Espaciados dendríticos primarios

En el proceso de solidificación si el gradiente de temperatura frente a una intercara plana se reduce por debajo de un valor crítico, se comienza a formar una estructura celular. Esta protuberancia provoca el movimiento de soluto hacia los lados de dicha

96 protuberancia, donde se apila, dando lugar a una concentración mayor. Para mantener el equilibrio, las zonas adyacentes a la protuberancia deben desplazarse a zonas de menor temperatura, lo cual origina, la formación de nuevas protuberancias. Estas protuberancias, pueden desarrollarse en brazos largos o células que crecen paralelamente a la dirección del flujo de calor. Estas estructuras son estables para un cierto intervalo de gradientes de temperatura y cuando éstos disminuyen, los brazos primarios desarrollan brazos secundarios, es decir, existe un cambio de morfología de célula a dendrita.

El proceso de solidificación es columnar si el flujo de calor avanza en dirección contraria del crecimiento dendrítico permitiendo la formación de núcleos sobre el frente de solidificación. En cambio, si el crecimiento tiene lugar a partir de un núcleo que se forma en el líquido, el crecimiento es equiaxial, por lo tanto, las dendritas crecerán libre y rápidamente en forma radial hasta constituir una red continua a través del sólido. El espaciado entre brazos primarios , para una configuración (a) direccional, es la distancia entre columnas de la dendrita y (b) equiaxial, es el diámetro de la configuración dendrítica. Cuando la dendrita crece de manera direccional, el espaciado dendrítico primario se mide tal como lo muestra la Fig. 3.7 y se calcula como el promedio de la distancia perpendicular entre ramas.

Fig. 3.7.- Espaciados dendríticos primarios y secundarios en la zona pastosa y radio de la extremidad de una dendrita. Imagen adaptada de Vanovsek y col. [95]

97 En esta figura, se observa un arreglo dendrítico primario y secundario en tres dimensiones, que se forma durante el proceso de solidificación direccional. La caracterización del espaciado dendrítico primario se obtiene con la Ec. 3.2 como el promedio de la longitud entre ramas primarias o columnares.

Ec. 3.2

De la Ec. 3.2, el término es la sumatoria de las mediciones experimentales de .

Por otro lado, varios autores, Hunt[22], Kurz y Fisher[23], Trivedi[83], Okamoto y Kishitake[96], Hunt y Lu[84], Cicutti y col. [11], Bouchard Kirkaldy[19], Ma y Sahm[12] y Cabrera y col. [4], en base a parámetros termo-físicos han desarrollado modelos para calcular el espaciado dendrítico primario . Con excepción de Cicutti y col. [11] los modelos que describen la evolución del espaciado dendrítico primario son simplificados en un modelo general, a través de la siguiente ecuación.

_{Ec. 3.3}

Donde es un parámetro constante que está en función de las propiedades termo- físicas del material y , son exponentes que dependen del criterio utilizado para el radio de curvatura de la dendrita. Asimismo, el espaciado dendrítico primario es función del gradiente térmico y de la velocidad de solidificación . El gradiente térmico se define como:

Ec. 3.4

En la Ec. 3.4, se asume que la temperatura de la extremidad de la dendrita primaria es igual a la temperatura liquidus y en la raíz de la dendrita es igual a la temperatura solidus. Además, la longitud corresponde al ancho de la zona pastosa, el cual se mide linealmente en la dirección del avance de la dendrita primaria, entre las posiciones geométricas de las líneas liquidus y solidus. Así, con el gradiente térmico y la velocidad de enfriamiento , en la Ec. 3.5 se obtiene la velocidad de solidificación .

98

Ec. 3.5

Para diferentes aceros, varios autores proponen valores empíricos para las contantes y , ver Tabla 3.1. De este modo, con la composición química de la aleación y la Ec. 3.3, se puede determinar la evolución de los espaciados dendríticos primarios .

