Escola Internacional de Doutoramento. Javier Bernardo CABRERA TESIS DOCTORAL

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Escola Internacional de Doutoramento

Javier Bernardo CABRERA

TESIS DOCTORAL

Reducción de las pérdidas de potencia en Redes Electricas Inteligentes aplicando la Teoría de Juegos Cooperativos

Dirigida por:

Dr. Manuel FERNÁNDEZVEIGA

2021

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“Gracias a mi sólida formación académica, hoy puedo escribir este trabajo sobre Reducción de las pérdidas de potencia en Redes Electricas Inteligentes aplicando la Teoría de Juegos Cooperativos, que es la forma en que obtuve un buen trabajo aplicado al área de Tecnologías de Información y Comunicación.”

Javier Cabrera

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UNIVERSIDAD DE VIGO

Resumen

Escuela de Ingeniería de Telecomunicación Departamento de Ingeniería Telemática

Doctor en Tecnologías de la Información y Comunicación

Reducción de las pérdidas de potencia en Redes Electricas Inteligentes aplicando la Teoría de Juegos Cooperativos

von Javier Bernardo CABRERA

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El sistema de energía de próxima generación, conocido como red eléctrica inteligente, es visto como una nueva forma de distribuir la electricidad de manera efectiva y sostenible a los clientes. El acelerado crecimiento del consumo de energía, tanto en términos de calidad como de cantidad y los limitados recursos energéticos, hace que sea necesario desarrollar una gestión energética inteligente, cuyas características principales serían la gestión del lado de la demanda o el intercambio de energía a gran escala, en particular, los mecanismos de gestión de energía en la red inteligente deben tratar con una compleja red de energía dinámica, compuesta por compañías de servicios públicos, fuentes de energía tradicionales, así como nuevos dispositivos de propiedad del cliente, como unidades de almacenamiento, cocinas de inducción o vehículos eléctricos.

El objetivo principal de la investigación es presentar nuevos mecanismos de ges- tión energética que representen adecuadamente las decisiones y los procesos de control del lado de clientes y empresas de servicios públicos en la red inteligente. Si bien ha habido considerables avances en investigaciones de la gestión del lado de la demanda, integración de unidades de almacenamiento e ideas relacionadas, pero en un mayor porcentaje los trabajos se basan en conceptos clásicos de la teoría de juegos, entre ellos los juegos no cooperativos sin considerar el comportamiento del usuario en el mundo real y su impacto en la operación de la red inteligente y de los mercados energéticos.

De hecho, la mayoría de los modelos existentes propuestos hasta ahora se basan en la suposición ideal de que los clientes de la red pueden hacer una racional y perfecta decisión, por ejemplo, incluso si es tecnológicamente beneficioso para las compañías eléctricas el ofrecer mecanismos de fijación de precios dinámicos desti- nados a reducir la demanda en horas pico, los clientes pueden no suscribirse a tales características, por ejemplo, en un caluroso día de verano, los clientes no pueden permitir que la compañía eléctrica reduzca su uso de aire acondicionado durante las horas pico, a pesar de los beneficios asociados a la red y/o los precios más bajos ofre- cidos. En consecuencia, existe la necesidad de desarrollar un marco novedoso que capture el comportamiento realista del usuario durante la administración de ener- gía, teniendo en cuenta los beneficios y costos asociados entre los clientes y la red eléctrica.

Estudiar el comportamiento realista del usuario en la gestión de la energía enfrenta numerosos desafíos, primero, la introducción de unidades de almacenamiento para el comercio de energía entre los clientes y la red puede conducir a la compe- tencia y la cooperación en diferentes niveles que pueden involucrar interacciones complejas entre clientes, compañías eléctricas y proveedores de energía. En segundo lugar, debido a la naturaleza heterogénea a gran escala de la red inteligente, es necesario implementar protocolos distribuidos de gestión de energía, en los que, el centro de control solo proporcione una pequeña cantidad de información de los clientes. Finalmente, la participación de dispositivos propietarios del cliente genera incertidumbres derivadas del propio comportamiento impredecible de los usuarios

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finales.

Esta investigación presenta una visión hacia un modelo eficiente de energía a través de la aplicación de la teoría de juegos cooperativos a nivel de la gestión ener- gética, así como el control de los recursos energéticos distribuidos integrados para brindar soluciones energéticas óptimas que permitan el logro de importantes aho- rros en costos y permitiendo una disminución de las pérdidas de potencia. Para esto, primero, se describe el estado del arte y las características de los sistemas eléctricos basados en configuraciones de redes eléctricas inteligentes. A partir de esta base fundamental, se puede indicar que existen numerosos modelos de gestión eficiente para la energía, así como diferentes formas de resolverlos, sin embargo todos tienen un denominador común que no han sido analizado desde la perspectiva de la teoría de juegos cooperativos con utilidad transferible.

Adicionalmente se ha observado que la gestión de energía eficiente ha evolucio- nado desde un entorno determinista piramidal unidireccional a una red distribuida con variables estocásticas o aleatorias.

En base a los hábitos de uso del consumidor, es necesario trabajar con los conceptos de una red elécrtica inteligente y variables estocásticas de la generación distribuida.

Para adaptar las tecnologías avanzadas de energía, comunicaciones, control e in- formación, debemos trabajar con herramientas matemáticas y técnicas sólidas que puedan garantizar el intercambio de información, una operación eficiente, mejorar en muchos casos las pérdidas técnicas de energía, logrando elevar la calidad y confiabilidad, haciendo que la red sea capaz de resolver cualquier problema, especialmente la gestión energética,clientes, toma de decisiones en la planificación, el intercambio de energía, almacenamiento de energía, planes de contingencia, entre otros.

En este contexto, este trabajo de investigación presenta un enfoque novedoso basado en la teoría de juegos cooperativos, en particular el de utilidad transferible que puede servir como marco para capturar el comportamiento realista del usuario en la administración de la red inteligente. Tener en cuenta una configuración de toma de decisiones tan realista nos permitirá ir más allá de los conceptos clásicos de teoría de juegos para explorar cómo un usuario percibe las acciones de sus oponentes y cómo este usuario evalúa su propia función de utilidad. Nuestros resultados principales se basan en el comportamiento del usuario dentro de la gestión energética, mediante el desarrollo de tres modelos dentro de la teoría de juegos: el modelo no cooperativo, cooperativo y cooperativo con utilidad transferible. En el primer modelo, presentamos el comportamiento de las pérdidas de potencia entre los clientes y la red eléctrica, modelando y analizando los mercados de comercialización de energía.

Para este primer juego, estudiamos varias propiedades del equilibrio y evaluar el desempeño de la adopción de un enfoque de no cooperativo en lugar de los esque- mas heurísticos convencionales.

En el segundo escenario, estudiamos el uso de juegos cooperativos con valores reales, en particular, desarrollamos un análisis de las constantes o pérdidas propias

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de los conductores para la transmisión de la electricidad, así como las distancias máximas según estándares internacionales de cableado en sistemas de distribución eléctrica, logrando obtener datos ponderando la observación sobre la operación de sus oponentes, así como el caso en que un cliente puede tener su propia evalua- ción subjetiva de las ganancias y pérdidas logradas al utilizar el almacenamiento de energía. Nuestros resultados muestran que ignorar el comportamiento del usuario durante la carga o descarga de las unidades de almacenamiento pueden conducir a un rendimiento no deseado o inesperado en términos de carga de la red y los ingresos de la compañía eléctrica. Tercero, estudiamos el lado de la demanda de energía como un factor para obtener una mejor utilidad; en este escenario los clientes pueden decidir si suscribirse o no a consumir energía de la empresa distribuidora de electricidad o prefieren transferir energía entre sus vecinos.

