Propiedades mecánicas de los nanotubos de carbono

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEOS

PROPIEDADES MECÁNICAS

DE LOS NANOTUBOS DE CARBONO

TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

D O C T O R E N C I E N C I A S

CON ESPECIALIDAD EN

I N G E N I E R Í A M E C Á N I C A

P R E S E N T A

M. en C. LEOBARDO MORALES RUIZ

DIRECTOR

DR. ALEXANDER BALANKIN

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Dedicatoria

Con mi mayor alegría, dedico este trabajo a mis padres:

Joel Morales Franco Eva Ruiz Garcés

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Agradecimientos Institucionales

Agradezco de una manera muy especial, al Instituto Politécnico Nacional. Por ofrecerme una ventana al conocimiento, permitiendo mi formación y desarrollo de una manera integral. Formación que abarcó los estudios de Licenciatura, Maestría y Doctorado.

Agradezco también a las siguientes instituciones, por brindarme apoyo económico durante diferentes etapas de mi formación académica, proporcionando los recursos necesarios para la conclusión exitosa de esta tesis doctoral.

Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología

Instituto de Ciencia y Tecnología del Distrito Federal

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Agradecimientos Personales

Quiero expresar mi más sincero agradecimiento al Dr. Alexander Balankin, pues su invaluable apoyo y oportuna dirección, incentivaron el desarrollo de mis habilidades como investigador, permitiendo llevar a buen fin esta tesis doctoral. Gran maestro, siempre disponible en los momentos cruciales, las discusiones sostenidas fueron altamente enriquecedoras en la búsqueda de las soluciones.

Agradezco a los doctores Orlando Susarrey Huerta, Iván Campos Silva, Didier Samayoa Ochoa, José Martínez Trinidad y Ernesto Pineda León, por los consejos y observaciones efectuadas durante el desarrollo del presente trabajo.

Al Dr. Francisco A. Cabrera Cárdenas, por su apoyo y consejos para seguir por el camino de la superación profesional.

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Resumen

En este estudio se recabó información disponible en la literatura con respecto de las

propiedades mecánicas de los nanotubos de Carbono de pared única, como son el Módulo

de Young, el Módulo de Corte y la Relación de Poisson, con la finalidad de determinar sus

funciones de densidad.

Se estableció una metodología para la extracción de los valores de estas propiedades,

cuando éstas son proporcionadas de manera gráfica. Ya sea que los datos sean graficados

de manera directa o bien como una función de la segunda derivada de la energía de la

deformación.

El ajuste de los datos a funciones de densidad se realizó a través de @Risk, y la bondad del

ajuste fue evaluado por el estadístico de Chi-cuadrada, Anderson-Darling y

Kolmogorov-Smirnov, dándoles prioridad a las distribuciones que fueron clasificadas en las mejores

posiciones y que aparecieron en la mayoría de los casos de estudio.

Inicialmente se obtuvo la función de densidad de las propiedades mecánicas usando todos

los datos disponibles, sin importar su diámetro. Posteriormente para el caso del módulo

de Young y el módulo de corte, se efectuaron análisis separando los datos de los

nanotubos considerando si su diámetro era menor o mayor de un nanómetro.

Posteriormente se contrastó el valor de los estadísticos de la bondad de ajuste, entre los

casos donde el ajuste se obtuvo sobre todos los datos sin importar el diámetro, con el

ajuste de las distribuciones obtenidas para el caso en que los datos fueron separados en

dos intervalos.

Para el caso de la relación de poisson, se consideró en el estudio clasificar primero a los

nanotubos de Carbono con base en su quiralidad, y posteriormente subclasificarlos en

base a su diámetro.

De esta manera, para cada propiedad mecánica, se obtuvo más de una función de

(8)

Abstract

On this study information available in the literature regarding the mechanical properties

of single wall Carbon nanotubes, such as the Young's modulus, shear modulus and

Poisson's ratio, was collected; in order to determine their density functions.

For the case in which data is provided in graphical form, a method for extracting the

values of these properties was established; whether the mechanical property is plotted

directly as if it is a function of the second derivative of the strain energy.

The fitting of the data to the density functions was performed by using @Risk, and the

goodness of fit test was evaluated by the statistics of Chi-square, Anderson-Darling and

Kolmogorov-Smirnov; giving priority to distributions that were ranked in the best positions

and also they appeared in most cases of study.

Initially, the density function of the mechanical properties was fitted by using all available

data, regardless of their diameter. Then, for the cases of Young's and shear modulus,

previous to the fitting of the data to a density function, the property was classified

regarding their diameter (if nanotubes were smaller or greater than one nanometer).

Subsequently, the statistics for the goodness of fit test for the three cases were compared.

For the case of Poisson ratio, in addition to the analysis done for young and shear

modulus, nanotubes were also first classified by chirality. All these cases were compared

and density functions were chosen.

In this way, for each mechanical property, several density functions were available to

(9)

Tabla de Contenido

Pag.

Resumen ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ i

Abstract ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ii

Tabla de Contenido ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ iii

Lista de Figuras ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ vii

Lista de Tablas ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ xiii

Simbología ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ xvii

Objetivo ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ xxi

Justificación ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ xxii

1 Introducción a los Nanotubos de Carbono

1.1 Estructuras del Carbono ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1

1.1.1 Enlaces entre los Átomos del Carbono ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4

1.2 Fulerenos ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10

1.3 Nanotubos de Carbono (NTsC) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12

1.4 Estructura de los NTsC ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 14

1.5 Deducción de las Relaciones Geométricas en los NTsC ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 19

1.5.1 Vectores a1 y a2 en Coordenadas Cartesianas ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 20

1.5.2 Vector Quiral en Coordenadas Cartesianas ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 22

1.5.3 Ángulo Quiral ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 23

1.5.4 Diámetro del Nanotubo ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 25

1.6 Espesor de los Nanotubos de Carbono ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 26

1.6.1 Convenciones con respecto al Espesor ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 27

1.6.2 Situaciones en las que Fallan las Convenciones del Espesor ⋅⋅⋅⋅ 28

(10)

Pag.

