El último de los convertidores básicos es el Reductor-elevador (BUCK-BOOST), el cual es la unión en cascada de un ELEVADOR cono un REDUCTOR, lo que ofrece la oportunidad de utilizar este diseño para elevar o reducir tensión sin modificar el circuito físico. A continuación se muestra la topología de este convertidor
Figura 39. Circuito convertidor elevador-reductor, Fuente: Elaboración propia.
Al igual que con los otros convertidores, se mantendrán los supuestos delas ecuaciones (5), (6) y (7) (Hart, 2001, pág. 206)
1. La corriente en la bobina es periódica.
:; = * + + = :;* +
2. El valor medio de la Tensión (Valor DC) en la bobina es cero:
; = ) ;* +, -
= 0
3. El valor medio de la corriente (Valor DC) en el capacitor es cero:
6 = ) 6* +, -
= 0 APROXIMACIÓN IDEAL (Elementos ideales)
Es importante tener en cuenta que como en esta aproximación no existen pérdidas, se cumple la siguiente relación
7.1. MCC (MODO DE CONDUCCIÓN CONTINUA)
El modo de conducción continuo, es aquel donde la corriente del inductor no llega a ser cero ( < = 0), es decir, la corriente de inductor fluye de manera continua (Mohan, Undeland, & Robbins, 2009, pág. 152), como se observa en la Figura 40
Figura 40. Corriente de la bobina del reductor-elevador en MCC, (Hart, 2001, pág. 214).
Donde : es el tiempo que el interruptor se encuentra cerrado y por tanto el inductor se carga.
*1 > + : es el tiempo que el interruptor de encuentra abierto, y por tanto el inductor se descarga.
Al igual que con el reductor, el valor medio de la corriente del inductor es la misma que circula por la carga, es decir la corriente de salida, por lo que el BUCK-BOOST tiene un comportamiento muy similar al reductor.
7.1.1. ECUACIONES DE ESTADO
Cuando el interruptor se encuentra cerrado, se tiene
De la figura 41 se obtienen las siguientes relaciones 0 = ; (69) Como ;= 0 0 @∗ , entonces 0 =, ∗, ,: , 8 = 0 (70)
Por separación de variables el , 8 se traslada al lado izquierdo ∆:8= 0 , 8
Donde , 8= , es decir, el intervalo del periodo que el interruptor conduce, así que
∆:8= 0 (71)
Se debe tener en cuenta que '= 6 para los dos estados de conducción.
Cuando el interruptor se abre, empieza el ciclo de descarga del inductor, por lo que se tiene el circuito de la Figura 42
Figura 42. Circuito reductor-elevador con el interruptor abierto. Fuente: Elaboración propia.
De la figura 42 se deduce ;> ? = 0 ;= ' Como ;= 0 0 B∗ , entonces ,: , 9 = ' (72)
∆:9 = , 9 Donde , 9 = *1 > + , es el periodo, así que
∆:9 = *1 > + (73)
7.1.2. BALANCE DE CORRIENTES
Recordando que las variaciones de corriente en régimen permanente de un inductor son nulas, por lo que se debe cumplir
∆:8+ ∆:9+ ⋯ +∆: = 0 (74)
Al reemplazar las ecuaciones (72) y (73) en (74) se tiene 0 + D *1 > + E = 0
0 = > *1 > +
0 = > *1 > + Finalmente, despejando se tiene
0= > 1 > (75)
La ecuación anterior representa la relación de trabajo del reductor-elevador. Algo importante a resaltar es la obtención de una tensión negativa debida a la dirección del diodo, caso especial que se tratará al final del capítulo.
Al ver esta relación, es claro como existe un gran parecido con las expresiones del reductor y del elevador, solo modificando el denominador se puede elegir con cuál de los dos convertidores se quiere trabajar, cuestión que se esclarece con la Tabla 4
Tabla 4. Comportamiento del reductor-elevador según la relación de trabajo.
Valor de D Salida del Convertidor Comportamiento
0 -D Reductor
< 0.5 -D Reductor
0.5 1 Seguidor de Tensión
1 N.D Elevador
En la tabla 4 es evidente el funcionamiento de un elevador-reductor. Cuando D es menor a 0,5, el comportamiento es el de un convertidor reductor, cuando es mayor a 0,5 se comporta como un elevador, pero cuando D es igual a 1 aparece un punto crítico en donde la tensión de salida es muy grande igual que sucede con un convertidor elevador. En la Figura 43, se puede apreciar el comportamiento de la tensión sobre la bobina del reductor-elevador
Figura 43. Tensión del inductor del reductor-elevador, (Mohan, Undeland, & Robbins, 2009, pág. 158).
