Número de Prosumers
[N]
Energía producida individualmente por los prosumers
2 [100 30]
CUADRO3.12: Cálculo del valor Shapley con y sin Coalición de di-ferentes funciones características.
2 1014 654 7,8 7,8 0,6838 0,9286
3 1849 725 8,6 8,6 0,5865 0,9878
4 2436,75 690,75 8,55 8,55 0,5064 0,9919
5 2856,6 639 8,28 8,28 0,4458 0,9794
6 3042 573 7,8 7,8 0,3949 0, 9503
7 2881,7 498 7,025 7,025 0,3471 0,8912
8 2709,3 438,7 6,375 6,375 0,3092 0,8379
9 3536,3 498,3 6,866 6,866 0,3025 0,8713
10 3000 300 6 6 0,2683 0,8485
Desde la primera condición, es decir, cuando Y = x2, podemos inferir que los prosumidores pueden obtener más beneficios formando coaliciones en lugar de po-ner la epo-nergía en la red individualmente.
En la condición lineal, Y= X podemos observar que los beneficios obtenidos por los prosumidores son los mismos cuando forman coaliciones y cuando contribuyen con energía individualmente. A partir de la tercera condición, Y = √
x, podemos concluir que los beneficios obtenidos por los prosumidores por no formar una coali-ción es mayor en comparacoali-ción con los beneficios que ganan colaborando.
3.3.3 Análisis y comparación de los tiempos de ejecución
Consideramos cuatro conjuntos diferentes de prosumidores (n) tales como {2, 5, 7, 10}dólares, y para cada conjunto de prosumidores, se consideran y estudian diversos valores de producción y consumo para tres casos diferentes:
• Generación > Consumo
28 Capítulo 3. Teoría de juegos y juegos Markovianos
• Generación = Consumo
• Generación < Consumo
Consideramos los valores de entrada de las tablas 3.13, 3.14 y 3.15 para 3 códi-gos diferentes, cada uno utilizado para calcular el valor Shapley y luego calcular el tiempo de ejecución tomado por cada uno de los códigos.
CUADRO3.13: Entrada de valores cuando Generación > Consumo Número de
En este caso, el tiempo de ejecución que tarda el Algoritmo 1 se calcula teniendo en cuenta los valores de las tablas 3.13, 3.14 y 3.15 estudiados para tres casos dife-rentes (Generación >Consumo, Generación = Consumo y Generación <Consumo) como se muestra en Tabla 3.16.
El tiempo de ejecución aumenta considerablemente de n = 7 a n = 10, a medi-da que el número de combinaciones de coalición aumenta gradualmente de 7 (128 combinaciones de coalición) a 10 (1024 combinaciones de coalición) [17].
CUADRO3.14: Entrada de valores cuando Generación = Consumo Número de CUADRO3.15: Entrada de valores cuando Generación < Consumo
Número de
3.3. Aplicabilidad de la teoría de juegos en sistemas eléctricos inteligentes 29
CUADRO3.16: Tiempo de ejecuciçon del algoritmo 1
Número
m = Total de posibles convinaciones de coaliciones A = matriz con todas las posibles coaliciones n = número total de prosumers
for k=1 : n do for i=1 : m do
if(ithcolumna de cada fila > 0) then K1almacela el valor v de esa fila
A1es la matriz que almacena el valor de la coalición cuando su ith columna es > 0
end end
A3son las Coaliciones no enumeradas en A1 for i=1 : m do
for j=1 : m do
if A3== A[ ]then
K2almacena el valor v de las coaliciones no enumeradas en K1 end
end end
K3calcula la contribución marginal del kthprosumer K3 = (K2−K1)
K4calcula la suma de coaliciones establecida en A2 for i=1 : m do
if K4(i) >0 then
r calcula la suma de todas las contribuciones marginales en K3 end
end
S divide r por n para calcular el valor Shapley del prosumer kth. end
3.3.3.1 CASO 2. Generación=Consumo
En este caso, el tiempo que tarda el Algoritmo 2 en ejecutar el valor Shapley se ob-tiene para 3 escenarios diferentes de valores de producción y consumo, como se menciona en Tabla 3.17.