2 Propiedades Mecánicas

35

2.1 Energía de Deformación ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 37

2.1.1 Energía de Deformación en NTsC ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 40

2.1.2 Energía de Curvatura en NTsC ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 43

2.1.3 Modelo Continuo para la Energía de Curvatura en SWCNTs ⋅⋅⋅⋅ 45

2.2 Relaciones Esfuerzo−Deformación ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 53

2.2.1 Ley de Hooke ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 54

2.2.2 Matriz de Rigidez para Nanotubos ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 62

2.2.3 Módulo de Young ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 65

2.2.4 Relación de Poisson ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 77

2.3 Referencias ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 79

3 Funciones de Densidad

82

3.1 Variable Aleatoria ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 85

3.2 Función de Distribución Acumulada ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 85

3.3 Función de Densidad ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 86

3.4 Resumen de algunas Funciones de Probabilidad ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 88

3.4.1 Función Logística ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 89

3.4.2 Función Log-Logística ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 90

3.4.3 Función de Valores Extremos ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 93

3.4.4 Función Gauss Inversa ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 94

3.5 Funciones de Densidad para los SWCNTs ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 96

3.5.1 Metodología ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 96

3.5.2 Módulo de Young: Todos los Diámetros ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 98

(11)

Pag.

3.5.2.2 Módulo de Young: Diámetro ≥ 1nm ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 104

3.5.3 Módulo de Corte: Todos los Diámetros ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 107

3.5.3.1 Módulo de Corte: Diámetro < 1nm ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 110

3.5.3.2 Módulo de Corte: Diámetro _≥ 1nm ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 112

3.5.4 Relación de Poisson ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 115

3.5.4.1 Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: Todos los

Diámetros ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

115

3.5.4.1.1 Relación de Poisson: Todas las Quiralidades:

Diámetro < 1nm ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

118

3.5.4.1.2 Relación de Poisson: Todas las Quiralidades:

Diámetro _≥ 1nm ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

120

3.5.4.2 Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: Todos los

Diámetros ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

123

3.5.4.2.1 Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales:

Diámetro < 1nm ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

125

3.5.4.2.2 Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales:

Diámetro _≥ 1nm ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

128

3.5.4.3 Relación de Poisson: Nanotubos Quirales: Todos los

diámetros ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

130

3.5.4.3.1 Relación de Poisson: Nanotubos Quirales:

Diámetro < 1nm ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

133

3.5.4.3.2 Relación de Poisson: Nanotubos Quirales:

Diámetro _≥ 1 nm ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

135

3.5.5 Resumen de Funciones de Probabilidad para las Propiedades

Mecánicas de los SWCNTs ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

138

3.5.5.1 Fórma Paramétrica ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 138

(12)

Pag

3.5.5.3 Función de Distribución Acumulada ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 142

3.5.6 Análisis de los Resultados ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 145

3.6 Referencias ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 148

Conclusiones ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 151

Apéndice A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 154

Apéndice B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 158

Apéndice C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 162

(13)

[image:13.612.83.515.141.671.2]

Lista de Figuras

Figura Descripción Pag.

Figura 1.01 Cuatro formas cristalinas perfectas del Carbono: el diamante,

grafito, el nanotubo y el fulereno, i.e. C60 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1

Figura 1.02 La madre de todas las formas grafíticas ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3

Figura 1.03 Forma de los orbitales s y p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4

Figura 1.04 Hibridización sp3 de los orbitales de Carbono ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6

Figura 1.05 a) Representación de la nube electrónica del orbital hibrido sp3,

b) Ejes tetragonales de cuatro orbitales hibridizados sp3 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 Figura 1.06 Enlace de los orbitales híbridos sp3 (enlace−σ) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7

Figura 1.07 Hibridización de los orbitales sp2 del Carbono ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8

Figura 1.08 Sección Plana de los orbitales híbridos sp2 del átomo de Carbono ⋅ 8

Figura 1.09 Formación de una estructura hexagonal mediante enlaces de los

orbitales híbridos sp2 (enlaces−σ) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 Figura 1.10 Espectro de los clusters de Carbono obtenido mediante un

espectrómetro de masas, usando fotoionización y un analizador de

tiempo de vuelo ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 11

Figura 1.11 Molécula C60 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12

Figura 1.12 Micro-fotos electrónicas de Nanotubos de Carbono ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 13

Figura 1.13 Diagrama esquemático mostrando un arreglo helicoidal de un

nanotubo de Carbono ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 15

Figura 1.14 Formación de un nanotubo a partir de una lámina de grafeno ⋅⋅⋅⋅ 16

Figura 1.15 Nanotubos del tipo sillón, zig-zag y quiral, así como sus tapas

correspondientes ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 19

(14)

Figura 1.17 Estructura básica para una capa de grafeno, la cual está enlazada

hexagonalmente ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

27

Figura 1.18 Representación tri-dimensional de la estructura del grafito ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 28

Figura 2.01 a) Desplazamiento bajo un esfuerzo uni-axial. b) Trabajo realizado

por el esfuerzo uni-axial ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 37

Figura 2.02 Energía de deformación (eV por átomo de Carbono) vs

deformación unitaria bajo cargas de tensión en la dirección axial

del nanotubo del tipo sillón (5,5) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 40

Figura 2.03 Gráfico de la energía potencial U vs desplazamiento, para un

nanotubo (10,10) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 40

Figura 2.04 Energía de deformación minimizada relativa a la del grafito (eV por

átomo de Carbono) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 45

Figura 2.05 Energía de deformación versus radio del nanotubo ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 45

Figura 2.06 Vista de una viga, la cual es doblada hasta que forma el radio R

cuando se le aplica el momento flexionante M ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 46