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Agradecimientos

Al concluir mi trabajo doctoral, soy consciente de que mis resultados son solo una parte del gran trabajo realizado sobre el tema que abordo, es por eso que comienzo agradeciendo a todos los ilustres, conocidos o anónimos que me han precedido. Mi trabajo de doctorado ha sido posible por innumerables profesores de la Universidad de Vigo en España que dedicaron su tiempo a orientarme y transmitir sus valores y conocimientos, especialmente a Manuel Fernández Veiga, por su orientación, aliento y contribución. No puedo olvidarme de la Universidad Católica de Cuenca porque es la institución que me dio la oportunidad de seguir estudiando . . .

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Índice general

Resumen iv

Agradecimientos vii

1 Introducción 1

1.1 Contexto . . . 1

1.2 Motivación de la Tesis . . . 2

1.3 Objetivos de la investigación . . . 3

1.3.1 Objetivo general . . . 3

1.3.2 Objetivos específicos . . . 3

1.4 Contribuciones originales . . . 3

1.5 Organización de la investigación . . . 4

2 Estado del arte 7 2.1 Red eléctrica inteligente . . . 7

2.2 Aplicaciones de redes eléctricas inteligentes . . . 9

2.2.1 Generación distribuida . . . 9

2.2.2 Demanda eléctrica . . . 10

2.2.3 Cocinas de Inducción y vehículos eléctricos . . . 11

2.3 Evolución de la red eléctrica inteligente . . . 12

2.4 Dominios de la red eléctrica inteligente . . . 14

3 Teoría de juegos y juegos Markovianos 17 3.1 Teoría de juegos . . . 17

3.1.1 Introducción . . . 17

3.2 Notaciones y definiciones de la Teoría de juegos . . . 17

3.2.1 Coalición [S] . . . 17

3.2.2 Valor agregado . . . 17

3.2.3 Cooperativismo . . . 17

3.2.4 Imputación . . . 18

3.2.5 Conjunto de imputaciones factibles . . . 18

3.2.6 Condicionales de dominio en un juego . . . 18

3.2.7 Núcleo de un juego cooperativo . . . 19

3.2.8 Propiedades del núcleo . . . 19

3.2.9 Solución en soluciones de tipo puntual . . . 20

3.2.10 Matriz de pagos . . . 20

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3.2.11 El valor de Shapley . . . 21

3.2.12 El equilibrio de Nash . . . 22

3.3 Aplicabilidad de la teoría de juegos en sistemas eléctricos inteligentes . 22 3.3.1 Colaboración de prosumers mediante el mecanismo de cambio NRG-X . . . 22

3.3.2 Cálculo del valor Shapley en los prosumers . . . 24

3.3.2.1 Ejemplo para 3 prosumers . . . 24

3.3.2.2 Comparación del valor Shapley para las funciones características convexa, lineal y cóncava . . . 26

3.3.3 Análisis y comparación de los tiempos de ejecución . . . 27

3.3.3.1 CASO 2. Generación=Consumo . . . 29

3.4 Juegos Markovianos . . . 31

3.4.1 Introducción . . . 31

3.4.2 Notaciones y definiciones de juegos Markovianos . . . 32

3.4.3 Hipótesis básicas . . . 33

3.4.4 Estrategias y puntos de equilibrio eficientes en base a los antecedentes históricos . . . 33

3.4.5 Características de los juegos markovianos no estacionarios . . . 34

4 Sistema de distribución eléctrica 37 4.1 Sistema Eléctrico Convencional . . . 37

4.2 Sistema eléctrico bidireccional . . . 37

4.3 Pérdida de potencia asociadas al intercambio de energía . . . 40

4.3.1 Características de las líneas de transmisión de energía . . . 41

4.4 Intercambio de energía en un sistema eléctrico convencional . . . 41

4.4.1 Restricciones para el intercambio de energía desde los bordes de generación . . . 45

4.4.2 Restricciones para el intercambio de energía a nivel del usuario 47 4.5 Intertercambio de energía en un sistema bidireccional con generación distribuida . . . 48

4.5.1 Intercambio de energía de un juego no cooperativo . . . 48

4.5.2 Análisis del vector de pagos . . . 48

4.5.3 Coaliciones en un intercambio de energía de un sistema no cooperativo . . . 50

4.5.3.1 Observaciones generales en las restricciones . . . 50

4.5.3.2 Transferencia de potencia . . . 51

4.6 Propiedades de la formación de coaliciones . . . 52

4.6.1 Estabilidad y optimalidad . . . 52

4.7 Juego cooperativo con TU y almacenamiento de energía . . . 53

4.7.1 Funciones de utilidad . . . 55

4.7.2 Restricciones de precio en las Smart Grid . . . 56

4.7.3 Intercambio global de energía almacenada . . . 58

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4.7.4 Vector de pagos . . . 60

4.7.5 Formación de coaliciones . . . 60

4.7.6 Intercambio de potencia . . . 61

4.7.7 Propiedades . . . 61

5 Análisis y Resultados 63 5.1 Introducción . . . 63

5.2 Formación de coaliciones en un intercambio de energía para un Micro Grid . . . 63

5.3 Modelo base . . . 65

5.3.1 Datos de entrada . . . 65

5.3.2 Entrada de datos . . . 65

5.3.3 Visualización de compradores y vendedores de la red de dis- tribución eléctrica . . . 65

5.3.4 Cálculo del modelo no cooperativo . . . 66

5.3.5 Conformación de coaliciones . . . 67

5.3.6 Evolución del vector de pagos . . . 67

5.3.7 Intercambio de potencia en un juego cooperativo . . . 69

5.3.8 Transferencia de energía dentro de la red eléctrica . . . 70

5.3.9 Tendencia promedio de pérdidas . . . 70

5.3.10 Validación del modelo planteado . . . 72

5.4 Aplicación al sistema eléctrico del Ecuador . . . 73

5.4.1 Línea base . . . 73

5.4.2 Pérdidas de energía . . . 73

5.4.3 Caso de estudio . . . 76

5.4.3.1 Área de concesión . . . 76

5.4.3.2 Alimentadores . . . 77

5.4.3.3 Pérdidas de energía de la CENTROSUR . . . 78

5.4.3.4 Líneas de subtransmisión . . . 78

5.5 Simulación (Parque Industrial) . . . 78

5.5.1 Ubicación . . . 78

5.5.2 Diagrama unifilar . . . 78

5.5.3 Caractetrísticas . . . 78

5.5.4 Análisis energético . . . 80

5.5.5 Análisis de las demandas máximas . . . 82

5.5.6 Análisis de la corriente y densidad de corriente . . . 83

5.5.7 Voltaje de línea y diferencia de potencial de la demanda eléctrica 83 5.5.8 Factor de demanda eléctrica pertenecientes al alimentador de la S/E 04 . . . 84

5.5.9 Análisis de potencia por alimentador de la S/E 04 . . . 84

5.5.10 Datos de entrada al modelo matemático . . . 84

5.5.11 Cálculo del modelo no cooperativo . . . 84

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xii

5.5.12 Conformación de coaliciones . . . 85

5.5.13 Evolución del vector de pagos . . . 85

5.5.14 Intercambio de potencia en un juego cooperativo . . . 86

5.5.15 Evolución de pagos del juego cooperativo de la S/E 04 . . . 86

5.5.16 Principales conclusiones experimentales . . . 87

6 Conclusiones y trabajos futuros 93 6.1 Conclusiones . . . 93

6.2 Trabajos futuros . . . 96

Bibliografía 99

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Índice de figuras

2.1 Subsistema de la red eléctrica tradicional . . . 7

2.2 Las TIC frente a las empresas del futuro . . . 9

2.3 Modelo de generación distribuida . . . 10

2.4 Uso de la demanda dentro de la planificación. . . 11

2.5 Demanda de energía de países a nivel Latinoamérica. . . 12

2.6 Proyección de la demanda de potencia en Ecuador (MW). . . 13

2.7 Curva de penetración de cocinas en el Sistema Nacional Interconectado. 14 2.8 Evolución de la red eléctrica inteligente . . . 16

