Dinámica de manipuladores
4. Los valores propios de un tensor de inercia son los momentos principales para el
6.5 FORMULACIÓN DINÁMICA ITERATIVA DE NEWTON-EULER
Ahora consideraremos el problema de calcular los momentos de torsión que corres- ponden a una trayectoria dada de un manipulador. Vamos a suponer que conocemos la posición, velocidad y aceleración de las articulaciones (, ˙ , ˙˙). Con estos datos, y cono- ciendo la información de cinemática y distribución de masa del robot, podemos calcular los momentos de torsión de las articulaciones requeridos para producir este movimiento. El algoritmo que se presenta está basado en el método publicado por Luh, Walter y Paul en [2].
Iteraciones salientes para calcular velocidades y aceleraciones
Para calcular las fuerzas inerciales que actúan en los vínculos es necesario calcular la velocidad de rotación y la aceleración lineal y rotacional del centro de masas de cada vínculo del manipulador en cualquier instante dado. Estos cálculos deben realizarse en forma iterativa, empezando con el vínculo 1 y avanzando sucesivamente, vínculo por vínculo hacia fuera hasta el vínculo n.
En el capítulo 5 hablamos sobre la “propagación” de velocidad de rotación de un
vínculo a otro, y se da (para la articulación giratoria i+ 1) mediante
(6.31) De (6.15) obtenemos la ecuación para transformar la aceleración angular de un víncu- lo al siguiente:
(6.32)
Cuando la articulación i+ 1 es prismática, esto se simplifica a
(6.33) La aceleración lineal del origen de cada trama de vínculo se obtiene mediante la apli- cación de la ecuación (6.12):
(6.34)
Para la articulación i+ 1 prismática, la ecuación (6.34) se convierte [de la ecuación
(6.10)] en
(6.35) Asimismo, necesitaremos la aceleración lineal del centro de masas de cada vínculo, que también puede encontrarse aplicando la ecuación (6.12):
(6.36)
Aquí imaginamos una trama {Ci} unida a cada vínculo, con su origen ubicado en el cen-
tro de masas del vínculo y con la misma orientación que la trama del vínculo, {i}. La ecuación (6.36) no implica el movimiento de la articulación, por lo cual es válida para
la articulación i+ 1, sin importar que sea angular o prismática.
Observe que la aplicación de las ecuaciones al vínculo 1 es especialmente simple, ya que 0ω
0=0ω˙0= 0.
i+1ω
i+1=i+1i Riωi+ ˙θi+1i+1ˆZi+1.
i+1˙ω
i+1=i+1i Ri˙ωi+i+1i Riωi× ˙θi+1i+1ˆZi+1+ ¨θi+1i+1ˆZi+1.
i+1˙ω
i+1=i+1i Riωi.
( )
i+1˙v
i+1=i+1i R[iωi×iPi+1+iωi× (iωi×iPi+1) +i˙vi],
i+1˙v
i+1=i+1i R(i˙ωi×iPi+1+iωi× (iωi×iPi+1) +i˙vi) + 2i+1ωi+1× ˙di+1i+1ˆZi+1+ ¨di+1i+1ˆZi+1.
i˙v
La fuerza y el momento de torsión que actúan sobre un vínculo
Después de calcular las aceleraciones lineal y angular del centro de masas de cada vínculo, podemos aplicar las ecuaciones de Newton-Euler (sección 6.4) para calcular la fuerza y el momento de torsión inerciales que actúan en el centro de masas de cada vínculo. Por lo tanto tenemos que
(6.37)
en donde {Ci} tiene su origen en el centro de masas del vínculo y la misma orientación
que la trama del vínculo, {i}.
Iteraciones entrantes para calcular fuerzas y momentos de torsión
Si ya calculamos las fuerzas y momentos de torsión que actúan en cada vínculo, ahora necesitamos calcular los momentos de torsión de articulación que producirán estas fuerzas y los momentos de torsión netos que se aplican a cada vínculo.
Podemos hacer esto escribiendo una ecuación de balance de fuerza y balance de momento, basada en el diagrama de cuerpo libre de un vínculo común. (Vea la figura 6.5). Sobre cada vínculo se ejercen fuerzas y momentos de torsión provenientes de los vínculos adyacentes, además de que experimenta una fuerza y un momento de torsión inerciales. En el capítulo 5 definimos símbolos especiales para la fuerza y el momento de torsión ejercidos por un vínculo adyacente, los cuales repetiremos aquí:
fi= fuerza ejercida en el vínculo i por el vínculo i − 1,
ni= momento de torsión ejercido en el vínculo i por el vínculo i − 1.
