Los profesores chinos que se guiaban por los conceptos, caben en tres subgrupos: Un grupo se enfocó en la propiedad distributiva1. Otro grupo extendió el concepto de valor posicional a sistema de valor posicional. El tercer grupo explicó el problema desde ambas perspectivas.
H* * I<8* D89?;A:C9D8* DC* JKAC:* :E@DC;DC* ?C:* LD@8AMC* :@A9NO9AF:* ;D* B:8* E@<EAD;:;D8* F<CN?P tativa, asociativa y distributiva. Se les enseña que estas propiedades pueden facilitar los cálculos matemáticos. Por ejemplo, con la propiedad conmutativa y asociativa, uno puede @D<@>:CAQ:@*E@<RBDN:8*F<N<*HS*T*SU*T*VV*T*HH*WX*DC*XYHS*T*VVZ*T*YSU*T*HHZ*WX*;D*N:CD@:*[?D*DB* F\BF?B<*8D*]:FABA9:^*J<C*B:*E@<EAD;:;*;A89@AR?9AL:_*?C<*E?D;D*@D<@>:CAQ:@*X65*`*HaS*WX*F<N<* X65*`*Haa*T*65*`*S*WX*E:@:*]:FABA9:@*DB*F\BF?B<^
!"" #$%$&'(')%*$"+")%,)-.%/."0)"1.,"(.*)(2*'&.,")1)()%*.1),"
Propiedad distributiva
El primer subgrupo contiene cerca de un tercio de los profesores guia3 dos por los conceptos. Sus explicaciones eran paralelas a aquellas de los profesores guiados por los conceptos en EE.UU. Pero los argumentos de los profesores chinos eran más “formales” matemáticamente que los de sus contrapartes norteamericanas. Más de la mitad de esos profesores 45"65768569:";"<;"=69=85>;>">84?68@A?8B;"=;6;"CA4?87D;6"4A4"5E=<8D;D89:54F" G85:?6;4"HA5":8:IA:9">5"<94"=69J549654":96?5;G568D;:94"G5:D89:K"5<"?L63 mino. En lugar de simplemente separar el problema en tres problemas más pequeños, los profesores chinos tendieron a presentar el proceso de transformación:
M<"=69@<5G;"54"HA5"5<"54?A>8;:?5":9"?5:N;"A:;"D<;6;"8>5;">5"=96"HAL"<94" números debían alinearse de forma aparentemente distinta a la de la adición. El alineamiento, de hecho, se deriva de varios pasos: Primero, pondría en la pizarra una ecuación y la resolvería con los alumnos:
OPQ"E"R! "S"OPQ"E"TRUU"V"!U"V" W S"OPQ"E"RUU"V"OPQ"E"!U"V"OPQ"E" " S"XQYUU"V"!ZPU"V"RO " S"XYXPU"V"RO " S"XZQQ [\AL":94"=56G8?8K"?6;:4J96G;6"5<"=69@<5G;]"^;"=69=85>;>">84?68@A?8B;_" Luego, le sugeriría a la clase reescribir la ecuación en columnas:
OPQ"E"R! RO !ZPU XQYUU XZQQ
Les pediría a los alumnos que observaran los ceros en la ecuación y los de <;4"D9<AG:;4_"[;J5D?;:";"<;"4AG;]"[=96"HAL"48"9"=96"HAL":9]"[45"=A5>5:" 5<8G8:;6"<94"D5694">5"<;"5DA;D8K:]"[HAL"=;4;"D9:"<94"D5694">5"<;4"D9<AG3 :;4]"`8"<94"@966;G94F"[HAL"=;4;]"^A5I9F"@966;6N;"<94"D5694">5"<;4"D9<AG3 nas y obtendríamos las columnas con forma de escalera en la pizarra:
OPQ"E"R! RO " !ZP" XQY"""" XZQQ
6789:;8*<7*:=>*<?8@:8?A=*>8BC*@D7E*F:7*G>*HEDI>*<7*>G?=7>D*7=*G>*I:GJ K?9G?@>@?A=*K7=<DL*87=K?<E*9>D>*GE8*>G:I=E8*MC*K>IN?;=C*87*G78*F:7<>DL* grabada (Prof. A).
