Si (X , d) es un espacio métrico, denotaremos por (C(X ), d∞) el subespacio vectorial de (B∞(X ), d∞) formado por todas las funciones continuas y acotadas f : X→ R. En este caso, (C(X),d∞) resulta ser cerrado en(B∞(X ), d∞) y, en consecuencia, un espacio métrico completo, pues (B∞(X ), d∞) es completo.
Dado un espacio métrico arbitrario(X , d), si dicho espacio no es completo, entonces siempre se puede construir un espacio métrico completo bX, bdy una aplicaciónϕcon las siguientes propiedades:
(a) la aplicaciónϕ: X → bX es una isometría de X sobreϕ(X ) y ϕ(X ) es denso en bX ,
(b) el espacio métrico completo bX, bd es, salvo isometría, único; es decir, si Xe, ed,ψ es otra com- pletación de(X , d), entonces existe una única isometría f : bX→ eX tal que f◦ϕ=ψ.
Al par Xb, bd ,ϕ lo llamaremos la completación de (X , d). En la práctica, casi siempre ocultamos la isometríaϕ, identificamos a X con su imagenϕ(X ) y simplemente decimos que bX, bdes la completación de(X , d). En este caso, bd coincide con d sobre X× X.
1.4.
Espacios topológicos
Los conjuntos abiertos son las piezas fundamentales en la teoría de los espacios métricos. La abstrac- ción de las propiedades básicas de tales conjuntos conduce a la construcción de una nueva área de estudio denominada “los espacios topológicos”.
Definición 1.4.1. Sea X un conjunto no vacío y suponga que τes una colección no vacía de subconjuntos de X . Diremos queτes una topología sobre X siempre que se cumplan las siguientes propiedades:
(a) ∅,X ∈τ,
(b) si {Uα:α∈ J} es cualquier colección de elementos deτ, entoncesSα∈JUα∈τ, y
(c) si para cualquier k ∈ N, U1, . . . ,Uk∈τ, entoncesTki=1Ui∈τ.
Los elementos de cualquier topología τ son llamados conjuntos abiertos o simplemente τ-abiertos. Un
espacio topológico es un par (X ,τ), donde X es un conjunto no vacío yτ es una topología sobre X . Con frecuencia hablaremos de un espacio topológico X sin mencionar la topologíaτcuando sobre dicho conjunto no se ha definido explícitamente ninguna otra topología.
Cualquier subconjunto no vacío Y de un espacio topológico(X ,τ) puede ser considerado en sí mismo como un espacio topológico definiendo la topología τY sobre Y del modo siguiente:τY :=
U∩Y : U ∈τ , esto es,
G∈τY si, y sólo si, existe U∈τtal que G= U ∩Y.
En este caso se dice que (Y,τY) es un subespacio de (X ,τ) y aτY se le llama la topología inducida porτ.
En un espacio topológico(X ,τ), un subconjunto G de X se llama un entorno de un punto x ∈ X si existe un conjunto abierto U tal que x∈ U ⊆ G. El conjunto G se dice que es un entorno abierto de un punto x ∈ X si G, además de ser un entorno de x, es un conjunto abierto. Se puede demostrar que un conjunto G⊆ X es abierto si, y sólo si, para cada x∈ G, existe un entorno abierto Vx de x tal que Vx⊆ G. Un subconjunto F
de un espacio topológico (X ,τ) se llama conjunto cerrado si X \ F es un conjunto abierto. Se sigue de las propiedades de los conjuntos abiertos que:
(a) ∅ y X son conjuntos cerrados,
(c) si para cualquier k ∈ N, F1, . . . , Fk son conjuntos cerrados, entoncesSki=1Fitambién es cerrado.
Sea(X ,τ) un espacio topológico y suponga que E es un subconjunto de X . La unión de todos los con- juntos abiertos contenidos en E es llamado el interior de E y denotado por intτ(E) o τ− int(E). Observe
que si E no contiene ningún subconjunto abierto, entonces intτ(E) =∅. En cualquier caso, intτ(E) es el conjunto abierto más grande contenido en E. Escribiremos int(E) cuando no exista ninguna otra topología explícitamente definida sobre X . Similarmente, la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a E es llamado la clausura de E y denotado por Eτ. Observe que Eτsiempre existe. En efecto, la familia F :F ⊆ X : E ⊆ F, F cerrado es no vacía pues X pertenece a F y gracias a que la intersección arbitraria de conjuntos cerrados es cerrado, resulta que Eτ =TF∈FF. Como antes, si el contexto es claro, es decir,
si no existe otra topología definida sobre X , escribiremos simplemente E en lugar de Eτ. Se tiene entonces que E es el conjunto cerrado más pequeño que contiene a E. Cualquier punto x∈ E es llamado un punto de
clausura de E.
