Diseño de la Palanca y Eje

La longitud de la palanca que el usuario accionará, esta gobernada por el torque necesario para hacer trabajar el sistema engrane-cremallera a la fuerza de trabajo adecuada. Como se vio anteriormente, si el usuario aplica una fuerza de 200 N la longitud a respetar de la palanca es de 20 cm. Una fuerza de 200 N es desarrollada fácilmente por un hombre, pero para una mujer puede requerir mayor esfuerzo. La aplicación repetitiva de esta fuerza puede también llegar a ser molesto, por lo que se toma la decisión de alargar el cuerpo de la palanca a 26 cm. A esta también se le colocará una manija tipo esférica en el extremo para el apoyo de la palma de la mano. Se pretende que la posición final del extremo de la palanca se encuentre a una altura donde la gravedad y el peso del antebrazo favorezcan la aplicación de la fuerza.

La interfaz de unión con la palanca se llevará a cabo mediante un perfil circular semi-hueco soldado al cuerpo principal de la palanca. Un tornillo de cabeza avellanada de rosca izquierda LHS (Left Hand Screw), alineado a lo largo del eje con su cabeza alojada en la interfaz, oprimirá la palanca hacia el cuerpo de la interfaz. Después, mediante dos tornillos opresores se desarrollará una fuerza de fricción que prevenga el deslizamiento de la palanca con respecto al eje. La siguiente imagen presenta la geometría final de la palanca.

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El diseño de la longitud de eje constituye un proceso iterativo, ya que varios factores afectan su longitud total y las distancias en donde se encontrarán los apoyos. Por lo general estos son factores geométricos y de tamaño, es decir que los componentes tengan suficiente espacio para el ensamblaje y para desempeñar su función. La directiva general era mantener la distancia entre apoyos y la longitud total del eje lo mas pequeña posible, con el fin de reducir los momentos flexionantes y el aumento en la carga del apoyo. Ya que este proceso involucra temas aun por exponer, se pasa directamente al diseño del diámetro del eje con las longitudes finales que tendrá la pieza. Se presenta el diagrama de cuerpo libre de la geometría final del eje, con un diámetro d aun por definir.

Tomando en cuenta los aumentos en la longitud de la palanca (considerando que la aplicación de la fuerza será en el centro de la manija esférica), se calcula la fuerza del usuario necesaria para desarrollar el torque de T=39.3750 N·m.

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Del diagrama de cuerpo libre se conocen los valores de las fuerzas aplicadas Fu y T, y las fuerzas de

reacción que proporciona el mecanismo Wt, Wry T. Poniendo en equilibrio el sistema, y resolviendo las

ecuaciones de estática, se encuentran los valores de las fuerzas de reacción en los apoyos. Se enlistan los valores de todas las fuerzas que actúan en sistema, la dirección del diagrama es la dirección real de las fuerzas.        

Se construyen los diagramas de cortante (V) y de momento (M) en los planos de acción XY y XZ; se presenta además el diagrama de consumo de torque (T). Lo anterior con la finalidad de encontrar el punto crítico (donde existe la combinación más peligrosa de esfuerzos) y diseñar el diámetro en base a esto.

De los diagramas, se ve inmediatamente que el punto B controla el diseño, ya que la combinación de momento flexionante y de torque es máxima ahí. Esto es de esperarse ya que en un árbol de trasmisión los elementos de potencia montados en el eje son generalmente los puntos críticos. El momento flexionante resultante y su dirección:

√

El siguiente diagrama muestra la dirección del vector del momento resultante con referencia al perfil del eje. Se ubica el elemento diferencial en la zona crítica el cual se analiza mediante el círculo de

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Mohr. El elemento diferencial se encuentra en dirección perpendicular al vector del momento en la fibra exterior del perfil donde el esfuerzo es a tensión. Es importante mencionar que se desprecia el esfuerzo cortante generado por la fuerza cortante V.

