Elastoplasticidad con grandes deformaciones
3.7. Integraci´ on de las ecuaciones de la plas ticidad
Este apartado se dedica a los aspectos relevantes de la metodolog´ıa de integraci´on num´erica del modelo constitutivo y su implementaci´on compu- tacional. En ´el se describe el m´etodo predictor-corrector en problemas de plasticidad con grandes deformaciones y los algoritmos empleados en este trabajo para el predictor el´astico y el corrector pl´astico. A continuaci´on se describe el algoritmo de retorno radial, y finalmente la formulaci´on de la matriz elastopl´astica tangente algor´ıtmicamente consistente.
3.7.1.
Introducci´on
Para integrar las ecuaciones de la plasticidad del modelo constitutivo des- crito en el apartado anterior, el problema se discretiza mediante un par´ame- tro t que tiene significado de pseudo-tiempo. Dado que no se consideran los efectos din´amicos, la variable t ´unicamente expresa la secuencia que sigue la historia de carga.
El problema que se plantea es el siguiente: dado un incremento de des- plazamientos que define la configuraci´on deformada en t + ∆t:
u∆t: Ωt→ Ωt+∆t (3.98)
y las configuraciones deformada e intermedia en el instante t:
Fe
t, Fpt, Ft (3.99)
encontrar la configuraci´on intermedia en t + ∆t y actualizar las variables internas. Las ecuaciones del problema elastopl´astico que definen el problema elastopl´astico a integrar con el algoritmo predictor-corrector son:
1. Descomposici´on aditiva del tensor velocidad de deformaci´on:
d = de+ dp (3.100) 2. Regla de flujo dp = ˙γ∂g ∂τ (3.101) 3. Ley de endurecimiento: Lvq = ˙γH ∂g ∂τ (3.102)
3.7.2.
M´etodo Predictor-Corrector
Los algoritmos basados en este m´etodo integran las ecuaciones en dos pasos. Antes de describir los detalles de estos dos pasos en el contexto de la implementaci´on computacional, es conveniente exponer brevemente la meto- dolog´ıa y resultados obtenidos en cada uno de ellos:
1. Predictor el´astico: en esta fase se calcula el tensor dt+∆t, a partir de
la configuraci´on intermedia del paso anterior que se denomina confi-
guraci´on intermedia predictora. Como dicha configuraci´on intermedia
permanece fija, en este paso las variables internas no cambian.
2. Corrector pl´astico: la configuraci´on intermedia predictora se actualiza para obtener la configuraci´on intermedia en t + ∆t, manteniendo fija la configuraci´on deformada. Asimismo se actualizan las variables internas. Los resultados obtenidos en cada parte del m´etodo se resumen en el cuadro
3.1.
Problema Predictor Corrector elastopl´astico (el´astico) (pl´astico)
Lve = d Lve = d Lve = 0
Lvep = ˙γ∂τ∂g Lvep = 0 Lvep = ˙γ∂τ∂g
Lvq = ˙γH∂τ∂g Lvq = 0 Lvq = ˙γH∂τ∂g
Cuadro 3.1: M´etodo predictor-corrector en el problema elastopl´astico con grandes deformaciones
3.7.3.
Predictor el´astico
Este paso se muestra de manera esquem´atica en la parte superior de la figura 3.3. Se conoce la soluci´on convergida en el instante t, en la que se satisfacen simult´aneamente las ecuaciones de equilibrio y las ecuaciones constitutivas. Los datos de partida son:
1. Configuraciones de referencia Ω0 y deformada Ωt
2. Gradiente de deformaciones Ft= Ft(u) + eFt
3. Inverso del tensor el´astico de Finger be−1
t = Fe
−T
t Fe
−1
t
Para un incremento de desplazamientos u∆t, que define la configuraci´on
deformada Ωt+∆t, con el predictor el´astico se obtiene la configuraci´on inter-
media predictora ΩPRt+∆t:
FePRt+∆t = Ft+∆tFp
−1
Operando esta expresi´on y definiendo el tensor gradiente incremental de de- formaciones: f∆t def= ∂xt+∆t ∂xt = Ft+∆tF−1t (3.104) se obtiene: FePR t+∆t= f∆tFet (3.105)
Observaci´on 3.7.1 Desde el punto de vista de la implementaci´on, emplean-
do elementos compatibles el gradiente incremental se puede evaluar con la expresi´on:
f∆t = 1 + ∂u∆t
∂xt
(3.106)
Sin embargo, con elementos de deformaciones supuestas, la expresi´on del gradiente incremental ha de contener la parte “mejorada”. La expresi´on m´as sencilla es la que se obtiene a partir de Ft+∆t y Ft aplicando directamente
(3.104)
La configuraci´on intermedia predictora se define de manera alternativa, no con el tensor FePRt+∆tsino con el inverso del tensor predictor el´astico de Finger:
bePR−1 t+∆t = FePR −T t+∆t FePR −1 t+∆t = f−T∆tbe −1 t f−1∆t (3.107)
3.7.4.