2.9 Áreas tecnológicas de Smart Grid . . . 16

3.1 Sistema modelo. . . 23

4.1 Sistema de distribución eléctrica convencional . . . 38

4.2 Modelo del sistema eléctrico con generación distribuida y bidireccional. 39 5.1 Modelo base . . . 66

5.2 Propuesta de un sstema de distribución para el intercambio cooperativo de energía. . . 68

5.3 Conformación de Coaliciones. . . 70

5.4 Tendencia del promedio de pérdidas de potencia en un sistema Cooperativo vs No Cooperativo . . . 71

5.5 Comparación de pérdidas de potencia entre el modelo base y el planteado . . . 72

5.6 Porcentaje de pérdidas de potencia. . . 75

5.7 Área de prestación de servicio eléctrico en el Ecuador. . . 76

5.8 Porcentaje de pérdidas periodo 2007–2016. . . 76

5.9 Perspectiva porcentual anual de pérdidas de energía en distribución. . 78

5.10 Área de concesión de la Empresa Eléctrica Regional Centro Sur. . . 79

5.11 Ubicación geográfica de la S/E04y de las industrias importantes del sector . . . 82

5.12 Diagrama Unifilar de la S/E04 . . . 82

5.13 Consumo de energía eléctrica por subestación de la CENTROSUR . . . 83

5.14 Mediciones de energía eléctrica por alimentador de la S/E04 . . . 83

5.15 Demanda eléctrica máxima por alimentador de la S/E04 . . . 84

5.16 Corrientes en demanda eléctrica máxima por alimentador de la S/E04 85 5.17 Factor de carga por alimentador de la S/E04 . . . 86

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xiv

5.18 Factor de carga en la demanda máxima por alimentador de la S/E04 . 86 5.19 Modelo de la red de distribución eléctrica de la S/E04 . . . 89 5.20 Conformación de coaliciones en un juego cooperativo con intercam-

bio de energía . . . 90

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Índice de cuadros

2.1 Dominios, Roles y Servicios conceptuales de las Redes Eléctricas Inte-

ligentes. . . 15

3.1 Matriz de Pagos. . . 21

3.2 Matriz de Pagos para dos jugadores. . . 22

3.3 Parámetros de energía producida por prosumers. . . 24

3.4 Energía producida por cada prosumers. . . 24

3.5 Posible coalición por cada prosumer. . . 25

3.6 Posible coalición para Prosumer 1. . . 25

3.7 Posible coalición por cada prosumer. . . 25

3.10 Valor Shapley con/sin Coalición de cada prosumer. . . 26

3.11 Energía individual producida por cada prosumer. . . 27

3.12 Cálculo del valor Shapley con y sin Coalición de diferentes funciones características. . . 27

3.13 Entrada de valores cuando Generación > Consumo . . . 28

3.14 Entrada de valores cuando Generación = Consumo . . . 28

3.15 Entrada de valores cuando Generación < Consumo . . . 28

3.16 Tiempo de ejecuciçon del algoritmo 1 . . . 29

3.17 Tiempo de ejecución del algoritmo 2. . . 30

3.18 Tiempo de ejecución del algoritmo 3. . . 31

5.1 Datos del alimentador. . . 65

5.2 Datos de la macroestación o subestación. . . 65

5.3 Datos de la Smart Grid. . . 66

5.4 Estado no nooperativo. . . 69

5.5 Coaliciones realizadas. . . 70

5.6 Evolución del vector de pagos. . . 71

5.7 Intercambio de potencia en la red de distribución. . . 73

5.8 Intercambio de energía en la red de distribución. . . 74

5.9 Evolución del Vector de Pagos. . . 75

5.10 Comparación de modelos. . . 75

5.11 Pérdidas técnicas de energía por unidad de negocio. . . 77

5.12 Pérdidas técnicas por empresa distribuidora de electricidad. . . 77

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5.13 Alimentadores de cada subestación de la CENTROSUR. . . 80

5.14 Pérdidas de energía de la CENTROSUR. . . 80

5.15 Líneas de Subtransmisión de la CENTROSUR. . . 81

5.16 Demanda máxima coincidente y no coincidente de la S/E04. . . 84

5.17 Caídas de tensión eléctricas y voltaje nominal por alimentador de la S/E04 abril 2017. . . 85

5.18 Datos del Alimentador. . . 87

5.19 Datos de la Macro Estación o Subestación. . . 87

5.20 Datos de la S/E04. . . 88

5.21 Estado No Cooperativo. . . 88

5.22 Coaliciones Realizadas. . . 89

5.23 Evolución del Vector de Pagos. . . 90

5.24 Intercambio de potencia. . . 91

5.25 Evolución del vector de pagos. . . 91

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Lista de Abreviaciones

GD Distributed Generation

DMS Distribution Management System DR Demand Response

EMS Energy Management System FP Factor Potencia

GIS Geographic Information System GUI Graphical User Interface

IEEE Institute of Electrical Electronics Engineers LTC Load Transfer Coupling

MT Media Tensión

NIST National Institute of Standards and Technology OMS Outage Management System

PS Power System PLC Power Line Carrier RTP Real Time Pricing

SGAM Smart of Grid Architecture Model

TIC Tecnologías de Información y Comunicación

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Debo comenzar dedicando con todo mi amor a mi compañera, amiga y esposa Gabriela Araujo, porque siempre esperó lo mejor de mí, supo ayudarme con el tiempo necesario para que

pudiera alcanzar este objetivo; así como a mis hijos Joaquín y Brianna, que son la razón para seguir progresando. No puedo

olvidar a mi madre, a mi hermano y con él a los demás familiares a quienes debo agradecer el apoyo incondicional que

me han mostrado muchas veces. . .

Javier

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1

Capítulo 1

Introducción

1.1 Contexto

Las matemáticas son una ciencia que brinda respuestas a problemas prácticos que se presentan en el que hacer diario del ser humano, como el transporte, la energía, el ambiente, comercio, sector manufacturero e industrial, inteligencia de negocios, telecomunicaciones, salud, entre otros.

Estos problemas descritos se los puede caracterizar, modelar y a su vez plantear un modelo matemático que permita brindar una solución sin enbargo la variabilidad de las variables hace de que cada vez sea fundamental aplicar un modelo matemáti- co para trabajar en la estocasticidad del problema.

Si se desea que un modelo matemático sea considerado fiable se debe considerar los conceptos de exactitud y presión en la toma de datos y reducir el error y dejar de lado la perspectiva que sirve solo en las ciencias físicas. Ahora se ha visto la impor- tancia de que dentro de los modelos tanto investigaticos teóricos o experimentales se desarrolla descripciones matemáticas.

Actualmente otro de los conceptos que se escucha con mayor frecuecia es el trabajo colaborativo o en equipo, de los cuales se basa la presente investigación aplicando la Teoría de Juegos.Este modelo econométrico que adopta variables estocásticas, con una visión de optener un beneficio para los jugadores dentro de situaciones con- flictivas permitiendo tomar decisiones y reducir las perdidas dentro de los modelos matemáticos.

La Teoría de Juegos no es un concepto actual, sino se remonta a a 1838 donde [44]), se empieza a trabajar matemáticamente las decisiones que se producen en actividades de tipo competitivas. A partir de 1944 John con Neumann y Oskar Morgenstern introducen el concepto formalmente en su obra Theory of Games and Economic Behavior. Desde entonces este concepto ha sido usado en varias investigaciones, profundamente en la economía, sin embargo dentro de las ingenierías se ha encontrado aplicaciones como por ejemplo en el sector de las telecomunicaciones y la energía.

