Definici´ on del modelo num´ erico

Para reproducir num´ericamente el ensayo de tracci´on, se ha escogido una probeta de aluminio HE30 (BS1474), id´entica a la desarrollada y empleada por (Goicolea, 1985). La probeta tiene una altura de 75 mm. y di´ametro 16,2 mm. En los extremos de la probeta se impone un desplazamiento de 10 mm. Dada la simetr´ıa existente solo se ha modelizado una cuarta parte. La malla empleada y las condiciones de contorno se muestran en la figura 3.17. Esta malla es la utilizada en (Goicolea et al., 1996). El modelo tiene 412 nodos y 360 elementos, resultando un total de 762 grados de libertad.

Para que se desarrolle la estricci´on se introduce una peque˜na imperfec- ci´on geom´etrica (tambi´en presente en la probeta real), disminuyendo el radio en la secci´on central en un 1,8518 % respecto del nominal. La variaci´on del radio entre la secci´on central y la secci´on extrema es lineal. Otros autores

(Needleman, 1972) plantean el inicio de la estricci´on calculando el modo de

bifurcaci´on mediante un an´alisis espectral y modificando la matriz de rigidez cuando se alcanza dicho modo.

Figura 3.17: Malla y condiciones de contorno. Detalle de la zona refinada y

de la transici´on

La formulaci´on del modelo constitutivo J2 empleado en el c´alculo se ha

del ensayo son:

E = 67000 GPa ν = 0,3

La ley de endurecimiento empleada es una ley potencial del tipo:

Y (ε) = A (b + εp₎n _(3.168)

Los valores de A y n fueron obtenidos por (Goicolea, 1985) como se resume a continuaci´on. A partir de las medidas de la tensi´on axial media que propor- ciona la m´aquina, se obtienen los valores de Y mediante la ecuaci´on (3.167). Los valores de la deformaci´on pl´astica efectiva εp _{se obtienen midiendo con}

un calibre el di´ametro del cuello de la probeta y sustituyendo en (3.158). Los puntos (εp_{, Y ) se llevan a una escala doblemente logar´ıtmica, y mediante un}

c´alculo de regresi´on lineal se obtienen:

A = 181,7 GPa n = 0,159

El par´ametro b se obtiene imponiendo en la ecuaci´on (3.168) que el l´ımite el´astico inicial sea Y0 = 50 MPa, resultando:

b = 2,989 10−4

3.10.5.

Resultados

En los c´alculos de elementos finitos, se han empleado el elemento mixto de presi´on constante (Q1/P0) y los elementos de deformaciones supuestas Q1/E5, Q1/ES5 y Q1/ET5, integrados con cuadraturas de 5 y 9 puntos de Gauss.

En primer lugar se comparan los resultados obtenidos en este trabajo, con los resultados experimentales disponibles.

A continuaci´on se analiza la evoluci´on a lo largo del ensayo de las siguien- tes variables:

1. Estricci´on

2. Fuerza axial aplicada

3. Tensi´on axial de Cauchy en el cuello

Estos resultados permiten extraer conclusiones relativas a la influencia de la cuadratura empleada, y al comportamiento de las distintas familias de elementos consideradas.

Finalmente se investiga la distribuci´on de las tensiones en la zona de la estricci´on, comparando los valores calculados en los puntos de Gauss con las distribuciones dadas por las expresiones (3.165) y (3.166).

Comparaci´on con los resultados experimentales

Para caracterizar la ley constitutiva elastopl´astica se llevaron a cabo cin- co ensayos de tracci´on (Goicolea, 1985) en probetas de aluminio HE30, cuya composici´on era: 95.2 % Al, 0.1 % Cu, 0.4-1 % Mg, 0.6-1.3 % Si, 0.6 % Fe, 0.4-1.0 % Mn, 0.1 % Zn, 0.5 % Cr y 0.2 % de otros metales. El aluminio, fa- bricado mediante extrusi´on y posteriormente recocido3_{, fue mecanizado para}

obtener las probetas que, despu´es de ensayadas, se muestran en la figura3.18.

