una base de trascendencia de este
cuerpo es{x1, . . . , xm, y1, . . . , yn}, que nos da un isomorfismo
K(x1, . . . , xm, y1, . . . , yn)∼=K(S).
Si extendemos el isomorfismo a dos clausuras algebraicas, tenemos quexm+1
ha de corresponderse con un conjugado deα1, mientras queyn+1ha de corres-
podemos suponer que el isomorfismo K(V1×V2)=∼K(S)(α1, α2) hace corres-
ponder las funciones coordenadas con los generadores del cuerpo de la derecha. En particular se restringe a un isomorfismoK[V1×V2]=∼K[S][α1, α2].
Por otra parte tenemos un isomorfismoK[V1]⊗KK[V2]∼=K[V1×V2] dado
porf⊗g→f g, donde en la parte derecha hay que entender quef(P, Q) =f(P) y g(P, Q) =g(Q). Es claro que se trata de un homomorfismo bien definido y trivialmente es suprayectivo, pues la imagen contiene a las funciones coordena- das.
Una K-base de K[V1]×K K[V2] es de la forma {fi⊗gj}, donde {fi}i es
una K-base de K[V1] y {gj}j es una K-base de K[V2]. Para probar que el
epimorfismo es inyectivo basta ver que esta base se transforma en un conjunto linealmente independiente. Ahora bien, si existierancij∈Ktales que
i,j
cijfi(P)gj(Q) = 0
para todo (P, Q)∈V1×V2, fijandoQtenemos una combinaci´on lineal nula de
las funcionesfi, lo que implica que
i,j
cijgj(Q) = 0
para todoQ∈V2, de donde se sigue que loscij son nulos.
Componiendo los isomorfismos tenemos que
K[S][α1, α2]∼=K[S1][α1]⊗KK[S2][α2].
Por lo tanto, el producto de una K-base de K[S1][α1] por una K-base de K[S2][α2] es linealmente independiente sobreK. Esto significa que los dominios K[Si][αi] son linealmente disjuntos, y por el teorema 1.12 tambi´en lo son sus
cuerpos de cocientes, es decir,L1 yL2.
Ahora ya podemos demostrar el resultado b´asico:
Teorema 1.15 Sea K un subcuerpo deC y seaV /K una variedad proyectiva. Entonces el conjunto algebraico V /C definido por las mismas ecuaciones que
V /K es una variedad proyectiva.
Demostraci´on: No perdemos generalidad si suponemos que K es alge- braicamente cerrado. Tambi´en es claro que basta probar el teorema para una variedad af´ın. Sea S2 una base de trascendencia de K(V) formado por fun-
ciones coordenadas. Consideremos una extensi´on K(V)(S1), donde S1 es un
conjunto de indeterminadas de cardinal igual al grado de trascendencia de la extensi´onC/K. Es claro entonces queS=S1∪S2es una base de trascendencia
de K(V)(S1) sobreK. Si en una clausura algebraica de este cuerpo tomamos
la clausura algebraica deK(S1), obtenemos un cuerpo algebraicamente cerrado
cuyo grado de trascendencia sobre K es el mismo que el deC. Obviamente es
K-isomorfo aC, luego podemos identificarlo conC. Esto nos permite considerar a Cy a K[V] como subdominios de un mismo cuerpo.
Se cumple que C y K[V] son linealmente disjuntos, pues si tomamos con- juntos finitos linealmente independientes en uno y en otro, podemos formar dos cuerposL1 yL2 que los contengan y que est´en en las condiciones del teorema
anterior. Por consiguiente, el epimorfismo naturalC⊗KK[V]−→CK[V] es un
isomorfismo deK-espacios vectoriales.
Esto implica que si transportamos aC⊗KK[V] el producto deCK[V], esto
es, si definimos (α⊗f)(β⊗g) = (αβ)⊗(f g), la definici´on es consistente y tenemos un dominio ´ıntegro.
Consideremos ahora la sucesi´on exacta
0−→I(V)−→K[X1, . . . , Xn]−→K[V]−→0.
