Prueba. Sea(X ,τ) un espacio de Hausdorff compacto y sea (Gn)∞n=1una sucesión de subconjuntos abiertos y
densos en X . Para demostrar queT∞n=1Gnes denso en X , tomemos un subconjunto abierto no vacío arbitrario
V de X y veamos que V∩T∞n=1Gn6= ∅. Sabemos que para cualquier entero m ≥ 1,Tmn=1Gn es abierto y
denso en X , por lo que V∩Tmn=1Gnes un conjunto abierto no vacío. Sea
Y = ( (n,U ) ∈ N ×τ∗: U⊆ V ∩ m \ n=1 Gn ) , dondeτ∗=τ\ {∅}. Sobre Y defina la siguiente relación binaria R:
(n,U ) R (m,W ) ⇔ n< m y W ⊆ U.
Se sigue que R cumple(DC-1) y, por lo tanto, existe una sucesión (yn)∞n=1en Y tal que ynR yn+1 para todo
n∈ N. Esto implica que, para yn= (mn,Un), tengamos la siguiente relación de inclusión decreciente:
Un+1 ⊇ Un ⊇ ··· ⊇ U2 ⊇ U1.
Puesto que la familia de compactos(Un)∞n=1posee la propiedad de intersección finita, se sigue que existe al
menos un x∈T∞n=1Un⊆ V ∩T∞n=1Gn.
ACω es estrictamente más débil que DC y éste último es estrictamente más débil que AC. Ya hemos visto que la afirmación: todo espacio métrico completo es un espacio de Baire, es equivalente al Axioma de Elecciones Múltiples, sin embargo, la afirmación: todo espacio de Hausdorff compacto es un espacio de Baire no se sabe si implica el Axioma de Elecciones Múltiples. Lo que si se conoce es que si a la afirmación anterior se le añade que todo producto numerable de espacios de Hausdorff compactos es compacto, entonces se cumple DC (véase, [215], p. 105).
1.14.
El Teorema de Categoría de Baire y el Axioma de Martin
Si se asume la Hipótesis del Continuo, entonces se puede construir una colección C de subconjuntos abiertos y densos de R cuya cardinalidad es 2ℵ0 y tal que T
C∈CC no es denso en R. En efecto, basta con
tomar C= {Gx: x∈ G} para comprobar que Tx∈RGx =∅, donde cada Gx=R \ {x} es abierto y denso
en R. Es decir, bajo el imperio de la Hipótesis del Continuo sólo es posible tomar colecciones a lo sumo numerables de subconjuntos abiertos y densos enR para que su intersección sea densa. Esto conduce a la pregunta: si la Hipótesis de Continuo no es verdadera, es decir, si se acepta que existen cardinales entreℵ0y 2ℵ0, ¿se puede obtener un Teorema de Categoría de Baire paraR para cualquier colección de subconjuntos abiertos y densos de cardinalidadκ, dondeℵ0<κ< 2ℵ0? La respuesta es sí si al sistema ZFC se le añade un nuevo axioma denominado el Axioma de Martin. El llamado Axioma de Martin (AM) es un enunciado de tipo combinatorio que afirma que para cualquier cardinal κconℵ0≤κ< 2ℵ0 y para cualquier familia teniendo a lo sumoκsubconjuntos “densos” en un conjunto X con un orden parcial que posee una propiedad llamada ccc, existe un subconjunto del conjunto X que es genérico en el sentido de intersectar a todos esos subconjuntos densos. Para abordar la presentación del Axioma de Martin debemos definir lo que es: ccc, subconjunto denso en un conjunto parcialmente ordenado y filtro genérico.
Sea(X , 4) un conjunto parcialmente ordenado.
(1) Una anticadena en X es un subconjunto A ⊆ X tal que cualesquiera que sean p,q ∈ A con p 6= q, ellos son incompatibles, es decir, no existe r∈ X para el cual r 4 p y r 4 q. El orden parcial (X,4) cumple la condición de cadena numerable, abreviado ccc, si toda anticadena en X es numerable.