En el estado del arte, la teoría de juegos se clasifica en cooperativos cuya finalidad es la comunicación entre los jugadores, encontrando acuerdos y no cooperativos, dentro de este último, la estrategia de cada jugador depende de su pronóstico frente

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2 Capítulo 1. Introducción

a las elecciones de sus oponentes, encaminandose en la maximización de sus propios intereses dejando de lado el interés de los demás.

Dentro de los conceptos de tranferencia de energía y en el juego trabajar con la utilidad transferible, nos indica que estamos frente a una nueva variable que es el costo en la transacción de la información o en nuestra investigación la energía.

Partiendo de la ejemplicaficación dentro de los juegos cooperativos, se puede asumir un trabajo en asociatividad, donde cada uno de los integrantes trabajen por conseguir un rédito medible numéricamente.

1.2 Motivación de la Tesis

Dentro del sector eléctrico existen varios desafíos para la correcta distribución de energía, desde una visión de eficiencia, tanto en la planificación de la generación, pa- sado por la transmisión y distribución. Adicionalmente al ser considerado la energía un servicio basico, entonces se debe garantizar que no se presenten pérdidas dentro del sistema, permitiendo al usuario disponer de una energía eficiente y rápida, así como equitativa con un beneficio común. Como se verá en los siguientes capitulos, el modelo energético tiene dos grandes clasificaciones, uno una estructura piramidal o convencional y otro una estructura con generación distribuida y bidireccional.

En el Ecuador la estructura del mercado eléctrico es piramidal, unidireccional constituida por un solo ente rector del cual se derivan sub-empresas de Generación, Transmisión y Distribuidoras, del cual se deriva que el costo de la energía sea fijado de manea aleatoria y sin considerar el dinamismo o la generación distribuida y bidireccional basado en los conceptos de redes elécrticas inteligentes; en base a la revisón literaria y las regulaciones de otros países, la oferta y demanda de energía es libre y dinámico, lo que permite al usuario comprar la energía según su decisión, entonces las empresas de transmisión y distribución eléctrica se convierten en intermediarios de la energía. Visto desde una perspectiva general, se prevé que la nueva red eléctri- ca inteligente sea un sistema ciberfísico a gran escala que pueda mejorar la eficiencia, confiabilidad y robustez de las redes eléctricas, mediante la integración de técnicas avanzadas de diversas disciplinas, como los sistemas de energía, control, comunicaciones, procesamiento de señales y redes. Intrínsecamente, la red eléctrica inteligente es una red de energía compuesta de nodos inteligentes que pueden operar, comuni- carse e interactuar, de forma autónoma, con el fin de proporcionar energía eléctrica eficiente a sus consumidores. Esta naturaleza heterogénea de la red eléctrica inteligente motiva la adopción de técnicas avanzadas para superar los diversos desafíos técnicos en diferentes niveles, como el diseño, el control y la implementación.

En este sentido, se espera que la teoría de juegos se constituya en un elemen- to analítico clave para el diseño de la futura red eléctrica inteligente, así como en los sistemas ciberfísicos a gran escala. La teoría de juegos es un marco formal tanto analítico como conceptual con un conjunto de herramientas matemáticas que permiten el estudio de interacciones complejas entre jugadores racionales independientes.

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1.3. Objetivos de la investigación 3

Durante varias décadas, la teoría de juegos se ha adoptado en una gran cantidad de disciplinas que van desde la economía y la política hasta la psicología [43]. Más re- cientemente, la teoría de juegos también se ha convertido en una herramienta central en el diseño y análisis de sistemas de comunicación [111].

1.3 Objetivos de la investigación

1.3.1 Objetivo general

Contribuir al área de la teoría de juegos cooperativos adaptados a los dominios de eficiencia energética en la distribución de energía en un escenario de red eléctrica inteligente.

1.3.2 Objetivos específicos

• Analizar las condiciones que permitan coalicionarse efectivamente a través del valor de Shapley y de Owen

• Definir las nuevas variables dentro de las redes eléctricas inteligentes que permitan un modelo más eficiente de la teoría clásica de los juegos cooperativos.

• Modelar una Smart Grid en escenarios realistas a gran escala con el fin de ma- ximizar el impacto de posibles simulaciones basadas en ellos.

1.4 Contribuciones originales

A continuación, se van a resumir las contribuciones originales que se plantean y abordan en esta tesis doctoral, y que son los siguientes:

• Diseño y validación de diferentes modelos de manejo eficiente de energía dentro del área de redes eléctricas, en entornos desagregados (ciudad pequeña, entornos rurales o microgrids), basados en modelos de teorías de juegos cooperativos. Hasta la fecha, muy pocos son los trabajos en teoría de juegos cooperativos aplicados en redes eléctricas inteligentes, por lo que se ha considerado de especial interés el potenciar estos modelos, ya que serán una oportunidad para las fuentes de generación renovable a pequeña escala, no habiéndose pro- ducido en estos momentos su despegue.

• Realizar un cambio progresivo del actual sistema energético de electricidad, para lo cual se plantea la incorporación de nuevos modelos matemáticos, asociados al manejo eficiente de la energía, convirtiéndoles en oportunidades, y adecuarlos al siglo XXI, estando en sintonía con lo relativamente nuevo en redes eléctricas inteligentes.

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4 Capítulo 1. Introducción

• La incorporación y simulación de modelos de Teoría de Juegos en redes eléctri- cas inteligentes, supondrá el manejo eficiente de la energía eléctrica proceden- te de fuentes no renovables, al tratar de equilibrar la demanda predicha con la generación distribuida.

• La aplicación de la Teoría de Juegos, representará un modelo más eficiente en el manejo de la energía, descentralizando del sistema de distribución actual, tratando de generar coaliciones y utilidades a los usuarios.

1.5 Organización de la investigación

Los dos primeros capítulos hacen referencia a las redes eléctricas inteligentes y a los juegos cooperativos, con el enfoque de que el lector vea en el trabajo una guía autoexplicativa, además se exponen las nociones básicas de las redes eléctricas inteligentes y las características de las microrredes eléctricas, que se utilizarán en el resto de la memoria. Concretamente, se presenta una visión de la red eléctrica inteligente.

Además, se revisarán las características de la demanda energética e integración de las microrredes eléctricas. Seguidamente, se revisarán los conceptos para solucionar los problemas mediante los juegos cooperativos usando el valor de Shapley y el valor de Owen permitiendo encontrar en qué condiciones es ventajoso o no para un subconjunto de jugadores coalicionarse.

Posteriormente se adaptan las características de las redes eléctricas inteligentes, planteando algoritmos matemáticos simulados en Matlab para finalnalmente presentar resultados relevantes y aportar a la teoría de juegos cooperativos con utilidad transferible.

La investigación llevada a cabo durante esta memoria se ha diseminado y valida- do gradualmente en la comunidad de investigación, lo que ha llevado a las siguientes publicaciones:

• Rolando Andrade, J.B. Cabrera,"Design and implementation of AMI system of electric and water meter", 2020, Proceedings of Science and Technology, ISSN: 2537-0731, DOI: 10.21625/resourceedings.

• Gustavo Nieves,Eber orozco, Nestor Galán, J.B. Cabrera,.^Estudio Comparativo del estado actual de las redes eléctricas inteligentes entre México y Ecuador", 2020, Academia Journals, ISSN: 1946-5351.

• J.B. Cabrera, Diego X. Morales and Ricardo Medina (November 27th 2019).