30 Capítulo 3. Teoría de juegos y juegos Markovianos
Algoritmo 2:Generación = Consumo
Resultado de la función = Shapley (v, Coalición, jugador) switch nargin do
(devuelve el número de argumentos de entrada de función) case 2
case 3
if strcmp(primer jugador, izquierda) then
Matriz de la coalición original se voltea a la izquierda end
La coalición original es convertida a decimales y almancenada en id &
v(id) end
n es el número total de prosumrers.
nf actorial= es el cálculo del valor factorial de la coalición n = de 2bi();
(coalición convertida de binario a decimal) for i=1 : n do
part; coaliciones con ithprosumers ej: Cuando n=3 part=[100 101 110 111]
not part; coaliciones no involucradas en part part id; matriz part convertida a decimal
not part id; matriz not part convertida a decimal
result; Cálculo del valor de Shapley de prosumers individualmente end
CUADRO3.17: Tiempo de ejecución del algoritmo 2.
Número
En comparación con el Algoritmo 1, el tiempo de ejecución que tarda el Algorit-mo 2 es mucho menor a medida que aumenta el número de prosumidores(n). El Algortimo 2 se utiliza mejor para los casos en los que el valor de n es bien grande.
3.4. Juegos Markovianos 31
Algoritmo 3:Generación < Consumo Función Shapley = Shappie
n=Número total de prosumers A1=matriz n(v0)
(Contiene todas las coaliciones con valor v0) while i< n do
M; Cálculo marginal de las contribuciones por coaliciones
Shapley; Cálculo del valor Shapley dividiendo la suma de M para n!
CASO 3. Generación<Consumo
En el caso 3, el tiempo de ejecución que tarda el Algoritmo 3 se calcula teniendo en cuenta los valores de las Tablas 3.13, 3.14 y 3.15 y estudiados para 3 casos diferentes como se menciona en la Tabla 3.18.
CUADRO3.18: Tiempo de ejecución del algoritmo 3.
Número
En comparación con los otros dos algoritmos, el tiempo de ejecución que tarda el Algoritmo 3 es muy pequeño cuando el número de prosumidores(n)son mínimos (n=2 a 7). Por lo tanto, el Algoritmo 3 es adecuado para los casos en que n<7.
3.4 Juegos Markovianos
3.4.1 Introducción
Los conceptos y trabajos de investigación relacionados a juegos Markovianos datan desde los años 70 en el contexto de la economía dinámica, mediante la fusión de los problemas estacionaria y los juegos repetidos. Dentro de la matodología Markoviana se trabaja con una variable estado definida, capturando la caracaterística del juego en cada período de tiempo de acuerdo a las acciones tomadas [7,38,42,47]. Dentro de los juegos markovianos se puede conseguir las siguientes afecciones:
1. Efecto sobre el medio físico para la tomar decisiones futuras.
2. Impacto sobre el comportamiento de otros jugadores.
Los problemas de Programación Dinámica Estacionaria estarían dentro de las primeras afecciones, debido a problemas unipersonales, los juegos repetitivos esta-rían dentro de las segundas afecciones, debido a que el juego debe ser inalterable [28,
32 Capítulo 3. Teoría de juegos y juegos Markovianos
55,57]. El uso de los juegos markovianos tienen un grado de complejidad un poco mayor a la de la teoría de juegos en el aspecto de la programación [35,27].
Dentro de un juego markoviano un equilibrio perfecto en subjuegos es estableci-do según las siguientes restricciones[62,12]:
1. En base a los mecanismos de transición de las variables de estado se logra una restricción en la transición, por que que se convierte en determinista.
2. En un entorno Markoviano estacionario no existen equilibrios de las estrate-gias.
3.4.2 Notaciones y definiciones de juegos Markovianos
La fórmua de un juego markoviano es G= [J, S,(Ai, φi, ri, δi)i∈N, q, T], donde encon-tramos el conjunto finito de jugadores:
• J = {1, 2, . . . , n}.
• además S, es un subconjunto Boreliano para el espacio de estado Polish.