Teorema 1.4.1. Sea(X ,τ) un espacio topológico y suponga que E es un subconjunto de X . (1) x ∈ E si, y sólo si, V ∩ E 6= ∅ para cualquier conjunto abierto V conteniendo a x. (2) Si E ⊆ Y ⊆ X, entonces EτY
= Eτ∩Y .
Prueba. Ejercicio.
Para cada x∈ X, denote por Nx la familia de todos los conjuntos abiertos que contienen a x. Según el
resultado anterior vemos que
E=x∈ X : V ∩ E 6= ∅ para todo V ∈ Nx
. Un resultado que es particularmente útil es el siguiente:
Lema 1.4.1. Sean(X ,τ) un espacio topológico y U un subconjunto abierto no vacío de X . Si A ⊆ X es tal
que U∩ A = ∅, entonces U ∩ A = ∅. En particular, si U y V son abiertos no vacíos y disjuntos, entonces U∩V = ∅ = U ∩V .
Prueba. Suponga que A es un subconjunto de X para el cual U∩ A = ∅, pero que U ∩ A 6= ∅. Sea x ∈ U ∩ A.
Entonces x∈ U y x ∈ A. Ahora bien, como x ∈ A, del Teorema 1.4.1 se sigue que cualquier entorno abierto de x intersecta a A; en particular, siendo U un entorno abierto de x (pues x∈ U), tenemos que U ∩ A 6= ∅, lo
que constituye una flagrante violación a nuestra hipótesis.
Observe que el Lema 1.4.1 también se puede reescribir en la forma:
U∩ A 6= ∅ si, y sólo si, U∩ A 6= ∅.
Definición 1.4.2. Sea (X ,τ) un espacio topológico y sea D un subconjunto de X . Diremos que D es denso
en X si D= X .
Notemos que D= X significa que el conjunto cerrado más pequeño que contiene a D es X . En general, si A y B son subconjuntos de X se dice que A es denso en B si B⊆ A. Esto último también se puede expresar diciendo que si V es un abierto no vacío de X tal que V∩ B 6= ∅, entonces V ∩ A 6= ∅. En efecto, si fuera
V∩ A = ∅, entonces el Lema 1.4.1 nos diría que V ∩ A = ∅ y, en consecuencia, como B ⊆ A, tendríamos que V∩ B = ∅, lo cual es contradictorio.
Una condición equivalente a la definición de densidad que no hace referencia a ningún punto del espacio y que usaremos frecuentemente es la siguiente:
Sec. 1.4 Espacios topológicos 19
Teorema 1.4.2. Sean(X ,τ) un espacio topológico Hausdorff y D un subconjunto de X . Entonces, D es denso
en X si, y sólo si, para cada subconjunto abierto no vacío U de X , U∩ D 6= ∅.
Prueba. Supongamos, en primer lugar, que D es denso en X y sea U un subconjunto abierto no vacío de
X . Si fuera U∩ D = ∅, entonces F := X \U sería un conjunto cerrado conteniendo a D y, en consecuencia, D⊆ F, lo que contradice la densidad de D, ya que F = X \U $ X.
Recíprocamente, suponga que U∩D 6= ∅ para cada subconjunto abierto no vacío U de X. Si fuera D 6= X, entonces U := X \D sería un conjunto abierto no vacío que satisface U ∩D = ∅. Esta contradicción establece
que D= X .
Una primera consecuencia del resultado anterior es el siguiente.
Corolario 1.4.1. Sea(X ,τ) un espacio topológico de Hausdorff. Si D es denso en X y U es un subconjunto
abierto no vacío de X , entonces U= U ∩ D.
Prueba. Puesto que U∩ D ⊆ U, resulta que U ∩ D ⊆ U. Para verificar la otra inclusión tomemos un x ∈ U
arbitrario y suponga que V es un entorno abierto de x. En este caso, U∩V 6= ∅ y como D es denso en X, vemos que V∩ (U ∩ D) = (U ∩V) ∩ D 6= ∅. Esto prueba que x ∈ U ∩ D y, en consecuencia, U ⊆ U ∩ D.
Definición 1.4.3. Sea(X ,τ) un espacio topológico de Hausdorff. Una familia B ⊆τes llamada una base de
τ, si cada conjunto abierto no vacío es la unión de miembros de B.
La familia B también es llamada una base para X . Las familias B⊆τque pueden servir como bases para X se caracterizan del modo siguiente:
Teorema 1.4.3. Sean(X ,τ) un espacio topológico y B ⊆τ. Son equivalentes:
(1) B es una base para X .
(2) Para cada conjunto abierto no vacío G de X y cada x ∈ G, existe un V ∈ B tal que x ∈ V ⊆ G.
Prueba.(1) ⇒ (2) Sea x ∈ G. Puesto que B es una base para X, existe una subfamilia {Vα∈ B :α∈ J} de
B tal que G=Sα∈JVα. Entonces existe al menos un Vα∈ B tal que x ∈ Vα⊆ G.
(2) ⇒ (1) Sea G ∈τ. Para cada x∈ G, encuentre un Vx ∈ B con x ∈ Vx⊆ G. Entonces G =Sx∈GVx es un
abierto, lo cual prueba que B es una base para X .
Además del resultado anterior, existe un modo más práctico de describir los conjuntos abiertos de un espacio topológico.
Corolario 1.4.2. Sean (X ,τ) un espacio topológico y B ⊆τuna base para X . Un subconjunto G de X es abierto si, y sólo si, para cada x∈ G, existe un V ∈ B tal que x ∈ V ⊆ G.
Prueba. Si G es abierto, entonces la condición sigue del Teorema 1.4.3. Recíprocamente, si la condición se
cumple, entonces (como en la prueba del Teorema 1.4.3) encontramos que G=Sx∈GVxdonde cada Vx∈ B
y, por consiguiente, G es abierto.
Sobre cualquier conjunto no vacío siempre existen dos topologías “extremas”: la topología discreta TD:= P(X ), y la topología trivial o indiscreta TT := {∅,X}. Todo conjunto no vacío X provisto de la
topología discreta (respectivamente, de la topología trivial) será llamado un espacio topológico discreto (respectivamente, un espacio topológico trivial). Cualquier otra topología sobre X , digamosτ, se encuen- tra entre ellas dos, es decir, TT ⊆τ⊆ TD. En general, si G es una familia arbitraria de topologías sobre un
conjunto no vacío X , entonces TJ∈GJ también es una topología sobre X . De esto se sigue que, para cual-
quier colección de subconjuntos A de un conjunto X , siempre existe una topologíaτA, llamada la topología
generada por A, con las siguientes propiedades:(1) A ⊆τA, y (2)τAes la topología más pequeña sobre
X que contiene a A, es decir, si τ′ es cualquier topología sobre X con A⊆τ′, entonces τ⊆τ′. En efecto, la familia GAformada por todas las topologías sobre X que contienen a A es no vacía pues TD∈ GA. La
topología τA=TJ∈GAJ cumple con los dos requerimientos anteriores. Seanτ1 y τ2dos topologías sobre
un mismo conjunto X . Diremos queτ2es más fina queτ1siτ1⊆τ2, es decir, siτ2contiene más abiertos que
τ1. En este caso también se dice queτ1es menos fina queτ2.
Si(X , d) es un espacio métrico, entonces la colecciónτdformada por todas las bolas abiertas U(x, r) con
x∈ X y r > 0 constituye una topología sobre X denominada la topología métrica. Un espacio topológico
(X ,τ) se dice que es metrizable si existe una métrica d sobre X tal que la topología métricaτdcoincide con
la topología originalτ.
Definición 1.4.4. Un espacio topológico(X ,τ) se llama un espacio de Hausdorff si cualesquiera dos puntos
distintos en X poseen entornos abiertos disjuntos, es decir, si x6= y, entonces existen entornos abiertos Vx y
Vyde x e y respectivamente tal que Vx∩Vy=∅.
La propiedad de ser Hausdorff implica que para cada x en un espacio de Hausdorff, el conjunto{x} es cerrado. En efecto, sea y∈ X \ {x}. Entonces y 6= x de donde existen entornos abiertos Vy y Vx de y y x
respectivamente tal que Vy∩Vx=∅. Esto prueba que cada y ∈ X \{x} posee un entorno abierto Vycontenido
en X\ {x}, es decir, X \ {x} =Sy∈X\{x}Vyes abierto y, por lo tanto,{x} es cerrado.
Definición 1.4.5. Sea(X ,τ) un espacio topológico de Hausdorff (X ,τ). Diremos que X es regular si, dado
cualquier conjunto cerrado F ⊆ X y cualquier punto x 6∈ F, existen conjuntos abiertos disjuntos G1 y G2
tales que x∈ G1 y F⊆ G2. Similarmente, diremos que X es normal si, para cualesquiera par de subcon-
juntos cerrados y disjuntos F1 y F2, existen subconjuntos abiertos y disjuntos G1 y G2tales que F1⊆ G1 y
F2⊆ G2.
Es claro que todo espacio topológico normal es regular. También es fácil establecer que todos los espacios métricos son espacios de Hausdorff. De hecho, cualquier espacio métrico es normal y, por consiguiente, regular.
Una de las nociones topológicas importantes y que se usa frecuentemente es la de compacidad. Sean (X ,τ) un espacio topológico y K un subconjunto de X . Una colección V =Vα:α∈ I de subconjuntos de X se dice que es un cubrimiento abierto de K si cada Vα es un conjunto abierto y K ⊆Sα∈IVα. Si J es un subconjunto de I y si la subcolección V0=
Vα:α∈ J cubre a K, entonces decimos que V0 es un
subcubrimiento de K. Diremos que V posee un subcubrimiento finito de K si existen Vα1, . . . ,Vαn en V tal
que K⊆Snk=1Vαk.
Definición 1.4.6. Un subconjunto K de un espacio topológico de Hausdorff(X ,τ) se dice que es compacto
si cualquier cubrimiento abierto V=Vα:α∈ I de K se puede reducir a un subcubrimiento finito, es decir, existen Vα1, . . . ,Vαn en V tal que K⊆
Sn k=1Vαk.
Por ejemplo, todo subconjunto cerrado y acotado deKnes compacto para cualquier n∈ N. En general, en cualquier espacio normado de dimensión finita(X , k·k) se cumple que: un subconjunto K de X es compacto
si, y sólo si, K es cerrado y acotado. Este resultado se conoce como el Teorema de Heine-Borel. Observe
que ningún espacio discreto infinito numerable puede ser compacto. En efecto, suponga que (X ,τ) es un espacio topológico con la topología discreta cuya cardinalidad es igual a ℵ0. Escribiendo a X como una sucesión, digamos X =x1, x2, . . .
, resulta que V={xn} : n ∈ N
Sec. 1.4 Espacios topológicos 21
no se puede extraer un subcubrimiento finito. También es fácil demostrar que si K1, . . . , Knson espacios de
Hausdorff compactos, entonces: (a) K1∪ ··· ∪ Knes compacto.
(b) K1∩ ··· ∩ Knes compacto.
(c) ∏n
i=1Kies compacto.
Se demuestra, igualmente con facilidad, que todo espacio métrico compacto (X , d) es acotado. En efecto, fijemos cualquier x0∈ X y considere el cubrimiento abierto U =
U(x0, n) : n = 1, 2, . . .
de X . Entonces, por compacidad, existe n1, . . . , nkenN tal que X =Ski=1U(x0, ni). Si ahora definimos N = m´ax{n1, . . . , nk},
vemos que X = U (x0, N) y, por lo tanto, X es acotado.
Teorema 1.4.4. Sea(X ,τ) un espacio topológico de Hausdorff y suponga que K ⊆ X. (1) Si K es compacto, entonces es cerrado.
(2) Si X es compacto y K es cerrado, entonces K es compacto.
Prueba.(1). Suponga que K es compacto y fijemos un x0∈ X \ K. Para cada x ∈ K, usemos el hecho de que
X es Hausdorff, para hallar entornos abiertos y disjuntos Vx y Vx(x0) de x y x0 respectivamente. Puesto que
V :=Vx : x∈ K es un cubrimiento abierto de K, la compacidad de K permite reducirlo a un subcubrim-
iento finito, digamos, Vx1, . . . ,Vxn
. Claramente U :=Sni=1Vxi y V := Tn
i=1Vxi(x0) son conjuntos abiertos
disjuntos con x0∈ V ⊆ X \ K. Esto prueba que X \ K es abierto, es decir, K es cerrado.
(2). Suponga que X es compacto y que K es un subconjunto cerrado de X . Sea V un cubrimiento abierto de
K. Como K es cerrado, entonces X\ K es abierto y, en consecuencia, V ∪ (X \ K) es un cubrimiento abierto
de X . Por compacidad, existen V1, . . . ,Vn en V tal que X = V1∪ ··· ∪Vn∪ (X \ K). ClaramenteV1, . . . ,Vn
es un cubrimiento de K.
Como una consecuencia del resultado anterior tenemos que
Corolario 1.4.3. Sea(X ,τ) un espacio de Hausdorff compacto. Entonces X es normal y, por consiguiente,
regular.
Prueba. Sean K1 y K2 dos subconjuntos cerrados y disjuntos de X . Por el Teorema 1.4.4 sabemos que
ambos conjuntos son compactos. Fijemos un x∈ K1y, para cada y∈ K2, seleccionemos conjuntos abiertos y
disjuntos Vyx y Vytales que x∈Vyx y y∈Vy. Del cubrimiento abierto V2=
Vy: y∈ K2
de K2seleccionemos,
por compacidad, un subcubrimiento finito, digamosVy1, . . . ,Vn(x) . Sean Ux = n(x) \ i=1 Vyxi y Hx = n(x) [ i=1 Vyi.
Puesto que este procedimiento se puede llevar a cabo para cada x∈ K1, la colección V1=
Ux: x∈ K1
resulta ser un cubrimiento abierto de K1que, gracias a la compacidad de dicho conjunto, se puede reducir a
un subcubrimiento finito, digamosUx1, . . . ,Uxm
. Definamos ahora G1 := m [ i=1 Uxi y G2 := m [ i=1 Hxi.
Entonces, por construcción, K1⊆ G1, K2⊆ G2 y G1∩ G2=∅. Como tanto G1así como G2son abiertos,
Propiedades más agradables se obtienen en espacios métricos compactos. Antes es preciso recordar al- gunos resultados fundamentales en la teoría de los espacios métricos. El primero establece que en espacios métricos completos los conjuntos cerrados son los únicos que heredan la completitud.
Teorema 1.4.5. Sean (X , d) un espacio métrico completo y F un subconjunto de X . Entonces (F, d) es
completo si, y sólo si, F cerrado.
Prueba. Suponga que F es cerrado y sea (xn)∞n=1 una sucesión de Cauchy en F . Entonces (xn)∞n=1 es de
Cauchy en X y, por la completitud de X , ella converge a algún x∈ X. Esto prueba que x es punto de acumu- lación de F el cual pertenece a F por ser dicho conjunto cerrado.
Recíprocamente, suponga que F es completo y sea x∈ F. Entonces existe una sucesión (xn)∞n=1en F que
converge a x. Puesto que toda sucesión convergente es de Cauchy, resulta que(xn)∞n=1 es de Cauchy en el
espacio métrico completo(F, d) y, por consiguiente, converge al mismo punto x. Por esto, x ∈ F y termina la
prueba.
El siguiente resultado es la pieza fundamental para la demostración del Teorema de Categoría de Baire en espacios métricos completos.
Teorema 1.4.6 (Encaje de Cantor). Sea (X , d) un espacio métrico completo. Si (Fn)∞n=1 es una sucesión
decreciente de subconjuntos cerrados no vacíos de X tal que l´ımn→∞diam(Fn) = 0, entoncesT∞n=1Fn= {x0}
para algún x0∈ X.
Prueba. Apliquemos el Axioma de Elección para escoger, por cada n∈ N, un xn ∈ Fn. Afirmamos que
la sucesión (xn)∞n=1 es de Cauchy en X . En efecto, seaε> 0 y usemos el hecho de l´ımn→∞diam(Fn) = 0
para elegir un entero N> 0 tal que diam (FN) <ε. Como la sucesión (Fn)∞n=1 es decreciente, se sigue que
si m, n ≥ N, entonces d(xn, xm) <ε. En efecto, como xn∈ Fn⊆ FN y también xm∈ Fm⊆ FN, resulta que
d(xn, xm) ≤ diam(FN) <ε. Por esto (xn)∞n=1 es de Cauchy y, gracias a la completitud de X , ella converge
a un x0∈ X. Puesto que todos los términos de la sucesión (xn)∞n=1, salvo un número finito, están en Fn
para todo n∈ N, result que x0∈ Fn = Fn para todo n∈ N. Por esto, x0∈T∞n=1Fn. Para demostrar la otra
inclusión, observe que comoT∞n=1Fn⊆ Fmpara todo m∈ N, entonces la existencia de cualquier y ∈T∞n=1Fn
nos indicaría que x0, y ∈ Fmy, por consiguiente, d(x0, y) ≤ diam(Fm) → 0 cuando m →∞. Esto prueba que
y= x0y termina la demostración.
Definición 1.4.7. Sea (X , d) un espacio métrico. Decimos que X es totalmente acotado o precompacto si,
para cada ε> 0, del cubrimiento abierto U =U(x,ε) : x ∈ X de X se puede extraer un subcubrimiento finito, es decir, existen x1, . . . , xnen X tal que X=Sni=1U(xi,ε).
Es claro que cualquier espacio métrico compacto es totalmente acotado. También es cierto que cual- quier subconjunto de un espacio totalmente acotado es totalmente acotado. Más aun, si K es un subconjunto totalmente acotado de X , entonces K también es totalmente acotado. En efecto, sea ε> 0 y suponga que
U(x1,ε/2), . . . ,U (xn,ε/2)
es un cubrimiento abierto finito de K. Como
K ⊆ U(x1,ε/2) ∪ ··· ∪U(xn,ε/2) = n [ i=1 U(xi,ε/2) ⊆ n [ i=1 U(xi,ε),
resulta queU(x1,ε) ∩ K,... ,U(xn,ε) ∩ K es un cubrimiento abierto finito de K, lo que demuestra que K
es totalmente acotado.
Sec. 1.4 Espacios topológicos 23
Teorema 1.4.7. Si un espacio métrico(X , d) es totalmente acotado, entonces X es separable.
Prueba. Para cada n∈ N, sea εn= 1/n. Usemos el hecho de que X es totalmente acotado para obtener,
para cada n∈ N, un subconjunto finito Dn =xn1, . . . , xnkn de X tal que X = Ski=1n U(xi, 1/n). Pongamos
D=S∞n=1Dn. Claramente D es numerable. Veamos que D= X . En efecto, sea x ∈ X. Para cada n ∈ N, existe
algún yn∈ Dny, por consiguiente, x∈ U(yn, 1/n). Lo anterior permite construir una sucesión (yn)∞n=1en X
tal que d(yn, x) < 1/n. Esto, por supuesto, indica que l´ımn→∞yn= x, lo que a su vez nos dice que x ∈ D. Fin
de la prueba.
Una de las caracterizaciones clásicas de compacidad en espacios métricos, pero de suprema importancia, es la siguiente:
Teorema 1.4.8. Sea(X , d) un espacio métrico. Son equivalentes: (1) X es compacto.
(2) X es completo y totalmente acotado.
Prueba.(1) ⇒ (2). Suponga que X es compacto y sea ( bX, bd) la completación de (X , d). Como bX es un
espacio de Hausdorff y X es un subconjunto compacto de bX , el Teorema 1.4.4 nos dice que X es cerrado en
b
X , pero además, siendo X también denso en bX , entonces se tiene que X = bX . Por esto, X es completo. Que X es también totalmente acotado sigue del hecho de que X es compacto.
(2) ⇒ (1). Suponga que X es completo y totalmente acotado. Para obtener una contradicción, suponga que
X no es compacto. Esto significa que existe algún cubrimiento abierto V de X del que no es posible extraer
ningún subcubrimiento finito. Ahora bien, como X es totalmente acotado, podemos seleccionar un cubri- miento abierto y finito de X , digamos {U1
1, . . . ,Uk11}, tal que el diámetro de todos ellos sean iguales pero menor que 1. Observe{U1, . . . ,Uk} también es un cubrimiento finito de X por lo que al menos uno de esos
conjuntos cerrados, llamémoslo F1, no se puede cubrir por una subcolección finita de V. Puesto que F1tam-
bién es totalmente acotado, podemos cubrirlo por una colección finita {U12, . . . ,U2
k2} de conjuntos abiertos todos de igual diámetro pero menor que 1/2. Como antes, {U21, . . . ,U2k2} es un cubrimiento finito de F1y, por
consiguiente, al menos uno de esos conjuntos cerrados, digamos F2, no se puede cubrir por una subcolec-
ción finita de V. Continuando indefinidamente con este proceso, se obtiene una sucesión decreciente(Fn)∞n=1
de subconjuntos cerrados de X tal que l´ımn→∞diam Fn)
= 0. Como X es completo, el Teorema 1.4.6 nos revela queT∞n=1Fn= {x0} para algún x0∈ X =SV∈VV . De aquí se sigue que x0∈ V0para un cierto V0∈ V
y, en consecuencia, por ser V0 abierto, U(x0, 1/n) ⊆ V0 para algún n∈ N. Finalmente, puesto que x0∈ Fn
y diam Fn
< 1/n, concluimos que Fn⊆ U(x0, 1/n), de donde se obtiene que Fn⊆ V0, lo cual es una con-
tradicción pues, según nuestra construcción, ningún Fk podía ser cubierto por una subcolección finita de V,
sin embargo, V0= {V0} es una subcolección finita de V que cubre a Fn. Esto termina la prueba.
Observe que en la prueba de la primera parte del teorema anterior se demostró que: si(X , d) es un espacio
métrico compacto, entonces su completación también es compacto. De hecho, uno puede pedir menos para
obtener la misma conclusión como lo demuestra el siguiente corolario.
Corolario 1.4.4. Un espacio métrico(X , d) es totalmente acotado si, y sólo si, su completación ( bX, bd) es
compacto.
Prueba. Suponga que X es totalmente acotado y sea( bX, bd) su completación. Como X es totalmente acotado su clausura X , por lo visto anteriormente, también es totalmente acotado y puesto que X = bX , se concluye
que bX es totalmente acotado (y completo). Se sigue del Teorema 1.4.8, que bX es compacto. El recíproco es
Un subconjunto K de un espacio topológico de Hausdorff(X ,τ) se dice que es relativamente compacto si K es compacto. EnKn, todo subconjunto acotado es relativamente compacto. En general, vale el siguiente resultado.
Teorema 1.4.9. Sea(X , d) un espacio métrico completo. Un subconjunto K de X es relativamente compacto
si, y sólo si, él es totalmente acotado.
Prueba. Suponga que K es un subconjunto relativamente de X . Entonces K es compacto y se sigue que K y,
por consiguiente K, es totalmente acotado.
Recíprocamente, suponga que K es totalmente acotado. Entonces K es totalmente acotado. Más aun, puesto que X es completo y K es cerrado, entonces K también es completo. Uno invoca de nuevo al
Teorema 1.4.8 para concluir que K es compacto.
Otro de los resultados importantes de los conjuntos compactos es el siguiente.
Teorema 1.4.10 (Tychonoff). Sea (Kα)α∈Γ una familia de espacios topológicos compactos. Entonces el
producto∏α∈IKαes compacto.
Prueba. Véase, por ejemplo, [141], XI, Theorem 1.4, p. 224.
Del Teorema 1.4.4 también se deduce que si(Kα)α∈Ies una familia arbitraria de subconjuntos compactos en algún espacio topológico de Hausdorff(X ,τ), entoncesTα∈IKαes compacto, aunque dicha intersección puede ser vacía. Sin embargo, si la familia (Kα)α∈I es numerable, digamos(Kn)∞n=1, y además decreciente,
entoncesT∞n=1Kn6= ∅. Lo anterior permite justificar la siguiente definición.
Definición 1.4.8. Sea (X ,τ) un espacio topológico de Hausdorff. Una familia de subconjuntos (Kα)α∈Γ
de X se dice que tiene la propiedad de intersección finita (PIF) si, para cada subconjunto finito F ⊆Γ, T
α∈FKα6= ∅.
Una de las tantas caracterizaciones hermosas que poseen los espacios compactos de Hausdorff es la siguiente:
Teorema 1.4.11. Un espacio topológico de Hausdorff (X ,τ) es compacto si, y sólo si, cualquier familia