10 Se calcula la rigidez combinada esta sería KDMIN
5.3.3 Ejemplo de aplicación 3 – 3B
5.3.3.2 Ejemplo de aplicación 3A Aisladores elastoméricos con núcleo de plomo
Enunciado del ejemplo
Considere que el ejercicio anterior en vez de aisladores de alto amortiguamiento se usaran aisladores con núcleo de plomo y el sitio es la ciudad de León, encuentre:
Parámetros del modelo bilineal.
Utilice el método de la fuerza lateral equivalente para calcular los
desplazamientos y las fuerzas cortantes.
Encuentre el área de plomo requerida.
Suponga un amortiguamiento del 15%, periodo efectivo del sistema de aislamiento 2.5 segundos.
Solución del ejemplo de aplicación
Este ejercicio es resuelto haciendo uso de la teoría proporcionada en los capítulos 3 y 4 de esta monografía, es un proceso iterativo en donde se hacen varias suposiciones para encontrar los valores con los cuales trabajar.
Los parámetros del modelo bilineal se calculan haciendo uso del capítulo 4 y el cálculo de los desplazamientos y fuerzas cortantes se realiza haciendo uso del capítulo 3, se trabajara solamente un pre diseño basado en el método de la fuerza lateral equivalente para un sistema de aislamiento con núcleo de plomo
5.3.3.2.1 Calculo de las características del modelo bilineal
Paso 1
Suponga el mismo periodo objetivo de 2.5 segundos, de igual forma que en el ejemplo de aplicación 3, haciendo uso de este periodo objetivo podemos encontrar una rigidez tentativa y un desplazamiento de diseño tentativo
Capítulo 5 Ejemplo de aplicación 3A- Aisladores elastoméricos con núcleo de plomo
Rigidez efectiva Preliminar, se calcula haciendo uso del periodo
=
=
.
.
=
.
/
a
. Paso 3-4 El desplazamiento de diseño preliminar es calculado con la ecuación 3-20, el valor de SD1=0.44 del ejemplo de aplicación 2, el valor de 1.35 se obtiene de la tabla 3-2
haciendo una interpolación lineal, tomando el amortiguamiento del 15%.
=
.
.
.
.
=
.
b
Paso 5 Despejando la ecuación 4-4 se encuentra la ecuación que permite calcular la energía disipada por ciclo sustituyendo los valores que en este paso así se encuentra
= 2
2
c
= 2
57.7
7.97
2
0.15
= 3.459
103
dLa energía disipada es igual a
= 4−
ePaso 6 Se calcula un valor preliminar para la fuerza característica “Q”, pero de esta ecuación no se conoce el valor del desplazamiento de fluencia por lo que se supone que Dy es muy pequeño y se desprecia, en este cálculo preliminar, de esta manera despejando la ecuación en “e” para encontrar Q.
=
4
=3.459
1034
7.97
= 108.434
fCon esta primera aproximación del valor de la fuerza característica “Q” se puede hacer un cálculo de la rigidez postfluencia de la estructura, revisando la ecuación 4- 1 y despejando para esta se encuentra.
=
−
= 57.70−
108.4347.97 = 44.109
/
gPaso 8 Este valor de rigidez postfluencia se utiliza para corregir el cálculo en “f”, donde se supone el desplazamiento de fluencia “Dy” despreciable, ahora haciendo uso de la ecuación 4-39 se calcula, tomando como valor de x = 10.
=
−
1
=108.434
10−
1
44.109
= 0.273
hPaso 9 Ahora se vuelve a calcular la fuerza característica “Q” pero ahora corregida para este valor de desplazamiento de fluencia, Dy, despejando la ecuación en “e” para la fuerza característica “Q” nuevamente
5.3.3.2.2 Área de plomo requerida
Paso 10 Este valor preliminar de “Q” permite hacer un cálculo del área de plomo necesaria. Para esto se dice que la fluencia del plomo
= 1450
, el área de plomo,
,está dada por la ecuación siguiente.
=
= 112,2791450 = 77.434
2 j
Dentro de la filosofía de diseño de los aisladores con núcleo de plomo se dice que el núcleo de plomo no debe ser ni muy delgado ni muy ancho en relación al diámetro del caucho, se recomiendan diámetros que oscilen entre 15% - 20% del diámetro del caucho.