Figura 2.07 Varias gráficas para la Energía de deformación vs Radio ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 50

Figura 2.08. a) Cubo unitario de un cuerpo sometido a esfuerzos

tri-dimensionales; donde sólo se muestran las componentes en tres

de las caras expuestas. b) Cubo unitario cuando es alargado en la

dirección de Ox3 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 53

Figura 2.09 Nanotubos de Carbono de pared única. a) Planos de simetría en

una nanocuerda. b) Sección transversal de la celda unitaria de una

nanocuerda. c) Sistema coordenado en un SWCNT ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 63

Figura 2.10 Segunda derivada de la energía por átomo de carbono con

respecto de la deformación unitaria obtenida numéricamente. La

deformación tuvo lugar en la dirección del eje del nanotubo, y

(15)

Figura 2.11 Cambio de la energía total ∆Etot como función de la deflexión ∆z,

para bucky tubos de C100, C200 y C400 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 68

Figura 2.12 Micrografías de fibras de nanotubos con uno de sus extremos libre,

obtenidas por TEM a 300 K y 600 K ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 73

Figura 2.13 Grafico del cuadrado del promedio de la amplitud de vibración

contra la temperatura, para un nanotubo en voladizo de 5.1 µm de

longitud, 16.6 nm de ancho ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 73

Figura 2.14 Propiedades elásticas de los nanotubos. A El módulo de Young Eb

como función del diámetro. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 76

Figura 2.15 Imagen obtenida por HRTEM de un nanotubo flexionado a un radio de curvatura≈400 nm. B y C Vistas magnificadas de una porción de

D. D Nanotubo que muestra características onduladas al ser

comprimido. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 76

Figura 2.16 _{Relación de Poisson vs radio del nanotubo}_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅ 78

Figura 3.01 _{Nanoestructuras a base de nanotubos}_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅ 84

Figura 3.02 Evaluación de la Probabilidad de Falla ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 84

Figura 3.03 _{Función de Distribución Acumulada}_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅ 86

Figura 3.04 _{Función de densidad}_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅ 88

Figura 3.05 _{Función de densidad logística cuando μ=0}_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅ 90

Figura 3.06 Función de densidad Log-logistic mostrando diferentes formas

dependiendo del tercer parámetro, el de forma ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 92

Figura 3.07 _{Función de densidad de Valores Extremos (extremo máximo)}_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅ 94

Figura 3.08 _{Función de densidad Gauss Inversa}_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅ 96

Figura 3.09 Módulo de Young Vs. Diámetro del nanotubo para SWCNTs ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 98

(16)

Figura 3.11 Función de distribución acumulada (Módulo de Young: Todos los diámetros) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 101

Figura 3.12 Función de Densidad Probabilística para el Módulo de Young (d<1nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 103

Figura 3.13 Función de Distribución Acumulada para el Módulo de Young (d<1nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 104

Figura 3.14 Función de Densidad Probabilística (Módulo de Young: d_≥1nm) ⋅⋅⋅ 106

Figura 3.15 Función de Distribución Acumulada (Módulo de Young: d_≥1nm) ⋅⋅⋅ 106

Figura 3.16 Módulo de Corte Vs. Diámetro del nanotubo para SWCNTs ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 107

Figura 3.17 Función de Densidad Probabilística (Módulo de Corte: Todos los diámetros) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 109

Figura 3.18 Función de Distribución Acumulada (Módulo de Corte: Todos los diámetros) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 109

Figura 3.19 _{Función de Densidad de Probabilidad (Módulo de Corte: d<1nm)}_⋅_⋅ 111

Figura 3.20 _{Función de Distribución Acumulada (Módulo de Corte: d<1nm)}_⋅_⋅_⋅_⋅ 112

Figura 3.21 Función de Densidad de Probabilidad (Módulo de Corte: d_≥1nm) ⋅⋅ 114

Figura 3.22 _{Función de Distribución Acumulada (Módulo de Corte: d}_≥_1nm)_⋅_⋅_⋅ 114

Figura 3.23 _{Relación de Poisson Vs. Diámetro del nanotubo para SWCNTs}_⋅_⋅_⋅_⋅ 115

Figura 3.24 Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: Todos los diámetros) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 117

Figura 3.25 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: Todos los diámetros) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 117

Figura 3.26 Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: d<1 nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 119

(17)

Figura 3.28 Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: d_≥1 nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 122

Figura 3.29 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: d_≥1 nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 122

Figura 3.30 Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: Todos los diámetros) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 124

Figura 3.31 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: Todos los diámetros) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 125

Figura 3.32 Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: d<1 nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 127

Figura 3.33 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: d<1 nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 127

Figura 3.34 Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: d_≥1 nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 129

Figura 3.35 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: d_≥1 nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 130

Figura 3.36 Función de Densidad Probabilística para la Relación de Poisson (Quirales: Todos los diámetros) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 132

Figura 3.37 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Quirales: Todos los diámetros) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 132

Figura 3.38 Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson: Quirales: d<1 nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 134

Figura 3.39 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Quirales: d<1 nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 135

(18)

(19)

Lista de Tablas

Tabla Descripción Pag.

