Estructura de los NTsC

Como se ha mencionado en la sección previa, Iijima [1.10] había observado que la parte cilíndrica de los nanotubos estaba formada por hexágonos arreglados a lo largo de una trayectoria helicoidal y alrededor del eje del tubo. También explicó conceptualmente la manera en cómo un nanotubo podría formarse al doblar al grafeno desde un plano. De manera inversa, si un nanotubo es desdoblado hasta quedar sobre un plano, el arreglo hexagonal y el eje del nanotubo formarán un ángulo. Dicho ángulo será suficiente para explicar su geometría helicoidal así como su simetría de traslación, como se muestra en la Figura 1.13. Antes de desenrollar el nanotubo, los hexágonos A y A´ estarán sobrepuestos; pero después de desenrollarlo, como se puede apreciar en dicha figura, estarán en diferentes hileras de hexágonos, las cuales estarán desplazadas una con respecto de la otra por una cantidad de tres unidades hexagonales. Eso significa que después de una rotación alrededor del eje, el paso de la hélice será de tres unidades.

Para estudiar las propiedades electrónicas de los nanotubos de Carbono, fue necesario establecer primero su geometría. Hamada et al., [1.16] encontró que las propiedades de conducción en los nanotubos de Carbono dependían de la estructura del nanotubo, tales como su diámetro y el ángulo de la hélice. Usó el concepto propuesto por Iijima describiendo la geometría del nanotubo extendiéndolo a través de una capa de grafeno en un plano. Primero estableció el origen en el centro de un hexágono, y luego definió la dirección de los ejes coordenados por medio de dos vectores unitarios a y b. Al primer

vector, a, lo orientó en la dirección perpendicular a una de las caras hexagonales y al segundo vector, b, a un ángulo de 120o y girado en sentido contrario a las manecillas del reloj con respecto del primero. Después de eso, fue capaz de representar cualquier punto en la red plana hexagonal mediante las coordenadas n1 a lo largo de la dirección a y n2 a lo

largo de la dirección b. A las coordenadas (n1, n2) también se les conoce como índices; y

para cada punto en la red, sólo hay un par de ellos. Para formar el nanotubo a partir del vector n1a + n2b, solo se debe enrollar el plano de grafeno, sobreponiendo el punto

definido por la punta de dicho vector con el origen. Como una observación la mayoría de los autores utilizan diferentes letras para los índices y para los ejes. Se utiliza el índice n en lugar de n1 y m en lugar de n2. Y para los vectores unitarios a1 en lugar de a, y a2 en lugar

de b.

Figura 1.13 Diagrama esquemático mostrando un arreglo helicoidal de un nanotubo de Carbono [1.10].

Algunos días después, Dresselhaus et al., [1.17] en un trabajo independiente llamaron al vector que unía su punta con el origen, vector quiral. Se especificó que la longitud del vector es igual a πd, donde d es el diámetro del nanotubo, siendo además perpendicular al eje del mismo. En este trabajo también señalaron que con base al ángulo de la hélice, los nanotubos se podrían clasificar en tres tipos: sillón, zig-zag y quiral. El nanotubo crecerá

en un tipo u otro dependiendo de la tapa de fulereno que contenga. Saito et al [1.18] finalmente expresaron el vector quiral en una forma similar a la Ecuación 1.1, y el diámetro a una que se parece a la Ecuación 1.5. White et al. [1.19] también estuvieron preocupados con estudiar el mapeo conforme del nanotubo, desde una capa plana de grafeno hasta su geometría cilíndrica.

La estructura de los nanotubos de Carbono de pared única está basada en la representación hexagonal de una red de grafeno; ya que si se desenrollara, el nanotubo formaría una estructura similar a la del grafeno. Para modelar las diferentes formas en las cuales un SWCNT pude ser enrollado, se requieren conocer dos parámetros: el vector quiral, Ch, y el ángulo quiral θ [1.20]. El vector quiral siempre es perpendicular al eje del nanotubo [1.21], mientras que el ángulo quiral es aquel formado entre el vector quiral y el eje conocido como zig-zag. El vector quiral transforma cualquier punto sobre el nanotubo, que sea intersecado por un plano perpendicular a su eje, en puntos conectados sobre el plano de grafeno. De tal manera que si el plano fuera enrollado alrededor del eje del nanotubo, el punto inicial y el punto final del vector quiral estarían sobre el mismo punto. Una red hexagonal que muestra los dos parámetros antes mencionados se representa en la Figura 1.14.

Como se ha mencionado anteriormente, el vector quiral se puede representar como la resultante de dos componentes del sistema hexagonal del grafeno. Por lo que se puede definir mediante la relación:

�ℎ =���+��� 1.1

Donde Ch es el vector quiral, n y m son números enteros llamados índices quirales, los cuales representan la magnitud de las componentes del vector quiral; mientras que a1 y a2

son los vectores unitarios cuando se toma a la red hexagonal como base. Los vectores a1 y a2 como se mostrará posteriormente, se pueden expresar a su vez tomando como base las

coordenadas cartesianas en los ejes x e y, así como la constante de red del grafito, a. La constante de red, ha sido calculada por varios investigadores como a = 2.46 °A [1.21] ó 2.49 oA [1.24]. �1=�√ 3 2 �+ � 2� 1.2 �2 =�√ 3 2 � − � 2� 1.3

El ángulo quiral, θ, está definido por:

���� = 2�+�

2√�2_+�2_+�� 1.4

Finalmente, el diámetro D del nanotubo se puede expresar en también en función del vector quiral como:

�=|�ℎ|

� =

����3(�2+�2+��)

Donde ac=c es la distancia Carbono-Carbono. No todas las distancias Carbono-Carbono son

las mismas, pues difieren un poco de acuerdo con el alótropo de Carbono que se esté considerando. Para el grafito ac=c = 1.42 oA, mientras que para el fulereno C60 = 1.44 oA

[1.01].

Como se ha expresado en las ecuaciones anteriores, tanto el vector quiral Ch, como el ángulo quiral θ, y el diámetro D son completamente descritos por los enteros n y m. De esta manera cualquier SWCNT se puede definir completamente a través del par (n,m). Para dibujar al vector quiral sobre un plano de grafeno, éste se separa en dos vectores, En el primero de ellos su magnitud está determinada por el número n y se dibuja contando el número n de hexágonos dirigidos a lo largo del eje de zig-zag, pues este eje tiene la misma dirección que a1; mientras que el segundo vector está dirigido a lo largo de la dirección de

a2 y para llegar a su punta se cuenta un numero m de hexágonos. El punto final al que se