Al sumar las fuerzas que actúan sobre el vínculo i llegamos a la relación de balan- ceo de fuerzas:
(6.38) Al sumar los momentos de torsión sobre el centro de masas e igualarlos a cero, llegamos a la ecuación de balanceo de momentos de torsión:
(6.39) fi Ni Fi fi ⫹ 1 ni ⫹ 1 ni {i} {i ⫹ 1 }
FIGURA 6.5: El balanceo de fuerzas, incluyendo las fuerzas inerciales, para el vínculo de un manipulador.
Fi = m˙vCi,
Ni =CiI ˙ωi+ ωi×CiIωi,
iF
i =ifi−ii+1Ri+1fi+1.
iN
Si utilizamos el resultado de la relación de balanceo de fuerzas (6.38) y agrega- mos unas cuantas matrices de rotación, podemos escribir la ecuación (6.39) como
(6.40) Finalmente, podemos reordenar las ecuaciones de fuerza y momento de torsión para que aparezcan como relaciones iterativas desde el vínculo adyacente de mayor nu- meración hasta el de menor numeración:
(6.41) (6.42)
Estas ecuaciones se evalúan vínculo por vínculo, empezando por n y trabajando hacia la base del robot. Estas iteraciones entrantes de fuerza son análogas a las iteracio- nes de fuerza estáticas presentadas en el capítulo 5, excepto que ahora se toman en cuenta las fuerzas y momentos de torsión inerciales en cada vínculo.
Como en el caso estático, los momentos de torsión de articulación requeridos pueden obtenerse tomando el componente Zˆ del momento de torsión aplicado por un vínculo sobre su vínculo adyacente:
(6.43)
Para la articulación i prismática utilizamos
(6.44)
en donde hemos usado el símbolo τ para la fuerza de un actuador lineal.
Observe que, para un robot que se mueve en el espacio libre, N+1f
N+1y N+1nN+1
se hacen iguales a cero, por lo que la primera aplicación de las ecuaciones para el víncu- lo n es bastante simple. Si el robot está en contacto con el entorno, las fuerzas y mo- mentos de torsión debidos a este contacto pueden incluirse en el balance de fuerzas haciendo que N+1f
N+1y N+1nN+1sean distintos de cero.
El algoritmo iterativo de dinámica Newton-Euler
El algoritmo completo para calcular momentos de torsión de articulación a partir del movimiento de éstas, se compone de dos partes. En primer lugar, las velocidades y ace- leraciones de los vínculos se calculan en forma iterativa desde el vínculo 1, hacia el vínculo n, y se aplican las ecuaciones de Newton-Euler en cada caso. En segundo lugar, las fuerzas y los momentos de torsión de interacción y los momentos de torsión del ac- tuador de una articulación se calculan en forma recursiva, desde el vínculo n hasta el vínculo 1. A continuación, se muestra un resumen de las ecuaciones para el caso en que todas las articulaciones son giratorias:
iN
i =ini−ii+1Ri+1ni+1−iPCi×iFi−iPi+1×ii+1Ri+1fi+1.
if
i =ii+1Ri+1fi+1+iFi, in
i =iNi +ii+1Ri+1ni+1+iPCi×
iF
i+iPi+1×ii+1Ri+1fi+1.
τi =inTi i ˆZi.
Iteraciones salientes: i: 0 → 5 (6.45) (6.46) (6.47) (6.48) (6.49) (6.50) Iteraciones entrantes: i : 6 → 1 (6.51) (6.52) (6.53)
Inclusión de fuerzas de gravedad en el algoritmo de dinámica
El efecto de carga de la gravedad sobre los vínculos puede incluirse muy fácilmente ha- ciendo que 0v˙
0= G, en donde G tiene la magnitud del vector de gravedad pero apunta
en la dirección opuesta. Esto es equivalente a decir que la base del robot está aceleran- do hacia arriba con una aceleración de 1 g. Esta aceleración ficticia hacia arriba produ- ce exactamente el mismo efecto en los vínculos que tendría la gravedad. Así se calcula el efecto de la gravedad sin necesidad de incurrir en un gasto computacional adicional.