Tabla 2.01 Energía de Curvatura para los nanotubos de Carbono ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 49

Tabla 2.02 Los índices tensoriales son reemplazados por índices matriciales

siguiendo la convención de Voigt ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 59

Tabla 2.03 _{Relación de Poisson obtenida por diferentes métodos}_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅_⋅ 78

Tabla 3.01 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Módulo de Young: Todos los datos) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 99

Tabla 3.02 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (módulo de Young: Todos los datos) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 99

Tabla 3.03 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Modulo

de Young: d<1nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 102

Tabla 3.04 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Módulo de Young: d<1nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 102

Tabla 3.05 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Módulo

de Young: d_≥1nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 104

Tabla 3.06 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Módulo de Young: d_≥1nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 105

de Corte: Todos los datos) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 108

Tabla 3.08 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Módulo de Corte: Todos los diámetros) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 108

(20)

Tabla 3.10 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Módulo de Corte: d<1nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 110

de Corte: d_≥1nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 112

Tabla 3.12 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Módulo de Corte: d_≥1nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 113

Tabla 3.13 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Relación

de Poisson: Todas las Quiralidades: Todos los diámetros) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 116

Tabla 3.14 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: Todos los

diámetros) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 116

de Poisson: Todas las Quiralidades: d<1 nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 118

Tabla 3.16 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: d<1 nm) ⋅⋅⋅ 118

de Poisson: Todas las Quiralidades: d≥1 nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 120

Tabla 3.18 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: d≥1 nm) ⋅⋅⋅ 121

de Poisson: Nanotubos Aquirales: Todos los diámetros) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 123

Tabla 3.20 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: Todos los

diámetros) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 123

(21)

Tabla 3.22 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: d<1nm) ⋅⋅⋅⋅⋅ 126

de Poisson: Nanotubos Aquirales: d_≥1 nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 128

Tabla 3.24 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: d_≥1 nm) ⋅⋅⋅⋅ 128

de Poisson: Nanotubos Quirales: Todos los diámetros) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 131

Tabla 3.26 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Quirales: Todos los

diámetros) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 131

de Poisson: Nanotubos Quirales: d< 1 nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 133

Tabla 3.28 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Quirales: d< 1 nm) ⋅⋅⋅⋅⋅ 133

de Poisson: Nanotubos Quirales: d≥ 1 nm) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 135

Tabla 3.30 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Quirales: d≥ 1 nm) ⋅⋅⋅⋅ 136

Tabla 3.31 Representación paramétrica de las funciones de probabilidad que

describen las propiedades mecánicas de los SWCNTs ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 138

Tabla 3.32 Funciones de densidad para el Módulo de Young de los SWCNTs ⋅⋅ 139

Tabla 3.33 Funciones de densidad para el Módulo de Corte de los SWCNTs ⋅⋅⋅ 139

(22)

Tabla 3.35 Funciones de Densidad para la Relación de Poisson de los SWCNTs: Nanotubos Aquirales ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 140

Tabla 3.36 Funciones de Densidad para la Relación de Poisson de los SWCNTs: Nanotubos Quirales ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 141

Tabla 3.37 Funciones de Distribución Acumulada para el Módulo de Young de los SWCNTs ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 142

Tabla 3.38 Funciones de Distribución Acumulada para el Módulo de Corte de

los SWCNTs ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 142

Tabla 3.39 Funciones de Densidad para la Relación de Poisson de los SWCNTs: Todas las Quiralidades ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 143

Tabla 3.40 Funciones de Densidad para la Relación de Poisson de los SWCNTs: Nanotubos Aquirales ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 143

(23)

Simbología

Símbolo Descripción

A Parámetro igual a Yh3Ω/24

a Constante de red del grafito

ac=c Distancia Carbono-Carbono en la cara hexagonal a1, a2 Vectores unitarios en la red hexagonal del grafeno

a1x Componente x del vector unitario de la red hexagonal

a1y Componente y del vector unitario de la red hexagonal

A-D Prueba Anderson-Darling

Ch Vector quiral Cijkl Tensor de rididez

cijkl Coeficientes elásticos

cn Constante efectiva de la viga, cuando es considerada como un tipo de resorte CDF Función de distribución acumulada (Cumulative Distribution Function)

CNT Carbon Nanotube (Nanotubo de Carbono), ver NTC

CNTs Carbon Nanotubes (Nanotubos de Carbono), ver NTsC

C60 Buckminsterfulereno o bucky-esfera

D, d Diámetro del nanotubo

dA diferencial de área

Db Rigidez a la flexión

DFT Density Functional Theory – Teoría del Funcional de la Densidad

d� Deformación de un elemento diferencial en la dirección x dx, dy, dz Longitud de un elemento diferencial en las direcciones x, y, z

Ec Energía de curvatura por cada átomo de carbono

fn Frecuencia natural y sus armónicos en Hz

Fx Fuerza en la dirección x

�(�) Función de densidad de probabilidad

(24)

h Espesor de la pared de un nanotubo

HRTEM High Resolution Transmission Electron Microscopy – Microscopía Electrónica

de Transmisión de Alta Resolución

I Momento de inercia

k Constante de Boltzmann

K-S Prueba Kolmogorov-Smirnov

L Longitud

LDA Local Density Approach – Aproximación de Densidad Local

� Parámetro de forma de la distribución Weibull

M Momento flexionante

MM Mecánica Molecular

MQ Mecánica Quántica

MWCNTs Multi Wall Carbon Nanotubes – Nanotubos de Carbono de Paredes Múltiples

n Número cuántico principal, índice quiral, modo de vibración

N Número atómico, número de átomos

n, m Índices quirales. (n,0) zig-zag, (n,n) sillón, y (n,m) quiral

Nd-YAG Neodymium-doped Yttrium Aluminium Garnet. Cristal de granate (óxido de itrio y aluminio) dopado con neodimio.

