P7(D483<84G@(D=(?A8(C6A5=8A6=8(3B4@A8(C6=8=@EG(<@7(L484G@(8AQ8E437D7(M(3A2 herente de las matemáticas elementales. Mostró que las matemáticas ele2 >=@E7?=8(@A(8A@(<@7(84>C?=(3A?=334G@(D=(B=3BA8(@<>:643A8(M(7?IA64E>A8( de cálculo. Mucho más que eso, es un campo intelectualmente exigen2 E=9(D=87Q7@E=(M(=>A34A@7@E=9(5<@D7>=@EA(8AF6=(:?(3<7?(><3BA(8=(C<=D=( construir. Las matemáticas elementales son las matemáticas fundamenta2 ?=8R(S?(E:6>4@A(fundamental(E4=@=(E6=8(84I@4Q37DA8(78A347DA8T(5<@D734A@7?9( primario y elemental. Las matemáticas son un área de las ciencias que 8=(C6=A3<C7(D=(?78(6=?734A@=8(=8C7347?=8(M(@<>:643789(=@(?7(;<=(=?(67UA2 @7>4=@EA( 8=( F787( =@( =8E78( 6=?734A@=8R( V48EG6437>=@E=9( ?7( 764E>:E437( M( ?7( geometría eran las ramas principales de la disciplina matemática. Hoy en día, aunque el número de ramas de la disciplina ha aumentado y el W6=7(D=(?7(D4834C?4@7(8=(B7(=XC7@D4DA9(=?(=8E7E<8(5<@D734A@7?(D=(?7(764E>:2 tica y la geometría en las matemáticas, no ha cambiado. Ninguna de las nuevas ramas, ya sea pura o aplicada, opera sin las reglas y habilidades >7E=>WE4378(FW84378(;<=(8=(=8E7F?=3=@(=@(?7(764E>:E437(M(?7(I=A>=E6H7R(P78( >7E=>WE4378(D=(=D<3734G@(FW84379(;<=(8=(3A>CA@=@(D=(764E>:E437(M(I=A2 metría primarias, son por ende la base de la disciplina sobre las que se construyen las ramas avanzadas.
!"## $%&%'()(*&+%#,#*&-*./&0/#1*#2/-#)/+*)3+('/-#*2*)*&+/2*-# 45# 6789:;<# primaria# =># 8>?>8># @# <68@# A@8@A6>8B=6:A@# C># 5@=# 9@6>9D6:A@=# elementales. Ellas contienen los rudimentos de muchos conceptos imporE tantes en ramas más avanzadas de la disciplina. Por ejemplo, el álgebra es una manera de reagrupar elementos conocidos y desconocidos de una ecuación de manera de poder conocer la incógnita. Como hemos visto en los capítulos anteriores, las tres propiedades básicas con las que se resuelE ven estas ecuaciones (conmutativa, distributiva y asociativa) tienen natuE 8@59>;6>#F;@#8@BG#>;#5@#@8:6976:A@H#I@=#:C>@=#C>#A<;JF;6<K#A<88>=L<;C>;A:@# uno a uno y orden están implícitas en el contar. Las operaciones de conjunE 6<=#A<9<#5@#F;:M;#N#>5#L8<CFA6<#A@86>=:@;<#=>#8>5@A:<;@;#@5#=:O;:?A@C<#C># la suma y multiplicación de números enteros. Las ideas básicas de Cálculo están implícitas en la base lógica del cálculo del área de un círculo en geoE metría elementalP.
No obstante, los rasgos fundacionales y primarios de las matemáticas se presentan en un formato elemental ya que se encuentran al comienzo del aprendizaje matemático de los alumnos, por eso parece tan sencillo y fácil. Las ideas aparentemente simples enclavadas en la mente de los alumnos en esta etapa, durarán a lo largo de su aprendizaje matemático. Por ejemplo, en aprendizajes posteriores, los alumnos nunca borrarán los A<;A>L6<=#C>#>AF@A:M;#@L8>;C:C<=#C>#Q #R# #S#"TK#@F;UF>#=>@;#A@9V:@C<=# y enriquecidos.