Al igual que con el Reductor, y sabiendo que el valor medio en un inductor es cero, se tiene
; > *> '+*1 > + = 0 0 = > '*1 > + Despejando ' se obtiene
0= > 1 >
Que es el mismo resultado para la relación de trabajo obtenida anteriormente.
7.2. FRONTERA
Igual que con los otros convertidores, el modo frontera es cuando la corriente de salida por primera vez es cero, y como la corriente de salida corresponde con la del inductor se tiene
Figura 44. Corriente del inductor del reductor-elevador en modo frontera, (Mohan, Undeland, & Robbins, 2009, pág. 153).
Al igual que en los casos anteriores se cumplen las siguientes premisas: 1. Las ecuaciones de MCC son válidas para este escenario.
2. La corriente mínima en el inductor es cero, por lo que la corriente máxima es ∆:, y por lo tanto la corriente de salida es ∆:/2.
Por lo que se tiene
' =∆:2 (76)
Reemplazando se tiene
' = 2 *1 > + (77)
Según la ley de ohm = / , entonces se puede definir la máxima carga que se puede colocar para que el sistema funcione en modo continuo
FGH= '
' (78)
Reemplazando la ecuación (77) en (78) se tiene
FGH = '
2 *1 > +
Si se despeja el inductor se obtiene la ecuación para el valor mínimo de este (Hart, 2001, pág. 208)
F = *1 > +2 (80)
7.3. MCD (MODO DE CONDUCCIÓN DISCONTINUA)
Al igual que en otras ocasiones, para analizar el modo de funcionamiento discontinuo, se necesita el gráfico de la Figura 45
Figura 45. Corriente del inductor del reductor-elevador en MCD, (Erickson & Maksimovic, 2004, pág. 110).
∆:8= 0 (81)
∆:9= 8 (82)
∆:L= 0 (83)
Balanceando corrientes (∆:8+ ∆:9+ ∆:L = 0) se tiene
0 + D
8 E = 0 0 = > ' 8
Despejando se obtiene la ecuación de trabajo parcial para el MCD '
0 = > 8 (84)
Donde = 1 > 8> 9
'M? = 82*∆ + = ' (85) De la ecuación (81) sabemos que ∆: =J’
; , entonces reemplazando en (85) se tiene 8 0 2 = ' 0 8 2 = ' Despejando D1 8= 2 ' 0 (86)
Reemplazando en la relación de trabajo parcial obtenido en la ecuación (85), se tiene ' 0= + 2 ' 0 2 ' 0
Organizando términos con el fin de obtener la forma de una ecuación cuadrática, se tiene
2 D ' 0E 9 = + 2 D ' 0E D ' 0E 9 > D ' 0E > = 0
Encontrando las raíces de esta ecuación y seleccionando la solución de signo positivo, se llega a ' 0 = 1 + y1 + 2 9 2 (87)
La anterior ecuación es la relación de trabajo completa para MCD de un convertidor reductor-elevador; es claro que este es el mismo resultado que se obtuvo para el elevador, por lo que se puede ir concluyendo que en Modo continuo este convertidor se comporta como un reductor, pero en modo discontinuo su funcionamiento es similar al de un elevador.
7.4. APROXIMACIÓN REAL (con pérdidas)
En la discusión sobre convertidores y en los capítulos anteriores se ha hablado de las pérdidas que se tienen en cuenta para este tipo de análisis, por lo que sigue el siguiente desarrollo:
Incluyendo las pérdidas del Diodo, interruptor y de la bobina con el interruptor cerrado (ON) se tiene 0> SM( !> ;> S; = 0 ;= 0> – M( !> ; ; ,: , = 0> – M( !> ; ; ∆:8 = 0> – M( !> ; ; (88)
Incluyendo las pérdidas del diodo, del interruptor y de la bobina con el interruptor abierto (OFF) se tiene ;> > TU> SM> S; = 0 ;= + TU+ SM+ S; ,: , = + TU+ ; M+ ; ; ∆:9 = + TU+ ; M+ ; ; *1 > + (89) 7.4.1. BALANCE DE TENSIONES
Para el desarrollo de balance de corrientes se usará la siguiente convención, que no es nueva ya que se ha utilizado en desarrollos anteriores
8 = *1 > + + 8 = 1 * 0> – M( !> ; ;+ + * + TU+ ; M+ ; ;+ 8 = 0 0 > – M( ! > ; ; + 8+ TU 8+ ; M 8+ ; ; 8= 0 Reemplazando – =KM•@M e ;=MK•@
Se tiene 0 > M( ! 9 8 > ; 8 + 8+ TU 8+ M+ ; = 0 Reemplazando =JP
S luego despejando Vo acomodando términos se tiene ' = 1 ∗ * 0 + TU 8+ ∗ 8
M( ! 8+ > 89> M 8> ; 8 (90) Finalmente obteniendo la relación de trabajo incluyendo pérdidas para el Reductor- Elevador.