Corrector pl´astico
Este paso se muestra de manera esquem´atica en la parte inferior de la figura 3.3. Se parte de la configuraci´on intermedia obtenida con el predictor el´astico y de las variables internas calculadas en t.
Tal como se propone en (Sim´o, 1988b), la regla de flujo se integra en la configuraci´on de referencia para verificar en cada incremento el principio de objetividad. De acuerdo con lo descrito en el apartado 3.5 y teniendo en cuenta que: ˙ Ep = 1 2C˙ p (3.108) la velocidad de deformaci´on pl´astica y la componente pl´astica del tensor derecho de Cauchy-Green se relacionan mediante el operador pull-back:
˙ Cp = 2φ∗dp (3.109) Sustituyendo (3.101) en (3.109): ˙ Cp = 2 ˙γ∂G ∂S (3.110)
siendo G la funci´on potencial pl´astico en la configuraci´on de referencia. La ecuaci´on (3.110) se integra con el esquema de Euler impl´ıcito, y resulta:
Cpt+∆t = Cpt + 2∆γ∂Gt+∆t
El operador push-forward se aplica a la expresi´on (3.111) para expresarla en la configuraci´on deformada:
φ∗Cpt+∆t= φ∗Cpt + 2∆γ
∂gt+∆t
∂τ (3.112)
La componente pl´astica del tensor de Cauchy-Green, en t y en t + ∆t, se expresan: φ∗Cpt+∆t= F−Tt+∆tC p t+∆tF−1t+∆t= Fe −T t+∆tFp −T t+∆tC p t+∆tF p−1 t+∆tFe −1 t+∆t = Fe−T t+∆tFe −1 t+∆t = be −1 t+∆t (3.113) φ∗Cpt = F−Tt+∆tCptF−1t+∆t = F−Tt+∆tFp T t FptF−1t+∆t = F−T t+∆t ³ Fe−1 t Ft ´T ³ Fe−1 t Ft ´ F−1 t+∆t = Ft+∆t−T FTtFet−TFte−1FtF−1t+∆t= f−T∆tbe −1 t f−1∆t = bePR −1 t+∆t (3.114)
Sustituyendo (3.113;3.114) en (3.112), resulta finalmente como expresi´on del corrector pl´astico:
bet+∆t−1 = bePRt+∆t−1+ 2∆γ∂gt+∆t
∂τ (3.115)
Con el valor de bePRt+∆t−1 que se obtuvo con el predictor el´astico, la configuraci´on intermedia queda determinada mediante be−1
t+∆ten la expresi´on (3.115), a falta
del valor de ∆γ. Dicho valor se obtiene mediante alg´un algoritmo de retorno a la superficie de fluencia. Una revisi´on rigurosa de los distintos m´etodos de retorno es la descrita en (Sim´o y Hughes, 1991;Sim´o, 1994). En este trabajo se ha empleado el algoritmo de retorno radial, que sirve para la plasticidad de Von-Mises y es el m´as sencillo de los denominados “algoritmos de retorno mapeado” (Sim´o, 1994).
3.7.5.
Algoritmo de retorno (Euler impl´ıcito)
Los algoritmos de retorno tiene por objeto devolver a la superficie de fluencia f = 0 el estado tensional predictor τPR
t+∆t calculado mediante (3.91),
cuando ft(τPRt+∆t) > 0. Al mismo tiempo se obtiene la nueva superficie de
fluencia ft+∆tmediante el multiplicador pl´astico ∆γ. En este trabajo la plas-
ticidad con grandes deformaciones se restringe al modelo de Von-Mises. Dado que la superficie de fluencia tiene simetr´ıa de revoluci´on, dentro de la “fami- lia de algoritmos de retorno” es aplicable el algoritmo de retorno radial. Se supone que la direcci´on de flujo pl´astico es constante, es decir:
∂gt+∆t
∂τ =
∂gPR
t+∆t
∂τ (3.116)
Como el modelo de Von Mises es asociativo, la superficie de fluencia y el potencial pl´astico coinciden (f = g), con lo que la normal a la superficie de