• dentro de los juegos cada i∈ J tiene cuatro elementos(Ai, φi, ri, δi), donde:
– Ai, es un subconjunto Boreliano.
– φi es un componente de S en Ai, el cuál describe los estados s ∈ S del conjunto φi(s).
– ri es una función acotada por S×A dentro deR, en donde cada estado s y acción a∈ A del jugador i en s recibe un beneficio ri(s, a).
– δi ∈ [0, 1]denota la reducción para cada jugador i.
• q caracteriza las probabilidades de transición del juego(s, a) ∈S×A asociado con una probabilidad q(· |s, a)frente al conjunto Boreliano S.
• T∈ {1, 2, . . .} ∪ +∞ dentro del juego es el horizonte temporal.
En los juegos markovianos se puede considerar las siguientes acciones aleatorias [86,13]: El conjunto de acciones mixtas Mi(s)de un jugador i para el estado s, con
∆(X)y medidas de probabilidad basado en el conjunto Boreliano X, se tendría Mi =
∆[φi(s)], definiendo M(s) = M1(s) × · · · ×Mn(s)], dando lugar a que los elementos
3.4. Juegos Markovianos 33
Al inicio de cada período de tiempo t ∈ [0, 1, . . . , T−1], cada jugador i ∈ J analiza el estado st y selecciona una acción µit ∈ Mi(st). La selección se hace cono-cimiendo el histórico del juego así como las estrategias. Seguidamente el jugador i recibe la un valor ri(st, µt), del cual µt = (µit)i∈N es el vector de acciones elegidas, dando lugar al siguiente estado st+1 en base a la distribución q(· | st, µt), todo este procedimiento se repite hasta alcanzar el período final T−1.
3.4.3 Hipótesis básicas
La estructura debe ser analíticamente tratable, imponiendose algunas condiciones:
• Para un juego i perteneciente al conjunto Ai se consigue queΦi : S → Ai sea continua en S.
• para cada estado fijo s ∈S continuo en A se consigue una función riacotada.
• Para B⊂ S cuya función q(B| ·,·)medible en(s, a)obtenemos an→ a, lo que conlleva a q(· |s, an)convergiendo en q(· |s, a).
3.4.4 Estrategias y puntos de equilibrio eficientes en base a los anteceden-tes históricos
Los juegos tiene un horizonte infinito, salvo el caso que se indique alguna otra res-tricción.
Historia
Una descripción completa t-historia es la evolución del juego especificando el estado sτ ocurrido en cada período previo τ ∈ {0, 1, . . . , t−1}, con acciones aτ = (aiτ)i∈N de los jugadores y el estado stal inicio del período t.
A sabiendas que Htes el conjunto de todas las t-historias, entonces htes un vec-tor:
ht = (s0, a0, s1, . . . , st−1, at−1, st).
Para el punto t y t-historia, podemos decir que el valor s[ht] sería el estado del t-periodo stresultante de la t-historia ht.
Condiciones para realizar una estrategia
Para una estrategia σi del jugador i se obtiene una sucesión {σit}. Para cada t y t-historia el valor de σitespecifica la acción σit(ht) ∈ Mi(s[ht]).
34 Capítulo 3. Teoría de juegos y juegos Markovianos
Condionantes de un equilibrio en un juego
Por cada perfil de estrategias σ definido para un período t la recompensa rit(σ) (s) del jugador i es una función de s. La recompensa total es:
Wi(σ) (s) =
∑
∞ t=0δtirit(σ) (s). (3.23) Un equilibrio de Nash es un perfil de estrategia σ∗ que indica que ningún jugador pueda recibir un beneficiado debido a una desviación unilateral del perfil:
Wi(σ∗) (s)>Wi σ¯i; σ−∗i
(s). (3.24)
Condiciones de un equilibrio perfecto de un subjuego
El prefil de estrategias de quilibrio es representado por σ∗, donde cada t-historia ht, no necesariamente contiene σ∗.
Estrategias Markovianas para un juego
Cada valor del nuevo período t,es influenciado en las recompensas a partir del valor del estado stcorrespondiente al t-período.