Composición química (% en peso) de aceros Referencia

0.59C 3960 0.26 0.72 [97] 1.48C 4760 0.24 0.72 [97] 0.4C, 1Cr, 0.23Mo 1467 0.20 0.40 [98] 0.64C, Mn 1242 0.19 0.39 [99] 0.63C, 10Mn, 15Ni 1274 0.17 0.36 [99] 0.68C, 28Cr 1379 0.25 0.31 [99] 0.03C, 18Ni, 12Co 2210 0.37 0.43 [99] 0.5-0.6C, 0.57Mn 1750 0.14 0.50 [79] 0.09-0.14C 1371 0.23 0.39 [100] 0.1C, 0.4Mn, 0.08Si, 0.012P, 0.009S 2000 0.25 0.50 [4] 0.08C, 1.48Mn, 0.86Si, 0.01P, 0.008S 4500 0.25 0.50 [4] 0.09C, 1.2Mn, 0.55Si, 0.011P, 0.014S 3500 0.25 0.50 [4] 0.63C, 0.67Mn, 0.21Si, 0.012P, 0.014S 13000 0.25 0.50 [4] 0.15C 2343 0.25 0.5 [80]

Tabla 3.1.- Parámetros experimentales del espaciado dendrítico primario para diferentes aceros

Por otro lado, la Ec. 3.3 tiene su origen a partir del radio de la extremidad de la dendrita primaria correspondiente al radio de curvatura , tal como lo muestran las figuras 3.6 y 3.7.a. El radio de curvatura es en función de la longitud del semi-eje menor y mayor, y , respectivamente, parámetros que se pueden relacionar con la ecuación de una elipse:

Ec. 3.6

donde es proporcional al espaciado dendrítico primario, el cual para un arreglo de tipo hexagonal, queda definido como:

99

(a) (b)

Fig. 3.8.- Relación entre parámetros geométricos y termo-físicos para la determinación de (a) lambda 1 y (b) lambda 2. Imagen adaptada de Kurz y Fisher[101]

De la misma manera, se calcula como el cociente de la diferencia de temperaturas , entre las temperaturas de la punta y de la raíz interdendrítica, y el gradiente térmico en la zona pastosa .

Ec. 3.8

A continuación, reemplazando las ecuaciones 3.7 y 3.8 en la Ec. 3.6 y despejando , se obtiene el modelo teórico genérico de Kurz y Fisher[23], que describe el espaciado dendrítico primario.

Ec. 3.9

A partir de la Ec. 3.6, varios autores han propuesto modelos teóricos para determinar el espaciado dendrítico primario . Tal y como se dijo anteriormente, la gran mayoría de estos modelos se diferencian en el criterio del radio de la extremidad de la dendrita .

100 De este modo, a partir de un análisis geométrico en una dendrita columnar, Hunt[22] y más tarde, Kurz y Fisher[23], desarrollaron un modelo para describir el espaciado dendrítico primario para la solidificación unidireccional. Asumieron una condición de estado estable en la interfase líquido-sólido de la extremidad de la dendrita y para una composición química del líquido y la temperatura constantes en la dirección normal al crecimiento de la dendrita primaria. A continuación, se indican los modelos de Hunt[22] y Kurz y Fisher[23], para determinar .

Ec. 3.10

Ec. 3.11

Ec. 3.12

Si la velocidad de crecimiento de la dendrita es considerablemente más grande que la velocidad crítica , en que la interfase líquido-sólido comienza a ser inestable, la Ec. 3.10 se reduce a la Ec. 3.11. Estas ecuaciones son función de la velocidad de solidificación , el gradiente de temperatura , la composición inicial y las propiedades termo-físicas del material, entre éstas, el coeficiente de Gibbs-Thomson , la difusividad de soluto , el coeficiente de distribución y la pendiente de la línea liquidus .