Reducing Power Losses in Smart Grids with Cooperative Game Theory", Ad- vanced Communication and Control Methods for Future Smartgrids, Taha Se- lim Ustun, IntechOpen, DOI: 10.5772/intechopen.88568.

• D. X. Morales Jadan, J.B. Cabrera and L. Giler, "Main Effects Due to Distribu- ted Energy Resources Connected to Distribution Network of Medium Voltage",

(27)

1.5. Organización de la investigación 5

2019 IEEE PES Innovative Smart Grid Technologies Conference - Latin Ame- rica (ISGT Latin America), Gramado, Brazil, 2019, pp. 1-6, doi: 10.1109/ISGT- LA.2019.8895303.

• P. Lojano, J.B. Cabrera, A. Lojano, D. Morales and D. Icaza, "Voltage Data Co- llection using Arduino and Matlab of a Photovoltaic Wind Power System in the Locality of Tarqui the Cuenca Ecuador,"2019 8th International Conference on Renewable Energy Research and Applications (ICRERA), Brasov, Romania, 2019, pp. 582-586, doi: 10.1109/ICRERA47325.2019.8997035.

• J.B. Cabrera, P. Arias, ”Concepts Games Theory applied in Smart Grids”, 2018 IEEE ANDESCON Technology and Innovation for Andean Industry, Cali, Co- lombia, 2018. doi: 10.1109/ANDESCON.2018.8564682

• D. Icaza, J.B. Cabrera, P. Arias, “System of communication, modeling and simulation of the radar system at the Mariscal Lamar airport in the city of Cuenca-Ecuador” 2018 IEEE ANDESCON Technology and Innovation for An- dean Industry, Cali, Colombia, 2018. DOI: 10.1109/ANDESCON.2018.8564675

• D. Icaza, J.B. Cabrera, P. Arias, “Abastecimiento con energía solar para los GAD‘s Parroquiales Rurales del Ecuador” 2018 IEEE ANDESCON Technology and Innovation for Andean Industry, Cali, Colombia, 2018. DOI: 10.1109/AN- DESCON.2018.8564659

• R. D. Medina, D. X. Morales, A. A. Romero and J. B. Cabrera, “Assessing po- wer transformer final failure consequences using fuzzy logic,” 2017 CHILEAN Conference on Electrical, Electronics Engineering, Information and Communi- cation Technologies (CHILECON), Pucon, 2017, pp. 1-7. doi: 10.1109/CHILE- CON.2017.8229538

• R. D. Medina, D. X. Morales, M. A. Toledo and J. B. Cabrera, “Power trans- former risk index assessment for an asset management plan,” 2017 CHILEAN Conference on Electrical, Electronics Engineering, Information and Communi- cation Technologies (CHILECON), Pucon, 2017, pp. 1-7. doi: 10.1109/CHILE- CON.2017.8229535

• R. D. Medina, J. Narváez, J. B. Cabrera, D. X. Morales and M. A. Toledo, “Ap- plications of geothermal energy in the ecuadorian context: Case study: Baños of cuenca — Ecuador,” 2017 IEEE PES Innovative Smart Grid Technologies Conference - Latin America (ISGT Latin America), Quito, 2017, pp. 1-5. doi:

10.1109/ISGT-LA.2017.8126754

(28)

(29)

7

Capítulo 2

Estado del arte

2.1 Red eléctrica inteligente

FIGURA2.1: Subsistema de la red eléctrica tradicional

Hoy en día vivimos en un mundo globalizado, impulsado por una sociedad di- gital cada vez más cambiante. La red eléctrica, sin embargo, se ha mantenido por décadas sin mayores cambios en la arquitectura. La razón es porque la red eléctrica, al ser un sistema complejo [43], es más resistente a los cambios, por lo que la estabilidad y la seguridad son lo primero de todo lo demás. Sin embargo, desde hace algún tiempo, la red eléctrica sufre una metamorfosis inexorable bajo el nuevo paradigma de la llamada de red eléctrica inteligente.

La topología básica de la red eléctrica tradicional es estrictamente jerárquica, con demarcaciones claras entre sus subsistemas de generación, transmisión y distribu- ción, como se muestra en la Figura 2.1.

La red eléctrica tradicional actualmente es unidireccional, con un flujo de ener- gía eléctrica desde la empresa distribuidora hacia el cliente sin ninguna acción en tiempo real de información entre los puntos de consumo y generación [111]. Como resultado, se presenta bastantes deficiencias y problemas, por ejemplo, la capacidad de generación es sobredimensionada para satisfacer los picos de demanda, lo que

(30)

8 Capítulo 2. Estado del arte

hace que todo el sistema sea ineficaz. Además, la red eléctrica tradicional no está preparada para cumplir los nuevos requerimientos y características que hoy en día la sociedad exige de ella.

Durante las últimas décadas, la preocupación social sobre el calentamiento global y el cambio climático ha aumentado de forma espectacular. Como muestra de ello, los gobiernos de todo el mundo están haciendo grandes esfuerzos para reducir los gases de efecto invernadero, emisiones a través de la reducción del consumo de energía y el uso de energías renovables. El Protocolo de Kyoto acordado y desarro- llado por la Convención Marco de Naciones Unidas sobre el Cambio Climático o el objetivo 20-20-20 de la Unión Europea sobre clima y la energía, son dos ejemplos representativos de los compromisos adquiridos por los países desarrollados para luchar contra el cambio climático [8].

Sin embargo, los escenarios definidos para la descarbonización del sector energé- tico generarán impactos importantes en la red eléctrica, debido a la alta penetración de las tecnologías renovables intermitentes, con una mayor dependencia de la Ge- neración Distribuida (GD), y al control proactivo de la demanda de electricidad [9].

El aumento de generadores energéticos renovables variables (principalmente la energía solar fotovoltaica y eólica) dará lugar a importantes desafíos a la estabilidad del sistema eléctrico, la seguridad y la fiabilidad [30]. Por otra parte, este tipo de recursos de nueva generación se despliegan sobre todo como GD, la creación de un sistema más descentralizado, donde la figura del “consumidor” emerge [100]. Como resultado, la escalabilidad de la red es mejorada y los flujos de energía, por lo que las pérdidas se reducen, pero la complejidad de la gestión de este tipo de infraestructuras aumenta considerablemente. El aumento del consumo de electricidad en la mayoría de los países se debe tratarse adecuadamente, ya que debe tener nuevas herramientas para optimizar y promover la eficiencia energética tanto en la oferta como en el de la demanda; tales como las infraestructuras de vigilancia y control basado en redes de sensores y actuadores o en programas con respuesta a la demanda (DR). El consumo de electricidad se incrementará aún más dramáticamente con la amplia adopción prevista de los vehículos eléctricos [33], o electrodomésticos como las cocinas de inducción. Sin embargo, los vehículos eléctricos pueden ser también una herramienta importante para la gestión de la red con un posible control de sus ciclos de carga y el uso de sus baterías de almacenamiento de energía como equipo local. Por lo tanto, el seguimiento y control del consumo de electricidad junto con el uso de los recursos de almacenamiento de energía proporcionará la flexibilidad necesaria para garantizar la generación y el consumo. Por lo tanto, se espera que las redes eléctricas inteligentes deban hacer frente a las principales deficiencias de la red eléctrica actual, y explotar los nuevos recursos. De este modo, la red eléctrica inteligente ya no será unidireccional, ya que la energía debe fluir en ambas direccio- nes entre la red eléctrica y las instalaciones de los clientes. Aunque la red eléctrica inteligente seguirá siendo en parte dependiente de la generación a gran escala, la presencia de instalaciones de almacenamiento de energía y la generación de energía

(31)

2.2. Aplicaciones de redes eléctricas inteligentes 9

FIGURA2.2: Las TIC frente a las empresas del futuro

renovable (los llamados DER - Distributed Energy Resources) en los diferentes niveles de la red aumentará dramáticamente. Por otra parte, la red eléctrica inteligente pro- porcionará a los operadores de infraestructuras eléctricas, capacidades sensoriales y de control mejorado para garantizar la visibilidad y control generalizado sobre sus activos y servicios [31,1]. Como la Figura 2.2 ilustra, las TIC (Tecnologías de la In- formación y Comunicación) son cruciales para mejorar la red eléctrica convencional, ya que son responsables de proporcionar en tiempo real, comunicaciones bidirec- cionales entre el enorme volumen de los dispositivos involucrados y herramientas informáticas de manejo de datos masivos.