Una estrategia markoviana de un jugador i es una estrategia σt en un período t correspondiente a la historia ht, de lo cuál σitdependen de hta través del estado en el t-período s[ht]. La estrategia puede representarse como una función S basado en {πit}de lo cuál se consigue∆(Ai), mismo que satisface πit ∈ Mi(s).
Cuando se cumple la condición πti = πiτ(=πi),∀t, τ podemos decir que esta-mos frente a una estrategia markoviana estacionaria, donde al conjunto de estrategias de cada jugador i, la identificaríamos comoΠiM.
Condiciones del equilibrio de Markov perfecto
Esta condición se consigue cuando los jugadores usan una sola estrategia markovia-na predomimarkovia-nante, lo cual hace que se tenga un valor diferente a cero.
3.4.5 Características de los juegos markovianos no estacionarios
Supongamos que un juego sin pérdidas en la continuidad, no estacionario y con horizonte finito tiene las siguientes carecatrísticas:
• S Espacio entre estados.
• T Igual a∞ es el horizonte.
• AiEspacio de acciones del conjunto compactado.
• Φti(s) ⊂ Ai Conjunto de acciones del jugador i para el estado s dentro del período t.
3.4. Juegos Markovianos 35
• rti(s, a)Recompensa recibida dentro de una función acotada cuando las accio-nes a son seleccionadas del estado s dentro del período t.
• δi ∈ [0, 1) es un factor de reducción permisible δi = 1 cuando el horizonte temporal T sea finito.
• qt(· |s, a)es una distribución del estado en el período futuro(t+1).
El nuevo espacio de estados se consigue cuando se expande el espacio de es-tados y se incluye el tiempo como una de las coordenadas, dándonos: Z = S× {1, 2, . . . , T+1}.
Las nuevas probabilidades en la etapa de transición serían (s, t) ∈ Z con t ∈ {1, . . . , T}para un modelo Boreliano B⊂S y τ ∈ {1, . . . , T+1}, siempre y cuando:
Tanto pa los modelos markovianos estacionarios y el de la teoría de juegos, lo importante es encontrar un punto de equilibrio entre las estrategias tomadas por los jugadores, mismas que pueden cumplir algunos de los siguientes argumentos heurísticos:
1. Un vector de estrategias estacionarias π∈ Π se plantea una solución median-te un problema de programación dinámica estacionaria S con un espacio dife-rente de acciones∆(Ai)y acciones correspondientes Mi(s)∆ Φi(s), siendo la función de ganancia:
ri(π)(s, µi): ri(s,(π,(s), µi)) con probabilidades de transición igual a
qi(π)(· |s, µi): q(· |s,(π,(s), µi))
2. se tendrá una solución estacionaria.
3. Para que la respuesta π ∈ Π mejore, entonces el jugador i no debe perder la flexibilidad estratégica, sino debe generar una restricción a nivel de búsqueda enΠi.
36 Capítulo 3. Teoría de juegos y juegos Markovianos
4. Las respuestas estacionarias BRi(π)se garantizar cuando se consigue un valor diferente a cero.
5. Se puede conseguir un valor estacionario cuando se determina un punto fijo que sea parte del subconjuntoΠ.
37
Capítulo 4
Sistema de distribución eléctrica
4.1 Sistema Eléctrico Convencional
La Figura 4.1 representa la estructura del sistema eléctrico que todavía se mantiene en diferentes países del mundo, mismos que se basan en una estructura piramidal, es decir, parte en una sola dirección el flujo de corriente (desde la generación hasta el consumidor) [48]. Para el análsis posterior en base a la teoría de juegos se tendrán microredes conformadas por un conjuntoΦi de clientes, mismoa que se pretenden satisfacer la demanda de energía eléctrica. Cada microred i, se analiza en el perio-do t ∈ N para lo cual se tiene una cantidad de energía generada Gi(t)ya sea por la empresa distribuidora o por su generación distribuida en base a fuentes de ener-gía renovables en cuyo escenario cada uno de los jugadores o clientes solicita una determinada cantidad de energía a la red eléctrica xno a su vecino n∈Φi [111].