Desde la perspectiva de la obtención de una competencia matemática, >;=>W@8#9@6>9D6:A@=#>5>9>;6@5>=K#;<#=:O;:?A@#55>X@8#@#5<=#@5F9;<=#9>8@E 9>;6>#@5#?;@5#C>#5@#@8:6976:A@#<#@5#L8:;A:L:<#C>#5@#>6@L@#L8>X:@#@5#D5O>V8@H# YD=#V:>;K#=:O;:?A@#C@85>=#F;@#V@=>#=<V8>#5@#UF>#A<;=68F:8#ZF6F8<=#@L8>;C:E zajes matemáticos. I<=#@A@C79:A<=#;<86>@9>8:A@;<=#[@;#@?89@C<#UF>#5<=#A<;A>L6<=#@X@;E G@C<=#=>#LF>C>;#L8>=>;6@8#C>#9@;>8@#:;6>5>A6F@59>;6>#A<;?@V5>#@#5<=#@5F9E ;<=#C>#>;=>W@;G@#L8:9@8:@H#\@A>#68>=#C7A@C@=K#]8F;>8#@?89M#UF>#5@=#:C>@=# de las matemáticas avanzadas tales como topología, geometría proyectiva, teoría de las probabilidades y teoría de conjuntos se pueden presentar a @5F9;<=#C>#>;=>W@;G@#L8:9@8:@#^]8F;>8 _`ab _ccdH#eF#L8<LF>=6@#ZF>#;F>E
P# $F@;C<# 5<=# L8<Z>=<8>=# A[:;<=# >;=>W@;# 5@# ZM89F5@# L@8@# A@5AF5@8# >5# D8>@# C># F;# AB8AF5<K# llevan un disco de papel a la clase. La mitad del disco tiene un color y la otra mitad, otro. Primero, se corta el disco en dos mitades. Luego, las dos mitades se cortan en pedazos pequeños con forma de porciones de torta con los extremos conectados. Los dos medios círculos se abren y se calzan para formar una región similar a un rectángulo: . Los profesores inspiran a los alumnos para que imaginen que subdividen el disco en más 8>V@;@C@=#L@8@#UF>#5@#8>O:M;#=>#L@8>GA@#9D=#@#F;#8>A6D;OF5<H#f>=LF7=K#V@=D;C<=>#>;#5@# fórmula del área del rectángulo, los estudiantes aprenden la base lógica de la fórmula del D8>@#C>#F;#AB8AF5<H#4=6>#976<C<#C>#@L8<g:9@8#>5#D8>@#C>#F;#AB8AF5<#=>#A<;<A:M#>;#>5#=:O5<# hijj#^X>8#e9:6[#k#Y:l@9:K# _ !K#LH# m dH
3456786(6797:;4<4(=4:6(>?:?(>?@(A;@B:=(C0DDEFG(H4>98I(J8667(K(B9B(:?L6M gas han sugerido una “organización por ejes” de las matemáticas escolares CH4>98( N( O65;@?3BPKI( 0DDQR( J8667I( 0DDSFG( TLL?B( :@;8;:4@?7( L4( ?@U47;V4:;W7( 8@4<;:;?74L(X>?@(:4>4BY(>96B8?(Z96(X@6:?U6(59K(>?:?B(6[6BY(CT[G\(4@;85]8;:4I( geometría y álgebra) y los organiza en forma horizontal para formar el cuM @@^:9L95Y(CJ8667I(>G1FG(T7(B9(L9U4@I(>@?>9B;6@?7(974(6B8@9:89@4(L?7U;89<;74L( “con una mayor continuidad vertical para conectar las raíces de la matemáM 8;:4B(:?7(B9B(@454BI(67(L4(6_>6@;67:;4(6<9:4:;?74L(<6(L?B(7;`?BY(CJ8667I(>G(1F( ilustrada por un árbol con raíces que representan temas como “dimensión”, “espacio”, “cambio y variación”, etc. (Kaput & Nemirovsky, p. 21).
No obstante, los profesores con una comprensión conceptual en este estudio, pueden no ser tan radicales como Kaput y Steen. Como se mosM tró en las entrevistas hechas a los profesores, las matemáticas elementales, :?7B8;89;<4B(>?@(L4(4@;85]8;:4(K(L4(U6?568@^4(>@;54@;4I(K4(:?78;6767(;5>?@M tantes ideas matemáticas. Para estos profesores, un “currículum organizaM <?(67(a?@54(=?@;V?784LY(>96<6(>?B66@(845b;]7(X:?78;79;<4<(36@8;:4LYG(c4( 4@;85]8;:4(>96<6(8676@(845b;]7(X5dL8;>L6B(@6>@6B6784:;?76BYI(X54865e8;M cas serias” y “conversaciones verdaderamente matemáticas”6. Considero que es más precisa la metáfora que los profesores chinos utilizaron para ilustrar las matemáticas escolares. Ellos creen que las matemáticas elemenM tales son la base para el futuro aprendizaje matemático y contribuirán a la vida futura de los estudiantes. El aprendizaje posterior de los alumnos es :?5?(97(6<;f:;?(:?7(34@;?B(>;B?BI(>96<6(Z96(L?B(:;5;678?B(B647(;73;B;bL6B( desde los pisos superiores pero ellos son los que los sustentan y hacen que todos los pisos (ramas) sean coherentes. La aparición y desarrollo de nueM vas matemáticas no debe considerarse una negación de las matemáticas fundamentales, sino nos debe guiar a una comprensión aún mejor de las matemáticas elementales, de su poderoso potencial, así como de las semiM llas conceptuales de las ramas avanzadas.