=
4
−
=3.459
103Capítulo 5 Ejemplo de aplicación 3A- Aisladores elastoméricos con núcleo de plomo
Paso 11 Se retoma el valor que se calculo en el ejercicio anterior y se dice que el diámetro del aislador es D=22 in, se propone un diámetro de 4 pulgadas para los núcleos de plomo.
Paso 12 Para saber la cantidad de aisladores que requieren de núcleos de plomo se calcula el área para este diámetro de plomo.
=4" =
4
24 = 12.566
2 k
Si se colocaran núcleos de plomo en los 3 aisladores que soportan las cargas más altas, se tendría un área de:
3
=
12.566
3
= 37.699
2 lEsto es aproximadamente el 48% del área total requerida, es decir con 3 aisladores más se cubre el 96%, lo que no permite llegar al área mínima de plomo además de esto se debe tomar en cuenta que si se deja por debajo del mínimo con 6 aisladores tampoco hay simetría en la colocación de los aisladores, por lo que además del área requerida faltante la simetría es un factor importante a tomar en cuenta, por lo se usaran 4 aisladores más con núcleos de plomo para un total de 7 es decir un área de plomo total de.
7
=
12.566
7
= 87.965
2 mPaso 13 Con este valor que se calculo en “m” se puede encontrar la fuerza característica “Q” del sistema con núcleos de plomo.
=
87.965
1.45
= 127.5
nEl resto de aisladores no usara núcleos de plomo y serán aisladores elastoméricos de bajo amortiguamiento.
5.3.3.2.3 Dimensionamiento del aislador
Paso 14 Para el caucho se retoma el valor de Q que se cálculo en “i”, con este se vuelve a calcular el valor de la rigidez postlfuencia
= 57.70−
112.2797.97 = 43.627
/
oPaso 15 Si la rigidez es la misma para todos los aisladores se tiene una rigidez para cada aislador de 2.908 kip/in
Paso 16 El objetivo de calcular esta rigidez es para hacer un dimensionamiento de los aisladores, se selecciona caucho de bajo amortiguamiento con un modulo de cortante que varié entre 58 – 101 psi al 100 % de la deformación.
Para el cálculo del área del aislador, primero se define el grosor de la capa de caucho del aislador, esta será igual al desplazamiento de diseño que se ha calculado en “b” pero se redondeara a 8 in, es decir tr= 8 in. Esto se debe a que para caucho natural se utiliza una relación de deformación igual a 1.
Paso 17 Se usa el menor valor del modulo de cortante G=58 psi, y se usar el valor de la rigidez que se calcula en “o”, para cada aislador, en la ecuación para la rigidez horizontal de un aislador elastomérico, el área del aislador es igual a
Capítulo 5 Ejemplo de aplicación 3A- Aisladores elastoméricos con núcleo de plomo
=
=
2.908
8
0.058 = 401.166
2 p
El diámetro de caucho es igual a 22.6 in. Lo cual no está muy alejado de las 22 in de diámetro que se habían seleccionado anteriormente, se seleccionan 23 in de diámetro.
Siguiendo en el diseño del aislador se selecciona una frecuencia vertical, Fv, de 10 hertz, esto para calcular las otras características de nuestro aislador.
= 1
6
= 1
6 10 1/2.5≅
10 qUtilizando este dato y el de un k vertical de 290,075.4 psi se procede al cálculo del modulo de elasticidad considerando compresibilidad del caucho ecuación 4-16
= 6
2
6
2 +
=6
0.058
100
290.075
6
0.058
100
+ 290.075= 31.08
rLa rigidez vertical del sistema de aislamiento está dada por la ecuación 4-8
=
= 15
31.08
401.166
8 = 23,377.962
/
sSi se calcula el periodo para esta rigidez se encuentra
= 2
9.14323377.962 = 0.12
tPara una frecuencia de 8.33 hertz, es recomendable usar frecuencias lo más próximas a los 10 hertz, sin embargo para este ejemplo se toma este valor como aceptable.
Una vez que se ha definido el factor S, como aceptable, se calcula el grosor de cada capa de caucho con la ecuación 4-11 despejando para t
=Θ
4
= 234
10
= 0.575
u
=
= 80.575
≅
14 vSe calcula nuevamente el grosor t, quedando en un grosor de capa de caucho de 0.57 in. Se usa un grosor de lamina de acero de 0.0897 in, la cantidad de laminas de acero es 13, dos de 1” en los extremos lo que da una altura total para el aislador de 11.16 in, siempre se mantiene un recubrimiento de 0.5 in.