(2) Un subconjunto D de X es denso en X si, para cada p ∈ X, existe un q ∈ D tal que q 4 p. (3) Un filtro sobre X es un conjunto G ⊆ X tal que:
a) Para cualesquiera p, q ∈ G, existe r ∈ G tal que r 4 p y r 4 q (todo par de elementos en G son
compatibles en G).
b) Para todo p ∈ G y para todo q ∈ X (p 4 q ⇒ q ∈ G) (G se “traga” todo lo que está arriba de
cualquier elemento suyo).
Seaκ un número cardinal. El Axioma de Martin MA(κ) es el enunciado: Si (X , 4) es un conjunto
(no vacío) parcialmente ordenado que satisface la ccc y si D es una colección conteniendo a lo sumo κ subconjuntos densos en X , entonces existe un filtro D-genérico G sobre X , esto es, G es un filtro sobre X tal que G∩ D 6= ∅ para todo D ∈ D.
El siguiente teorema, el cual generaliza el Teorema de Categoría de Baire paraR, es el resultado principal de esta sección (véase, T. Jech [240], p. 277).
Teorema 1.14.1 (κ-Teorema de Categoría de Baire). Seaκun numero cardinal. Si MA(κ) es verdadero,
entonces la intersección de cualquier colección C= {Uα:α<κ} de subconjuntos abiertos y densos en R
es denso enR.
Prueba. Sea κun cardinal y suponga que MA(κ) es verdadero. Para cada α<κ, sea Uαun subconjunto abierto y denso enR. Vamos a demostrar que Tα<κUα∩ I 6= ∅ para cualquier intervalo abierto y acotado I⊆ R. Consideremos el conjunto (no vacío)
X = p⊆ R : p es no vacío, abierto y con p ⊆ I , y dotémoslo del siguiente orden parcial: para cada p, q ∈ X
p 4 q si, y sólo si, p ⊆ q.
Veamos que(X , 4) satisface la ccc. En efecto, sea C una anticadena en X y observe que cualquier par de elementos en C son disjuntos. En efecto, sean p, q ∈ C y suponga que p ∩ q 6= ∅. Definiendo r = p ∩ q tendríamos que r∈ X y se cumpliría que r 4 p y r 4 q lo que violaría la definición de anticadena. Por otro lado, como cada intervalo abierto de C contiene un racional y como dicha familia es disjunta, resulta que ella es numerable. Por esto, X satisface la ccc. Definamos ahora la colección D= {Dα:α<κ}, donde
Dα = p∈ X : p ⊆ Uα
para cada α<κ. Afirmamos que cada Dα es denso en X . En efecto, sea p∈ X. Como Uα es denso enR, resulta que p∩Uα6= ∅ y como p ⊆ I, entonces del hecho de que Uαtambién es abierto, nos permite escoger un abierto no vacío p1⊆ p tal que p1⊆ Uα. Esto finaliza la prueba de que Dαes denso en X . Sea G el filtro
D-genérico obtenido usando el Axioma de Martin. Puesto que G es un filtro, tenemos queT{p : p ∈ G} es no vacío, y está contenido en cada Uαpuesto que G∩ Dα6= ∅. Esto termina la prueba del teorema. ¿Cuán grande debe ser el cardinal κpara el cual MA(κ) sea verdadero? El resultado anterior permite concluir queκno puede sobrepasar a 2ℵ0 tal como lo muestra el siguiente corolario.
Corolario 1.14.1. Si κes un cardinal par el cual MA(κ) es verdadero, entonces κ< 2ℵ0. En particular,
Sec. 1.14 El Teorema de Categoría de Baire y el Axioma de Martin 109
Prueba. Para cada x∈ R, el conjunto Gx =R \ {x} es abierto y denso en R. Si ocurriera que 2ℵ0 ≤κ,
entonces O= {Gx: x∈ R} sería una colección de subconjuntos abiertos y densos en R con card(O) ≤κcuya
intersección es vacía, lo que, por supuesto, contradice el Teorema 1.14.1.
El corolario anterior justifica plenamente la siguiente definición.