Figura 3.18: Estado de las probe-

tas de aluminio despu´es del ensa- yo de tracci´on

El ensayo se llev´o a cabo con desplaza- mientos impuestos, a una velocidad lo suficientemente baja (0,5 − 1,0 mm/min) como para considerarlo est´atico. A lo lar- go del proceso de estiramiento se toma- ron medidas del ancho del cuello en la secci´on central, para obtener los valores de la deformaci´on logar´ıtmica mediante la expresi´on (3.156). Con este valor y los datos extra´ıdos de la prensa a lo largo del ensayo, se obtuvieron los puntos de las curvas “Fuerza-Deformaci´on Logar´ıtmi- ca (P − εz)” y “Tensi´on vertical media-

Deformaci´on Logar´ıtmica (P/A − εz)”,

que se muestran en las figuras3.19y3.20, respectivamente. En estas figuras se su- perponen los puntos que resultaron del ensayo de las cinco probetas sometidas al proceso de recocido (que en los t´ıtu- los se denominan CT1, CT2, CT4, CT5 y CT6), con los obtenidos num´ericamente en este trabajo.

En ambas figuras puede observarse que los resultados obtenidos num´erica- mente reproducen de manera adecuada los resultados experimentales. Apro- ximadamente a partir de εz ≈ 0,2 el efecto geom´etrico de reducci´on de la

secci´on (debido a la estricci´on) prima sobre el endurecimiento del material, y la carga total disminuye a pesar de que el material no tiene reblandecimiento.

0 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 P (kN) ε_z CT1 CT2 CT4 CT5 CT6 Q1/P0 Q1/E5 Q1/ES5 Q1/ET5

Figura 3.19: Comparaci´on de resultados num´ericos y experimentales. Curva

Fuerza-deformaci´on (P − εz) 0 50 100 150 200 250 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 P/A (MPa) εz CT1 CT2 CT4 CT5 CT6 Q1/P0 Q1/E5 Q1/ES5 Q1/ET5

Figura 3.20: Comparaci´on de resultados num´ericos y experimentales. Curva

Evoluci´on de la estricci´on

Time = 1.00E+00 Time = 1.00E+00

Figura 3.21: Malla deforma-

da

Todos los elementos utilizados capturan adecuadamente la formaci´on del cuello en el ensayo de tracci´on. En la figura 3.21 se mues- tra la deformada global, que es similar en todos los casos analizados.

Para conocer la evoluci´on de la estricci´on, se han dibujado las curvas de estricci´on D/D0

frente a alargamiento ∆l/l0 a lo largo del en-

sayo.

La figura3.22 compara los resultados obte- nidos con los elementos mejorados, integrados con cinco puntos de Gauss, con los del elemen- to de presi´on constante Q1/P0. Como se puede observar, la estricci´on alcanzada es ligeramente mayor si se utilizan elementos de deformacio- nes supuestas.

En el cuadro 3.5 se recoge un resumen de los valores de la estricci´on obtenidos al final del c´alculo.

Evoluci´on de la tensi´on axial media A continuaci´on se discuten los resultados obtenidos referentes a la evoluci´on de la tensi´on axial media σz en el cuello, a

lo largo del ensayo. La tensi´on σzse dibuja frente a la deformaci´on logar´ıtmica

axial εz, con objeto de obtener una curva que represente de manera global

el comportamiento elastopl´astico uniaxial del aluminio. Para ello, los valores de σz y εz se obtienen introduciendo en las expresiones (3.162) y (3.157),

respectivamente, los valores de P y D calculados en el an´alisis de elementos finitos.

En la figura 3.23 se comparan los resultados obtenidos con los elementos

D/D0 Q1/P0 0,493 Q1/E5 (5 P.G.) 0,464 Q1/E5 (9 P.G.) 0,471 Q1/ES5 (5 P.G.) 0,464 Q1/ES5 (9 P.G.) 0,475 Q1/ET5 (5 P.G.) 0,464 Q1/ET5 (9 P.G.) 0,467

Cuadro 3.5: Comparaci´on de resultados num´ericos de la estricci´on, en el

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 D /D 0 ∆l/l0 Q1/E5 Q1/ES5 Q1/ET5 Q1/P0

Figura 3.22: Estricci´on frente a alargamiento. Elementos Q1/E5, Q1/ES5,

Q1/ET5 y Q1/P0

de deformaciones supuestas y el elemento mixto Q1/P0. Aunque desde el punto de vista pr´actico son los mismos, el elemento Q1/P0 tiene un compor- tamiento ligeramente m´as r´ıgido: la tensi´on calculada es ligeramente mayor en comparaci´on con la de los elementos de deformaciones supuestas, y la deformaci´on logar´ıtmica al final del ensayo es sensiblemente menor.

Finalmente, en el cuadro3.6, se muestran los valores de la deformaci´on y de la tensi´on alcanzados al final del c´alculo.