El cálculo de tales esfuerzos presentes en el elemento diferencial expresados en función del diámetro d:

Donde, Kt y Kts son factores de concentración de esfuerzos. El estado biaxial de esfuerzos en notación de

coordenadas del circulo de Mohr (σ,τ) para el elemento diferencial presente es:

( )

( )

Figura 3.27: Ubicación del elemento diferencial con mayor carga

Figura 3.28: Diagrama de esfuerzos del elemento diferencial

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Diametro (D) 10 11 12 13 15 16 18 20 22 25

Ranura (t) 1 1.05 1.2 1.35 1.6 1.75 1.85 2 2.3 2.5

Ancho (a) 1 1 1.2 1.2 1.2 1.2 1.4 1.4 1.4 1.4

Anillos de Retención Tipo E

Se introducen los factores de concentración de esfuerzo ya que el eje estará ranurado para alojar la cuña; el cuñero tiende a concentrar los esfuerzos en los filos de la ranura. Para cuñeros fresados se recomienda usar Kt=2.14 para flexión y Kts=2.62 para torsión. Por otra parte, el eje también estará ranurado

para alojar dos anillos de retención. Los anillos servirán para mantener en posición el eje y que solo exista un pequeño juego axial. La ubicación de uno de los anillos será cerca del punto crítico, por lo que es necesario considerar el aumento de esfuerzo provocado por la ranura. El anillo a utilizar será de tipo E de servicio medio de la norma métrica de ANSI, el cual se muestra en la imagen.

La intención es ubicar los anillos a los costados del buje en A donde los momentos son cero, evitando crear ranuras en zonas con mayor carga, como son el punto B y C. Dado que un anillo estará recargado al lado del punto critico, es probable que la concentración de esfuerzos en la a u a t aslade el punto crítico, por lo que se considera analizar este punto en forma aproximada. Se hace la suposición de que la ranura estará a 12 mm a la izquierda del punto B, donde ya no existe torsión, pero si un momento flexionante resultante de 15.4048 N·m.

Se toma el factor de concentración de la tabla mostrada en la siguiente página, donde se requiere conocer dos parámetros adimensionales que definen la ranura. El redondeo de la arista interna de la ranura con radio r se estima se pueda maquinar a 0.2 mm para ranuras de 1.2 mm de ancho o mayores. Siendo que se desconoce el diámetro del eje, se toma el promedio de ambos parámetros a partir de tamaños de eje de 15 a 25 mm, resultando en:

[̂] [̂]

Se empleará acero AISI 4140 trabajado en frío, sin tratamiento térmico ya que no se requiere una dureza elevada pero aun se requieren las cualidades de resistencia. Este acero posee menor sensibilidad a la muesca y una resistencia a la cedencia Sy=690 MPa, por lo que es preferente.

Figura 3.29: Anillo de retención tipo E

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Se hace uso de la TECM para calcular el diámetro mínimo del eje. Se aproxima la resistencia cortante a la cedencia como:

En base al esfuerzo cortante máximo de la combinación de esfuerzos mediante círculo de Mohr y tomando un factor de seguridad de η=2 con la TECM, se calculan dos diámetros de eje; uno con respecto al punto critico B y otro con respecto al punto de ubicación del anillo de retención. Ambas expresiones del esfuerzo cortante máximo:

√ √ √

Igualando términos y despejando para d, se resuelve:

[

√ ]

⁄

Tabla 3.14: Factor de concentración de esfuerzos por flexión en ranuras

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Sustituyendo para el punto crítico B, el diámetro mínimo de eje d en la ranura del cuñero:

[

√ ]

⁄

[ √ ] ⁄ Y el diámetro del eje en la ranura para el anillo de retención d:

[ ]

⁄

[ ] ⁄

De lo anterior es claro que efectivamente el punto B controla el diseño. Al diámetro de B calculado en 15.5 mm, es necesario sumarle 2t para encontrar el diámetro de eje D. Si se considera que la ranura estándar de cuña para ejes de 17 a 22 mm es de 2.7 mm de profundidad, se tiene entonces un diámetro de 20.90 mm. Se ensaya un diámetro de 20 mm por condiciones de espacio, el cual se verá es aceptable.

Ahora se calculan los esfuerzos cortantes máximos esperados en cada punto de interés. Para el punto crítico B, de la ecuación de esfuerzo cortante máximo:

√

√

El cual es una aproximación al esfuerzo presente en el filo exterior de la ranura del cuñero. Para aproximar el esfuerzo en el filo interior se recuerda que el cuñero tiene una profundidad de 2.7 mm, por lo que el diámetro efectivo es de 14.6 mm.

√

El esfuerzo en la ranura del anillo de retención, siendo que a un eje de diámetro de 20 mm le corresponde un diámetro de ranura de 16 mm.

Por tanto, el factor de seguridad mas bajo será en el filo interior del punto B con:

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Lo cual es algo bajo pero aceptable, dado que la concentración de esfuerzos no es especialmente peligrosa para casos cuasi-estáticos. Se recuerda que la teoría de falla que se usa es la más conservadora siendo la TECM.

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