Modelo Continuo para la Energía de Curvatura en SWCNTs

Robertson et. al., aplicaron el modelo de la energía de deformación desarrollado por Tibbetts [2.24], el cual desarrolló usando la teoría del medio continuo para vigas para explicar la formación de filamentos tubulares de carbono, y así obtener una expresión para la energía de curvatura para los nanotubos. Se encontró que este modelo igualaba perfectamente la tendencia 1/R2. Dicha tendencia apareció cuando los datos obtenidos de las simulaciones moleculares usando un potencial empírico, fueron ajustados en una curva

ln (energía de deformación) vs ln (del radio), dando como resultado una línea con una

el modelo desarrollado usando la teoría de medio continuo. La derivación dada por Tibbetts se muestra a continuación.

Si se considera que un filamento tubular es formado a partir del doblamiento de una barra continua y plana, como la que se muestra en la Figura 2.06, entonces se requerirá la aplicación de un momento flexionante para doblarla. De la mecánica del medio continuo se sigue: � =�� � 2.14 � =�ℎ 3 12 2.15

Donde M es el momento flexionante necesario para doblar la barra, Y es el módulo de Young, I es el momento de inercia, R es el radio de curvatura, L es la longitud de la placa, y h es el espesor.

Figura 2.06 Vista de una viga, la cual es doblada hasta que forma el radio R cuando se le aplica el momento flexionante M. OBSERVACIÓN: La letra “a” será cambiada por “h” en el presente análisis [2.24].

Si queremos encontrar la magnitud del diferencial de trabajo que es necesario para doblar la viga cuyo ancho es dl en un ángulo dθ dicha expresión está dada por:

��=1

Sustituyendo la Ecuación 2.15 en la 2.14, y su resultado en la Ecuación 2.16 tendremos:

��= 1 24

��ℎ3

� �� 2.17

Integrando el diferencial de trabajo de la Ecuación 2.17, hasta formar completamente al cilindro, tendremos la energía necesaria para doblar todo el tubo, la cual está dada por:

� �� = ��ℎ 3 24� � �� 2� 0 2.18 �= 2� 24 ��ℎ3 � 2.19 � = ���ℎ 3 12� 2.20

En este punto, Robertson et al., adaptaron la ecuación de la energía de curvatura de un filamento tubular, para los nanotubos. Ya que la energía que se obtiene de las simulaciones moleculares es energía por átomo, es necesario encontrar el número de átomos sobre los cuales la energía total necesaria para doblar el nanotubo está distribuida. Para ello será necesario primero definir al área que ocupa cada átomo de Carbono, Ω.

Ω= ����������������������

�������� ���� 2.21

Ω= 2���

� 2.22

Donde Ω es el área por cada átomo de Carbono, R es el radio del nanotubo, L es la longitud del nanotubo y N es el número de átomos de Carbono en el nanotubo. Despejando el número de átomos de la Ecuación 2.22 tendremos:

� =2���

Ya que la energía total para doblar el nanotubo está dada por el trabajo de la Ecuación 2.20, y el número de átomos en el nanotubo por la Ecuación 2.23, ahora es posible encontrar la energía de curvatura de cada átomo de Carbono, Ec, al dividir la Ecuación

2.20 entre la 2.23. � � =�� = ���ℎ3 12� 2��� Ω 2.24 �� =�ℎ 3 24 Ω �2 2.25 �� = A �2 2.26

Cada una de las variables tiene el mismo significado explicado anteriormente. Robertson et al., asumieron un espesor del nanotubo de h=3.35 oA, el cual corresponde a la distancia que existe entre los planos del grafito, y un área por átomo de Carbono Ω= 2.6296 oA2. Para simplificar aun más la Ecuación 2.25, se han agrupado las constantes para Y, h y 24 en una sola llamada A = Yh3Ω/24, como se muestra en la Ecuación 2.26. Tanto la Ecuación 2.25 como la 2.26 proporcionan una expresión para calcular la energía requerida para doblar un nanotubo a partir de una capa plana de grafeno. Debemos de tener en consideración que el trabajo realizado sobre la capa de grafeno para enrollarlo y formar un nanotubo, queda almacenado como energía de deformación interna en los átomos de Carbono. También se debe de tener en consideración que para que los resultados de las Ecuaciones 2.25 y 2.26 se ajusten a los datos obtenidos en las simulaciones moleculares, se debe emplear un módulo de Young igual a 0.045 TPa. Éste valor es cercano a la constante elástica para el grafito a lo largo del eje-c, C= 0.036 TPa, pero es de un orden de magnitud menor que el valor obtenido por Lu para la constante elástica C11 para los

