tos: Ejemplos

La formulaci´on para grandes deformaciones descrita en este cap´ıtulo pre- senta un problema de subintegraci´on cuando se emplean cuatro puntos de Gauss, como queda demostrado a partir de ensayos num´ericos (Sim´o et al.,

1993a). Posteriormente se justifica de manera anal´ıtica (Wriggers y Reese,

1996) la aparici´on de un modo de energ´ıa nula en compresi´on, para la for- mulaci´on Q1/E4 empleando un modelo constitutivo hiperel´astico de tipo

Neo-hookeano. Finalmente se obtienen expresiones cerradas del c´alculo de autovalores para el modelo hiperel´astico general de Ogden (Armero, 1996a), con aplicaci´on a las formulaciones de los elementos propuestos en trabajos posteriores al original de Sim´o (Glaser y Armero, 1995; Armero y Glaser, 1997). En estos trabajos se demuestra que los elementos Q1/ES4 y Q1/ET 4 no tienen el modo de energ´ıa nula en compresi´on, aunque tambi´en presentan un modo de energ´ıa nula en ciertas situaciones con grandes deformaciones de naturaleza pl´astica. En la formulaci´on posterior de elementos mixtos mejo- rados (Kasper y Taylor, 1997b), este problema queda resuelto.

A continuaci´on se muestran dos ejemplos significativos de esta problem´ati- ca. Se han resuelto con los elementos y modelos constitutivos programados por el autor en el c´odigo de elementos finitos FEAP (Taylor, 1999).

Extensi´on simple de un elemento

Con este ejemplo b´asico se estudia la influencia del orden de la cuadratura de Gauss en los elementos con deformaciones supuestas. Se considera un un elemento cuadrado de lado 2 sometido al estiramiento que se muestra en la figura 2.8, siendo λ2 = 3.

2,0

u

2,0

2λ2

Figura 2.8: Extensi´on de un elemento

Se considera un material de Von-Mises con el modelo constitutivo elas- topl´astico de grandes deformaciones que se describir´a en el cap´ıtulo siguiente. Las propiedades el´asticas adoptadas son E = 206,9 y ν = 0,29 para una den- sidad de energ´ıa el´astica de tipo cuadr´atico: W = 1/2(ε · ce_{ε) en la que el}

tensor espacial ce _{es constante. El endurecimiento est´a definido por la ley de}

saturaci´on: σY = 0,45 + 0,26 (1 − e−16,93εp) + 0,13εp

El modelo de elementos finitos se integra con la regla de 4 puntos de Gauss, empleando los elementos Q4, Q1/P 0, Q1/E4, Q1/ES4 y Q1/ET 4. En la figura2.9 se muestran las deformadas del elemento al final del proceso. Para un cierto valor del estiramiento se presenta el fen´omeno de hourglassing debido a que la matriz de rigidez elemental queda subintegrada. Los modos mejorados se activan de manera esp´urea, para los elementos Q1/E4, Q1/ES4

y Q1/ET 4, cuando el estiramiento λ2 vale 1,52, 1,42 y 1,35, respectivamen-

te. Este hecho se muestra claramente al dibujar la energ´ıa interna frente al alargamiento (figura 2.10). El problema de subintegraci´on se alivia con 5 y 9 puntos, aunque tambi´en se presenta un ligero hourglassing (Gabald´on y

Goicolea, 1998).

* * Test de extension elastoplastica. Q4

Time = 1.00E+00 * * Test de extension elastoplastica. Q1P0

Time = 1.00E+00 Time = 1.00E+00 * * Test de extension elastoplastica. Q1E4 * * Test de extension elastoplastica. Q1ES4 (4 g.p.)

Time = 1.00E+00 Time = 1.00E+00 * * Test de extension elastoplastica. Q1ET4 (4 g.p.)

Q4 Q1/P0 Q1/E4 Q1/ES4 Q1/ET4

Figura 2.9: Extensi´on simple de un elemento. Deformadas para la regla de

integraci´on de cuatro puntos de Gauss.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 Energia Alargamiento Q1/E4 Q1/ES4 Q1/ET4 Q1/P0 Q4

Estricci´on en deformaci´on plana

Figura 2.11: Malla

de elementos finitos

En este ejemplo se analiza el ensayo de tracci´on simple de una probeta rectangular en deformaci´on pla- na, produci´endose una estricci´on en la zona central de la misma. Este ejemplo ha sido analizado anteriormen- te en (Armero y Glaser, 1997).