El producto tensorial es exacto sobre sucesiones de m´odulos libres, luego tenemos la sucesi´on exacta
0−→C⊗KI(V)−→C⊗KK[X1, . . . , Xn]−→C⊗KK[V]−→0.
Pero tenemos un isomorfismo naturalC⊗KK[X1, . . . , Xn]∼=C[X1, . . . , Xn],
a trav´es del cual C⊗KI(V) se corresponde con el idealP generado porI(V)
enC[X1, . . . , Xn]. Esto nos da el diagrama conmutativo siguiente:
0 C⊗KI(V) C⊗KK[X1, . . . , Xn] C⊗KK[V] 0 0 P C[X1, . . . , Xn] C[V] 0
Aqu´ıC[V] es el anillo de funciones regulares del conjunto algebraico definido porP, es decir, por las mismas ecuaciones queV. Lo que queremos probar es queP es un ideal primo o, lo que es lo mismo, queC[V] es un dominio ´ıntegro. Pero tenemos que, como espacio vectorial,C[V] es isomorfo aC⊗KK[V] y si
transportamos la estructura de anillo al producto tensorial, obtenemos el mismo producto que hemos considerado antes, y sabemos que con ´el es un dominio ´ıntegro.
Nota En la prueba del teorema anterior hemos visto queC[V]∼=C⊗KK[V],
luego los dominios C y K[V] son linealmente disjuntos, luego tambi´en lo son los cuerposC y K(V), luego C(V)=∼C⊗KK(V). As´ı pues, el cuerpoK(V)
determina el cuerpoC(V).
En las condiciones del teorema anterior, cada funci´on de K[V] se extiende a una funci´on de C[V], lo que nos permite considerar K[V] ⊂C[V], as´ı como
K(V)⊂C(V). Notemos que los cuerposK(V) yC(V) est´an ambos generados por un mismo sistema de funciones coordenadas afines. Si un subconjunto de ellas es algebraicamente dependiente sobre K, tambi´en lo es sobre C, luego tenemos que dimV /C≤dimV /K. Por otra parte, si dimV /K=n, existe una sucesi´on de subvariedades cerradas (sobreK):
que se extienden a otras tantas variedades complejas que mantienen las inclu- siones no estrictas, luego dimV /C ≥ n. As´ı pues, al extender una variedad obtenemos otra variedad de la misma dimensi´on.
Tambi´en es claro que si V /K es regular, lo mismo le sucede a V /C, pues
un punto singular (para cualquiera de las dos variedades) es soluci´on de un sistema de ecuaciones polin´omicas con coeficientes enK. Si el sistema no tiene soluci´on en Kn, el teorema de los ceros de Hilbert implica que el polinomio 1
es combinaci´on lineal de los polinomios que definen el sistema, luego tampoco puede haber soluci´on enCn.
Teorema 1.16 Si K es un subcuerpo de Calgebraicamente cerrado y V /K es una variedad proyectiva, entoncesV(K)es denso enV(C)para la topolog´ıa de Zariski.
Demostraci´on: Lo probaremos por inducci´on sobre la dimensi´on de V. Para dimensi´on 1 basta observar que los abiertos (no vac´ıos) deV(C) son cofi-
nitos, mientras queV(K) es infinito.
Supuesto cierto para variedades de dimensi´on n, supongamos que V tiene dimensi´onn+ 1. SeaU un abierto no vac´ıo enV(C). Reduci´endolo podemos
suponer que no contiene puntos singulares. Tomemos una funci´on coordenadax
que no sea constante enV. Entoncesxes una funci´on holomorfa no constante, luego es abierta para la topolog´ıa compleja. Podemos tomar un abierto conexo no vac´ıoG⊂U (abierto para la topolog´ıa compleja) tal que x[G] es abierto en C. ComoK contiene a la clausura algebraica deQy ´esta es densa enC, vemos que existe un puntoP ∈U tal quex(P) =α∈K.
Si a˜nadimos aV la ecuaci´onx=αobtenemos una subvariedadW de menor dimensi´on, que se extiende a una subvariedad deV /Cque contiene al puntoP. Por hip´otesis de inducci´on, el abierto W ∩U (que no es vac´ıo porque contiene a P) contiene un punto deW(K), luegoU contiene un punto deV(K).
