Operaciones con fracciones y números racionales

Puesto que un número racional viene representado por una infinidad de fracciones equivalentes, para operar con dos números racionales x e y, basta operar con alguna de las fracciones que representan a x y a y. La clase de equivalencia representada por el resultado de la operación es un número racional, resultado de operar con los números

racionales x e y. Usualmente lo que hacemos es elegir la representación más simple

posible, es decir la fracción irreducible que representa a ese número racional. En consecuencia definimos las operaciones con fracciones.

4.1. Suma y diferencia de fracciones y números racionales positivos

La suma y diferencia de fracciones se justifica a partir del mismo tipo de situaciones que daban sentido a la suma y diferencia de naturales, es decir, situaciones de parte-todo, de reunión, de transformación o de comparación. Por tanto, el sentido de la suma y diferencia no cambia, cambian únicamente las cantidades que intervienen, que ahora son medidas o partes de un todo, mientras que antes eran cardinales u ordinales.

La suma de dos fracciones de igual denominador se define como el resultado de sumar los numeradores y dejar invariante el denominador,

a b a b

c c c

+ + =

Ejemplo:En una reunión, 2/6 de las personas son hombres y 3/6 son mujeres, ¿Qué fracción de los presentes son adultos?

=

∪

La diferencia de fracciones de igual denominador es el resultado de restar los numeradores y mantener el mismo denominador.

a b a b

c c c

− − =

Por supuesto, para que una diferencia de fracciones positivas sea posible tiene que ser el primer numerador mayor o igual que el segundo.

Suma de fracciones de distinto denominador

Si tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y se aplican las definiciones anteriores (en este caso lo que se está sumando o restando son los racionales representados por dichas fracciones). En la práctica se habla de suma de fracciones de distinto denominador.

Estas definiciones se justifican bien a partir de situaciones de medida por fraccionamiento de la unidad. Por ejemplo, si yo tengo una cantidad de magnitud A que mide 3/5 unidades y otra B que mide 8/5 la unión de las dos cantidades de magnitud será una nueva cantidad de magnitud que medirá 11/5.

Suma y diferencia de números racionales

La suma o diferencia de dos racionales será el racional definido por la suma o diferencia de dos fracciones representantes de cada uno de los dos racionales que se desea sumar o restar.

Propiedades:

De las propiedades de la suma de fracciones, se deducen las siguientes propiedades para la adición de números racionales:

• Es una operación binaria e interna en el conjunto Q; • Es asociativa;

• Es conmutativa;

• Tiene elemento neutro (el 0);

• Todo elemento tiene simétrico (el opuesto).

Ejercicios

11. En Córdoba, durante el año pasado, las 4/5 partes de los días la temperatura superó los 25ºC, mientras que en León sólo ocurrió ésto una sexta parte de los días, aproximadamente, ¿Cuántos días hubo más de 25ºC en Córdoba? ¿Y en León?

12. Ilustra las siguientes sumas y diferencias de fracciones usando el modelo de áreas: 2/5+3/8; 4/7-2/11.

13. Supón que tienes que explicar a un niño los pasos a dar para sumar dos fracciones. Escribe una lista de todos estos pasos. Dibuja un organigrama que el niño pueda seguir para resolver la tarea con éxito.

14. Si el precio de un producto sube de 3 1/3 de euro el kilo a 4 1/8 de euro. ¿En cuántos euros se incrementa el precio? ¿Qué tanto por ciento de subida supone sobre el precio inicial?

4.2. Producto y cociente de fracciones y números racionales positivos

A diferencia de lo que sucede en la suma, el sentido del producto de racionales cambia respecto al producto de naturales. En estos últimos un producto significa, ante todo, una suma repetida; sin embargo, en el caso de las fracciones y racionales no es

posible interpretar el producto 3 1

4 5x como el resultado de sumar 1/5 repetidas veces

porque el número de veces no puede ser fraccionario.

La situación que permite entender mejor el sentido del producto de racionales es la de partición de un todo plural, un todo que se compone de una colección de objetos homogéneos. Supongamos un conjunto de 70 lápices iguales. Obtener los 3/5 del total significa descomponer el conjunto en 5 subconjuntos de 14 lápices cada uno y coger 3 de dichos subconjuntos. En total, obtendremos 42 lápices. Si ahora tomamos los 4/7 de esa última cantidad, eso significa descomponer el conjunto de 42 lápices en 7 subconjuntos de 6 lápices cada uno y tomar 4 de esos subconjuntos. El resultado final son 24 lápices. Pero si calculamos los 12/35 de la cantidad inicial de lápices se obtienen también 24 lápices. Esto quiere decir que calcular los 4/7 de los 3/5 de 70 es lo mismo que calcular los 12/35 de 70.

En general, se comprueba que a/b de c/d de cualquier cantidad es lo mismo que

ac

bd de esa misma cantidad. Por tanto, el producto de dos fracciones se define de la

manera siguiente:

x

x

a c axc

b d =b d

y su sentido es el de una fracción de fracción.

