Enfoque Probabil´ıstico

Las se˜nales obtenidas experimentalmente de un ensayo modal se encuentran afectadas por ruidos generados en la cadena de medici´on y por efectos de la discretizaci´on y el proce- samiento de las se˜nales. De esta forma, el resultado de la ecuaci´on (3.17) puede presentar ligeras variaciones entre las distintas pruebas realizadas. La forma adecuada de obtener el valor m´as probable de las FRF con los datos de varias pruebas consiste en la estimaci´on probabil´ıstica utilizada para se˜nales aleatorias. En el trabajo de Mitchell [33] se presentan los fundamentos de las t´ecnicas probabil´ısticas para la determinaci´on de lasFRF basadas en la utilizaci´on defunciones de correlaci´onen el dominio del tiempo ydensidades espectrales en el dominio de la frecuencia.

La funci´on de correlaci´on entre dos funciones estacionariasv(t) yw(t) se calcula como el valor esperado (o promedio) del producto [v(t)·w(t+τ)] sobre el eje del tiempo

Rvw(τ) =E[v(t)·w(t+τ)] = l´ım T→∞ 1 T Z T 2 −T 2 v(t)w(t+τ)dt (3.20)

La funci´on de correlaci´on Rvw(τ) satisface la condici´on de Dirichlet en contraposici´on con

las funciones v(t) y w(t). La TFA de la funci´on de correlaci´on se conoce como densidad espectral

S_vw(ω) =F(R_vw(τ)) =

Z _+∞

−∞

R_vw(τ)e−iωτdτ (3.21)

considerada un indicador de la cantidad de energ´ıa suministrada al sistema. En el caso que las funciones correlacionadas sean id´enticasRvv(τ) se denominafunci´on de correlaci´on

propia (o funci´on de autocorrelaci´on) y Svv(ω) se designa densidad espectral propia. En

el caso que las funciones correlacionadas sean diferentes R_vw(τ) se denomina funci´on de correlaci´on cruzadaySvw(ω) se designadensidad espectral cruzada. La densidad espectral

propia resulta real por derivarse de la funci´on de autocorrelaci´on que es sim´etrica respecto a τ = 0. La funci´on de correlaci´on cruzada es asim´etrica produciendo una densidad espectral cruzada generalmente compleja con la siguiente propiedad de conjugaci´on

S_vw(ω) =S_wv∗ (ω) (3.22)

En el caso que las funciones correlacionadas correspondan a la respuesta y la carga de un ensayo modal se derivan las siguientes relaciones de la din´amica estoc´astica

S_uu(ω) =|α(ω)|2S_pp(ω) (3.23)

Spu(ω) =α(ω)Spp(ω) (3.24)

Suu(ω) =α(ω)Sup(ω) (3.25)

donde se suprimen los sub´ındices correspondientes a la ubicaci´on de la respuesta y la carga. Estas expresiones se aplican tambi´en para se˜nales experimentales procesadas con la TFD. Las densidades espectrales se obtienen entonces como el promedio del producto de los espectros de la respuesta y la carga

˜ Suu(ωm) = _n1 i ni X i=1 ui_j∗(ωm)uij(ωm) S˜up(ωm) = _n1 i ni X i=1 ui_j∗(ωm)pik(ωm) (3.26) ˜ Spu(ωm) = _n1 i ni X i=1 pi_k∗(ωm)uij(ωm) S˜pp(ωm) = _n1 i ni X i=1 pi_k∗(ωm)pik(ωm) (3.27)

donde ni representa el n´umero de pruebas.

La ecuaci´on (3.24) permite obtener el primer estimador de laFRF

α1(ω) = S_Spu(ω)

pp(ω)

(3.28) mientras que el segundo estimador de laFRF se deriva de (3.25) como

α2(ω) = S_Suu(ω)

up(ω) (3.29)

Aunque en condiciones ideales ambos estimadores proporcionan el mismo resultado, las im- perfecciones de las se˜nales experimentales producen queα₁(ω) represente una cota inferior y α2(ω) represente una cota superior de la receptancia. Un tercer estimador se obtiene entonces con el promedio de ambos estimadores

α3(ω) = 1₂(α1(ω) +α2(ω)) (3.30)

El estimadorα2(ω) presenta resultados m´as confiables en correspondencia con las resonan- cias dado que la mayor sensibilidad de las se˜nales de carga en estas regiones torna m´as vulnerable aSpp(ω). Por el contrario, el estimadorα1(ω) produce mejores resultados cerca de las anti-resonancias dado que la sensibilidad de las se˜nales de respuesta afecta aSuu(ω).