NTC Nanotubo de Carbono, ver CNT

NTsC Nanotubos de Carbono, ver CNTs

P Presión

pdf Abreviatura de Función de densidad de probabilidad (probability density function)

R Radio de curvatura

Req Radio del nanotubo en equilibrio y sin aplicación de esfuerzos

(25)

sech θ Secante hiperbólica

T Temperatura

tanh θ Tangente hiperbólica

TOF Analizador de masa de tiempo de vuelo (Time-of-flight)

� Desplazamiento de un punto sobre el eje x U Densidad de la energía de deformación

U, Est Energía de deformación, Energía potencial total

Ua Energía de deformación por cada átomo

un Amplitud de la vibración horizontal en la punta de un nanotubo U0 Energía potencial total inicial en equilibrio

V Volumen

Va Volumen en el que está distribuido cada átomo

V0 Volumen inicial

W Trabajo

Wn Energía de vibración

x valor numérico que toma la variable aleatoria X X Variable aleatoria

x,y,z Ejes de un sistema coordenado cartesiano

Y Módulo de Young

� Parámetro de localización de las funciones logística y de valores extremos, parámetro de forma en la función Log-logistica

� Parámetro de escala de las funciones logística y de valores extremos, parámetro de forma en la función Log-logística

� parámetro de localización de la función Log-logística

εij Tensor de deformación

εkl Tensor de deformaciones

(26)

� Parámetro de forma en la función de Gauss inversa

� Media de la distribución, medida de tendencia central en la función de Gauss Inversa

θ Ángulo quiral, ángulo que forma una viga al aplicarle un momento flexionante

κ Curvatura del nanotubo

ν Relación de Poisson

�� Resistencia característica en la distribución Weibull σij Tensor de esfuerzos

�� Esfuerzo normal en la dirección x

�2 _Varianza

Φ(z) función de distribución acumulada de una distribución normal (0,1)

(27)

Objetivo

(28)

Justificación

Los Nanotubos de Carbono (NTsC) constituyen un ejemplo relevante de los

nanomateriales; es decir, aquellos cuyas características mecánicas, eléctricas, y térmicas

entre otras, son diseñadas a nivel molecular, controlando su forma y tamaño a escala

nanométrica. Los NTsC tienen un gran potencial para futuras aplicaciones pues han

mostrado que tienen novedosas propiedades. En el aspecto electrónico se pueden

comportar como metales o como semiconductores, características que dependen tanto

del diámetro del nanotubo como de su quiralidad. Mecánicamente se ha determinado que

su rigidez es del orden de los Terapascales (0.4-5.5 TPa), y que además de ser muy

resistentes pueden soportar grandes deformaciones antes de que ocurra la fractura (200

GPa y alrededor del 20% de deformación).

Entre las aplicaciones que se han diseñado y pensado, las cuales toman ventaja de las

novedosas características antes mencionadas, se incluyen su uso como nanocables

eléctricos, diodos, transistores, emisores de campo (para su aplicación en: puntas para

microscopios de barrido electrónico, pantallas planas para TV, lámparas), sensores

(químicos, bioquímicos, ópticos, etc.), actuadores, almacenadores de gas, i.e. hidrógeno,

nanotermómetros. Sus características mecánicas únicas pueden ser utilizadas para la

construcción de cables de gran resistencia. Por ejemplo, se ha pensado en la construcción

de un elevador espacial, en el cual el cable con el cual sería construido sería hecho a base

de nanotubos. Aplicaciones más inmediatas tienen que ver con la manufactura de

materiales compuestos para ser empleados en áreas como la aeroespacial y automotriz.

Cuando los NTsC son incorporados a una matriz polimérica se ha encontrado que la

adición de 1 % en peso de nanotubos de carbono de paredes múltiples, incrementa la

tenacidad del polímero. Otros tipos de materiales compuestos que utilizan a la NTsC como

refuerzo son los materiales compuestos cerámicos, i.e. matriz a base de Al2O3, y los

materiales compuestos metálicos, i.e. aquellos cuya matriz es de Al, Mg, titanio, ó Ni/P.

Aún y cuando se han realizado muchas investigaciones acerca de las propiedades

(29)

que ver con el hecho de que para poder determinar el módulo de Young, E, se requiere

conocer el espesor de la pared del tubo, pues generalmente se obtiene a partir de la

segunda derivada de la energía de deformación. Ya que un NTC de pared única está hecho

de una sola capa donde se distribuyen los átomos de carbono, se tiene que el espesor del

tubo ni es continuo ni está definido. De esta manera en la mayoría de los casos se ha

usado uno de los dos espesores que han sido tomados por la mayoría de los

investigadores como una convención. La primera de ellas asigna un espesor del nanotubo

de 0.34 nm, la cual corresponde a la separación que existe entre dos capas del grafito.

Mientras que la segunda convención se obtiene como el espesor continúo de una

membrana que debe de satisfacer la condición de poder soportar deformaciones axiales y

de flexión simultáneamente. Dicho criterio converge cuando el espesor del nanotubo es

de 0.066 nm. El problema radica en que si se sigue la primera convención el valor del

modulo de Young anda en el orden de 1 TPa, mientras que si se sigue la segunda entonces

se obtiene un valor alrededor de 5.5 TPa.

Sin importar cual criterio acerca del espesor se utilice, en ambos casos se tienen una gran

dispersión de los datos, ya sea que éstos hayan sido obtenido por simulaciones o

calculados a partir de mediciones experimentales. Por lo tanto, en el presente trabajo,

consideramos que obtener las propiedades mecánicas desde un punto de vista

probabilístico, sería un primer paso para poder simular el comportamiento de estructuras

más complejas fabricadas a partir de NTsC de una manera que se acerque más a una

aplicación real.

(30)

1

Introducción a los

(31)

1.1 Estructuras del Carbono

El Carbono es un material extraordinario; es fundamental para que la vida tenga lugar, así

como en la química orgánica. Los átomos de Carbono también pueden combinarse entre

ellos formando moléculas, las cuales pueden adoptar una de las cuatro estructuras

cristalinas o formas alotrópicas que forman al diamante, grafito, así como a los nanotubos

y fulerenos. [1.01]. Tomando en consideración la dimensión que ocupan estas formas

alotrópicas el diamante es tri-dimensional, ya que sus enlaces se expanden en el espacio y

sus cristales pueden crecer en las tres direcciones. El grafito está formado a partir de una

capa plana hexagonal, también conocida como grafeno. Dimensionalmente el grafeno es

bi-dimensional debido a que el arreglo hexagonal puede extenderse en dos direcciones.