Esta expresión es similar a la obtenida para el elevador, lo cual confirma el supuesto que un reductor elevador es una conexión de un reductor y un elevador en cascada y a la salida se encuentra la disposición y el comportamiento del elevador.
Si dividimos tanto el numerador como el denominador por 8
SM@ se tiene: ' = M( ! * 0 + TU 8+
+
8> 8>
M> ; (91)
Esta expresión muestra el peso que tiene cada una delas pérdidas con respecto a la carga. Al igual que con el elevador, la mayor pérdida de potencia se da en el inductor (ya que aparece doble vez), además cuanto más alto sea el valor de la carga, mayor es la eficiencia, y por lo tanto menores perdidas se tendrán.
7.5. EJEMPLO DE DISEÑO
Diseñar un reductor-elevador de 5 W, con una tensión de entrada Vd = 12 V, tal que a la
salida pueda generar una tensión reducida a 5 V y elevarla hasta los 24 V De la ecuación (75) donde se expresa la relación de trabajo se obtiene: =ž’8
žVŸ8 Con los datos dados anteriormente y la ecuación para calcula D, se tiene
Tabla 5. Parámetros para el reductor-elevador.
Tensión de salida (V) Ciclo útil D Corriente de salida (A)
5 0,29 1
24 0,66 0,2083
Cuando se analiza un convertidor, siempre se analiza el peor caso desde el punto de vista de la corriente, por lo que el peor caso es cuando se debe reducir a 5 V.
En el análisis previo acerca del reductor-elevador, se puede observar una gran similitud con el reductor, a tal grado que muchas de las ecuaciones son las mismas incluyendo la que implica el cálculo del inductor.
7.5.1. CÁLCULOS INICIALES
De lo anterior para el peor caso se deduce:
= '9 = 5 Ω
Este valor de R es la resistencia más pequeña (o máxima) que se puede colocar a la salida. Para iniciar con el diseño se supondrá el reductor en MCC y sus elementos son ideales.
Del apartado donde se analizó la frontera entre el modo MCC y el MCD se obtuvo la ecuación (80)
F = *1 > +2 O en términos de frecuencia de conmutación sería
F =*1 > +2Z
Como se ha hecho en los casos del reductor y el elevador, se usará la frecuencia de 10 kHz (T=100 µs). Teniendo en cuenta lo anterior se tiene
F =*1 > 0,29+ ∗ 5 Ω2 ∗ 10000 ]` = 177,5 \] Y también es claro que la corriente de salida es:
= ; = =5 5 Ω = 1 Con estos valores se obtiene el circuito de la Figura 46
Figura 46. Circuito reductor-elevador ideal diseñado. Fuente: Elaboración propia.
Y simulando a los parámetros acordados para una salida de 5 V se tiene
Figura 47. Simulación del circuito de la Figura 46 como reductor. Fuente: Elaboración propia
Como es de esperar, la salida DC es -5 volts.
Figura 48. Simulación del circuito de la Figura 46 como elevador. Fuente: Elaboración propia.
7.5.2. ELECCIÓN DE LOS ELEMENTOS INCLUYENDO SUS PÉRDIDAS
7.5.2.1. SELECCIÓN DEL DIODO
Para la selección de este diodo y como se describió en el apéndice correspondiente, el diodo de potencia debe cumplir 3 condiciones:
• Soportar la tensión en inverso que es este caso es Vd = 24 V.
• Soportar la corriente máxima cuando conduce en el peor caso que es cuando debe reducir a 5 V.
∆:; =^ ∗ =0 10 _]` ∗ 177,5 \] ∗ 0,29 = 1,9606 12 FGH = Wi = ;+∆:2 = 1 +; 1,9606 2 = 1,9803 ≈ 2
• Tener un tiempo de recuperación corto, es decir mucho menor que el periodo de conmutación.
cc < 100}e Una de las familias de este tipo de diodos es la FR30x
Figura 49, Características de los diodos FR30x. Recuperado de http://www.datasheetspdf.com/pdf/380658/Diodesorporated/FR302/1.