0 52 104 156 208 260 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 σzz (MP a) εzz Q1/E5 Q1/ES5 Q1/ET5 Q1/P0

Figura 3.23: Tensi´on axial media frente a deformaci´on logar´ıtmica axial. Ele-

εz σz (MPa) Q1/P0 1,413 257,4 Q1/E5 (5 P.G.) 1,536 263,0 Q1/E5 (9 P.G.) 1,508 261,1 Q1/ES5 (5 P.G.) 1,535 262,8 Q1/ES5 (9 P.G.) 1,490 259,8 Q1/ET5 (5 P.G.) 1,536 262,9 Q1/ET5 (9 P.G.) 1,522 262,0

Cuadro 3.6: Deformaci´on y tensi´on axial al final del an´alisis

Evoluci´on de la carga aplicada

A continuaci´on se analiza la evoluci´on de la carga vertical aplicada frente a la deformaci´on logar´ıtmica. El valor de dicha carga se obtiene sumando las reacciones verticales de cada uno de los nodos que tienen el desplazamiento impuesto.

La figura 3.24 compara la respuesta de los elementos mejorados, integra- dos con cinco puntos de Gauss, y del elemento mixto de presi´on constante. El cuadro 3.7 muestra los valores m´aximos de la carga y la deformaci´on logar´ıtmica axial correspondiente, y el valor de la deformaci´on al final del c´alculo con la carga correspondiente. Los valores de este cuadro permiten concluir:

– El elemento Q1/P0 es ligeramente m´as r´ıgido que los elementos con deformaciones supuestas

– El comportamiento de los distintos elementos con deformaciones su- puestas empleados es esencialmente el mismo. En la rama pre-pico el comportamiento es id´entico, y en la rama post-pico se observa un lige- ro aumento de la rigidez si se utiliza la cuadratura de 3 × 3 puntos de Gauss.

Pmax (N) εz(Pmax) εz,max Pmin (N)

Q1/P0 23,21 0,172 1,413 12,44 Q1/E5 (5 P.G.) 23,15 0,176 1,536 11,25 Q1/E5 (9 P.G.) 23,15 0,176 1,508 11,48 Q1/ES5 (5 P.G.) 23,15 0,176 1,535 11,24 Q1/ES5 (9 P.G.) 23,16 0,179 1,490 11,62 Q1/ET5 (5 P.G.) 23,15 0,176 1,536 11,24 Q1/ET5 (9 P.G.) 23,15 0,176 1,522 11,35

Cuadro 3.7: Comparaci´on de resultados num´ericos de la carga aplicada y de

0 6000 12000 18000 24000 0 0.4 0.8 1.2 1.6 P (N) εzz Q1/E5 Q1/ES5 Q1/ET5 Q1/P0

Figura 3.24: Carga aplicada frente a deformaci´on logar´ıtmica axial. Elemen-

tos Q1/E5, Q1/ES5, Q1/ET5 y Q1/P0

3.11.

Conclusiones

En este cap´ıtulo se ha tratado del modelo constitutivo que se emplear´a pos- teriormente en las aplicaciones del cap´ıtulo 5, con ´enfasis en su definici´on, implementaci´on computacional y validaci´on. El modelo se define en la confi- guraci´on intermedia y posteriormente las ecuaciones se integran en la configu- raci´on deformada. De esta forma surge un esquema num´erico de actualizaci´on multiplicativa del tensor de Finger a partir de la hip´otesis de descomposici´on multiplicativa.

Con este trabajo se ha iniciado una de las lineas de investigaci´on pro- puestas en (Garino, 1993), realizando las siguientes aportaciones:

1. Implementaci´on del modelo en el contexto de los elementos de defor- maciones supuestas, manteniendo la sencillez en el algoritmo de inte- graci´on de las ecuaciones de la plasticidad.

2. Utilizaci´on de un modelo neo-hookeano en la definici´on de la energ´ıa libre el´astica. De este modo se pueden abordar problemas con grandes deformaciones el´asticas, adem´as de grandes rotaciones, en el caso par- ticular en que no exista flujo pl´astico. No obstante, es necesario hacer dos matizaciones:

a) Dado que el modelo se formula para representar el comportamien-

to de metales en r´egimen pl´astico, las deformaciones el´asticas no son relevantes.

b) El tensor de deformaciones de Almansi no es el m´as adecuado

para cuantificar las grandes deformaciones el´asticas. Este hecho se puede comprobar en el caso uniaxial en el cual la deformaci´on de Almansi tiene una as´ıntota en e = 1/2.