Sin embargo, en los resultados de la Fig. 3.9, Trivedi[94] demuestra que para velocidades bajas de crecimiento, obtenido con los modelos de Hunt[22] y Kurz y Fisher[23] difieren del resultado empírico realizado para el succinonitrilo con un 5.5% en peso de acetona.

Por lo tanto, Trivedi[83], desarrolla un modelo que predice como función de la velocidad de crecimiento y una constante , para la cual sugiere un valor de para crecimiento dendrítico.

101

(a) (b)

Fig. 3.9.- Lambda 1 experimental para el succinonitrilo de 5.5% en peso de acetona, contrastado con los modelos de (a) Hunt[22] _{y Kurz y Fisher}[23]_{, y (b) Trivedi}[83]

Okamoto y Kishitake[96], proponen (ver Ec. 3.14) un método simplificado para correlacionar el espaciado dendrítico primario con parámetros de solidificación. Asumieron que las dendritas secundarias engrosan a medida que la solidificación avanza. En la Ec. 3.14, es una constante menor que la unidad y para aluminios sugieren un valor de .

Ec. 3.14

Después, Hunt y Lu[84] desarrollan un modelo numérico de crecimiento para describir en configuraciones de tipo celular y dendrítica. El crecimiento es celular cuando la velocidad de la interfase líquido sólido está por debajo de un límite establecido experimentalmente, de modo contrario, el crecimiento será dendrítico. Obtuvieron con la Ec. 3.15 una muy buena predicción numérica de , excepto para un número de Peclet muy alto (el número de Peclet es un número adimensional que relaciona la velocidad del fluido con la difusividad térmica en una longitud característica). Esto significa que los mecanismos de convección dominan y por lo tanto, el modelo deja de funcionar.

102 = ; R = ; ;

Asimismo, Bouchard y Kirkaldy[19] para solidificación unidimensional, para un flujo de calor estado estable e inestable estudian el efecto: (a) de la concentración de soluto, (b) de la velocidad de crecimiento de la extremidad y (c) del gradiente de temperaturas de la dendrita. Proponen un modelo que no predice satisfactoriamente para un flujo de calor inestable, y derivan heurísticamente la forma modificada de una fórmula estado estable para determinar , de la siguiente manera:

Ec. 3.16

En la Ec. 3.16, es la temperatura de fusión, es el calor latente de fusión, es un factor de escala de la tensión superficial, es la energía libre de superficie líquido- sólido y es el factor de calibración dendrítico.

Por otra parte, Cicutti y col.[7], para calcular el espaciado dendrítico primario desarrollan un modelo matemático en función de la posición del frente de solidificación , en la sección transversal de una pieza de acero obtenida con el proceso de colada continua. Asumen las siguientes hipótesis: (a) el tamaño de la capa solidificada es muy pequeño respecto del espesor de la pieza en estudio, (b) la temperatura de la superficie es constante y (c) la distribución de temperaturas y el avance del frente de solidificación pueden ser estimados en un dominio semi-infinito. De este modo, para aceros obtuvieron una buena aproximación entre el resultado numérico y el experimental, según la siguiente expresión.

_{Ec. 3.17}

En la Ec. 3.17, y son parámetros que dependen de la difusividad térmica , del calor específico y el calor latente de solidificación , temperaturas de colada, fusión y superficie, y , respectivamente.

103 Ma y Sahm[12], (ver Ec. 3.18) desarrollan un estudio teórico para caracterizar los espaciados dendríticos primarios como función de parámetros del proceso de solidificación. Consideraron que el crecimiento dendrítico primario es la suma de la base de la dendrita primaria (diámetro del corazón de la dendrita) y el doble del largo total de la dendrita secundaria. Además, compararon la predicción del modelo con el resultado empírico obtenido para varias aleaciones y con el modelo de Hunt y Lu[84].

Ec. 3.18

Y por último, a partir del modelo de propuesto por Kurz y Fisher[23], en base a una metodología estadística Cabrera y col.[4] expresan un parámetro constante como función de la composición química del acero.

Ec. 3.19