2.2 Aplicaciones de redes eléctricas inteligentes

2.2.1 Generación distribuida

Los esfuerzos para reducir las emisiones de gases de efecto invernadero relacionadas con la generación de electricidad han ido conduciendo a un rápido incremento en el despliegue de generación de energía renovable, en particular, fotovoltaica y ener- gía eólica. Tales fuentes de energía renovables están siendo utilizadas no sólo como instalaciones de centrales de generación, sino también como instalaciones de gene- ración local. Estas instalaciones de generación local pueden estar directamente a la red de distribución de energía,como en los llamados VPP (Virtual Power Plants) [44], o en las infraestructuras de consumo privado [25], lo que permite el autoconsumo.

La generación distribuida entonces es una unidad de generación de energía eléc- trica de respaldo que se utiliza en muchas instalaciones industriales, hospitales, uni- versidades, edificios comerciales y grandes almacenes. La mayoría de estas unidades de respaldo son usadas principalmente por los clientes para proporcionar energía de emergencia en momentos en que la energía conectada a la red no está disponi- ble; colocándose dentro de las instalaciones de los consumidores donde se necesita la demanda eléctrica. La instalación de las unidades de respaldo se realiza cerca del centro de la demanda, evitando el coste de la transmisión de la potencia y de las pér- didas de transmisión asociadas. Los respaldos de generación se definen actualmente

(32)

como la generación distribuida para diferenciarse del modelo tradicional de gene- ración de energía centralizada. El modelo de generación de energía centralizada ha demostrado ser económico y una fuente confiable de la producción de energía. Sin embargo, con la falta de construcciones nuevas en generación o incluso en la amplia- ción de las existentes no se logra satisfacer las demandas de energía eléctrica, por lo que toda la industria de la energía se enfrenta a serios desafíos y busca soluciones para mitigar el problema (Figura 2.3).

FIGURA2.3: Modelo de generación distribuida

2.2.2 Demanda eléctrica

La proyección de demanda eléctrica es un insumo fundamental en la planificación (Figura 2.4) del mercado energético, cuya finalidad es la de garantizar el suministro de energía eléctrica a los usuarios finales [2].

Dentro de esta planificación es necesario realizar estudios complementarios que permitan al planificador disponer de posibles escenarios en donde las perdidas sean las mínimas posibles, porque eso se deriva en costo de inversión o pérdidas para la empresa.

El Programa de las Naciones Unidas en base al trabajo colaborativo de países de américa del sur y los organismos como CAF, CIER y OLADE identificaron nuevas alternativas sostenibles y técnicas que permitan optimizar los recursos energéticos.

Dentro de este informe de igual manera se identifica un promedio de demanda de energía para el 2022 del 3,5 % para el Ecuador.

En la Figura 2.5 se ve el comportamiento tendencial de la demanda, misma que se basa en los posibles crecimientos del consumo de energía (Figura 2.6).

(33)

2.2. Aplicaciones de redes eléctricas inteligentes 11

FIGURA2.4: Uso de la demanda dentro de la planificación.

2.2.3 Cocinas de Inducción y vehículos eléctricos

Dentro de las políticas estatales del Ecuador, uno de los cambios en la demanda eléc- trica es el cambio del consumo del Gas Licuado de Petróleo a electricidad, teniendo las empresas distribuidoras de electricidad que reestructurar su infraestructura para suplir el incremento de carga y garantizar la confiabilidad del servicio. Para la carga de las cocinas eléctricas se toma en cuenta el índice del tiempo total de interrupcio- nes, TTik [2].

Analizando la Figura 2.7 al tercer año de implementación (2017) se prevée una migración próxima al 80 % de los clientes residenciales a nivel nacional, sin embargo por tener la acogida respectiva por parte de los usuarios, los sistemas eléctricos en especial los transformadores quedan funcionando de una manera sobredimensionada y produciendo o sumando pérdidas al sistema.

En lo referente al sector del transporte terrestre eléctrico, una de las visiones como estado ecuatoriano es la incorporación de 1000 vehículos eléctricos por año a partir del 2016, generando un incremento en el consumo eléctrico de 3000 MW h por distribuidora.

Con todos estos antecedentes, el impacto de las cocinas de inducción y vehículos eléctricos en el diagrama de carga de la red de distribución será necesario tener un

(34)

FIGURA2.5: Demanda de energía de países a nivel Latinoamérica.

nuevo enfoque en el control de la carga, ya que si la carga de vehículos o cocinas no se gestiona de forma inteligente podría aumentar la carga máxima, requiriendo grandes inversiones en infraestructura para garantizar la fiabilidad del sistema [66].

Sin embargo, los vehículos eléctricos, debido a su capacidad de almacenamiento, tienen un gran potencial como consumidores regulables, obteniendo energía y al- macenando energía cuando no está en uso (por ejemplo, cuando están estacionados en el hogar o en el trabajo, lo que representa la parte principal del día / noche) [81].

Sobre la base de estas características singulares, los vehículos eléctricos pueden apo- yar la integración de fuentes renovables intermitentes impredecibles y contribuir a la estabilidad del sistema, es decir, mediante el aprovisionamiento de servicios auxi- liares [36]. La red eléctrica inteligente permitirá una carga inteligente en las cocinas de inducción y vehículos eléctricos durante los períodos de baja demanda y/o de alta generación, gracias a sus capacidades de comunicación en tiempo real [58]. Por otra parte, en el largo plazo, en la ejecución de la tecnología V2G (Vehicle-to-grid), podría también permitir que los vehículos eléctricos puedan proporcionar la electricidad almacenada en sus baterías de nuevo al sistema de distribución cuando sea necesario [58,26]. Además, otras tecnologías de almacenamiento de energía, tales como baterías y supercondensadores ya están disponibles y presentes para aumentar el rendimiento y disminuir los costos.

2.3 Evolución de la red eléctrica inteligente

Actualizar la red eléctrica actual a la llamada Smart Grid representa uno de los mayores retos de ingeniería en la historia. Como resultado, el camino hacia la Smart

(35)

2.3. Evolución de la red eléctrica inteligente 13

FIGURA 2.6: Proyección de la demanda de potencia en Ecuador (MW).

Grid será largo y necesita ser construido gradualmente, sin duda impulsando la pró- xima ola de investigación e innovación tanto en el sector de la energía como en el de las TIC.

Hasta el momento, dentro del área de la medición de energía eléctrica del sistema de distribución se está empezando a través de programas piloto en el Ecuador a realizar las primeras inversiones, con la introducción inicial de los sistemas AMR (Automated Meter Reading) para leer los datos del consumo de energía. Sin embargo, los sistemas AMR no permiten la transición a la Smart Grid, debido a la ausencia de capacidades de control. En una segunda etapa, el AMI (Advanced Metering Infras- tructures) se utilizará para proporcionar un sistema de comunicación de dos vías al medidor, así como la capacidad de garantizar la gestión de la carga y la protección de ingresos. El siguiente paso es el apalancamiento de AMI para implementar el comando distribuido y las estrategias de control con un control [111].

