Desarrollo Teórico

La tasa de absorción de calor en una región, debido a la absorción resonante RMN depende de dos tipos de interacción: la velocidad a la que los espines transfieren energía térmica al medio que los rodea y la velocidad a la que el campo de RF interactúa con los espines. Por lo que podemos hablar de dos procesos térmicos: uno dependiente del acoplamiento de los espines con la red

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molecular y otro que depende de las transiciones originadas por la aplicación de un campo magnético alternante (pulso de RF).

En la interacción de los espines con el medio, las fluctuaciones en el campo magnético local debido a los movimientos térmicos aleatorios de los núcleos vecinos también interactúan con los momentos magnéticos de los protones causando un equilibrio térmico. Este equilibrio térmico se alcanza en función de las tasas de las transiciones del estado de baja energía, , hacia el de alta energía, , y viceversa, que no son iguales, sino que se definen por la distribución de Boltzman, ecu.[4.26b]. Para que estas transiciones ocurran es necesario que la red se encuentre en un estado que las permita (figura 10).

Resulta interesante notar que las tasas de estas transiciones no son iguales, lo que si sucede con las tasas de las transiciones causadas por un pulso de RF, como se verá más adelante. Sin embargo las transiciones térmicas con la red requieren no sólo de un acoplamiento entre espines sino de otro sistema que permita estas transiciones. Si n y nson las poblaciones de espines en el estado de baja y alta energía respectivamente; y nA y nB las poblaciones de la red en los

estados de baja y alta energía, el número de transiciones por segundo en la figura 10a, será:

[5.1]

Donde es la tasa por segundo de dicha transición bajo la condición de que el núcleo este en el estado  y la red se encuentra en el estado B. La condición de estado-estable se encuentra igualando la tasa de dicha transición con la tasa de la transición inversa:

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Como la teoría cuántica requiere que , se puede observar

que en equilibrio térmico:

[5.3] Esto es, los niveles nucleares deberán tener las mismas poblaciones relativas que los niveles de la red molecular. Por lo tanto, la población nuclear estará en un equilibrio térmico con la de la red. Por otra parte, para este modelo simple podemos calcular la tasa de la transición entre el estado  y  del núcleo y viceversa:

[5.4]

por lo que las tasas de transición son diferentes y están determinadas por la distribución de Boltzman ecu. [4.26b]

Figura 10. Transiciones del núcleo y de la red molecular o retículo. (a) Transición posible. (b)Transición prohibida.

En cuanto a las transiciones estimuladas por el pulso de RF, la probabilidad por segundo de inducir la transición desde el estado de alta energía al estado de baja energía se puede indicar por W (+)(-), por lo que la transición inversa se

denota por W (-)(+). Se puede escribir una ecuación diferencial para describir el

cambio de la población nde la siguiente manera:

d _

d [5.5]

Si la probabilidad de las transiciones inducidas por el pulso de RF desde el estado inferior hacia el estado superior es la misma que la transición inversa,

50 , la ecuación para el cambio en la población puede ser

reescrita como:

d 

d [5.6]

Es conveniente introducir la variable n = n - n, como la diferencia en la población de los dos niveles de energía. Las dos variables n y n pueden ser sustituidas por n y N, utilizando las siguientes ecuaciones:

_{ } [5.7]

[5.8]

Haciendo las sustituciones adecuadas tenemos:

[5.9]

cuya solución es:

_[5.10]

donde n(0) es el valor de n en el instante t=0. Se puede observar que si inicialmente existe una diferencia entre las poblaciones esta desaparecerá eventualmente bajo la acción de las transiciones inducidas.

La tasa de absorción de energía dE/dt estimulada por el pulso de RF de frecuencia está dada por el cálculo del número de espines por segundo que cambian del nivel de baja energía al de alta energía, y restando el número de los que cambian inversamente, emitiendo energía en el proceso:

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Por lo tanto, para una absorción neta de energía, n debe ser distinta de cero, es decir, debe de haber una diferencia en las poblaciones. Se observa que cuando el estado de baja energía es el más altamente poblado, la absorción de energía neta es negativa, el sistema de espines cede más energía que la que recibe. Situaciones similares son la base de los osciladores y amplificadores conocidos como MASERS (Amplificación de Microondas por Emisión Estimulada de Radiación, Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation) o LASERS (Amplificación de Luz por Emisión Estimulada de Radiacion, Light Amplification by Stimulated Emition of Radiation).

El proceso de magnetización de una muestra requiere un número neto de transiciones del estado de alta energía al estado de baja energía. En este proceso, cuando el estado de baja energía está más altamente poblado que el estado de alta energía, la absorción neta de energía es positiva, el sistema de espines recibe más energía de la que suministra, transfiere calor. El intercambio de calor continuara hasta que se alcance un equilibrio térmico con la red. En este punto es donde los dos mecanismos interactúan entre si, por un lado existen las transiciones estimuladas por el pulso de RF y por otro las transiciones estimuladas por la red molecular.

Regresando a las transiciones estimuladas por la red, el cambio en la diferencia entre las dos poblaciones puede escribirse como:

d

d [5.12]

y sustituyendo la ecu. [5.8] en la ecuación anterior tenemos:

[5.13] dónde

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[5.14]

Como la solución a esta ecuación diferencia es:

_[5.15a]

donde A es una constante de integración, podemos ver que n0 es la diferencia

entre las dos poblaciones en el estado de equilibrio térmico (definido por la distribución de Boltzman), y T1 es el tiempo de relajación longitudinal. Por ejemplo,

para un material que inicialmente se encuentra desmagnetizado, el proceso de magnetización se describe como un incremento exponencial hacia el equilibrio:

_[5.15b]

Finalmente, las dos ecuaciones para la tasa de transición dn/dt se pueden combinar para obtener la tasa de transición debido a los dos procesos considerados: [5.16] En el estado estacionario [5.17]

Por lo tanto, mientras que 2WT1<<1, n=n0, y la absorción de energía debida al

campo alternante no alterará las poblaciones más allá de los valores del equilibrio térmico. La tasa de absorción de energía dE/dt, ecu. [5.11] puede escribirse:

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Como se menciona en la sección 4.2., el valor de T1 está claramente

relacionado con los detalles microscópicos del sistema nuclear y de la red. Como

W es proporcional al cuadrado del campo de RF, la tasa a la que se transfiere la energía se incrementa al incrementar la intensidad del campo de RF. Desafortunadamente, mientras W incrementa, la cantidad W/(1+2WT1) alcanza el

valor límite 1/2T1:

[5.19]

Debido a que 0 (E) es mucho menor que el valor de kT, y que las poblaciones son casi iguales siendo n  n  N/2 la situación de equilibrio entre las poblaciones se reduce a:

La tasa de transferencia de energía se convierte en:

[5.20]

En el caso de moléculas de agua, N = 0.66 x 1023 protones/cm3,  = 2.6752 x 108 s-1T-1, =1.0546 x 10-34 Js, k = 1.38 x 10-23 J/K, y a una temperatura aproximada de 310 K. Para los protones en el tejido, la tasa de transferencia de energía queda como sigue:

_[5.21]

Los valores típicos de T1 para el agua en tejido van desde 0.1s hasta 1s en

campos magnéticos intensos del orden de 1Tesla. Empleando la capacidad calorífica del agua de 4.2 Jg-1K-1, considerando el tiempo de relajación de 0.1s y

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un volumen de 1ml de agua, el incremento de temperatura que se puede obtener debería de ser de: