Durante sus entrevistas, los profesores chinos a menudo citaron un antiS guo dicho para introducir más discusiones acerca de un algoritmo, “saS T58#CU@7#G#>;@TBV<#6;T58#W78XYVZE#M=#;?7W>;8#56>5#?BC[7\#XY5#;=B5<>;#;#=;# gente a descubrir una razón detrás de una acción, los profesores le dan un 65<>B?7#<Y5]7#G#56W5C^_C7`#saber cómo realizar un algoritmo y saber porqué
tiene sentido matemáticamenteE# D<# =;# ;8B>@V>BC;# [;G# ];8B76# ;=a78B>@76\# ?5#
[5C[7\#;#@5<Y?7#65#5<65b;#XY5#6;T58#;8B>@V>BC;#6Ba<B_C;#658#?B56>87#W;8;# usar estos algoritmos pero, no obstante, desde la perspectiva de los profeS sores chinos, saber un conjunto de reglas para resolver un problema en un <c@587#_<B>7#?5#W;676#?B6>;#@YC[7#?5#658#6Y_CB5<>5\#WY56#Y<7#>;@TBV<# ?5T5#6;T58#W78XYV#=;#65CY5<CB;#?5#W;676#5<#5=#CA=CY=7#>B5<5#65<>B?7E#d;8;# el algoritmo de la resta con reserva, mientras la mayoría de los profesores norteamericanos estaba satisfecha con la seudoexplicación de “pedir presS tado”, los profesores chinos explicaron que la base del cálculo es “descomS poner una unidad de mayor valor”1. En el tema de la multiplicación con
1# # D<# =;# 5<65b;<e;\# =76# W874567856# C[B<76# >B5<5<# ;# Y>B=Be;8# >V8@B<76# @;>5@A>BC76# 5<# 6Y6#
5fW=BC;CB7<56#]58T;=56E#KV8@B<76#C7@7#sumando, minuendo, sustraendo, diferencia, multipli-
cando, multiplicador, producto, producto parcial, dividendo, divisor, cuociente, operación inversa
y componer y descomponer, se usan frecuentemente. Por ejemplo, los profesores chinos no expresan la versión aditiva de la propiedad conmutativa como “no importa el orden en que se suman dos números” . Sino que, dicen “al sumar dos sumandos, si intercambiaS mos sus lugares en la expresión, la suma permanecerá igual”.
varias cifras, mientras la mayoría de los profesores norteamericanos estaba contenta con la regla de “alinear con el número por el que estás multipli2 cando”, los profesores chinos exploraron los conceptos de valor posicional 3(4546789(:7(;9<=>(?=45@5=A9<(?9>9(7B?<5@9>(?=>CDE(<=4(?>=:D@6=4(?9>@59<74( no se alinean en la multiplicación como los sumandos en la adición. Para el cálculo de la división por fracciones, para el que los profesores norte2 americanos empleaban “invertir y multiplicar”, los profesores chinos se >7F>57>=A( 9( G:5;5:5>( ?=>( DA( AH87>=( 74( 7CD5;9<7A67( 9( 8D<65?<5@9>( ?=>( 4D( inverso multiplicativo” como la base lógica para este algoritmo aparente2 mente arbitrario.
I9( ?>7J7>7A@59( ?=>( ?>7KDA69>( GL?=>( CDE( 657A7( 47A65:=MN( 74( 7<( ?>587>( peldaño para una comprensión conceptual de las matemáticas. Más aún, explorar las razones matemáticas que fundamentan los algoritmos llevó a los profesores chinos hacia ideas más importantes de la disciplina. Por ejemplo, la base lógica de la resta con reserva, “descomponer una unidad de mayor valor” se conecta con la idea de “componer una unidad de ma2 yor valor” que es la base lógica de la suma con reserva. Por ende, una mayor investigación de la composición y descomposición de una unidad de mayor valor, podría llevar a la idea de “tasa de composición y des2 composición de una unidad de mayor valor”, que es una idea básica de <9(>7?>747A69@5OA(AD8E>5@9P(QA(J=>89(4585<9>R(7<(@=A@7?6=(:7(;9<=>(?=452 cional está conectado con ideas más profundas como el sistema de valor ?=45@5=A9<(3(<9(DA5:9:(ST45@9(:7(DA(AH87>=P(U4VR(7B?<=>9>(7<(G?=>CDEN(CD7( subyace al “cómo” lleva paso a paso hacia las ideas básicas del núcleo de las matemáticas.
WD465F@9>(DA9(7B?<5@9@5OA(@=A(DA9(:7>5;9@5OA(
simbólica
Por otro lado, la explicación verbal de una razón matemática que susten2 69(DA(9<K=>568=R(<74(?9>7@5O(A7@749>59R(?7>=(A=(4DF@57A67(9(<=4(?>=J74=>74( @X5A=4P( =8=(47(8=46>O(7A(<=4(@9?V6D<=4(9A67>5=>74R(:74?DE4(:7(:9>(DA9(7B2 ?<5@9@5OAR(<=4(?>=J74=>74(@X5A=4(67A:57>=A(9(YD465F@9><9(@=A(DA9(:7>5;9@5OA( simbólica. Por ejemplo, en el caso de la multiplicación con varias cifras, 9<KDA=4(:7(<=4(?>=J74=>74(A=>67987>5@9A=4(7B?<5@9>=A(CD7(7<(?>=S<789(0Z1( B( [\]( 47( ?D7:7( 47?9>9>( 7A( 6>74( G?>=S<7894( ?7CD7^=4NP( 0Z1( B( [__R( 0Z1( B( \_(3(0Z1(B(]P(I=4(?>=:D@6=4(?9>@59<74(7A6=A@74R(4=A(`1a__R(\bZ_(3([0](7A( <DK9>(:7(`1aR(\bZ(3([0]P(QA(@=8?9>9@5OA(@=A(7<(EAJ9454(7A(<9(G9<5A79@5OAN( que puso la mayoría de los profesores norteamericanos, esta explicación es conceptual. Sin embargo, los profesores chinos dieron explicaciones que eran incluso más rigurosas. Primero, tendieron a señalar que la propiedad
!"## $%&%'()(*&+%#,#*&-*./&0/#1*#2/-#)/+*)3+('/-#*2*)*&+/2*-# distributiva2 es la base que sustenta el algoritmo. Luego, como se describió en el capítulo 2, mostraron cómo se puede derivar el algoritmo a partir de la propiedad distributiva, ilustrando cómo funciona dicha propiedad en 4567#58697:8;<#=#>?@A9B#684<4#54<68C?D 123 x 645 = 123 x (600 + 40 + 5) = 123 x 600 + 123 x 40 + 123 x 5 = 73800 + 4920 + 615 = 78720 + 615 = 79335
Para el tema de la división por fracciones, las representaciones simbóE F8:75G#A94#4F7H?@7@?<#F?5#>@?I45?@45#:J8<?5G#I94@?<#7K<#LM5#5?N568:7C75O# Se basaron en conceptos que “los alumnos han aprendido” para demosE trar la equivalencia de 134 : 12 y 134 x 21 de varias formas. La siguiente es una demostración basada en la relación entre una fracción y una división (12 = 1 : 2). 134: 12 = 134 : (1 : 2) = 134 : 1 x 2 = 134 x 2 : 1 = 134 x (2 : 1) = 134 x 21
2 En el currículum matemático chino, las versiones aditivas de las propiedades conmutaE tiva y asociativa se presentan primero en tercero básico. Las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de la multiplicación se presentan en cuarto básico, como alternaE 68P75#7F#LB6?C?#456M<C7@O#Q?@#4R4L>F?G#4F#64S6?#45:?F7@#C8:4#C4#F7#>@?>84C7C#:?<L96768P7# de la suma: “cuando dos números se suman, si se intercambian las posiciones de los sumandos, la suma permanece igual. Esto se llama propiedad conmutativa de la suma. Si las letras a y b representan dos sumandos arbitrarios, podemos escribir la propiedad conmutativa de la suma como: a+ b= b+ a. TF# LB6?C?# A94# 7>@4<C8L?5# C4# @4P857@# 9<7# suma intercambiando el orden de los sumando se basa en esta propiedad. (Beijing, TianE jin, Shangai, y Zhejiang Associate Group for Elementary Mathematics Teaching Material $?L>?58<UG# VWVG#>>O#WXEW!YO#TF#64S6?#45:?F7@#8F956@7#:;L?#7LH75#>@?>84C7C45#54#>94C4<# usar como “una forma rápida de cálculo”. Por ejemplo, los alumnos aprenden que una I?@L7#LM5#@M>8C7#C4#@45?FP4@#XZW#[#\V #[#]"X#45#6@7<5I?@L7@F?#4<#^XZW#[#]"XY#[#\V G#9<7# I?@L7#LM5#@M>8C7#C4#@45?FP4@ ]"]#E#X"W#E# ZX#45#6@7<5I?@L7@F?#4<# ]"]#E#^X"W#[# ZXYD#
Una demostración basada en la regla de “mantener el valor del cuo3 ciente” es: 134: 12 = (134x 21) : (12x 21) = (134x 21) : 1 = 134x 21 =312
Más aún, como se ilustró en el capítulo, los profesores chinos emplearon frases matemáticas para ilustrar varias formas no estándares de resolver el problema 134 :12, así como a derivar estas soluciones. Las representaciones simbólicas se usan ampliamente en las aulas chinas. Como informó la Prof. Li, sus alumnos de primero básico emplearon frases matemáticas para des3 456765(89(:5;:6<(=;5><(?@(5@<A59:<46BCD(1E(F(G(H(1E(F(E(F(I(H(1J(F(I(H(IKL(MN5;8( :5;=@8;5@8(4O6C;8(@C(@8N@(@8N9?6;(N<>76PC(O646@5;C(5@=@5@C46<(<(6C46?@CN@8( similares.