Dentro del análisis, otra de las consideraciones es el precio p, mismo que se tra-bajará como una variable fija establecida por los organismos de control energético, tanto en la etapa de la compra de energía [77, 50] como en la venta expresada en
$kW h. Dentro del aporte de la investigación, se toma en cuenta como variable a una oferta y demanda de energía, así como de su precio en un escenario variable, con la finalidad de optimizar la compraventa de energía, adicionalmente, se llega a deter-minar que se necesita disponer de una capacidad de almacenamiento de energía.
Una de las restricciones relacionados a la potencia es la demandada de energía por el conjunto de todos los clientes [111]
n
∑
∈Φixn≤ Gi(t) ∀i (4.1)
donde xnviene a ser la demanda de potencia eléctrica por cada cliente.
4.2 Sistema eléctrico bidireccional
Destro de este escenario, los usuarios que generan su propia energía, su exceden-te lo pueden vender al sisexceden-tema eléctrico, sin embargo al ser un valor pequeño lo pueden entregar a los usuarios cercanos o asociarse para sumar energía y lograr
38 Capítulo 4. Sistema de distribución eléctrica
FIGURA4.1: Sistema de distribución eléctrica convencional
entregar al sistema nacional, entonces con esta perspectiva nace el concepto de pro-sumer (comprador-vendedor) de energia[53], permitiendo una interacción entre los miembros de la red eléctrica 4.2.
Para el análisis se trabajará con un grupo N de Smart Grid, dentro de un deter-minado t, una potencia de generación total Gi(t)y una demanda total de energía eléctrica por parte del grupo de consumidores [64] Di(t)[56]. El excedente de ener-gía i ∈ N se encuentra a partir de la diferencia de la potencia generada frente a la que se consume [70,60]
Qi(t) =Pi(t) −Di(t), (4.2) de signo positivo (vendedora) o negativo (compradora)[40].
Dependiendo del excedente de energía, la Smart Grid puede dar lugar a [64]:
• Caso 1: Qi(t) >0. Tener un excedente de energía.
• Caso 2: Qi(t) =0. Satisfacer solo su propio consumo.
• Caso 3: Qi(t) <0.Necesita comprar energía.
4.2. Sistema eléctrico bidireccional 39
FIGURA4.2: Modelo del sistema eléctrico con generación distribuida y bidireccional.
La potencia Gi(t)es la potencia generada, la demanda Di(t)son variables alea-torias [39], porque dependen de la característica física para la generación de energía;
esta puede depender de la variación de la velocidad y dirección del viento, de la intensidad de radiación solar, la cantidad de biomasa, masas de agua, entre otros, lo que conlleva a que el precio de la generación es variable [70]. En lo relacionado a la demanda, por su parte, es más predecible, según las estadísticas que se maneja en las empresas distribuidoras de electricidad, los usuarios mantienen un patrón de uso del consumo de energía.
Otra restricción que se maneja dentro del sistema eléctrico bidireccional es que, el intercambio de energía solo sucederá entre los usuarios o microgrids, llegando a casos escepcionales a tener un intercambio con la subestación eléctrica más cernana.
Entonces, no es posible tener un intercambio de energía con la planta generadora principal [70,112].
Las pérdidas de energía también tienen relación con las características internas
40 Capítulo 4. Sistema de distribución eléctrica
del conductor eléctrico como la resistencia óhmica del conductor, el índice de con-ductividad, la distancia de la línea, la potencia de transmición, la corriente y la den-sidad de corriente.
4.3 Pérdida de potencia asociadas al intercambio de energía
Las pérdidas de potencia se las puede determinar en base a [70]
Pipérdidas(t) =RioIo2(t) +βPi Qi(t) (4.3) siendo
• Pipérdidas(t)Pérdidas por el intercambio de potencia[Watts].
• RioResistencia del conductor de la red de distribución. R= l/(σS)[Ω km−1].
• IoCorriente que circula por el conductor eléctrico[Amperios].
• β Pérdidas en el transformador[Watts].
• Pi Qi(t) Flujo de potencia[C/m2].
