bilidad de que tome un determinado valor, o de que resulte un valor comprendido en un cierto intervalo. También es posible determinar el intervalo al que le co- rresponde una cierta probabilidad. Por ejemplo, si quisiéramos tener una proba- bilidad de 7/9 de acertar, podríamos decir que la suma de puntos de las Activida- des Resueltas anteriores será mayor o igual que cinco y menor o igual que siete.
En el ejemplo de la suma de puntos, solamente existían cinco valores posibles. La variable a la que se refiere la distribución de probabilidad de la Figura 7.8. pue- de tomar diez valores; también es una variable discreta, pues el número de valores que puede tomar es finito, pero, al repartirse el área total (la unidad) entre mayor número de variables, el área media de un rectángulo es inferior que en el caso de la variable SP.
—H.:Ul4k:
Valores probables Figura 7.8.
Evidentemente, existen variables que pueden tomar ciertos valores (discretas) y otras que pueden tomar un número infinito de valores, que se denominan va- riables continuas.
Uno de los tipos de variables continuas más importante es el integrado por las denominadas variables normales, a cuyas distribuciones de probabilidad se les de- nomina también distribuciones normales.
Toda distribución normal presenta una serie de características que es impor- tante conocer, por ser éste un tipo de distribución muy utilizado en Economía de la Empresa:
— Las distribuciones normales son simétricas y tienen una forma acampa- nada (véase la Figura 7.9), por lo que a su representación se le denomina campana de Gauss.
— El área correspondiente a cada posible valor de la variable es infinitesimal; es decir, que la probabilidad de que la variable tome un valor en concreto es igual a cero.
— Sin embargo, evidentemente, la probabilidad de que la variable tome un va- lor comprendido en un cierto intervalo finito es una cantidad también finita e igual al área existente bajo la campana en ese intervalo. El área total que hay bajo la campana vale, evidentemente, uno: es la probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre menos infinito e infinito. — Como también resultará ya evidente, la esperanza matemática de la variable
habrá de encontrarse en el centro de la distribución y, dado que ésta es si- métrica y que su área total es igual a uno, tanto el área situada a la izquier- da de su valor esperado, como la existente a su derecha, han de valer 0,5. — Se trata, además, de un tipo de distribución que queda perfectamente
descrita con el solo conocimiento de su esperanza matemática y de su va- rianza (o de su desviación típica); la esperanza matemática determina el lugar en el que se encuentra centrada la distribución, y la varianza deter- mina su forma (su dispersión; su «anchura»). Es decir, que, sabiendo que una distribución es normal, y conociendo su valor esperado y su varianza, es posible representarla perfectamente.
La siguiente expresión significa que la variable x sigue una distribución normal con una esperanza matemática igual a E(x) y una desviación típica igual a o(x):
x-*N[E(x\o(x)]
El motivo fundamental de la frecuente aplicación de este tipo de distribucio- nes en la práctica se encuentra en el teorema fundamental del límite.
En rigor, el teorema sólo se cumple en el límite, es decir, cuando el número de variables que se suman es infinito, pero se puede considerar aplicable de forma aproximada cuando dicho número es suficientemente grande, y la aproximación tenderá a ser tanto mejor cuanto mayor sea ese número.
Cuando una variable, x, está formada por la suma de otras variables, xv xv ...
y xnf su esperanza matemática es igual a la suma de las esperanzas matemáticas de
estas variables:
156 ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS
y, si, además, estas variables son independientes entre sí, la varianza de la varia- ble-suma es la suma de las varianzas de las variables que la integran:
G\x) = 02{xl) + 02(x2) + ... + 0(Xn)
Por consiguiente, conociendo los valores esperados y las varianzas de estas variables, se conocen los parámetros necesarios para describir perfectamente la distribución normal de la variable-suma.
Hay una distribución normal que está tabulada; es decir, existen una tablas con las que puede determinarse la probabilidad de que la variable tome un valor comprendido en cualquier intervalo que se desee.
Denominaremos | a la variable que tiene esa distribución; es decir, a la va- riable normal estandarizada:
§->¿V(0,l)
Si la variable x sigue una distribución normal, entonces:
x - E(x)
<j(x)
es la variable tipificada. A este proceso de disponer la variable x en número de desviaciones típicas respecto a su media, se le denomina tipificación. Tipificando la variable, es posible calcular cualquier probabilidad relativa a la misma.
ACTIVIDAD RESUELTA N.° 19
Se desea conocer la probabilidad de que una variable normal cuyo valor esperado es 2.600 y cuya desviación típica vale 386, sea mayor que 3.206.
Evidentemente, la distribución N(2.600, 386) no está tabulada, pero sí lo está la de la variable:
x- 2.600
386 Se desea conocer:
Despejando x en la expresión de ¿;, se obtiene:
x= £386 + 2.600
Por consiguiente, lo que se desea conocer es: />(¿;386 + 2.600 > 3.206) o, lo que es lo mismo:
J t 3.206-2.600 P c>
l 386
La probabilidad de que la variable x sea mayor que 3.206 es igual a la probabilidad de que la variable normal tipificada sea mayor que 1,57.
Evidentemente, 1,57 es mayor que 0, por lo que se encuentra a su de- recha. En la tabla del apéndice puede obtenerse la probabilidad de que £ se encuentre entre 0 y 1,57 (el área existente bajo la campana que se en- cuentra bajo ese intervalo). Esa probabilidad se halla en el cruce entre la fila del 1,5 y la columna del 7 (las columnas se refieren al segundo deci- mal); es decir, el 0,4418 por uno. Lo que deseamos conocer es el área existente a la derecha del 1,57, pero, como la distribución es simétrica y el área total vale 1, el área total existente a la derecha del eje central valdrá 0,5 y, por lo tanto:
P(% > 1,57) = 0,5 - 0,4418 = 0,0582 por uno.
La probabilidad de que la variable x tome un valor superior a 3.206 es del 5,82%. Dicho de otro modo, podemos tener una confianza de 5,82 sobre cien, de que esa variable superará 3.206, o, complementariamente, una con- fianza de 94,18 sobre cien de que no llegará a 3.206.
En algunos casos, lo que se desea es determinar el intervalo que permite tener cierto nivel de confianza.
ACTIVIDAD RESUELTA N.° 20
Se desea fijar un límite superior a la variable x de la Actividad Resuelta anterior, de modo que se tenga una confianza del 5,82% de que esa variable no lo superará.
Se trata de determinar el valor de h tal que:
P(x> h) = 0,0582
Despejando x en función de £ y operando, se obtiene: />(£386 + 2.600 > h) = PU > /* ~2'6 0°>
V 386 ) Denominando z al cociente:
h- 2.600
386 se trata de determinar el valor de h tal que:
/>(£> 2) = 0,0582 o, lo que es lo mismo, tal que:
/>(0 < £ < z) = 0,5 - 0,0582 = 0,4418
Buscando en las tabla la fila y la columna en las que se encuentra 0,4418, se observa que z vale 1,57. Por consiguiente:
h- 2.600 , „
= 1,57 386
y, despejando h, se obtiene:
h = 3.206
Si se desea tener una confianza de 94,18 sobre cien, de acertar al fijar el límite máximo de x9 ha de tomarse como tal 3.206. O, lo que es lo mismo,
existe un 5,82% de probabilidades de que se equivoque quien afirme que x tomará un valor no superior a 3.206.