Los investigadores han descubierto que los alumnos de enseñanza pri3 maria de los EE.UU. a menudo ven el signo de igualdad como “una señal :<5<(O<4@5(<QA;R(ST@5(:;5(@U@>:Q;(V6@5<CW(0XXJW(:(0JJYL(Z8N;(>@(5@49@5?<( una discusión que tuve con una profesora de enseñanza primaria norte3 <>@564<C<L([@(:5@A9CNP(:;5(\9P(<4@:N<7<(\9@(Q;8(<Q9>C;8(N5<7<U<5<C(4;>;( ](1(^(1(_(E(H(0I(H(02LR(ZQQ<(>@(?6U;D(]79@C;W(O646@5;C(76@C(@Q(;5?@C(?@Q(4`Q49Q;( a(QQ@A<5;C(<(Q<(5@8:9@8N<(4;55@4N<W(b\9P(N6@C@(?@(><Q;cR(d;(;78N<CN@W(?@83 de la perspectiva de los profesores chinos, la semántica de la operaciones matemáticas se debe representar rigurosamente. Es inaceptable tener dos valores distintos a ambos lados de un signo igual. Como le dijo una vez mi profesora de enseñanza primaria a su curso: “el signo igual es el alma de las operaciones matemáticas”. De hecho, cambiar uno o ambos lados de un signo igual para ciertos propósitos mientras se conserva la relación de “igualdad” es el “secreto” de las operaciones matemáticas.
[;8( :5;=@8;5@8( @5<C( O`76Q@8( :<5<( <A5@A<5( a( \96N<5( :<5PCN@868( a( :<5<( cambiar el orden de las operaciones en una frase matemática. Basándose en unas pocas propiedades simples como las tres propiedades básicas, la 5@AQ<(?@(4;C8@5T<5(@Q(T<Q;5(?@Q(49;46@CN@(a(@Q(86AC6e4<?;(?@(Q<8(=5<446;C@8W( ?@8<55;QQ<5;C(6CN@Q6A@CN@8(U98N6e4<46;C@8(86>7BQ64<8(?@(Q;8(<QA;56N>;8(<56N3 >PN64;8(\9@(T6@5;C(@C(Q<8(@CN5@T68N<8L
;>;(f4O;@C=@Q?(S0XK2Y(6C?64BW(Q<(]?@>;8N5<46BCRW(4;>;(=;5><(?@(@_3 plicación, es obligatoria, un estándar aceptado de la disciplina matemática.
!"## $%&%'()(*&+%#,#*&-*./&0/#1*#2/-#)/+*)3+('/-#*2*)*&+/2*-# 456#7859:658:6#;<=>56#?:>@=:85>#A#BC6?=D;A8#EA6#AD8FA;=5>:6#FA?:FG?=;A6# ?A>?5# :># 958FA# H:8IAE# ;5F5# 6=FIJE=;AK# 4A6# BC6?=D;A;=5>:6# H:8IAE:6# ?:>L dieron a preceder a las simbólicas pero las últimas, tendieron a ser más 8=MC856A6K#N:67CO6#@:#PC:#E56#7859:658:6#;<=>56#=>958FA85>#6C6#=>H:6?=MAL ;=5>:6#65I8:#EA#AD8FA;=J>#@:#EA#AECF>AQ#;5F5#6:#@=6;C?=J#:>#:E#;A7R?CE5#SQ# ?5@56#BC6?=D;A85>#6C6#=@:A6K#T5@56#APC:EE56#PC:#78:6:>?A85>#C>A#=@:A#>5# HGE=@A#6JE5#@=:85>#BC6?=D;A;=5>:6#H:8IAE:6K#U=#<CI=:8A>#C?=E=VA@5#8:78:6:>L taciones simbólicas, sospecho que algunos hubieran evitado o al menos habrían descubierto la falla de sus argumentos.