La corriente que atraviesa por la línea de conducción se calcula de la siguiente manera:
Io(t) = Pi Qi(t)
Uo (4.4)
Partiendo de la Ley de Gauss se establece que el flujo eléctrico total ψ a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie [70, 54, 19], entonces el flujo eléctrico ψ en términos del desplazamiento eléctrico está dado por ψ=R
DdS, donde:
DLineal=ρL/2Πρ (4.5)
Cuando se analiza al cliente como un comprador de energía [51], el flujo de po-tencia Li(t)está expresado por
Li(t) =Piopérdidas(t) +Piorequerida(t), (4.6) La potencia entregada desde la subestación al grupo de usuarios o la microgrid i∈ N [70] es: La ecuación (4.8) es una expresión de segundo grado, misma que puede presen-tar tres soluciones posibles, raíces reales iguales, raices reales diferentes o imagina-rios.
4.4. Intercambio de energía en un sistema eléctrico convencional 41
4.3.1 Características de las líneas de transmisión de energía
Una línea de transmisión se describe habitualmente y útilmente en términos de sus parámetros: resistencia por unidad de longitud R, inductancia por unidad de longi-tud L, conductancia por unidad de longilongi-tud G y capacitancia por unidad de longilongi-tud C. Además cumplen las siguientes características [63]:
1. Los parámetros R,L,G y C no son discretos ni globales, sino distribuidos uni-formemente a lo largo de la línea.
2. Los conductores de cada línea se caracterizan por σc,µcy ec= e0, en tanto que el dieléctrico homogéneo que los separa se caracteriza por σ,µ y e.
3. G6=1/R; R es la resistencia en corriente alterna por unidad de longitud de los conductores que integran la línea y G la conductancia por unidad de longitud debida al medio dieléctrico que los separa.
4. El valor de L es la inductancia externa por unidad de longitud, es decir L = Lext. Los efectos de la inductancia interna Lint = R/w son insignificantes a altas frecuencias dentro de los sistemas de comunicación, sin emabrgo dentro del sistema eléctrico se lo debe considerar.
5. En cada línea LC=µey G/C= σ/e
4.4 Intercambio de energía en un sistema eléctrico conven-cional
El juego entre productores de energía, las smart grid y consumidores, los clientes opera dinámicamente en dos fases diferentes pero ejecutadas en secuencia. (1) En cada ronda de ejecución t ∈ Z+, las smart grid productoras fijan un precio p(t) por unidad de energía generada [65,72,73], precio que determinan en función de la demanda agregada de sus clientes (aquella coalición de clientes que consumen la energía que produce una determinada smart grid) y del coste de producción unitario de la energía. En este trabajo no se entra a analizar cuáles serían las contribuciones a esos costes unitarios de producción, ni tampoco las restricciones técnico-económicas de la posible función de producción de los entes generadores de electricidad, ya sean las subestaciones o las propias smart grid. Tan solo cabe observar, como simple recordatorio, que:
• Los costes de producción unitarios son variables en el tiempo y bastante vo-látiles, ya que las distintas fuentes de energía (eólica,fotovoltaica, hidráulica, fósil, nuclear) tienen costes de producción muy variables y, en el caso de las fuentes renovables, un ritmo de generación impredecible a medio plazo. La configuración de un mercado mayorista eficiente (en el sentido económico del término) de energía se trata en numerosos trabajos de investigación, como [29,
42 Capítulo 4. Sistema de distribución eléctrica
32,45,61,90], y es un aspecto que no se aborda en esta tesis directamente por las razones que se explican más adelante. Una de las dificultades para formu-lar un modelo económico completo de esta situación es precisamente el hecho de que las fuentes renovables de energía (incluida aquí la hidráulica) tienen un coste marginal de producción prácticamente nulo.
• En la mayoría de los países, aun en aquellos que han liberalizado el mercado eléctrico en sus distintos niveles, existen todavía numerosas regulaciones que fijan límites a los precios resultantes del mercado eléctrico mayorista [76,75].
La formación de mercados eficientes de energía es, en sí misma, un área de
La formación de mercados eficientes de energía es, en sí misma, un área de