Paso 18 En esta parte se puede recalcular la rigidez efectiva
=
15
2.908
+127.57.97 = 59.617
/
wPaso 19 También se calcula valor de energía disipada “ED” que se encuentra con el “Q” del
sistema.
=
4
127.5
7.97−
0.273
= 3925.47
xPaso 20 De igual manera un amortiguamiento
=
2
2 =3925.47
2
59.617
7.97
2 yA manera de resumen de esta primera parte se encuentra que para un desplazamiento de diseño de 7.97 in, una rigidez efectiva como se calcula en “w” una energía disipada como aparece en “x” y un amortiguamiento del 16.5% como aparece en “y”
Paso 21-22 Ahora se vuelve a calcular los parámetros pero en esta ocasión para el
desplazamiento máximo. Este se calcula de manera distinta a como se ha calculado en el ejercicio anterior, el procedimiento se explica a continuación.
La primera suposición que se hace es multiplicar el DDpor un valor M, este valor se
Capítulo 5 Ejemplo de aplicación 3A- Aisladores elastoméricos con núcleo de plomo
con esto se obtiene un valor de Z=0.4, después el punto 2 de la tabla la condición característica al sitio, en este caso se supone que se encuentra a mas de 15 km de una falla por lo que Nv=1.0 en la parte 3 de la tabla se usa interpolación lineal si fuese necesario para encontrar el valor de M, en este caso no es necesario por lo tanto M=1.25, este valor de M, suele ser más alto en zonas poco sísmicas.
Ahora DM=1.25DD
= 1.25
7.97
= 9.962
zPaso 23 Recalculando el keff , para una desplazamiento DM .
= 43.62 +127.59.962 = 56.418
/
aaPaso 24 Se recalcula un desplazamiento de fluencia con el valor de la fuerza característica “Q” del sistema.
=
9
= 127.5 9
43.62
= 0.324
bb Paso 25 Recalculando la energía interna
= 4−
= 4
127.5
9.962−
0.324
= 4915.38
ccPaso 26-27 Con este nuevo dato se calcula un amortiguamiento para el máximo desplazamiento, este amortiguamiento servirá para calcular el desplazamiento máximo real.
= 4915.382
56.418
9.962
2 = 0.139 ddAproximadamente del 14%, haciendo uso de la tabla 3-2 , BM=1.32
El periodo de la estructura TM=2.52 segundos.
Paso 28 Con estos datos el desplazamiento máximo se recalcula.
=
1
4
2
=
386.1
0.66
2.52
4
2
1.32
= 12.32
eeCorrigiendo de nuevo el valor de la rigidez efectiva con el nuevo valor de desplazamiento máximo que se calculo
= 43.62 +127.512.32 = 53.969
/
ffRecalculando la energía interna
=
4
127.5
12.32−
0.324
= 6,117.96
ggSe considera que este valor de la rigidez es válido para calcular los parámetros restantes, por lo que calculamos nuevamente el periodo y el amortiguamiento, donde obtenemos un periodo
= 2.58
y un amortiguamiento≅
12%5.3.3.2.4 Parámetros de diseño
Paso 29 Cuando se habla de parámetros de diseño se refiere a desplazamientos y cortantes mínimos.
Tabla 5 - 24
Desplazamientos de diseño ejemplo de aplicación 3A
Desplazamientos (in)
Capítulo 5 Ejemplo de aplicación 3A- Aisladores elastoméricos con núcleo de plomo
Paso 30
El cortante se calcula con la rigidez que se encontro al principio del ejemplo por ser el valor más alto de las rigideces.
=
57.7
7.97
= 459.87
hh
=
57.7
7.97
2 = 229.93
iiCalculando el coeficiente sísmico para verificar Vs.
=
=
1.362 1.25
= 0.85jj
Sujeto o restringido a la condición
=
1
=0.44
2.5
2 1.25
= 0.11kk
Calculando la fuerza sísmica
=
∗
= 0.11∗
3530 = 388.3
llEn este caso se observa que domina el valor calculado en “ll” por lo tanto este debe ser utilizado para el diseño