Por otra parte, los nanotubos son uni-dimensionales ya que en su sección transversal los

átomos están colocados alrededor de una circunferencia formando una estructura

cerrada, por lo que el cristal sólo puede crecer en una sola dirección a lo largo del eje axial

del tubo. Finalmente, los fulerenos son cero-dimensionales ya que forman estructuras

esféricas cerradas como si fueran puntos. De esta manera, después de formar la

estructura cerrada, los cristales no pueden crecer a lo largo de ningún eje. En la Figura

1.01, se ilustran las formas alotrópicas del Carbono.

Figura 1.01. Cuatro formas cristalinas perfectas del Carbono: el diamante, grafito, el nanotubo y el fulereno, i.e. C60 [1.02].

Durante siglos, las únicas formas alotrópicas conocidas del Carbono fueron el grafito y el

(32)

fueron descubiertos por Kroto et al. [1.09] en 1985 que se tuvo conciencia de la existencia

de las otras formas alotrópicas. Incluso, aún y cuando el grafeno había sido estudiado de

manera teórica por más de sesenta años, fue apenas aislado del grafito por Novoselov et

al., en el año 2004 [1.03]. Debe tenerse en cuenta y para ser más precisos, que si bien el

grafito es formado por el apilamiento de capas de grafeno, las propiedades de ambos son

diferentes. De esta manera, realmente al grafito puede considerársele como un material

macroscópico tri-dimensional, mientras que al grafeno como un material bi-dimensional,

el cual presenta nuevas propiedades. Por ejemplo, desde el punto de vista de las

propiedades electrónicas, si el material está formado por una o dos capas de grafeno, se

comporta como un semiconductor con cero-gap, pero si se apilan de tres a diez capas

entonces aparecen varios portadores de carga, por lo que las bandas de conducción y de

valencia empiezan a traslaparse [1.04]. De esta manera, diez capas de grafeno parecen ser

la frontera para tener un comportamiento como un grafeno bi-dimensional o un grafito

tri-dimensional. Los estudios sobre el grafeno han sido fundamentales para entender las

propiedades tanto de los fulerenos como de los nanotubos. De hecho, ya que la superficie

de ambos están formadas por arreglos hexagonales similares a las del grafeno, sus formas

alotrópicas se han explicado conceptualmente como si fueran construidas a partir del

doblamiento de una capa de grafeno, tal y como se muestra en la Figura 1.02.

Considerando la Figura 1.02, en el extremo izquierdo se observa que cuando la isla

marcada en verde que se encuentra sobre la capa de grafeno se recorta y dobla de tal

manera que al coincidir los átomos de Carbono en los bordes de la isla se les permita su

traslape, en la superficie poligonal esférica que se forma, aparecerán también caras

pentagonales en la nueva estructura. Es la formación de estas caras pentagonales la

responsable de la curvatura de los fulerenos. En particular, el fulereno mostrado en esta

figura contiene 60 átomos de Carbono y está formado por 20 hexágonos y 12 pentágonos,

el cual es conocido como buckminsterfulereno o bucky-esfera. Si procedemos de manera

similar con la isla rectangular de color magenta que se encuentra en la misma Figura 1.02,

(33)

rolándola luego alrededor de un eje de tal manera que los átomos en los bordes opuestos

se encuentren y se les permita su traslape. Entonces, la estructura formada será un tubo

construido de Carbono con dimensiones nanométricas, el cual es comúnmente llamado

Nanotubo de Carbono (NTC ó NTsC en plural). Finalmente, en la Figura 1.02 en la sección

derecha de la misma, se muestra la formación del grafito. El cual es formado por la

superposición de capas de grafeno, con una separación de 0.34 nm entre ellas.

Figura 1.02 La madre de todas las formas grafíticas. El grafeno es el material 2D básico que sirve para la construcción de los materiales de Carbono de todas las demás dimensiones. Puede ser doblado pertinentemente en bucky-esferas en

(34)

1.1.1 Enlaces entre los Átomos de Carbono

El Carbono, cuyo símbolo es C, se encuentra en el grupo IV de la Tabla Periódica. Tiene un

número atómico, Z=6, así como cuatro electrones de valencia. En su estado basal, un

átomo de Carbono aislado tiene la siguiente configuración electrónica: 1s22s22p2. Dicha distribución indica que los electrones son primeramente alojados en el nivel de energía K

(ó n=1), llenándolo complemente, pues éste contiene solo un sub-nivel (u orbital) s (ó l=0) con capacidad para alojar dos electrones. Los restantes cuatro electrones son alojados en

el nivel L (ó n=2) llenándolo sólo parcialmente pues contiene a los orbitales 2s y 2p (ó l=1) los cuales entre ambos tienen una capacidad para alojar hasta 8 electrones. Dos de los

cuatro electrones del nivel L son colocados en el sub-nivel 2s llenándolo completamente y

los otros dos son usados para llenar solo parcialmente al orbital 2p. Es importante señalar

que no todos los electrones en el nivel L poseen la misma cantidad de energía, pues

pertenecen a dos diferentes sub-niveles 2s y 2p. Así mismo mientras que los dos

electrones alojados en el orbital 2s2 tienen un espín opuesto, los dos alojados en el orbital 2p2 tienen un espín paralelo [1.05]. En el estado basal el Carbono solo tiene orbitales del tipo s y p. Los orbitales s son esféricos y no-direccionales, mientras que los orbitales p son

alargados, direccionales y simétricos alrededor de su eje. En la Figura 1.03, se representan

a los orbitales del tipo s y p.

(35)

Un átomo es estable cuanto tiene 8 electrones en su capa externa, i.e. los gases nobles. Si

ese no es el caso, tratará de perder, ganar o compartir electrones formando iones o

compuestos. Los átomos de Carbono pueden combinarse entre ellos; sin embargo, ya que

poseen cuatro electrones de valencia, tienen que compartirlos formando enlaces

covalentes. Cuando el Carbono se combina de esta manera, sus orbitales ya no son más

del tipo s o p, sino que se mezclan e hibridizan formando orbitales del tipo sp3, sp2 y sp.