La lógica de la Prof. A era muy clara. Primero, apeló a la propiedad !"#$!%&#!'()*($()+&"#!,-($)"&)#$(."/0$1(-!2.)3)10"#$2)45)*$0-4"0) 4)-210) el problema se puede presentar como una composición de tres problemas más pequeños. Segundo, reescribió la operación en columnas para que los tres productos parciales estuvieran representados en ellas y le pidió a los alumnos que compararan las dos formas de la operación, especialmente, 6&4)*&"!4$(.)(#4.-!2.)()50")-4$0"7)84"*&9":)5&4;0) 4)&.() !"-&"!2.)(-4$-() del papel de los ceros, los borró de las columnas puesto que no hacían nin< guna diferencia en el cálculo. Por último, transformó las columnas origi< nales en las columnas en forma de escalera del algoritmo. En comparación con las explicaciones de los profesores norteamericanos, la de la Prof. A se acercaba más a un argumento matemático convencional. Las característi< -(") 4)&.)($;&14.#0)1(#41=#!-0)>+&"#!,-(-!2.:)$(?0.(1!4.#0)$!;&$0"0)3) 4@*$4"!2.)-0$$4-#(A)"4)$4B4+(.)4.)#0 ()"&)4@*5!-(-!2.7
No obstante, unos pocos profesores dijeron que explicaciones como las del Prof. A no eran lo suficientemente rigurosas, puesto que, se debería incluir otra importante propiedad matemática, la multipli< cación por 10:
Además de la propiedad distributiva, existe otro argumento que se debe incluir en la explicación. Este es la multiplicación por 10 o por una potencia de 10. Multiplicar por 10 o por una potencia de 10 es un proce< "0)4"*4-!(5)6&4) !,4$4) 4)5()1&5#!*5!-(-!2.)$4;&5($)*&4":)*($()0%#4.4$) 45)*$0 &-#0)"!1*5414.#4)*0.410")50")-4$0") 45)1&5#!*5!-( 0$)(5),.(5) del multiplicando. Al multiplicar un número por 10, simplemente po< .410")&.)-4$0)(5),.(5) 45).C14$0:)"!)4")*0$)DEE:)"!1*5414.#4)*0.410") 0")-4$0"7)F"#4)("*4-#0)#(1%!9.)4@*5!-()*0$)6&9)DGH)@)IE)J)IKGE7)84)50) -0.#$($!0:)"!)50")(5&1.0")#$(#($(.)DGH)@)IE)-010)&.)*$0%541().0$1(5) 4) 1&5#!*5!-(-!2.:)#4. $L(.)-05&1.(")-010)9"#("M DGH)@)IE 000 IKG)) IKGE F5)*$0%541() 4)*0$6&9)"4) 4%4)N10'4$O)45)IKG)"4;&!$L()(PL7)Q$40)6&4) por eso en los textos escolares la multiplicación por 10 y por potencias de 10 va justo antes de la multiplicación por números de varias cifras, en general. Puesto que el procedimiento de multiplicar por 10 y por po< #4.-!(") 4)DE)4")#(.)"!1*54:)#4. 410")()!;.0$($50)*4$0:)4.)#9$1!.0") 4)
!"" #$%$&'(')%*$"+")%,)-.%/."0)"1.,"(.*)(2*'&.,")1)()%*.1),"
exactitud matemática, se debe discutir o al menos mencionar, en nuestra explicación (Prof. Chen).
La preocupación del Prof. Chen no era gratuita. Entre los siete profe3 sores norteamericanos que explicaron la base lógica del procedimiento, dos revelaron ignorancia acerca de lo que discutió el Prof. Chen. Aunque separaban correctamente el problema en subproblemas, no entendían los procedimientos particulares de x10 y x100, incluidos en los subproblemas 456"7"4!668"9:";<"=<>?@A"=B;"C@?C?D?:"EBFB"EG=E<=B;":B@F?=H;I"
Bueno, y si lo multiplicamos por 10. Y repasaría todo el concepto. Bue3 :BA"EH@B"JHEH;"H;CB"H;"68"KLB@?A"=B"F<=CMN=ME?FB;"NB@"568"OH;"FB;C@?@P?" que necesitan poner el 0 ahí porque cero veces eso era 0. Ahora, vamos ?"F<=CMN=ME?@"H="5A"5"JHEH;"H;CB"7"=H;"F<H;C@B"QB:QH"H="6A"ERFB"=H;"F?:3 tiene el valor posicional. (Srta. Fawn).
SM@P?A"E<G:CB"H;"TUV"NB@"56888"W<=CMN=PE?=B"NB@"EH@B8"KLB@?A"6"NB@"V"H;"6"7" 0 por 2 es 0 y 0 por 1 es 0. (Srta. Frances).
En este sentido, aunque la Srta. Fawn y la Srta. Frances tenían una só3 lida comprensión de la base lógica del algoritmo de la multiplicación con varios dígitos, no revelaron un conocimiento acabado del tema. Sus expli3 E?EMB:H;":B";H"X<;CMYE?@B:"H4N=PEMC?FH:CH8"O?;"H4N=ME?EMB:H;"EBFB"=?;"QH=" Z@8"K"B"H="[@B\8"#LH:":B";R=B"H4N@H;?D?:"NMH]?;"H;NHEPYE?;"QH"EB:BEMFMH:3 CB";M:B"C?FDM^:A"=?;"EB:JH:EMB:H;"QH"=?"QM;EMN=M:?8
_@?:;\B@F?@"H="N@BD=HF?"TUV"4"!5 "H:"TUV"4"!66"`"TUV"4"56"`"TUV"4" " era una forma de explicar la base lógica del proceso de alineación. Los elementos clave de esta explicación fueron: primero revelar los ceros “in3 visibles” en el proceso y, luego, ilustrar cómo los omitirían.