Cualquiera de estos diodos cumple con las condiciones indicadas.
Una vez seleccionado el Diodo, falta encontrar Rd como en los casos anteriores
Figura 50. Gráfica para encontrar Rd. Recuperado de Recuperado de
En un reductor-elevador, la corriente que circula por el diodo es la misma que circula por la bobina, y en apartados anteriores es claro que la máxima corriente que circula por el inductor será de 2 A, con este dato se puede deducir de la gráfica de la Figura 50
TU = 1,042 Entonces
M =1,042 2 = 0,521 Ω
7.5.2.2. SELECCIÓN DEL INTERRUPTOR
Para este apartado se centrará la elección del interruptor en los siguientes criterios: • Debe soportar una tensión en inverso equivalente a 24 V que es la tensión
para el peor caso. Por seguridad, se podría incrementar este valor por ejemplo 2 veces, entonces se buscará un interruptor que soporte por lo menos 48 voltios.
• Debe tener una frecuencia de conmutación muy superior a 10 kHz, es decir cc < 100 μe
• Teniendo en cuenta que la corriente que circula por el interruptor es la corriente de entrada, y sabiendo que esta es 0 = 1 ∗ '.9
8j'.9 = 0,4885 , se debe elegir un dispositivo que soporte al menos el doble de esta corriente que sería cerca de 1 A.
Para este caso se puede emplear un transistor MOSFET de referencia IRF520, sus parámetros principales se puede observar en la siguiente imagen
Figura 51. Características del MOSFET IRF520. Recuperado de https://www.vishay.com/docs/91017/91017.pdf.
Algo interesante que se puede observar es el valor RDS que es la resistencia cuando el
MOSFET conduce y es de 0,20 Ω.
7.5.2.3. SELECCIÓN DEL INDUCTOR
Anteriormente, se obtuvo el valor de inductor para el peor caso dado (177,5 µH) y la corriente máxima que circulará por la bobina (2 A) con en el valor de ciclo útil propuesto, a una frecuencia de 10 kHz.
Para elegir los materiales de construcción inductor se tendrá en cuenta dos criterios al igual que con los otros convertidores
• Tipo de núcleo (Dimensiones)
• Material del núcleo. Los núcleos más comunes son los Núcleos de polvo de hierro (Iron Powder Cores), ya que son difíciles de saturar, soportan una gran
cantidad de frecuencias de conmutación y son más económicos que sus contrapartes.
En este apartado es necesario realizar el diseño del inductor, para esto se seguirán los pasos descritos en el apéndice del inductor. Después de seguir esos pasos se obtuvieron los siguientes datos:
• Inductancia: 177,5 μ]
• Corriente pico: Wi = 1,98
• Referencia del núcleo de polvo de hierro: # ˜út•~š = 94 > 26 • Calibre del alambre de cobre: m›# = 23
• Resistencia del devanado: ; = 0,1123 Ω • Número de vueltas requeridas: ; = 54 }~• 7e
• Pérdidas en el cobre: 6 = 0,5437 m
• Pérdidas en el núcleo: %5 = 0,0671 m • Pérdidas totales: œ = 0,6108 m
7.5.2.4. SELECCIÓN DEL CAPACITOR
Al igual que en los capítulos anteriores establecerá un rizado máximo del 1% de la salida, pero como se tienen tres valores de tensión, a saber 5 V ,12 V y 24 V, se tendrá en cuenta los tres valores
• Para 5 V
∆• ≤ 50 u
Según el resultado obtenido en el apéndice sobre el capacitor, se tiene: Œ =∆ ' ^ =*50 u +*10 _]`+*5 Ω+ = 580 \Z ≈ 620 \Z*5 +*0,29+ • Para 12 V
∆• ≤ 120 u
Según el resultado obtenido en el apéndice sobre el capacitor, se tiene: Œ =∆ ' ^ =*120 u +*10 _]`+*5 Ω+ = 1 uZ*12 +*0,5+
• Para 24 V
Según el resultado obtenido en el apéndice sobre el capacitor, se tiene: Œ =∆ ' ^ =*240 u +*10 _]`+*5 Ω+ = 1,32 uZ ≈ 1,5 uZ*24 +*0,66+
De lo anterior se puede ver el peor caso es cuando la tensión de salida es 24 V, por lo que este es valor a tener en cuenta, y por ende el valor del capacitor debe ser mayor a 1,5 uZ.