El diamante tiene una estructura tetraédrica simétrica y sus cuatro enlaces tienen la

misma resistencia. Para tomar en cuenta estas características, los cuatro electrones de

valencia de cada átomo deberán de estar alojados en orbitales separados, con su espín

desacoplado de los otros electrones. Por lo tanto, en este caso el alojamiento de los

electrones del nivel L del átomo de Carbono en el estado basal se modifica de tal manera

que primero uno de los electrones del orbital 2s es promovido a un orbital más energético

2p, tal y como se muestra en la Figura 1.04. Luego el orbital 2s restante se mezcla o

combina con los tres orbitales 2p formando cuatro orbitales 2sp3.

Los nuevos orbitales híbridos 2sp3 tienen también una nube de densidad electrónica diferente que describe su probabilidad de localización, la cual da lugar a un orbital

asimétrico, concentrado en un lado y con una pequeña cola en el lado opuesto, la forma

de dicho orbital es mostrado en la Figura 1.05a. En la Figura 1.05b se muestran los cuatro

orbitales híbridos del átomo de Carbono sp3 para el diamante, teniendo idéntica forma pero diferente orientación espacial. Si se conectan los puntos extremos de estos orbitales,

se forma un tetraedro regular, existiendo el mismo ángulo entre cada uno de ellos de 109o 28´. Los átomos hibridizados sp3 pueden ahora combinarse entre ellos para formar fuertes enlaces covalentes, ya que cuatro de los seis electrones forman enlaces. Por convención,

un orbital direccional, tal como el sp3 es llamado orbital sigma (orbital−σ), y a su enlace un

enlace sigma (enlace−σ). En la Figura 1.06, a) se representa a un solo enlace−σ y en b) la

(36)

Figura 1.04 Hibridización sp3 de los orbitales de Carbono

(37)

Figura 1.06 Enlace de los orbitales híbridos sp3 (enlace−σ) a) mostrando un solo enlace covalente, b) mostrando la representación de una estructura tri−dimensional (diamante). Las regiones sombreadas muestran las más altas

probabilidades electrónicas donde el enlace covalente tiene lugar.

Los orbitales híbridos sp2 ó trigonales son la base para todas las estructuras grafíticas. Como en el caso anterior donde se abordo la hibridización sp3, primero se explicará el proceso de hibridización para un solo átomo de Carbono, y luego se considerará su enlace

covalente. El mecanismo de hibridización sp2 difiere de la hibridización sp3. El arreglo de los electrones en el nivel L del átomo Carbono en su estado basal se modifica cuando uno

de los electrones del orbital 2s es excitado al orbital 2p, lo cual da como lugar que se

tenga un electrón en el orbital 2s y tres electrones en los orbitales 2p. Posteriormente, el

electrón del orbital 2s se combina o hibridiza con sólo dos de los electrones de los

orbitales 2p (y por lo tanto la designación sp2) para formar tres orbitales sp2, mientras que el otro electrón queda libre y sin hibridizarse en el orbital 2p por lo que también se le

conoce como electrón deslocalizado, tal y como se muestra en la Figura 1.07.

La forma de los tres orbitales sp2 es similar a la de los orbitales sp3; sin embargo, sus orientaciones son diferentes ya que se encuentran en el mismo plano, formando un

(38)

los tres orbitales sp2, y está disponible para formar el enlace subsidiario pi (enlace-π) con otros átomos, por ejemplo entre los planos del grafito.

Figura 1.07 Hibridización de los orbitales sp2 del Carbono

(39)

El enlace sp2 es del tipo covalente y debido a que hay tres electrones de valencia, sp2, también forma fuertes enlaces. Ya que un lado del orbital sp2 es más pequeño que el otro, existe una considerable superposición con otros orbitales sp2. El orbital sp2 es direccional y

se le llama orbital sigma (orbital−σ) y a los enlaces que forma enlaces sigma (enlace−σ).

Ya que cada átomo de Carbono hibridizado tiene tres orbitales del tipo sp2 en el plano formando un ángulo de 120o entre ellos, cuando una serie de ellos se enlaza con otros tres átomos de Carbono del tipo sp2 se forma una estructura plana hexagonal. El cuarto electrón de valencia, el cual es el electrón 2p deslocalizado (libre), es simétrico y está

orientado perpendicular al plano formado por los enlaces σ, tal y como se ilustra en la

Figura 1.09. En una estructura sp2 como la del grafito, los electrones deslocalizados se pueden mover fácilmente de una región a otra a lo largo de la capa plana, pero no pueden

hacerlo de una capa a otra, como resultado el grafito es anisotrópico.

(40)

1.2 Fulerenos

El grafito es la estructura preferida en sistemas que contienen una gran cantidad de

átomos de Carbono; sin embargo, cuando las capas de grafito se reducen a pequeñas

dimensiones, la gran cantidad de energía asociada en cada átomo de Carbono se vuelve

significativa, principalmente en los bordes. Para evitar la aparición de bordes energéticos,

los sistemas que contienen un pequeño número de átomos de Carbono prefieren adoptar

geometrías que formen capas cerradas [1.01].