A los efectos de dise˜no, el estimador α2(ω) resulta m´as adecuado por su mejor aproxima- ci´on en las zonas de resonancias. La relaci´on de los estimadores α₁(ω) yα₂(ω) constituye una medida cualitativa de la exactitud obtenida

γ2(ω) = α1(ω) α₂(ω) = Spu(ω)Sup(ω) S_pp(ω)S_uu(ω) = |Spu(ω)|2 S_pp(ω)S_uu(ω) (3.31)

Esta relaci´on se denomina coherencia y var´ıa en funci´on de la frecuencia entre 0 y 1. En condiciones ideales la coherencia toma un valor unitario. A medida que las imperfecciones se tornan importantes la coherencia se degrada presentando valores menores a la unidad. La utilizaci´on del promedio de varias pruebas permite disminuir el efecto nocivo de ruidos aleatorios sobre la coherencia. Sin embargo, las distorsiones sistem´aticas que producen un error de tendencia (bias) no pueden removerse a trav´es de la realizaci´on de varias prue- bas. Las principales causas que generan una degradaci´on de la coherencia se describen a continuaci´on:

• La presencia de ruidos en la cadena de medici´on.

• La resoluci´on en frecuencia determinada por la duraci´on total de las se˜nales resulta inadecuada para reproducir una r´apida variaci´on de las FRF en zonas de resonancias y antiresonancias para sistemas de bajo amortiguamiento.

• El sistema se encuentra sujeto a otras fuentes de excitaci´on no consideradas en el an´alisis.

• El sistema no es completamente lineal.

En el caso que existan determinados rangos de frecuencia con baja coherencia resulta conveniente excluir los datos experimentales afectados o aplicar adecuadas funciones de peso en el proceso de calibraci´on.

Identificaci´on de Modelos Modales

Las t´ecnicas de identificaci´on de par´ametros modales permiten extraer del modelo de res- puesta experimental las matrices del modelo modal que condensan las principales propie- dades din´amicas del sistema ensayado. La identificaci´on de par´ametros modales representa un caso t´ıpico de los denominados problemas inversos que comprenden la determinaci´on de la funci´on de transferencia del sistema que reproduce la respuesta medida para una carga determinada. Los problemas inversos se caracterizan por sistemas de ecuaciones no- lineales respecto a las inc´ognitas que poseen en general un mal-condicionamiento num´erico. La forma habitual de resolver estos sistemas consiste en el planteo de una formulaci´on lineal aproximada con una transformaci´on de variables que permite un condicionamiento num´erico adecuado. El ´exito de los algoritmos de extracci´on de par´ametros modales radica entonces en la obtenci´on de un sistema linealizado de ecuaciones robusto e insensible a peque˜nas dispersiones de los datos experimentales.

En el presente trabajo no resulta necesario identificar un modelo modal experimental de la respuesta medida dado que el modelo de respuesta experimental se utiliza directamente en el proceso de calibraci´on del modelo anal´ıtico del sistema. Sin embargo, las t´ecnicas de identificaci´on de par´ametros modales se aplican en este caso a las curvas anal´ıticas de receptancia de la fundaci´on en los GL de la interfaz con la estructura. El objetivo de este artificio consiste en obtener un modelo compacto de matrices independientes de la frecuencia que representen el comportamiento din´amico de la fundaci´on en un determinado rango de frecuencias. El modelo modal derivado se transforma luego en un modelo f´ısico de la fundaci´on que se ensambla con el modelo de la estructura para el an´alisis del sistema acoplado de acuerdo al procedimiento descripto en el pr´oximo cap´ıtulo.

Las curvas anal´ıticas de la fundaci´on utilizadas representan soluciones rigurosas obte- nidas con modelos de elementos semi-anal´ıticos del suelo. El programa de interacci´on suelo- estructura SASSI [34] se emplea para obtener las curvas de receptancia de la fundaci´on de los casos estudiados. La descripci´on modal de la receptancia de las fundaciones modeladas con este programa se realiza utilizando dos t´ecnicas de identificaci´on de par´ametros modales en el dominio de la frecuencia: el m´etodo de la fracci´on polin´omica matricial (MFPM) y elm´etodo del polinomio matricial complejo (MPMC). Los fundamentos de ambas t´ecnicas son similares aunque cada uno presenta diferentes ventajas e inconvenientes de acuerdo a los casos analizados. El MFPM descripto en primer t´ermino se utiliza frecuentemente en an´alisis modal experimental para el ajuste de FRF de sistemas con bajo amortiguamiento que genera picos de resonancia y anti-resonancia pronunciados. La aproximaci´on obtenida

con esta t´ecnica es bastante satisfactoria aunque produce matrices asim´etricas que pueden regularizarse a costas de distintos grados de p´erdida de la bondad del ajuste. ElMPMCdes- cripto en segundo t´ermino constituye una contribuci´on original del presente trabajo. Esta t´ecnica produce matrices sim´etricas aunque el ajuste s´olo resulta satisfactorio para curvas suaves de receptancia con alto amortiguamiento como las que se obtienen generalmente para fundaciones.

Los algoritmos de mayor aplicaci´on sobre datos experimentales se describen breve- mente a continuaci´on con el objeto de generar un marco de referencia para los m´etodos seleccionados para el ajuste de las curvas anal´ıticas de la fundaci´on. Los ejemplos de apli- caci´on de las t´ecnicas descriptas en las secciones finales se presentan en el pr´oximo cap´ıtulo junto con las matrices f´ısicas derivadas de los modelos modales respectivos.

