Equivalencia de fracciones Números racionales

producen el mismo resultado. En efecto, en las dos siguientes situaciones de expresión de una parte de un todo discreto:

“De los 18 alumnos de la clase, los 2/3 son chicas”. “De los 18 alumnos de la clase los 4/6 son chicas”,

el número de chicas es el mismo, 12. En realidad, disponemos de infinitas fracciones para comparar el número de chicas 12 con el total de la clase 18:

2/3, 4/6, 6/9, 8/12, etc. Decimos que estas fracciones son equivalentes entre sí. Esta situación se suele ilustrar en la escuela primaria mediante gráficos como el siguiente:

4/6 de 18 chicas = 12 chicas 2/3 de 18 chicas = 12 chicas

◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ◊ ◊ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ◊ ◊ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ◊ ◊

Fracciones equivalentes. Caracterización:

Dos fracciones a/b, c/d son equivalentes si se cumple “la igualdad de los productos cruzados”, o sea: a.d = b.c.

En efecto, si a.d = b.c, dividiendo ambos miembros por b.d y simplificando se obtiene, d c b a d b c b d b d a _{= =} ; . . . .

Y viceversa, si multiplicando ambos miembros por b.d y

simplificando se obtiene d que a.d = b.c

c b a ₌

Esta relación cumple las tres condiciones exigidas a las llamadas relaciones de equivalencia, o sea:

• Reflexiva: toda fracción es equivalente a sí misma;

• Simétrica: si una fracción x es equivalente a otra fracción y e y es equivalente a x,

entonces x e y son la misma fracción;

• Transitiva: si una fracción x es equivalente a otra fracción y e y es equivalente a otra

fracción z, entonces x y z son equivalentes

Es importante destacar que en la mayor parte de las situaciones, las fracciones equivalentes se usan indistintamente. Intuitivamente vemos que dos fracciones equivalentes, tales como 2/3 y 4/6 se refieren a una misma cantidad si se trata de una magnitud o a una misma razón si se trata de una comparación. Lo mismo ocurre con todas las fracciones equivalentes a la dada: 3/9, 20/30, 200/300, etc. Esta idea intuitiva se formaliza introduciendo los números racionales.

Número racional

El conjunto de las fracciones queda dividido en “clases de equivalencia”, cada una de ellas formada por todas las fracciones equivalentes entre sí. Cada una de las clases se

dice que es un número racional; y el conjunto de todas las clases, el conjunto de los

números racionales Q (incluyendo los números positivos y negativos, como se explica en el capítulo 6). Esta descripción abstracta se puede interpretar desde un punto de vista más intuitivo:

El número racional [2/3] = {2/3, 4/6,...} lo identificamos con la fracción 2/3 cuando es usada como representante de cualquier otro miembro de la clase de fracciones equivalentes a 2/3.

Las distintas fracciones de una misma clase de fracciones equivalentes son todas ellas diferentes unas de otras. Cuando se escribe:

estas tres fracciones, en tanto que tales fracciones, no son iguales entre sí, sino equivalentes (se puede sustituir una por otra). Pero todas estas fracciones representan la misma clase de equivalencia, el mismo número racional. Por ello usamos el símbolo de igualdad. 159 106 5 3

=

=

Algunos textos y documentos curriculares usan la expresión "número fraccionario" para referirse al número racional.

La equivalencia de fracciones y razones es la propiedad que justifica varias técnicas importantes de manipulación de racionales. Una de ellas es la técnica de 'simplificación

de fracciones' que nos permite pasar de una fracción a la fracción irreducible2

equivalente a ella y que consiste en dividir numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos números. Otra técnica es la de 'reducir a común denominador' o 'reducir a común numerador' varias fracciones, técnica consistente en elegir fracciones equivalentes a las dadas, todas ellas con el mismo denominador o con el mismo numerador, para lo cual hay que buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores o numeradores.

La equivalencia de razones permite establecer la 'regla de tres', técnica que permite encontrar uno de los términos de una proporción conocidos los otros tres y que se basa en el hecho ya comentado de que en una igualdad entre dos razones (proporción) los productos en cruz son iguales. Si el término desconocido es un extremo se obtendrá multiplicando los términos medios de la proporción y dividiendo el resultado por el otro extremo. Si el término desconocido es uno de los términos medios de la proporción se obtendrá multiplicando los extremos y dividiendo el resultado por el término medio conocido.

Fracciones irreducibles:

Cuando trabajamos con un número racional, conviene designarle por la fracción más simple posible, como por ejemplo, 3/5 en el ejemplo anterior. Estas fracciones que no se pueden simplificar (dividiendo numerador y denominador por el mismo número) se llaman fracciones irreducibles.

Números racionales particulares

• Todo número entero es un racional, pues cualquier entero se puede escribir en la

forma de fracción: - 0 = 0/1 = 0/2 =... - 1 = 1/1 = 2/2 =... - 2 = 4/2 = 6/3 =...

• Todo número decimal es un racional, pues todo número decimal se puede escribir

bajo la forma de una fracción cuyo denominador es una potencia de diez. 1’2 = 12/10 (= 6/5)

34’56 = 3456/100

En consecuencia, el conjunto de los enteros y el de los decimales son subconjuntos de Q, el conjunto de los números racionales.

Ejercicios

2 ¿Puedes simplificar la fracción 1/3? ¿Y 3/5? ¿Por qué? ¿Y amplificarlas? 3. Escribe tres fracciones equivalentes a cada una de éstas: 2/5; 3/2; 10/4.

2 _{Se llama fracción irreducible a una fracción en la que numerador y denominador son primos entre sí, es}

4. Entre tres amigos se han repartido 360 cromos de la siguiente manera: al primero 3/9, al segundo 4/12 y al tercero 1/3. ¿Cuántos cromos le corresponde a cada uno? ¿Qué relación hay entre las tres fracciones?

5. ¿Cuál de las siguientes fracciones es irreducible? 10/21; 15/24; 220/1617

6. Reduce la fracción 12/20, ¿por qué número debes dividir numerador y denominador? ¿ y para reducir la fracción 28/42? ¿Puedes encontrar una regla general para reducir una fracción? 7. Demuestra que 8/29 =6/15.