La formación de clusters conteniendo más de 30 átomos de Carbono, fue reportada

inicialmente por Rohlfing et al. [1.08], mientras trabajaban con chorros

supersónicos-micro-pulsados de Carbono. En su experimento una barra de grafito puro fue vaporizada

mediante una irradiación por laser en el interior de una boquilla, la cual fue sometida a

micro-pulsos de helio a alta presión. El helio al expandirse en la boquilla originó un chorro

supersónico, que a su vez enfrió y transportó al vapor de Carbono. Posteriormente, los

clusters de Carbono formados fueron foto ionizados por un laser UV y analizados

mediante un analizador de masa de tiempo de vuelo (time-of-flight TOF). De esta manera,

encontraron clusters que contenían de 2 a 190 átomos de Carbono, los cuales estaban

distribuidos bi-modalmente, como se muestra en la Figura 1.10. Para tamaños de Cn entre

1 y 30, los clusters encontrados contenían un número de átomos tanto pares como

impares. Sin embargo, para C2n en el intervalo 20<n<50, solamente fueron detectados

clusters conteniendo un número de átomos par. Considerando la bi-modalidad y la

intensidad descubiertas, especularon que para la formación de los clusters de Carbono,

deberían de existir dos mecanismos; uno de los cuales debería de dar origen al carbine,

una nueva estructura para el Carbono que se formaba a altas temperaturas, y la cual había

sido propuesta previamente por otros investigadores. Sin embargo, como fue señalado

por Smalley, no se percataron de la importancia de la distribución de clusters superior

[1.02]; particularmente la que se encuentra en el intervalo 40 – >100, la cual es conocida

(41)

Figura 1.10. Espectro de los clusters de Carbono obtenido mediante un espectrómetro de masas, usando fotoionización y un analizador de tiempo de vuelo. El grafito fue evaporado usando un laser doble Nd:YAG de 40 mj, y posteriormente ionizado por un laser ionizante ArF (193 nm) con una energía de 1.6 mJ por pulso [1.08].

Un año después, Kroto et al., mejoraron el experimento [1.09], por ejemplo, usando un

solo valor para la energía de ionización o el uso de equipo más sofisticado como el usado

en el estudio de materiales semiconductores. Además también enfocaron su atención en

los clusters que contenían 60 átomos de Carbono, ya que la intensidad de ionización era

varias veces mayor que la de los otros. Por si fuera poco, para colectar una mayor

cantidad de moléculas C60, el experimento fue optimizado incrementando el tiempo en el

cual el chorro de helio era expandido, permitiendo más tiempo para la formación de los

clusters. Como resultado la intensidad de ionización para el C60 fue hasta 40 veces mayor

que la de los clusters cercanos. Para explicar la estabilidad de las moléculas de C60, Kroto

et al., argumentaron que se necesitaba una estructura con forma esférica. Durante la

formación de dichas moléculas, si tuvieran la estructura del grafito o del diamante, se

formarían bordes cuyas valencias se verían insatisfechas. Para satisfacer todas las

valencias sp2, solamente una estructura globular haría el trabajo. Ellos propusieron que el modelo esperado era en forma poligonal como un icosaedro trunco, una estructura

estudiada por Buckminster Fuller, la cual contiene 60 vértices. Ya que el cluster de

Carbono contenía 60 átomos, se podría colocar un átomo en cada vértice, tal y como se

muestra en la Figura 1.11. Como se puede observar, cada cara pentagonal está rodeada

completamente por caras hexagonales, mientras que cada cara hexagonal está rodeada

(42)

El Buckminsterfulereno o bucky-esfera tiene la forma de un icosaedro trunco. El cual contiene:

60 vertices 32 caras

12 caras pentagonales 20 caras hexagonales

Figura 1.11 Molécula C60, adaptada de [1.01].

1.3 Nanotubos de Carbono (NTsC)

Sumio Iijima reportó en 1991 el descubrimiento de una nueva estructura de Carbono en

forma de tubo a escala nanométrica [1.10]. En su experimento, el Carbono fue evaporado

en una atmósfera de argón por una descarga de arco eléctrico de CD, y el vapor resultante

se depositó en el cátodo. En el material condensado se encontraron tubos concéntricos y

helicoidales con tapas semiesféricas en sus extremos. La porción cilíndrica de cada tubo

estaba hecha de una capa de grafeno, como si ésta hubiera sido enrollada alrededor del

eje del tubo; mientras que cada tapa fue formada por un poliedro, tal como la mitad de

una bucky-esfera, o de manera más general a partir de la mitad de un fulereno. Los tubos

concéntricos y helicoidales tienen el atributo de estar distribuidos tanto en número como

en diámetro. El número de tubos concéntricos estuvo entre 20 y 50, mientras que el

intervalo de la distribución en diámetro se encontraba de unos pocos nanómetros hasta

algunos miles de nanómetros. El diámetro y el número de paredes en un tubo son

bastante importantes, ya que son dos de los tres parámetros clave que pueden variarse

para controlar sus propiedades mecánicas, electrónicas y magnéticas; el tercer parámetro

(43)

Figura 1.12 Micro-fotos electrónicas de Nanotubos de Carbono. Se muestran las secciones transversales de varios tipos de NTsC. a), Nanotubo de pared única [1.12] b), Nanotubo de penta-pared, diámetro 6.7 nm. [1.10] c), MWCNT (nanotubo con veinte paredes) [1.13]. d), Tubo en rollo (nanocuerda) [1.14].

Antes de 1993 los nanotubos de Carbono eran del tipo de paredes múltiples; sin embargo,

en ese año Iijima e Ichihasi [1.15] fueron capaces de sintetizar nanotubos formados por

una sola capa de grafeno, y con diámetros de alrededor de un nanómetro, usando Fe

como catalizador durante el proceso de síntesis. Como es ampliamente sabido, los

nanotubos de Carbono se pueden clasificar tomando en consideración el número capas o

de paredes, las cuales pueden ser o no concéntricas. Los nanotubos que están formados

solamente por una capa concéntrica de grafeno son conocidos como nanotubos de

Carbono de pared única ó SWCNTs por sus siglas en ingles (Single Wall Carbon

Nanotubes), pero si tienen más de 10 capas entonces se les llama nanotubos de Carbono

de paredes múltiples ó MWCNTs (Multi Wall Carbon Nanotubes) [1.10]. Si las capas

concéntricas se encuentran en el intervalo 2-9, entonces son llamados por nombres

a) b) d)