Consideremos ahora una aplicaci´on racionalφ :V −→ W entre variedades definidas sobreK. En un abierto deV,φviene definida por formas del mismo grado:
φ([X1, . . . , Xm+1]) = [F1(X1, . . . , Xm+1), . . . , Fn+1(X1, . . . , Xm+1)].
Si F ∈ I(W), entonces F(F1, . . . , Fn+1) se anula en V(K), luego est´a en I(V), luego se anula en todos los puntos de V /C. Esto se traduce en que F1, . . . , Fn+1definen una aplicaci´on racional entre las variedades extendidas que
extiende aφ. Teniendo en cuenta queV(K) (dondeKes la clausura algebraica deK) es denso enV(C), es f´acil ver que la extensi´on es ´unica.
Teorema 1.17 Sea V /K una variedad proyectiva definida sobre un subcuerpo
K ⊂ C. Entonces K(V) es el subcuerpo de C(V) fijado por todos los K- automorfismos deC.
Demostraci´on: Si representamos por G(C/K) al grupo de K-automor- fismos de C (aunque la extensi´on C/K no sea necesariamente algebraica), es
claro que G(C/K) act´ua sobre el cuerpoC(V) del modo usual, y ciertamente todos los automorfismos deG(C/K), extendidos aC(V), fijan a K(V). Tome- mos ahora α∈ C(V)\K(V) y vamos a construir un automorfismo que no lo fije. Supongamos en primer lugar que αes algebraico sobreK(V) y sea α un conjugado de α en una clausura algebraica C(V) de C(V). Consideremos el
K(V)-isomorfismo σ:K(V)(α)−→K(V)(α) que cumpleσ(α) =α.
Sea Suna base de trascendencia deC(V) sobreK(V)(α). Se cumple queS
es tambi´en algebraicamente independiente sobreK(V)(α), pues si tuvi´eramos una ecuaci´on polin´omica F(s1, . . . , sr) = 0, con F ∈ K(V)(α)[X1, . . . , Xr] y
si∈S, entonces el producto
σ
Fσ(X1, . . . , Xr),
donde σ recorre los automorfismos de la clausura normal de K(V)(α) sobre
K(V), es un polinomio no nulo con coeficientes en K(V) y anula a s1, . . . , sr,
luegoSser´ıa algebraicamente dependiente sobreK(V) y tambi´en sobreK(V)(α). Es claro entonces queσse extiende a unK(V)(S)-isomorfismo
σ:K(V)(α)(S)−→K(V)(α)(S).
Como La extensi´onC(V)/K(V)(α)(S) es algebraica,σse extiende a su vez a un K(V)-monomorfismo σ : C(V) −→ C(V). Ahora bien, C(V) = CK(V) y, comoCes algebraicamente cerrado y la extensi´onC/(C∩K(V)(S)) es alge- braica, ha de serσ[C] =C, luegoσ:C(V)−→C(V) es la (´unica) extensi´on del
K-automorfismoσ|C, y cumple ασ=α.
Si α es trascendente sobre K(V) repetimos el razonamiento anterior par- tiendo delK(V)-automorfismoσ:K(V)(α)−→K(V)(α) dado porσ(α) =−α. Si V /K y W/K son dos variedades proyectivas y φ : V −→ W es una aplicaci´on racional entre las variedades complejas correspondientes, es claro que
φes la extensi´on de una aplicaci´on racional definida sobreK, si y s´olo si lo son las composiciones deφcon las funciones coordenadas deW, lo que nos permite aplicar el teorema anterior para concluir que esto sucede si y s´olo siφσ =φpara
todoσ∈G(C/K).
Como consecuencia, siKes algebraicamente cerrado, una aplicaci´on regular
φ;V −→ W est´a definida sobreK si y s´olo si φ[V(K)] ⊂ W(K). En efecto, en tal caso, para todo σ ∈ G(C/K) tenemos que φσ(P) = φ(P) para todo
P ∈V(K), luegoφσ yφcoinciden en un conjunto denso, luego son iguales.