Definición 1.14.1. El Axioma de Martin(MA) es el enunciado: MA(κ) es verdadero para todoκ< 2ℵ0. Seaκ< 2ℵ0. Elκ-Teorema de Categoría de Baire paraR es la afirmación: la intersección de cualquier colección C= {Uα:α<κ} de subconjuntos abiertos y densos en R es denso en R. El Teorema 1.14.1 nos dice entonces que:
Corolario 1.14.2. MA implica elκ-Teorema de Categoría de Baire paraR, para cualquierκ< 2ℵ0.
Teorema 1.14.2. La Hipótesis del Continuo implica el Axioma de Martin MA.
Prueba. Sea ℵ0≤κ< 2ℵ0. Asumiendo que la Hipótesis del Continuo es verdadera, resulta queκ=ℵ0. Suponga entonces que(X , 4) es un conjunto parcialmente ordenado y sea D = {Dn: n∈ N} una familia
numerable de subconjuntos densos en X . Mostraremos ahora la existencia de un filtro D-genérico G sobre
X . En efecto, sea p0∈ X. Como D1es denso en X , existe un q∈ D1tal que p4 p0. Defina G1= {q ∈ X :
q4 p0 y q∈ D1}. Como G16= ∅, seleccione p1∈ G1 y use la densidad de D2 para hallar un q∈ D2 tal
que q4 p1. Defina, como antes, G2= {q ∈ X : q 4 p1 y q∈ D2}. De nuevo, como G2es no vacío, escoja
p2∈ G2. Continuando con esta receta, se obtiene una sucesión(pn)n∞=0en X tal que p0< p1< p2< ··· . Sea
G el filtro generado por(pn)∞n=0, es decir,
G = q∈ X : pn4 q para algún n ∈ N0
.
Es fácil verificar que G es un filtro y como, por construcción, G∩ Dn6= ∅ para todo n ∈ N, resulta que G es
D-genérico G sobre X y termina la prueba.
Hay que hacer notar que la demostración del resultado anterior no utiliza la hipótesis de que el conjunto parcialmente ordenado(X , 4) cumpla la ccc. Esta hipótesis, aunque no es necesaria en el caso numerable, si lo es para cualquier otro caso dondeℵ0≤κ< 2ℵ0.
Corolario 1.14.3 (Rasiowa-Sikorski). MA(ℵ0) es verdadero.
Algunos hechos importantes que nos interesa destacar referente al Axioma de Martin son los siguientes: (a) El Axioma de Martin es consistente con la negación de la Hipótesis del Continuo, es decir, si ZFC es consistente, entonces también lo es ZFC+ MA + 2ℵ0 >ℵ1. Esto fue demostrado por Solovay y Tennenbaum en 1971 (véase, [240]). Por este motivo, MA puede ser pensado como una generalización de la Hipótesis del Continuo.
(b) Otra de las versiones conocidas del Axioma de Martin es la siguiente. MA es equivalente a la afirmación: “ningún espacio de Hausdorff compacto con la ccc puede ser cubierto por una colección de conjuntos
nunca-densos cuya cardinalidad sea menor que 2ℵ0”.
Si uno se pregunta por qué en la definición del Axioma de Martin no se incluye a 2ℵ0, la respuesta es que MA(2ℵ0) es falsa. En efecto, si MA(2ℵ0) fuese verdadera, entonces podemos considerar al espacio de Hausdorff compacto X= [0, 1], el cual es separable y, por consiguiente, satisface la ccc. Como X no posee puntos aislados, todos sus puntos son nunca-densos y así, X es la unión de 2ℵ0 puntos, lo que es imposible por(b). La demostración de (b) se puede ver, por ejemplo, en [179].
Para finalizar, debemos decir que el Axioma de Martin posee importantes e interesantes consecuencias, véase [240]. Por ejemplo:
Para cada κ< 2ℵ0, MA(κ) implica que laσ-álgebra Σde los subconjuntos medibles-Lebesgue deR es κ- completa y la medida de Lebesgueλesκ-aditiva, es decir, si{Eα∈Σ:α<κ} es una familia disjunta dos a dos, entonces λ[ α<κ Eα =