El producto de dos racionales será el racional definido por el producto de dos fracciones representantes de cada uno de los dos racionales que se desea multiplicar.

El cociente de fracciones y racionales tampoco tiene el sentido de reparto o resta reiterada de la división entre naturales, sino que es, simplemente la operación inversa del producto.

Se define el cociente de fracciones como el producto de la primera fracción por el inverso de la segunda: x : x x a c a d a d c d = b c = b c

El cociente de dos racionales será el racional definido por el cociente de dos fracciones representantes de cada uno de los dos racionales que se desea dividir.

Ejemplo:

En una reunión hay 24 personas, los 2/3 de los presentes son adultos y ¾ de los adultos son hombres.

a) ¿Cuántas personas adultas hay en la reunión? b) ¿Cuántos niños hay en la reunión?

c) ¿Qué fracción son los hombres respecto del total de personas?

La representación gráfica mediante áreas de rectángulos permite expresar adecuadamente la situación: 1 3 2 3 3 4 1 4 Niños hombres mujeres Ejercicios

15. Si 1/3 de la cosecha de aceituna se estropea por causa de una tormenta y 1/10 de lo que quedó se perdió por causa de una plaga, ¿qué fracción de la cosecha pudo ser utilizada?

16. En un festival los 2/3 son adultos y de ellos los 3/5 son hombres. Hay 20 niños y niñas más que mujeres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay en el festival?

17. Inventa un problema cuya solución sea 5: 1/10.

18. Cuando lanzamos una pelota desde una cierta altura, rebota hasta ¼ de la altura a que se lanzó. Si después de tres botes la altura alcanzada es 10 cm ¿A qué altura inicial se lanzó la pelota?

4.3. Orden de fracciones y racionales positivos

Para comparar entre sí dos números racionales comparemos dos fracciones representantes de cada uno de los dos números racionales que se desea comparar.

Dadas dos fracciones con el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador; si las fracciones tienen igual numerador será menor la que tenga el mayor denominador; si no tienen iguales los numeradores ni los denominadores se reduce a común numerador o denominador y se aplica una de las reglas anteriores.

Ejemplo: Si una cantidad de magnitud mide 3/11 unidades será menor que la cantidad de magnitud que mide 7/11 unidades y también menor que la que mide 3/5 unidades. También se puede ver que si un individuo recibe en un reparto en la razón 3 : 11 recibirá menos que si se repartiera en la razón 7 : 11.

Una propiedad muy importante del orden de racionales es que dados dos racionales, por muy próximos que los elijamos siempre podemos encontrar tantos racionales como queramos que sean mayores que uno de ellos y menores que el otro. Esta propiedad se suele enunciar diciendo que entre dos números racionales distintos existen siempre infinitos racionales. También se dice que el conjunto de los números racionales es un conjunto denso. Todo esto implica que en los números racionales, a diferencia de lo que sucede en los naturales, deja de tener sentido el concepto de número ‘siguiente’ o ‘anterior’ ya que nunca podremos encontrar dos racionales que no tengan otros

racionales entre ellos.

La definición algebraica de orden en Q requiere previamente decir cuando consideramos que un racional es positivo. Esto se puede hacer del siguiente modo:

- El racional [m/n] es positivo si m.n∈N

Después de esto podemos decir que el racional x es menor que y, x<y, si la diferencia

y-x es positiva.

Ejemplos:

• Para probar que 3/8 < 5/8 basta comparar los numeradores

• Para probar que 4/11 < 3/8, se reemplazan ambas fracciones por otras equivalentes

con iguales denominadores, y se comparan los numeradores. En general, si a, b, c, d son enteros y b y d son positivos, entonces,

a/b < c/d, sí y sólo sí a.d < d.c

Propiedades de la ordenación en Q:

Las siguientes propiedades son consecuencias de la definición de número racional positivo, de la definición de relación de orden y del hecho de que los racionales positivos son cerrados respecto de la multiplicación y adición.

Tricotomía: Si r y s con números racionales, entonces una de las siguientes relaciones es verdadera: r < s, r > s, o r = s.

Transitividad: Para números racionales r, s, y t, si r < s y s < t, entonces r < t.

Aditividad: Para números racionales r, s, y t, si r < s, entonces r +t < s + t.

Mutiplicatividad: Para números racionales r, s y t: - Si r < s y t > 0, entonces, t.r < t.s: - Si r < s y t < 0, entonces, t.r > t.s

Ejercicios:

10. Aplicar las propiedades anteriores para resolver la siguiente desigualdad: -2.x – 2/3 < 4/5.

20. Encontrar un número racional entre 6/7 y 8/9.

21. Si x e y son números racionales y x > y, ¿Cuáles de las siguientes condiciones son ciertas?

• 1/x > 1/y • 1/x < 1/y