La evolución de la Smart Grid se verá asegurada por la introducción de nuevas capas para permitir funciones más avanzadas. La capa básica es la de monitoreo ya descrito y la infraestructura automatizada. La segunda capa es la conexión entre los participantes, integrando clientes y proveedores de servicios de energía en la red. Luego, se necesita una capa de censado y respuesta para compartir informa- ción, analizar y actuar sobre ella para equilibrar todos los recursos en tiempo real.

Por último, la capa para analizar y optimizar administrará la red utilizando reglas, restricciones y agentes inteligentes [41]. Dichas capas permitirán el desarrollo de las diferentes áreas tecnológicas de Smart Grid que se muestran en la Figura 2.9, que se extienden a través de todos los dominios de la red eléctrica [5].

(36)

FIGURA2.7: Curva de penetración de cocinas en el Sistema Nacional Interconectado.

Por lo tanto, la evolución hacia la Smart Grid se puede dividir en las tres genera- ciones [49]. El Smart Grid 1.0 (los primeros pasos de hoy) se centran en aumentar la visibilidad y el conocimiento del estado de la red de distribución de energía. Por lo tanto, a lo largo de esta primera generación, los servicios existentes se transforma- rán mediante comunicación avanzada para ofrecer mediciones prepago, pantallas de inicio, desconexión inteligente, control de carga, administración avanzada de in- terrupciones, medición bidireccional y DR.

Smart Grid 2.0 permitirá futuros servicios y fomentar la innovación con aplicaciones tales como micro-redes y DG, alumbrado público inteligente, V2G [59], almacenamiento/distribución de generación renovable, prevención de fallas, gestión de activos energéticos y DR automático.

Por último, la Smart Grid 3.0 (grid leveraged applications) hará que la red sea completamente manejable, ampliando las aplicaciones para aprovechar al máximo la inteligencia de la red. Así, la Smart Grid del futuro se convertirá no sólo en una forma de entregar electricidad de manera más eficiente, sino también en una nueva plataforma social y transaccional con nuevos modelos de negocio, aplicaciones, servicios y relaciones.

2.4 Dominios de la red eléctrica inteligente

El NITS adoptó el enfoque de dividir la red eléctrica inteligente en siete dominios, como se muestra en la Tabla 2.1 [43].

(37)

2.4. Dominios de la red eléctrica inteligente 15

CUADRO2.1: Dominios, Roles y Servicios conceptuales de las Redes Eléctricas Inteligentes.

N Dominio Roles/Servicios

1 Cliente

Los usuarios finales (residencial, comercial e industrial) también pueden generar, almacenar y administrar el uso de energía.

2 Mercados Los operadores y participantes en los mercados de la electricidad

3 Proveedores de

servicios

Las organizaciones que prestan servicios a los clientes eléctricos y a las empresas

4 Operaciones Los gestores del movimiento de electricidad

5 Generación

Los generadores de electricidad. También puede almacenar energía para su posterior distri- bución. Este dominio incluye fuentes tradicionales de generación (tradicionalmente denomi- nadas generación) y recursos energéticos distribuidos (DER, en sus siglas en inglés). En un nivel lógico, la “generación” incluye el carbón, la energía nuclear, y la generación hidráulica a gran escala, generalmente unida a la transmi- sión. DER (a nivel lógico) está asociado con la generación y el almacenamiento proporciona- dos por el cliente y la distribución, y con los recursos energéticos agregados por el proveedor de los servicios.

6 Transmisión

Los portadores de grandes cantidades de electricidad a largas distancias. También puede almacenar y generar electricidad

7 Distribución

Distribuidores de electricidad de y hacia clientes. También puede almacenar y generar electricidad

(38)

FIGURA2.8: Evolución de la red eléctrica inteligente

FIGURA2.9: Áreas tecnológicas de Smart Grid

(39)

17

Capítulo 3

Teoría de juegos y juegos Markovianos

3.1 Teoría de juegos

3.1.1 Introducción

una de las ramas de las matemáticas es la teoría de los juegos, misma que es con- ceptualizada por John Von Neumann (1928), sin embargo esta parte de preceptos matemáticos planteados por Zermelo (1913) y Borel (1921), de la misma manera en 1944 el propio Neumann junto a Morgenstern hacen una nueva actualización conceptual [10], en donce se indica que el objetivo del juego es la toma de decisiones en búsqueda de un bien individual o común, lo que conlleva a que estas decisiones y acciones pueden combinarse de múltiples maneras [80].

3.2 Notaciones y definiciones de la Teoría de juegos

3.2.1 Coalición [S]

Es un grupo de individuos [37] n que conforman al conjunto N, obteniendo 2^N, posibles conjuntos [18], es decir

S∈ P(N) (3.1)

donde P(N)es la colección de todos los subconjuntos de N.

3.2.2 Valor agregado

Cuando los jugadores actúan en grupo de manera conjunta generan un valor agregado [v(S)] [52,15].

3.2.3 Cooperativismo

Una función v : 2^N → R tiene jugadores N que pertenecen a un conjunto finito de coaliciones N = {1, 2, . . . , n} asignando a cada subconjunto S de N un valor real v(S)restringido a v(_∅) =0 [74,115]. La función v se llama función característica del juego (v(S).

(40)

18 Capítulo 3. Teoría de juegos y juegos Markovianos

• Una de las características de un juego cooperativo(N, v)es que podamos tener un juego monótono siempre y cuando:

v(S) 6^v(T) cuando S⊆ T. (3.2)

Esta característica se presenta cuando el número de jugadores es bajo, entonces la probabilidad de coalicionarse también baja.

• Otra condición dentro de un juego cooperativo(N, v)es cuando hablamos de un juego superaditivo, en donde:

v(S∪T) ≥v(S) +v(T) cuando S∩T =_∅ (3.3)

• Finalmente un juego cooperativo puede ser simple siempre y cuando sea mo- nótono y v(S) =0 o v(S) =1 para todo S⊆N.

3.2.4 Imputación

Cuando cada jugador recibe un incentivo eficiente trabajando de forma colaborativa que individual.

3.2.5 Conjunto de imputaciones factibles

Al analizar el vecto de pagos de un juego G= (N, v)conseguimos

I(N, v) = {x= (x₁, x₂, . . . , x_n) ∈ PI(N, v): x_i >^v(i), para i=1, 2, . . . , n}. (3.4) I(N, v) = {x= (x₁, x2, . . . , xn) ∈_Rⁿ _{: x}(N) =v(N)_{, x}_i ≥v(i)_{, para i}=1, 2, . . . , n}.

(3.5)

3.2.6 Condicionales de dominio en un juego

Cuando tomamos deciciones podemos decir que la estrategia fue buena o mejor que otra siempre y cuando veamos los resultados, es por eso que una condición de estrategia dominante se daría cuando no me interesa conocer el resultado sino simple- mente lo aplicamos, en tal caso deberíamos suponer que los juegos no son justos o el pago no es real.

Por ejemplo, para el juego G = {s₁, s₂, . . . , s_n; u₁, . . . , u_n}las dos estrategias del jugador i corresponden a s⁰_iy s⁰⁰_i.

1. Se dice que s⁰_iestá condicionada a un domio, o también parcialmente domina- da, por s⁰⁰_i cuando

u_i(s₁, . . . , s_i−1, s⁰_i, s_i+1, . . . , s_n) ≤u_i(s₁, . . . , s_i−1, s⁰⁰_i, s_i+1, . . . , s_n) (3.6)

(41)

3.2. Notaciones y definiciones de la Teoría de juegos 19

Estas combinaciones de estrategias s₋_ien algún momento se cumplen de forma estricta, lo que conlleva a usar s⁰⁰_i como una estrategia dominante que s⁰_i. 2. Cuando s⁰_i está estrictamente dominada por s⁰⁰_i se presenta la siguiente de-

sigualdad

u_i(s₁, . . . , s_i₋₁, s⁰_i, s_i+1, . . . , s_n) <u_i(s₁, . . . , s_i₋₁, s⁰⁰_i, s_i+1, . . . , s_n). (3.7)

3. Finalmente s⁰_ies considerada una estrategia no dominante cuando se han ana- lizados todas las combinaciones posibles de estrategias del jugador i y no exista otra estrategia fundamental o estricta que permita obtener un beneficio o pago.