Se considera una probeta de dimensiones 53,334 × 12,826, modeliz´andose por condiciones de simetr´ıa 1/4 de la misma. Para conseguir que se forme la estricci´on se reduce el ancho en la secci´on central un 0,982 %, suponiendo que la variaci´on es lineal entre esta sec- ci´on y las secciones extremas. La malla tiene 10 × 20 elementos, con la discretizaci´on que se muestra en la figura 2.11.

El problema se resuelve con control de desplaza- mientos. En el borde superior se aplica un desplaza- miento en direcci´on axial que llega a valer u = 7 al final del an´alisis. El modelo constitutivo empleado es id´entico al del ejemplo anterior.

El problema se resuelve con los elementos Q1/E4 y Q1/ES4, integrados con 4, 5 y 9 puntos de Gauss. Con 4 puntos, cuando el desplazamiento impuesto es

u = 5,6 el “hourglassing” se ha propagado por la malla

dando lugar a resultados no v´alidos. En la figura 2.12

se muestran las deformadas obtenidas y un detalle de la zona de estricci´on. Empleando reglas de 5 y 9 puntos de Gauss, este problema se corrige ob- teni´endose las deformadas de las figuras2.13y2.14, respectivamente. No obs- tante a´un se puede apreciar un ligero hourglassing. Desaparecer´ıa a˜nadiendo t´erminos de rigidez artificial (Armero y Glaser, 1997).

La figura 2.15 muestra la curva fuerza-desplazamiento obtenida. Los re- sultados obtenidos con los elementos Q1/ES4 y Q1/ET 4 son pr´acticamente los mismos. Por otra parte, de este gr´afico y de las figuras2.13y2.14, se con- cluye que en este ejemplo no tiene inter´es emplear la regla de nueve puntos frente a la de cinco ya que los resultados son pr´acticamente id´enticos.

2.42 Tecnolog´ıa de Elementos Mixtos Time = 1.00E+00 Time = 1.00E+00 u=5.6 Elemento Q1/ES4 (4 p.g.)

Time = 1.00E+00

Time = 1.00E+00

Elemento Q1/ES4 (4 p.g.)

Time = 1.00E+00

Time = 1.00E+00

Elemento Q1/ET4 (4 p.g.)

Figura 2.12: Estricci´on en deformaci´on plana (u = 5,6). 4 Puntos de Gauss

Time = 1.00E+00 Time = 1.00E+00 u=7.0 Elemento Q1/ES4 (5 p.g.) Time = 1.00E+00 Time = 1.00E+00 Elemento Q1/ES4 (5 p.g.) u=7.0

Time = 1.00E+00 Time = 1.00E+00 u=7.0

Elemento Q1/ET4 (5 p.g.) Elemento Q1/ET4 (5 p.g.) u=7.0 Time = 1.00E+00Time = 1.00E+00

Q1/ES4 Q1/ET 4

Time = 1.00E+00 Time = 1.00E+00 u=7.0 Elemento Q1/ES4 (9 p.g.) Time = 1.00E+00 Time = 1.00E+00 Elemento Q1/ES4 (9 p.g.) u=7.0

Time = 1.00E+00 Time = 1.00E+00 u=7.0 Elemento Q1/ET4 (9 p.g.) Time = 1.00E+00 Time = 1.00E+00 Elemento Q1/ET4 (9 p.g.) u=7.0

Q1/ES4 Q1/ET 4

Figura 2.14: Estricci´on en deformaci´on plana (u = 7,0). 9 Puntos de Gauss

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Fuerza Desplazamiento

Q1/ES4 (5 puntos de Gauss) Q1/ES4 (9 puntos de Gauss) Q1/ET4 (5 puntos de Gauss) Q1/ET4 (9 puntos de Gauss)

2.5.

Conclusiones

En este cap´ıtulo se ha descrito la formulaci´on de los elementos con de- formaciones mejoradas supuestas, tanto para deformaciones infinitesimales como para problemas con grandes deformaciones. Estos elementos presentan las siguientes ventajas frente a otras formulaciones convencionales:

1. Se consiguen soluciones m´as precisas en mallas con menos elementos. 2. Son menos sensibles a la distorsi´on.

3. Su formulaci´on es de tipo general, respondiendo correctamente tanto en problemas de flexi´on como en problemas cuasi-incompresibles. Como inconvenientes est´an su coste computacional y la necesidad de emplear reglas de integraci´on de Gauss con m´as de cuatro puntos, debido a la ines- tabilidad que presentan con grandes deformaciones pl´asticas. En el cap´ıtulo

5 se discutir´a la posibilidad de representar la cinem´atica de las bandas de localizaci´on de deformaciones con este tipo de elementos.

Elastoplasticidad con grandes