SWCNTs de C11= 0.3975 TPa [2.09]. Si reemplazamos todos los valores conocidos en la

�� =

1.167 [��°A2/atom]

�2 2.26b

En esta última Ecuación, el radio deberá de expresarse en Angstroms. La Ecuación 2.26b o alguna similar es muy útil si no se dispone de equipo para realizar simulaciones, pues la energía de curvatura que se obtiene con esta ecuación es muy aproximada a la obtenida mediante simulaciones moleculares.

La energía de deformación necesaria para formar la curvatura de los nanotubos, calculada tanto por simulaciones ab initio como por simulaciones moleculares se puede ajustar satisfactoriamente a una ecuación del tipo Ec = A/Rα. En la Tabla 2.01, se muestran los

ajustes obtenidos por varios investigadores tanto para A, como para el exponente α al que hay que elevar al radio. Mientras que en la Figura 2.07, se muestran las curvas que determinan la energía de curvatura para varios potenciales. La Serie 1 es para la curva ajustada por Robertson et al., usando el potencial de Brenner, y la Serie 2 usando el potencial de Tersoff. La Serie 3 para la curva ajustada por Sanchez-portal para los NTsC del tipo (n,n), la Serie 4 para los NTsC del tipo (n,m), y la Serie 5 para los NTsC del tipo (n,0). Finalmente la Serie 6 es para la curva ajustada por Xin et al., para NTsC con diferentes quiralidades.

Tabla 2.01: Energía de Curvatura para los nanotubos de Carbono. En todos los métodos Ec depende del radio del nanotubo.

A eV °A2_/atom Exponente α en 1/Rα Depende de la quiralidad Método Ref.

1.167* 2 × Métodos de Potenciales Empíricos – Potencial de

Brenner (s1)

Robertson et al. [2.07]

1.53* 2 × Métodos de Potenciales Empíricos – Potencial de

Tersoff (s2)

Robertson et al. [2.07]

2.00 (n,n) 2.05±0.02 √ Cálculos Ab initio, pseudopotencial-DFT (s3) Sanchez-Portal [2.05] 2.15 (n,m) 2.05±0.02 √ Ab initio calculation, pseudopotencial-DFT (s4) Sanchez-Portal [2.05] 2.16 (n,0) 2.05±0.02 √ Ab initio calculation, pseudopotencial-DFT (s5) Sanchez-Portal [2.05] 1.44 2.03 × Electronic energy-band theory, Tight-binding (s6) Xin Z et al., [2.25] * No se proporciona este dato, por lo que ha sido calculado

Figura 2.07 Varias gráficas para la Energía de deformación vs Radio

Como se puede observar en la Tabla 2.01, todas las curvas de la Energía de deformación para curvar al nanotubo se ajustaron a una ecuación del tipo Ec = A/Rα, en donde el

exponente α prácticamente es igual a 2 para todas ellas. Esta tendencia obtenida por simulaciones tanto ab initio como de MM, es congruente con el exponente 2 del Radio de la Ecuación 2.26, deducido de la teoría del medio continuo. Sin embargo, como se puede apreciar también en la Figura 2.07, el valor de Ec para un nanotubo con radio

determinado, depende del potencial que se elija. La dependencia de Ec con el potencial se

ve reflejada en los diferentes valores de la constante A que tiene cada curva. Otro aspecto que se puede observar en dicha figura es que las curvas muestran una mayor dispersión de los valores de Ec para los nanotubos de menor diámetro. Por ejemplo, hay poca

dispersión cuando el radio es de 7 oA, pero la diferencia es significativa cuando el radio es de 4 oA. Si se ha calculado previamente Ec, con alguna técnica de simulación, entonces la

Ecuación 2.25 se puede usar para determinar el módulo de Young, ya que h, Ω y R se