3.2.7 Núcleo de un juego cooperativo

Dentro del nucleo [68] S ⊆N principal de un juego, se le considera muy importante al conjunto de vectores de pagos que se forman sobre un N beneficio dentro de una coalición, que trabajar de forma aislada [45].

C(N, v) = {(x₁, x₂, . . . , x_n) ∈_Rⁿ: x(N) =v(N), x(S) ≥v(S),∀S⊆ N}. (3.8)

3.2.8 Propiedades del núcleo

Un conjunto C(N, v)debe cumplir las condiciones de estar acotado y convexo [11], para no obtener un conjunto vacío, lo que indicaría que no se podría obtener un vector de pagos para los jugadores. Dentro de los conjuntos de juegos convexos [6, 4]s es necesario identificar los juegos cooperativos con el core diferente a cero[23]

introduciendo el concepto de coaliciones equilibradas o juego equilibrados.

Dado un juego(N, v), una colección{s₁, s₂, . . . , s_m}de subconjuntos de N, distin- tos y diferentes de cero, se dice que es equilibrada sobre N [21] si existen números positivos α₁, α₂, . . . , α_m (denominados pesos) tales que, para todo i∈ N,

j:1

∑

∈s_j

α_j =_1. _(3.9)

S, para cualquier estrategia equilibrada sobre N se verifica que

∑

m j:1

α_jv(s_j) ≤v(N) (3.10)

entonces concluimos que el juego(N, v)es equilibrado.

Un juego(N, v)se dice totalmente equilibrado [21] cuando los subjuegos(s, vs) también lo son dentro de las restricciones s⊆ N, s6=∅, entendiéndose entonces que (s, vs)tine una función características expresada por

v_s(T) =v(T), para toda T⊆S. (3.11)

(42)

20 Capítulo 3. Teoría de juegos y juegos Markovianos

3.2.9 Solución en soluciones de tipo puntual Una solución paraΓ^N es

f :Γ^N →_R^N (3.12)

donde para el juego(N, v) ∈ _Γ^N le corresponde un vector de pago recibido por el jugadorRⁿ[67,89].

Propiedades dentro de una solución:

• Se consigue una solución f :Γ^N → Rⁿeficientecuando se cumple(N, v) ∈_Γ^N, obteniendo

∑

n i=1

f_i(N, v) =v(N). (3.13)

• Otra solución para f :Γ^N →Rⁿes determinar un poder total cuando(N, v) ∈ Γ^Nobteniendo:

∑

n i=1

f_i(N, v) = ¹ 2ⁿ⁻¹

∑

n i=1

∑

S⊆N\{i}

[v(S∪ {i} −v(S)]_. _(3.14)

• Se dice que dos jugadores i, j∈ N son simétricos si

v(S∪ {i}) =v(S∪ {j}) (3.15) para cualquier coalición S ⊆ N\ {i, j}Una solución f : Γ^N → _Rⁿ simétrica para un juego(N, v) ∈ _Γ^N cuando i, j ∈ N, son simétricos, dando resultado a

f_i(N, v) = f_j(N, v).

• i ∈ N se le considera jugador nulo cuando v(S∪ {i}) = v(S), dentro de cualquier coalición S⊆ N\ {i}.

La respuesta f : Γ^N → _Rⁿ satisface la propiedad de jugador nulo cuando para(N, v) ∈ _Γ^N y la restricción de un jugador nulo(N, v), i ∈ N, se obtiene

f_j(N, v) =0.

• Una respuesta f : Γ^N → _Rⁿ se conoce como aditiva cuandoen un juego (N, v) ∈_Γ^N y(N, w) ∈_Γ^N, se obtiene

f(N, v+w) = f(N, v) + f(N, w). (3.16)

3.2.10 Matriz de pagos

Cuando tenemos juegos con dos jugadores y un número finito de estrategias se con- segue las siguientes condiciones de la matriz de pagos:

J =1, 2, el conjunto de jugadores

S₁ =S¹₁, S²₁, . . . , S^m₁,, el conjunto de estrategias puras del jugador 1, S2 =S¹₂, S²₂, . . . , Sⁿ₂,, el conjunto de estrategias puras del jugador 2.

(43)

3.2. Notaciones y definiciones de la Teoría de juegos 21

En la Tabla 3.1 se presenta una matriz de pagos en base a las estrategias de un juego:

CUADRO3.1: Matriz de Pagos.

Jugador 2

S₂¹ S²₂ . . . S₂ⁿ

Jugador 1

S¹₁ u₁(S¹₁, S¹₂), u2(S¹₁, S¹₂) u₁(S₁¹, S₂²), u2(S¹₁, S²₂) . . . u₁(S¹₁, Sⁿ₂), u2(S₁¹, S₂ⁿ) S²₁ u₁(S²₁, S¹₂), u₂(S²₁, S¹₂) u₁(S₁², S₂²), u₂(S²₁, S²₂) . . . u₁(S²₁, Sⁿ₂), u₂(S₁², S₂ⁿ)

. . . .

S₁^m u₁(S₁^m, S¹₂), u₂(S₁^m, S¹₂) u₁(S₁^m, S²₂), u₂(S₁^m, S²₂) . . . u₁(S^m₁, Sⁿ₂), u₂(S^m₁, Sⁿ₂) Ahora si analizamos un ejemplo relacionado a la matriz de pagos Tabla 3.2, don-

de las estrategias del jugador 1 están ubicadas en las filas y las del jugador 2 en las columnas, cuyos valores internos pertenecen a las recompensas, entonces el primer par ordenado corresponde a la recompensa recibida por el jugador 1 y el segundo número es la recompensa recibida por el jugador 2.

Ejemplo 1: En un concurso de televisión dos concursantes han conseguido conjunta- mente, en la primera parte del concurso, la cantidad de 5.00euros. En la segunda parte cada jugador debe elegir individualmente y de manera simultánea entre doble o mitad. Si un jugador elige doble y la otra mitad, el que ha elegido doble se lleva 10000 euros y el otro nada. Si los dos eligen mitad se llevan 2000 euros cada uno (la mitad de lo conseguido en la primera parte menos 1000 euros que se quedan en la mesa). Si los dos eligen doble se queda todo el dinero en la mesa.

3.2.11 El valor de Shapley

Uno de los primeros conceptos relacionados a encontrar una solución de los juegos cooperativos es el vector de pago [3,94,24]. Cabe destacar que se encuentra solución en juegos convexos siempre y cuando pertenezcan al core [38]. La función f definida porΓ^N satisface las propiedades [99] de un jugador nulo, la simetría y la eficiencia con este concepto.

Para un juego(N, v), se le asigna i∈ N, de los cuales:

φ_i(N, v) =

∑

S⊆N:i∈S

q(S)[v(S) −v(S\ {i})] (3.17)

donde q(S) = (s−1)!(n−s)!

n! y s = |S|_{, n} = |N| representando al número de jugadores dentro de las coaliciones S y N.

Al valor de Shapley se las puede interpretar de la siguiente manera:

• Se le asigna a cada jugador un peso ponderado en base a las contribuciones marginales de dicho jugador dentro de cada una de las coaliciones a las que pertenece.