4.1

Algoritmos de Identificaci´on de Par´ametros Modales

En los trabajos de F¨ullekrug [35] y Zhang et al. [36] se presentan distintas clasificaciones de los algoritmos de identificaci´on de par´ametros modales. En el trabajo de Allemanget al. [37] se describen estos algoritmos con un enfoque unificado basado en la aproximaci´on de las componentes del modelo modal a trav´es de polinomios matriciales: se demuestra que un considerable n´umero de algoritmos en los dominios del tiempo y la frecuencia representan s´olo casos particulares de una formulaci´on polin´omica general denominada aproximaci´on polin´omica matricial unificada.

La clasificaci´on de los algoritmos puede realizarse utilizando distintos criterios. De acuerdo al dominio en que se procesan los datos se encuentran algoritmos en eldominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. De acuerdo al modelo experimental obtenido se distinguen algoritmos directoseindirectos. Los algoritmos directos utilizados enidentifica- ci´on de sistema se basan en las ecuaciones de equilibrio din´amico para obtener un modelo f´ısico condensado que reproduce la respuesta medida. Los algoritmos indirectos basados en los par´ametros modales permiten la derivaci´on de un modelo modal. Los algoritmos indirectos en el dominio de la frecuencia presentan dos variantes: los algoritmos de modo ´

unico ajustan individualmente cada modo mientras que los algoritmos demodos m´ultiples analizan varios modos en forma simult´anea.

Los algoritmos de identificaci´on de par´ametros modales se clasifican tambi´en de acuer- do a la porci´on ajustada de la matriz de receptancia. Los algoritmos decarga ´unica respuesta ´

unica(CURU) analizan individualmente cada componente de la matriz de receptancia. Los algoritmos de carga ´unica respuesta m´ultiple (CURM) analizan una columna completa con todos los GL medidos para una posici´on espec´ıfica de la carga (o una fila completa con todos los GL excitados de a uno por vez para una determinada posici´on de un ´unico transductor). Los algoritmos de carga m´ultiple respuesta m´ultiple (CMRM) denomina- dos poli-referenciales analizan la matriz de respuesta completa para varias posiciones de la carga. Los autovalores obtenidos por los algoritmos de CURU presentan generalmen- te dispersiones normales para datos experimentales de acuerdo a la componente ajustada. Estas dispersiones pueden suavizarse a trav´es de un promedio pesado en funci´on de la par- ticipaci´on modal en cada posici´on medida. Los algoritmos de CURM y CMRM permiten obtener los autovalores naturalmente suavizados como propiedades globales del sistema que no var´ıan entre las componentes de la matriz de receptancia.

El MPMC utilizado en el presente trabajo se enmarca dentro de los algoritmos in- directos de CURU aplicados en el dominio de la frecuencia. Sin embargo, los coeficientes ajustados de los polinomios complejos no guardan una relaci´on directa con los par´ametros modales. Las matrices modales se determinan en una instancia posterior con la totalidad de los coeficientes de losGL ajustados para obtener un conjunto ´unico de autovalores. Las matrices f´ısicas derivadas de las matrices modales resultan sim´etricas.

El MFPM se enmarca dentro de los algoritmos de CMRM. Una caracter´ıstica de estos algoritmos es que la linealizaci´on de las ecuaciones de ajuste impide controlar la simetr´ıa de las matrices resultantes. El motivo de la asimetr´ıa obtenida es que el n´umero de coeficientes ajustados es mayor que el n´umero rigurosamente necesario de elementos para definir matrices sim´etricas. Una propiedad importante de los modelos asim´etricos es que los autovectores por derecha difieren generalmente de los autovectores por izquierda. Sin embargo, la diferencia entre ambos conjuntos de autovectores suele resultar peque˜na y la imposici´on de la simetr´ıa se consigue con una degradaci´on m´ınima del ajuste obtenido.

Las matrices modales obtenidas con ambas t´ecnicas utilizadas (MFPM yMPMC) sue- len presentar polos inestables caracterizados por la parte real positiva. En el trabajo de Vold et al. [38] se demuestra la influencia que poseen las peque˜nas dispersiones de fase de las componentes de las formas modales obtenidas en el ajuste respecto a la estabilidad de algu- nos polos. A pesar de una aparente contradicci´on f´ısica, el conjunto completo de los modos garantiza la estabilidad del sistema cuando la bondad del ajuste refleja las caracter´ısticas de estabilidad de las curvas anal´ıticas obtenidas con las soluciones rigurosas. La inestabilidad de los polos se manifiesta en la aparici´on de elementos negativos en la diagonal principal de las matrices f´ısicas derivadas del modelo modal. La eliminaci´on compulsiva de los modos con polos inestables puede atentar contra la bondad del ajuste conseguido. En el trabajo de Juang y Maghami [39] se proponen t´ecnicas basadas en m´etodos de programaci´on no- lineal que permiten efectuar un reajuste fino del modelo modal para la estabilizaci´on de los polos inestables y la obtenci´on de un modelo f´ısicamente m´as robusto. Estas t´ecnicas no se profundizan dado que se apartan de los objetivos planteados en el presente trabajo.